组合数学与图论复习题及参考答案

组合数学与图论复习题及答案

1．Show that if n+1 integers are chosen form the set {1,2, …,2n},then there are always two which differ by at most 2.

从{1,2, …,2n}中选出n+1个数，在这n+1个数中，一定存在两个数，其中一个整数能整除另外一个整数。

任何一个数都可以写成2k*L，其中k是非负数，L是正奇数。现在从1到

2n之间只有n个奇数。由于有n+1个数都能表示成2k*L，而L的取值只有n中，所以有鸽子洞原理知道，至少有两个数的L是一样的，于是对应k小的那个就可以整除k大的另一个数。

2．Show that for any given 52 integers there are exist two of them whose sum, or else difference, is divisible 100.

设52个整数a1，a2，…，a52被100除的余数分别是r1,r2,…,r52，而任意一个数被100除余数为0，1，2，…，99，一共100个。他们可以分为51个类{0},{1,99},{2,98},…,{49,51},{50}。将这51个集合视为鸽笼，则将r1,r2,…,r52放入51个笼子中，至少有两个属于同一个笼子，所以要么有ri＝rj，要么有ri＋rj ＝100，也就是说ai－aj|100或者ai＋aj|100。

3．从1，2，3，…，2n中任选n+1个数，证明在这n+1个数中至少有一对数互质。

鸽子洞原理，必有两个数相邻，相邻的两个数互质

4．Prove that Ramsey number R(p,q)≤R(p,q-1)+R(p-1,q).

令N＝R(p,q-1)+R(p-1,q)，从N个人中中随意选取一个a，F表示与a相识的人，S表示与a不相识的人。

在剩下的R(p,q-1)+R(p-1,q)－2＋1个人中，由鸽子洞原理有，或者F中有

R(p,q-1)人，或者S中有R(p-1,q)人。如果F中有R(p,q-1)人，则与a相识的人为p个；如果S中有R(p-1,q)人，则与a不相识的人有p个。所以有R(p,q)≤

R(p,q-1)+R(p-1,q)

5．There are 10 people, either there are 3 each pair of whom are acquainted, or there are 4 each pair of whom are unacquainted。

从10人中随意选一个人p，F表示与p相识的人，S表示与p不相识的人若F中至少有4人，如果至少有4人不相识，则满足题设；如果有2人相识，则加上p有3人相识，也满足题设。

若F中至多有3人，则S中至少有6人，6人中至少有3人相识，或者不相识。如果相识则满足题设，如果不相识加上p不相识的人就有4个，也满足题设。6．In how many ways can six men and six ladies be seated at round table if the men and ladies to sit in alternate seats?

6个男的先进行圆排列，然后6个女的插入空位。

7．In how many ways can 15 people be seated at round table if B refuses to sit next to A? What if B only refuses to sit on A right?

A ．15个人进行圆排列，减去ab 组成一个元素的14人的圆排列，然后减去ba 组成一个元素的14人的圆排列。

B ．15个人进行圆排列，减去ab 组成一个元素的14人的圆排列。

8． Determine the number of 10-combinations of the multiset S={∞*a,4.b,5*c,7*d}。

(1+x+x 2+x 3+…)( 1+x+x 2+…+x 4) ( 1+x+x 2+…+x 5) ( 1+x+x 2+…+x 7)展开

9． 把n 个有编号的球放入m 个有编号的盒子中，不允许有空盒子，有多少种

放法。

先假设，盒子没有编号，然后乘上组合与排列的关系：),(!*2m n S m

10． 证明在n （n ≥2）个人中总有两个人，他们在这群人中所认识的人数目相同。

当n ＝2时，如果两个人相互认识，则每个人认识的人只有一个；如果不认识，则每个人认识的人为0个。

当n>2时，设x i (x=1,2,…,n)表示，第i 个人认识的人的数目。（每个人最多只能认识n-1个人。） A ．如果每个人都有熟人

那么由鸽子洞原理知道至少有两个人i 和j 认识的人数相同即x i ＝x j B ．如果只有一个人没有认识的人

那么对于剩下的n －1个人来说能认识的人对多只有n －2个，由鸽子洞原理知道，这n －1个人中至少有两个人i 和j 认识的人数一样即x i ＝x j

C ．如果至少有两个人都没有熟人，则满足题设。

11． 一个剧团演出11周，为保证收入和不至于太累，规定每天至少演出一场，

每周不超过12场。证明存在连续的若干天，恰好演出21场。

设a 1为第一天该剧团的演出的次数，a i 表示前i 天一共的演出次数。可知道a i 是单调递增的。且有a 1>=1,a 77<=132。于是有a i ＋21(i=1,2,…,77)，也是单调递增的。而a 77＋21<=153。则有154个在1到153之间，所以由鸽子洞原理知道，至少存在两个数a i 和a j 有a i ＝a j ＋21即a i －a j ＝21

12． 在边长为1的正三角形中任选5个点，证明必有两个点的距离不超过1/2。