新教材人教版高中数学必修1 第四章 数学建模
2019-2020人教A版数学必修1第4章 4.5 4.5.3 函数模型的应用
4.5.3函数模型的应用1．常用函数模型思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？提示：利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．这些步骤用框图表示如图：1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是()C．指数函数模型D．对数函数模型A[自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.]2．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到() A．300只B．400只C．600只D．700只A[将x＝1，y＝100代入y＝a l o g2(x＋1)得，100＝a l o g2(1＋1)，解得a＝100.所以x＝7时，y＝100l o g2(7＋1)＝300.]3．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是() A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000)B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000)D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)D[由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000)．]4．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润y 与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过________年．7 [设二次函数y ＝a (x －6)2＋11，又过点(4,7)， 所以a ＝－1，即y ＝－(x －6)2＋11.解y ≥0，得6－11≤x ≤6＋11，所以有营运利润的时间为211.又6<211<7，所以有营运利润的时间不超过7年．]利用已知函数模型解决实际问题【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T 0，经过一定时间t 后的温度是T ，则T －T a ＝(T 0－T a )×⎝ ⎛⎭⎪⎫12th，其中T a 表示环境温度，h 称为半衰期，现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ，那么降温到32 ℃时，需要多长时间？[解] 先设定半衰期h ，由题意知40－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，即14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ，解之，得h ＝10，故原式可化简为T －24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，当T ＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 10＝864＝18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，∴t ＝30.因此，需要30 min ，可降温到32 ℃.已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.1．某种商品在近30天内每件的销售价格P (元)和时间t (天)的函数关系为： P ＝⎩⎨⎧t ＋20(0<t <25)，－t ＋100(25≤t ≤30).(t ∈N *)设该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系为Q ＝40－t (0<t ≤30，t ∈N *)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？[解] 设日销售金额为y (元)，则y ＝PQ ，所以y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800(0<t <25)，t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30).(t ∈N *)①当0<t <25且t ∈N *时，y ＝－(t －10)2＋900， 所以当t ＝10时，y max ＝900(元)．②当25≤t ≤30且t ∈N *时，y ＝(t －70)2－900， 所以当t ＝25时，y max ＝1 125(元)． 结合①②得y max ＝1 125(元)．因此，这种商品日销售额的最大值为1 125元，且在第25天时日销售金额达到最大．自建确定性函数模型解决实际问题【例2】 牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域； (2)求羊群年增长量的最大值．[思路点拨] 畜养率―→空闲率―→y 与x 之间的函数关系――→单调性求最值[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m ，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m (0<x <m )．(2)对原二次函数配方，得y ＝－km (x 2－mx )＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4，即当x ＝m 2时，y 取得最大值km 4.1．(变条件自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务.设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量.列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等.限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等.拟合数据构建函数模型解决实际问题[探究问题]1．实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系吗？ 提示：不一定．2．对于收集的一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，…，(x n ，y n )我们常对其如何操作，以发现其所隐含的规律？提示：常先画上述数据的散点图，再借助其变化趋势，结合我们已学习的函数模型，对数据作出合理的分析，从中找出所隐含的规律．【例3】 某企业常年生产一种出口产品，自2015年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2015年为第1年，前4年年产量f (x )(万件)如下表所示：(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2019年(即x ＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量为多少？[思路点拨] 描点――→依散点图选模――→待定系数法求模――→误差验模→用模 [解] (1)画出散点图，如图所示． (2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧ a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎨⎧a ＝1.5，b ＝2.5， ∴f (x )＝1.5x ＋2.5.检验：f (2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1， f (4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f (x )＝1.5x ＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2019年的年产量为f (5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2019年的年产量为7万件．函数拟合与预测的一般步骤： (1)根据原始数据、表格，绘出散点图.(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线. (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？[解] (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．根据点的分布特征，可考虑以y ＝a ·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a ·b x 得： ⎩⎨⎧7.9＝a ·b 70，47.25＝a ·b 160，用计算器算得a ≈2，b ≈1.02. 这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x .将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x 得y ＝2×1.02175，由计算器算得y ≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．1．函数的应用，实质上是函数思想方法的应用，其处理问题的一般方法是根据题意，先构建函数，把所给问题转化为对函数的图象和性质的研究，从而间接求出所需要的结论．2．解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．1．思考辨析(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述．( ) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型．( ) (3)当不同的范围下，对应关系不同时，可以选择分段函数模型．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．根据日常生活A 、B 、C 、D 四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是()A B C D[答案] B3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝0.957 6x 100B ．y ＝(0.957 6)100xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.957 6100xD ．y ＝1－0.042 4x100A [由题意可知y ＝(95.76%)x 100，即y ＝0.957 6x 100.]4．已知A ，B 两地相距150 km ，某人开汽车以60 km /h 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50 k m /h 的速度返回A 地．(1)把汽车离开A 地的距离s 表示为时间t 的函数(从A 地出发时开始)，并画出函数的图象；(2)把车速v (km/h)表示为时间t (h)的函数，并画出函数的图象． [解] (1)①汽车由A 地到B 地行驶t h 所走的距离s ＝60t (0≤t ≤2.5)． ②汽车在B 地停留1小时，则汽车到A 地的距离s ＝150(2.5＜t ≤3.5)． ③由B 地返回A 地，则汽车到A 地的距离s ＝150－50(t －3.5)＝325－50t (3.5＜t ≤6.5)．综上，s ＝⎩⎨⎧60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5＜t ≤3.5)，325－50t (3.5＜t ≤6.5)，它的图象如图(1)所示．(1) (2)(2)速度v (km/h)与时间t (h)的函数关系式是v ＝⎩⎨⎧60(0≤t ≤2.5)，0(2.5＜t ≤3.5)，－50(3.5＜t ≤6.5)，它的图象如图(2)所示．。
高一上学期数学人教A版必修第一册第四章数学建模活动课件
突出主要因素，弱化次要因素的影响.
实际问题的活动，可以继续研究不同室温下泡制一 问题4：该实验过程需要用到哪些测量工具？
茶已成为全世界最大众化、最受欢迎、最有益于身心健康的绿色饮料.
我国是茶的故乡，是世界上最早发现茶树、利用茶叶和栽培茶叶的国家，也是茶文化的发源地.
追问：如何保证测量数据的准确性以减少误差？
数据收集
任务1：请同学们课后按照实验流程进行实验， 获取并记录一组数据.
实验数据
时间/min 时间/min
0 85.00
3 71.19
1 79.19
4 68.19
2 74.75
5 65.10
建 立 模 型 问题5：观察散点图，思考两个变量有怎样的变化趋势？
问题4：该实验过程需要用到哪些测量工具？
追问：如何保证测量数据的准确性以减少误差？
两个变量有怎样的变化趋势？ 追问：当时间不断延长，最终茶水会降到什么温度？
茶已成为全世界最大众化、最受欢迎、最有益于身心健康的绿色饮料.
问题8：请同学们结合这五个函数图象与实际数据的吻合情况，思考应该如何选取a的值？
活动1：请同学们小组合作，为获取数据设计实验流程.
杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中 活动2：请同学们小组合作，结合以上探究过程归纳数学建模步骤.
请同学们仿照上述过程开展一次建立模型解决实际问题的活动，可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个：
选择一个： 追问：当时间不断延长，最终茶水会降到什么温度？
4. 估计阅读一本书所需要的时间. 问题5：观察散点图，思考两个变量有怎样的变化趋势？
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数函数模型的应用课件新人教A版必修第一册ppt
并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结
果保留两位有效数字).
解:以投入额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中作出散
点图,如图所示(图①为 A 商品,图②为 B 商品).
①
②
由散点图可以看出,A 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规
较为接近,
所以用 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数较好.
方法规律
选择函数模型的标准
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差
距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模
的核心素养.
【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y -0.99 0.01 0.98
则对 x,y 最适合的拟合函数是 (
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
2.00
)
解析:将x=0.50,y=-0.99代入计算可以排除选项A.
将x=2.01,y=0.98代入计算可以排除选项B,C,故选D.
所以
x
g(x)= ×( ) -3.
利用 f(x),g(x)对 2019 年的 CO2 浓度比 2015 年增加的
单位数作估算,
则其数值分别为 f(4)=10,g(4)=10.5.
因为|f(4)-12|>|g(4)-12|,
故 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数与 2019 年的实际数据
人教A版高中数学必修第一册第四章4-5-3函数模型的应用课件
定其中的初始量y0和增长率r．
解：(1)由题意可设1950年为t＝0，则y0＝55 196．根据马尔萨斯人口 增长模型，有 67 207＝55 196e9r， 由计算工具得 r≈0.021 876． 因此，用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950～1959年期间的 人口增长模型为 y＝55 196e0.021 876t，t∈[0，9]．
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中 一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润 目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的 利润．于是，只需在区间[10，1 000]上，寻找并验证所选函数是否 满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5； 第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x． 不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通 过具体计算，确认结果．
解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进行 描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函 数y＝0.4×2x-1(x∈N*)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数， 后两个都是增函数．要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情 况进行分析．
我 们 先 用 信 息 技 术 计 算 一 下 三 种 方 案 所 得 回 报 的 增 长 情 况 ( 表 4.55)．
解：借用信息技术画出函数 y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝ 1.002x的图象(图4.5-8)．观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型 y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模 型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．
新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数5_7增长速度的比较函数的应用二数学建模活动
增长速度的比较函数的应用(二) 数学建模活动：生长规律的描述最新课程标准掌握指数函数、对数函数、幂函数的增长速度，结合实例理解用函数构建数学模型的基本过程，学会用模型思想发现和提出问题，分析和解决问题的方法．新知初探·自主学习——突出基础性知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．2．指数函数模型能利用__________表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用____________表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是____________，函数值增长速度________．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．状元随笔函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n＞0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．知识点二数学建模1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．2．建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．3．解模：求解数学模型，得出数学结论．4．还原：将数学问题还原为实际问题的意义．状元随笔基础自测1.下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是( )e x B．y＝100ln xA．y＝1100C．y＝x100D．y＝100·2x2．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )A．减少7.84%B．增加7.84%C．减少9.5%D．不增不减3．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋cC．y＝a·e x＋b D．y＝a ln x＋b，那么今年花8100元买的一台计算机，9年后的价格4．计算机的价格大约每3年下降23大约是________元．课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 几类函数模型的增长差异[经典例题]例1 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )A．y＝2018x B．y＝x2018C．y＝log2018x D．y＝2018x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x 151015202530y1226101226401626901y2232102432768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是________．【解析】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数、一次函数可知，指数函数增长速度最快．(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．【答案】(1)A (2)y2状元随笔(1)由题意，指数函数增长速度最快．(2)跟踪训练1 分析指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x在区间[1，＋∞)上的增长情况．状元随笔在同一平面直角坐标系内作出函数y＝2x和y＝log2x的图像，从图像上可观察出函数的增长变化情况．如图：题型2 指数、对数函数模型[教材P42例2]例 2 按照《国务院关于印发“十三五”节能减排综合工作方案的通知》(国发〔2016〕74号)的要求，到2020年，全国二氧化硫排放总量要控制在1580万吨以内，要比2015年下降15%.假设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比都相等，2015年后第t(t ＝0，1，2，3，4，5)年的二氧化硫排放总量最大值为f(t)万吨．(1)求f(t)的解析式；(2)求2019年全国二氧化硫排放总量要控制在多少万吨以内(精确到1万吨)．教材反思应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型的应用类型．常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时的关键．关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．跟踪训练2 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg1.12≈0.05, lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年题型3 函数模型的选择问题[经典例题]例3 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？状元随笔本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1 000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1 000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y≤0.25x.不妨先画出函数图像，通过观察函数图像，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．方法归纳数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．跟踪训练3 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x，产量为y给出三种函数模型：y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝ab x＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况，最终找出与实际最接近的函数模型．4．5 增长速度的比较 4．6 函数的应用(二)4．7 数学建模活动：生长规律的描述新知初探·自主学习知识点一2．指数函数(底数a ＞1)3．对数函数(底数a ＞1) 随自变量的增大 越来越慢 [基础自测]1．解析：指数函数增长速度快于幂函数．幂函数增长速率快于对数函数． 答案：A2．解析：设某商品原来价格为a ，依题意得：a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.9216a ，(0.9216－1)a ＝－0.0784a ，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%. 答案：A3．解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y ＝ax 2＋bx ＋c . 答案：B4．解析：设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－(13)13，∴9年后的价格大约为y ＝8100×[1+(13)13−1]9＝8100×(13)3＝300(元)．答案：300课堂探究·素养提升跟踪训练1 解析：指数函数y ＝2x，当x 由x 1＝1增加到x 2＝3时，x 2－x 1＝2，y 2－y 1＝23－21＝6；对数函数y ＝log 2x ，当x 由x 1＝1增加到x 2＝3时，x 2－x 1＝2，而y 2－y 1＝log 23－log 21≈1.5850.由此可知，在区间[1，＋∞)上，指数函数y ＝2x随着x 的增长函数值的增长速度快，而对数函数y ＝log 2x 的增长速度缓慢．例2 【解析】 (1)设“十三五”期间每一年二氧化硫排放总量下降的百分比均为r ，因为f (0)表示2015年的排放总量，所以由题意可知f (t )＝f (0)(1－r )t ，t ＝0，1，2，3，4，5.又因为{f (5)=1 580，f (5)=f (0)(1−15%)，所以f (0)＝31 60017，1－r ＝0.8515，从而f (t )＝31 60017×0.85t5，t ＝0，1，2，3，4，5.(2)由(1)可知f (4)＝31 60017×0.8545≈1632，因此2019年全国二氧化硫排放总量要控制在1632万吨以内．跟踪训练2 解析：设经过x 年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x>200，即1.12x>21.3⇒x >lg21.3lg 1.12＝lg 2−lg 1.3lg 1.12≈0.30−0.110.05＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．答案：B例3 【解析】 借助信息技术画出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x的图像(图1)．观察图像发现，在区间[10，1000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．图1下面通过计算确认上述判断．先计算哪个模型的资金总数不超过5万元．对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用信息技术，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10, 1000]上单调递增，而且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1000]，利用信息技术画出它的图像(图2)．图2由图像可知函数f(x)在区间[10，1000]上单调递减，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以，当x∈[10，1000]时，y≤0.25x，说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润25%.综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司要求．跟踪训练3 解析：由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A (1，1)，B (2，1.2)，C (3，1.3)，D (4，1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时，将B ，C 两点的坐标代入函数式，得{3a +b =1.3，2a +b =1.2，解得{a =0.1，b =1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得{a +b +c =1，4a +2b +c =1.2，9a +3b +c =1.3，解得{a =−0.05，b =0.35，c =0.7.所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图像开口向下，对称轴为x ＝3.5)，不合实际．(3)设模拟函数为y ＝ab x＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得{ab +c =1，①ab 2+c =1.2，②ab 3+c =1.3.③由①，得ab ＝1－c ，代入②③，得{b (1−c )+c =1.2，b 2(1−c )+c =1.3.则{c =1.2−b1−b，c =1.3−b 21−b2，解得{b =0.5，c =1.4.则a ＝1−c b＝－0.8.所以有关系式y ＝－0.8×0.5x＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而该指数函数模型恰好反映了这种趋势．因此选用指数函数y ＝−0.8×0.5x ＋1.4模拟比较接近客观实际．。
人教A版高中数学必修一《4.5.3函数模型的应用》精品课件(34页)
2．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程 中，废气中的污染物含量 p(单位：毫克/升)与过滤时间 t(单位：时)之间的 关系为 p(t)＝p0e－kt(式中的 e 为自然对数的底数，p0 为污染物的初始含量)．过 滤 1 小时后，检测发现污染物的含量减少了15. (1)求函数关系式 p(t)； (2)要使污染物的含量不超过初始值的1 0100，至少还需过滤几个小时？(参 考数据：lg 2≈0.3)
和数据分析素养.
(一)教材梳理填空 名称
一次函数模型
反比例函数模型
解析式 _y_＝__k_x_＋__b_
_y_＝__kx_＋__b__
条件 __k_≠__0__
__k_≠__0___
二次函数模型
一般式： _y＝___a_x_2＋__b_x_＋__c___
顶点式：y＝ax＋2ba2＋ 4ac－b2
4a
第四章 指数函数与对数函数
4.5.3 函数模型的应用
人教A版高中数学必修一精品课件
明确目标பைடு நூலகம்
发展素养
1.理解函数模型是描述客观世界中变量 通过本节内容的学习，使
关系和规律的重要数学语言和工具． 学生认识函数模型的作用，
2.在实际情境中，会选择合适的函数模 提高数学建模、数学运算
型刻画现实问题的规律.
(1)当总质比为 200 时，利用给出的参考数据求 A 型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A 型火箭的喷流相对速度提高到了原来的
32倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度至少增加 500 m/s，求在材
料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
参考数据：ln 200≈5.3,2.718＜e＜2.719. [解] (1)当总质比为 200 时，v＝1 000·ln 200，
新教材人教版高中数学必修1 第四章 数学建模
选题的一般步骤是先发现和提出问题，再查找资料，பைடு நூலகம்析问题，最后结 合实际，确定研究课题．
选题原则通常要满足科学性、价值性、创造性、需要性、可行性、效益 性等原则．
选题宜小不宜大，选题应结合实际，有新意，要考虑自身的优势，与自 身的能力相适应．
二、数学建模活动开题 以“用电磁炉烧水如何设置功率最省电”为例做开题报告，如下表：
数学建模活动需要团队协作．首先，在班级中组成 3～5 人的研究小组， 每位同学参加其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成 员都有明确的分工．拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研 究手册，然后在班里进行一次开题报告．
三、数学建模活动做题 做题就是研究小组建立数学模型、用数学知识解决实际问题的实践活动， 在实践活动中应当按照数学建模的实施步骤进行．
数学建模 建立函数模型解 决实际问题
一、数学建模活动选题 1．应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？ 2．根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重． 3．用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法． 4．估计阅读一本书所需要的时间． 5．估计一个人的血液总量． 6．决定十字路口黄灯亮的时间长度．
根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、 数学建模、获得结论等过程，完成课题研究．在研究过程中，可以借助信息 技术解决问题．
四、数学建模活动结题 数学建模活动结束后，以小组为单位，撰写一份研究报告．以“用电磁 炉烧水如何设置功率最省电”为例做结题报告，如下表：
本课结束
高中数学必修第一册人教A版4.5.3函数模型的应用课件
2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的
并集.
3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比
较再下结论.
[跟踪训练二]
1.甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统
计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其
由题意知
1
1
1
2
1
v2-v1=1,即2log3100 − 2log3100
=1.
∴2log3 2 =1,∴ 2=9,即 Q2=9Q1.
1
1
故鲑鱼要想把游速提高1 m/s,其耗氧量单位数应变为本来的9倍.
函数关系式;
②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/
箱)之间的函数关系式;
③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大
利润是多少?
解:①根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱
销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的
增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润
为1 125元.
解题方法（一次、二次函数模型的应用）
1.一次函数模型的应用
人教A版高中数学必修第一册第4章4-5-3函数模型的应用课件
2．据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约1 000只， 并以平均每年8%的速度增加． (2)写出y(珍稀鸟类的个数)关于x(经过的年数)的函数关系式； [解] 由题意可知珍稀鸟类的现有个数约1 000只，并以平均每年8% 的速度增加，则所求的函数关系式为y＝1 000×1.08x，x∈N．
兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的 环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量呈对 数增长．
知识点 常见函数模型
一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型
对数函数模型
幂函数模型
y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且 a≠1) y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
反思领悟 自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么， 限制什么”． 求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务． 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因 素为自变量． 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、 不等式等． 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要 使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．
3.5
3.8
4
4.16
4.3
4.5
根据表格中的数据画出散点图如下：
(2)利用(4，4)和(8，4.5)这两组数据求出你选择的函数模型的解析式， 并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5百 万个．
发现规律 函数拟合与预测的一般步骤 (1)根据原始数据、表格，绘出散__点__图__． (2)通过观察散点图，画出_拟__合__直__线__或__拟__合__曲__线_． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函__数__关__系__式__． (4)利用_函__数__关__系__式_，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策 和管理提供依据．
高中数学新教材必须第一册第四章《指数函数的图象和性质》教学设计
4.2.2 指数函数的图像和性质一、教材学情分析：本节内容是高中数学新教材人教A版普通必修第一册第四章第4.2.2节《指数函数的图像和性质》。
由于学生已经学习了正反比例函数、一次函数、二次函数，以及函数性质，所以学习这部分内容与先前的函数学习类似。
先画函数图像，然后借助函数图像讨论函数的性质，最后应用的指数函数图象和性质解决问题，体现了研究函数的一般方法，让学生掌握由特殊到一般的思想方法。
培养学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理及数学建模的核心素养。
二、教学目标：1、能画出具体指数函数的图象；2、通过类比，利用具体指数函数图像，归纳出指数函数的一般性质，3、能利用指数函数的图象和性质解决一些简单的应用问题；三、核心素养：1. 运用描点法画指数函数的图象，用图象来研究指数函数的性质，培养学生直观想象和数学抽象的核心素养；2. 从一般到特殊研究问题的方法，培养学生逻辑推理的核心素养；3. 运用指数函数性质解决问题，培养学生数学运算和数学建模核心素养。
四、教学重难点教学重点：指数函数的图象和性质。
教学难点：指数函数的性质的归纳及其应用。
五、教学准备：多媒体课件六、教学过程：（一）创设问题情境你能说说研究函数的一般步骤和方法吗？设计意图：通过回顾研究函数的一般方法，提提供研究思路，进入学习和研究，培养学生的逻辑推理和数学建模的核心素养。
（二）、探索新知1.用描点法作函数y=2x、y=3x、1y()2x=和1y()3x=的图象（如图所示）2.观察这四个图像有何特点？并思考一下几个问题 问题1：图象分别在哪几个象限？问题2：图象的上升、下降与底数a 有联系吗？ 问题3：图象有哪些特殊的点？ 问题4：图象定义域和值域范围？设计意图：通过对特殊的指数函数图像观察，归纳出指数函数的性质；发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养； 3.指数函数的图像与性质图象1a >01a <<定义域 R 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数例1.说出下列各题中两个值的大小：(1)1.72.5__ 1.73；(2)0.8—1__0.8—2；(3)1.70.5__ 0.82.5解：① ∵函数y=1.7x在R 上是增函数，x a y =xy(0,1)O1y =xa y =xy(0,1)O 1y =又∵ 2.5 < 3 ，∴1.72.5 < 1.73② ∵函数y=0.8x在R 上是减函数，又∵ -1 > -2 ，∴ 0.8—1< 0.8— 2③ ∵ 1.7 0.5> 1.70= 1= 0.80>0.8 2.5， ∴1.70.5> 0.82.5[规律方法] 比较幂的大小的方法1.同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较2.指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x 取相同幂指数时可观察出函数值的大小3.底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较4.当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论设计意图：通过典例问题的分析，让学生运用指数函数的性质解决问题。
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：4.5.3 函数模型的应用
函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数型模型
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
跟踪训练2 “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝ －144 lg1－9N0 中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟 打出的字数.则当N＝40时，t＝__3_6_._7_2__.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)
解析 当 N＝40 时，t＝－144lg1－4900＝－144lg59 ＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72.
反思
感悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可 以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数， p为增长率，x为时间)的形式.
跟踪训练1 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减. (已知：lg 0.5≈0.301 0，lg 0.9≈0.045 8) (1)求t年后，这种射放性元素的质量ω的表达式；
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解 将耗氧量 O＝80 代入题中公式，得 v＝5log28100＝5log28＝15(m/s).
反思
感悟 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况 求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关 系式求值，然后根据值回答其实际意义.
人教A版高中数学必修第一册数学建模 建立函数模型解决实际问题【课件】
上述过程可以概括为:
3.数学建模活动的要求
(1)组建合作团队:数学建模活动需要团队协作.首先在班级中
组成3~5人的研究小组,每位同学参加其中一个小组.在小组
内,要确定一个课题负责人,使每位成员都有明确的分工;然后
拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手
册,最后在班里进行一次开题报告.
算得y≈63.98,因为78÷63.98≈1.22>1.2,所以这个男性体型偏胖.
【典例2】 个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐
月投资与所获纯利润列成下表:
投资 A 种商品金额/万元
获纯利润/万元
投资 B 种商品金额/万元
获纯利润/万元
1
0.65
1
0.25
2
1.39
2
0.49
3
1.85
3
(2)开展研究活动:根据开题报告所规划的研究步骤,通过背景
分析、收集数据、数据分析、数学建模、获得结论等过程,
完成课题研究.在研究过程中,可以借助信息技术解决问题.
(3)撰写研究报告:以小组为单位,撰写一份研究报告.
(4)交流展示:①对同一个课题,先由3~4个小组进行小组交流,
每个小组都展示自己的研究成果,相互借鉴、取长补短.在小
们选择函数模型.
以身高x为横坐标,体重y为纵坐标,
画出用y=a·bx作为刻画这个地
区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
建立模型 设函数的解析式为 y=a·bx(a>0,b>0,b≠1).
不妨取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25)代入 y=a·bx,
气最少,最少是多少?
分析数据 烧开一壶水所需的燃气量与燃气灶旋钮角度有关,
人教A版必修 第一册3 4.5.3 函数模型的应用 课件
第四章 指数函数与对数函数
(1)写出图①中表示的市场售价与上市时间的函数关系式 P＝ f(t)，写出图②中表示的种植成本与上市时间的函数关系式 Q＝ g(t)； (2)若市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市该药材的纯 收益最大？ 解：(1)由题图①可得市场售价与上市时间的函数关系式为 P＝ f(t)＝320t－0－30t，0，0≤200t≤<t2≤003，00. 由题图②可得种植成本与上市时间的函数关系式为 Q＝g(t)＝
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第四章 指数函数与对数函数
(3)设从今年开始，最多还能砍伐
n
年，则
n
年后剩余面积为
2 2 a(1
－x)n.
令 22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥ 42，则121n0≥1223，则1n0≤32，解得 n≤15.
故今后最多还能砍伐 15 年．
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第四章 指数函数与对数函数
指数函数模型问题的求解策略 (1)对于增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型 y＝N(1 ＋p)x(其中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型 y＝ a(1＋x)n(其中 a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时， 往往用到对数运算，要注意与已知条件中给定的值对应求解． (2)函数 y＝c·akx(a，c，k 为常数)是一个应用广泛的函数模型，它在 电学、生物学、人口学、气象学等方面都有广泛的应用，解决这类 给出指数函数模型的应用题的基本方法是待定系数法，即根据题意 确定相关的系数．
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第四章 指数函数与对数函数
几类常见的函数模型
名称
解析式
一次函 数模型
y＝kx＋b
反比例函 数模型
数学人教A版(2019)必修第一册4.5.3函数模型的应用(共48张ppt)
分段函数
y＝ff12（（xx）），，xx∈∈DD12，
幂函数
y＝xα(α为常数)
指数型函数
y＝__k_·__a_x_＋__b_(_k_≠__0_，__a_>_0_，__a_≠__1_)
对数型函数
y＝klogax＋b(k≠0，a>0，a≠1)
解决函数实际应用问题的一般步骤是：设变量，建立函数模型，求解函数模 型，解决实际问题.
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？ 解 (2)设经过 m 年森林面积为 22a， 则 a(1－p%)m＝ 22a，得121m0＝1212，
解得m＝5.
故到今年为止，已砍伐了5年.
(3)设从今年开始，n 年后森林面积为 22a·(1－p%)n， 令 22a(1－p%)n≥41a，即(1－p%)n≥ 42， 121n0≥1232，得1n0≤23，解得 n≤15， 故今后最多还能砍伐15年.
义了.×( )
4.做一做 (1)若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x
年后剩留量为y，则y与x的函数关系是( A )
x A.y＝0.957 6100
B.y＝0.957 6100x
C.y＝0.190507
6x
x
D.y＝1－0.042 4100
x
x
解析 由题意知 y＝(95.76%)100＝0.9576100.
索引
互动合作研析题型 关键能力提升
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
题型一 指数型函数模型的应用
例 1 衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，设刚放进去的新丸的体积为 a，经过 t 天后其体积 V 与天数 t 的函数关系式为 V＝a·e－kt.已知新丸经过 50 天 后其体积变为49a.若要使一个新丸的体积变为287a，求其经过的天数. 解 由已知，得49a＝a·e－50k， ∴e－k＝49510. 设经过 t1 天后，一个新丸的体积变为287a，
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数学建模建立函数模型解决实际问题
一、数学建模活动选题
1．应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？
2．根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重．
3．用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法．
4．估计阅读一本书所需要的时间．
5．估计一个人的血液总量．
6．决定十字路口黄灯亮的时间长度．
选题的一般步骤是先发现和提出问题，再查找资料，分析问题，最后结合实际，确定研究课题．
选题原则通常要满足科学性、价值性、创造性、需要性、可行性、效益性等原则．
选题宜小不宜大，选题应结合实际，有新意，要考虑自身的优势，与自身的能力相适应．
二、数学建模活动开题
以“用电磁炉烧水如何设置功率最省电”为例做开题报告，如下表：
数学建模活动需要团队协作．首先，在班级中组成3～5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组．在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工．拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告．
三、数学建模活动做题
做题就是研究小组建立数学模型、用数学知识解决实际问题的实践活动，在实践活动中应当按照数学建模的实施步骤进行．
根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究．在研究过程中，可以借助信息技术解决问题．
四、数学建模活动结题
数学建模活动结束后，以小组为单位，撰写一份研究报告．以“用电磁炉烧水如何设置功率最省电”为例做结题报告，如下表：。