04183 概率论与数理统计(经管类)讲义 (5)
04183 概率论与数理统计(经管类)讲义
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例6. 习题1.2 13 设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝ ，P（AB）＝P（BC）＝ ，P（AC）＝0。求： （1）A，B，C中至少有一个发生的概率； 【答疑编号：12010305】 （2）A，B，C全不发生的概率。 【答疑编号：12010306】 解： （1）“A，B，C至少有一个发生”表示为A∪B∪C，则所求概率为 P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）－P（AC）－P（BC）+P（ABC）
④A与B相互对立 A与B互不相容. 小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立； 运算：和，积，差，对立. （7）事件的运算性质
①（和、积）交换律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；
②（和、积）结合律 （A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；
③（和、积）分配律 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）
mk:@MSITStore:C:\Users\lenovo\AppData\Local\Temp\RarSFX4\gll01... 2011/1/12
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2.全概率公式与贝叶斯公式
（1）划分：设事件 ① ， ，…， ② 当 ， ，…，
， ，…， 满足如下两个条件：
互不相容，且
，i＝1，2，…，n；
设a表示第一次取球取到白球b表示第二次取球取到白球则例10p16例125在某工厂中有甲乙丙三台机器生产同一型号的产品它们的产量各占303535并且在各自的产品中废品率分别为543求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率
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第一章 随机事件与概率
《概率论与数理统计》第5讲
P{{ X ≤ ln 6} ∩ {ln 2 < X < ln 8}} = P{ln 2 < X < ln 8} ln 6 1 e − x dx P{ln 2 < X < ln 6} ∫ln 2 2 8 = = ln 8 = 1 −x P{ln 2 < X < ln 8} 9 e dx ∫ln 2 2
I
第2章 随机变量及其分布
第 6页
(4) 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的 连续型随机变量取 连续型随机变量 概率等于零.即 概率等于零 即 P { X = a } = 0. 证明
P { X = a } = lim ∫
a + ∆x
由此可得
∆x → 0 a
f ( x ) d x = 0.
f ( x)
概率密度 函数图形
•
a
o
•
b
x
第2章 随机变量及其分布
第17页 17页
均匀分布的意义
求P{c≤X<d }=
∫
d
c
f ( t )dt
X ∼ U (a , b )
设a≤c≤d≤b
f ( x)
=∫
d
c
1 dt b−a
d −c = b−a
l p= b−a
•
l l
X ∼ U (a , b )
a
o
+∞ −∞
证明
1 = F (∞ ) = ∫
f ( x )d x.
满足(1) (2)的函数 满足(1) < X ≤ x } = F ( x ) − F ( x ) = x2 f 轴所围 ; 的函数都 (3) P{ x1 (2)的函数都可以看成某个连续 ( x ) d x 与 2 2 1 f(x)与 x轴所围 ∫面积等于 。 x1 面积等于1。 随机变量的概率密度函数. 随机变量的概率密度函数. 证明
04183概率论与数理统计(经管类)基础知识
D(aX b) a2 D( X )
,
D(Y ) [ x j E(Y )]2 p j
j
D( X ) [ x E( X )]2 f X ( x)dx
协方差与 相关系数
3、二维随机变量关系特征 协方差 cov(x,y) 相关系数 cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)
p j , i 1,2,
，
5、分布函数 F(x,y)的基本性质： ⑴ 0 F ( x, y) 1; 其中 x=h(y)为 y=g(x)的反函数 ⑵F(x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即当 x2>x1，F（x2,y）≥F(x1,y);当 y2>y1，有 F(x,y2) ≥F(x,y1); ⑶F(x,y)分别对 x 和 y 右连续，即 F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0); ⑷ F (,) F (, y) F ( x,) 0, F (,) 1. ⑸当 x
i 1 i i
k
n
f ( x) 0 ；
②
f ( x)dx 1。
xk x
③ P(a ；
X b) F (b) F (a) =
F ( x)
Pn(k ) Cn p k q nk
二、随机变量及其分布
④对于离散型随机变量，
F ( x)
p
⑤对于连续型随机变量，
2 2 N (, 2 ) ，则①aX+b～N(aµ+b,a σ ), ②(X-µ)/σ～N(0,1)
X X
b(n, p) P( )
自考04183《概率论数理统计(经管类)》考前密训复习资料
考前复习资料代码：04183科目：概率论数理统计(经管类)目录1、随机事件的关系与计算 (1)2、利用概率的性质计算概率 (1)3、条件概率的定义和公式 (1)4、事件的独立性（概念与性质） (1)5、n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 (1)6、利用分布函数计算概率的公式 (1)7、连续型随机变量及其概率密度 (1)8、正态分布和一般正态分布的标准化 (2)9、维离散型随机变量联合分布律和边缘分布律 (2)10、二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度 (2)11、二维随机变量的独立性 (2)12、二维均匀分布、二维正态分布 (3)13、两个随机变量函数的分布 (3)14、随机变量的方差的概念、性质及计算 (3)15、协方差和相关系数 (3)16、独立同分布序列的中心极限定理 (4)17、样本均值、样本方差 (4)18、三大抽样分布 (5)19、参数的矩法估计 (5)20、大似然估计的方法与步骤 (5)21、估计量的无偏性 (5)22、估计量的有效性和相合性 (5)23、假设检验的两类错误 (6)24、用最小二乘法估计回归模型中的未知参数 (6)25、随机事件及其概率 (7)26、概率的定义及其计算 (7)27、分部函数性质 (8)28、离散型随机变量 (8)29、连续型随机变量 (8)30、离散型二维散随机变量边缘分布 (8)31、离散型二维随机变量条件分布 (9)32、连续性二维随机变量的联合分布函数 (9)33、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密函数 (9)39、二维随机变量的条件分布 (9)40、数学期望 (9)41、数学期望的性质 (9)42、方差 (10)43、方差的性质 (10)44、协方差 (10)45、相关系数 (10)46、协方差和相关系数的性质 (10)47、常见数字分布的期望和方差 (10)48、切比雪夫不等式 (11)49、大数定律 (11)50、中心极限定理 (12)51、总体和样本 (12)52、统计量 (12)53、三大抽样分布 (12)54、参数估计 (13)55、点估计中的矩估计法（总体矩=样本矩） (13)56、点估计中的最大似然估计 (14)1、随机事件的关系与计算事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念2、利用概率的性质计算概率)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃，)()()(AB P B P A B P -=-3、条件概率的定义和公式)(B A P )()(B P AB P =4、事件的独立性（概念与性质）定义：若)()()(B P A P AB P =，则称A 与B 相互独立。
概率论与数理统计复习资料
自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。
性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。
注：与集合包含的区别。
相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。
（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。
2022年自考04183概率论与数理统计(经管类)核心考点资料
（2） =φ，φ=Ω.
（3）A-B=
=A-AB.
在进行事件运算时，经常要用到下述运算律，设 A，B，C 为事件，则有： 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C，
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C). 对偶律：
， 其中 0＜p＜1，p+q=1，则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，简记为 X~B(n，p). 泊松分布： 设随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，…，n，…，而 X 的分布律为
其中λ＞0，则称 X 服从参数为λ的泊松分布，简记为 X~P(λ). 泊松( Poisson)定理设λ＞0 是常数，n 是任意正整数，且 npn=λ，则对于任意取定的非负整 数 k，有
当 g(x1)，g(x2)，…，g(xk)，…有相等的情况时，应把使 g(xk)相等的那些 xi 所对应的概率相 加，作为 Y 取 g(xk)时的概率，这样才能得到 Y 的分布律. 设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 fx(x).设 g(x)是一严格单调的可导函数，其值域为[α， β]且 g’(x)≠0.记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数，则 Y=g(X)的概率密度
.
即当 n 很大很小时，有近似公式
，其中λ=np.
二、随机变量的分布函数 设 X 为随机变量，称函数
F(x)=P{X≤x}，x∈(-∞，+∞) 为 X 的分布函数. 当 X 为离散型随机变量时，设 X 的分布律为
pk=P{X=k}，k=0，1，2，…
由于
，由概率性质知，
，
即
，
其中求和是对所有满足 xk≤x 时，xk 相应的概率 pk 求和. 分布函数有以下基本性质：
《概率论与数理统计》课件 概率学与数理统计 第五章
时，
n
n
X k =BnZn + k
k 1
k 1
n
近似地服从正态分布 N( k，Bn2) 。这说明无论随机变量 Xk (k
i 1
n
=1, 2,…)具有怎样的分布，只要满足定理条件，那么它们的和Xk
k 1
当n很大时就近似地服从正态分布。而在许多实际问题中，所
考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因
实测值的算术平均值
时,取
作为 a 1 n
n i1 X i
1 n
n i 1
Xi
，根据此定理，当
n
足够大
的近似值，可以认为所发生的误差是
很小的，所以实用上往往用某物体的某一指标值的一系列
实测值的算术平均值来作为该指标值的近似值。
第二节 中心极限定理
在第二章，我们说只要某个随机变量受到许多相互独立 的随机因素的影响，而每个个别因素的影响都不能起决定性 的作用，那么就可以断定这个随机变量服从或近似服从正态 分布。这个结论的理论依据就是所谓的中心极限定理。概率 论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一 系列定理称为中心极限定理( Central limit theorem) 。下面介 绍几个常用的中心极限定理.
P{X 102} P{ X 100 102 100} 1 P{X 100 2}
1
1
1 (2) 1 0.977250 0.022750.
例
对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是 一个随机变量,其期望值是2，方差是。求在100次轰炸中有180颗到 220颗炸弹命中目标的概率。 解 令第 i 次轰炸命中目标的炸弹数为 Xi ，100次轰炸中命中目
自考-概率论与数理统计课件(经管类)04183
第七章 参数估计(重点)
第八章 假设检验(重点) 第九章 回归分析
第一章 随机事件与概率
• §1.1 • §1.2 • §1.3 随机事件 概率 条件概率
• §1.4
事件的独立性
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
现象按照必然性分为两类： 一类是确定性现象； 一类是随机现象。 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那 样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。
r 3 1 P(A)= n 6 2
例1-8 抛一枚均匀硬币3次,设事件A为“恰有1次出现
面”, B为“恰有2次出现正面”,C为“至少一次出现正面”,试 求 解1:试出现正面用H表示,出现反面用T表示,则样本空间 P(A),P(B),P(C).
={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT},
r A中样本点数 P ( A) n 中样本点总数 也即 r A所包含的基本事件数 P ( A) . n 基本事件总数
例1-7 掷一枚质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。
解： 显然样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}, 样本点总数n=6, 事件“出现奇数点”用A表示,则A={1,3,5},所含样 本 点数r=3,从而
——
(2)ABC
(3)ABC
(4) ABC
(5)ABC ABC ABC
例1-5 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”,
用 i=1,2,3.Bj表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.
解
B0 A1 A2 A3；
故
P(A)=r∕n= 9*8∕92=8∕9
自考04183概率论与数理统计(经管类)总结2-数理统计部分
高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》第二部分数理统计部分专题一统计量及抽样的分布I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布II.内容总结一、总体与样本1.总体：所考察对象的全体称为总体；组成总体的每个基本元素称为个体。
2.样本：从总体中随机抽取n个个体x1,x2…,x n称为总体的一个样本，个数n称为样本容量。
3.简单随机样本如果总体X的样本x1,x2…,x n满足：（1）x1与X有相同分布，i＝1，2，…，n；（2）x1,x2…,x n相互独立，则称该样本为简单随机样本，简称样本。
得到简单随机样本的方法称为简单随机抽样方法。
4.样本的分布（1）联合分布函数：设总体X的分布函数为F（x），x1,x2…,x n为该总体的一个样本，则联合分布函数为二、统计量及其分布1.统计量、抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2…,x n）不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布。
2.样本的数字特征及其抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体X的样本，（2）样本均值的性质：①若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即②偏差平方和最小，即对任意常数C，函数时取得最小值. （5）样本矩（7）正态分布的抽样分布A.应用于小样本的三种统计量的分布的为自由度为n的X2分布的α分位点.求法：反查X 2分布表.III.典型例题[答疑编号918020101]答案：D[答疑编号918020102]答案：[答疑编号918020103]答案：B[答疑编号918020104]答案：1[答疑编号918020105]答案：B[答疑编号918020106]故填20.[答疑编号918020107]解析：[答疑编号918020108]答案：解析：本题考核正态分布的叠加原理和x2－分布的概念。
根据课本P82，例题3－28的结果，若X～N（0，1），Y～N（0,1）,且X与Y相互独立，则X＋Y～N（0＋0，1＋1）＝N（0，2）。
《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复习提纲-附件1
《概率论与数理统计（经管类）》（4183）自学考试复习提纲第一章 随机事件与概率1、排列组合公式：排列数)!(!n m m P n m-= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
组合数)!(!!n m n m C n m-= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例如：袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数388*7*6561*2*3C ==注：排列数经常用组合数及乘法原理得到，并不直接写出。
2、加法和乘法原理：加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1、从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。
问北京到上海的交通方法共有多少种。
解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。
它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。
例2、从北京经天津到上海，需分两步到达。
第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3 第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2 问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？ 解：从北京经天津到上海的交通方法共有：①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。
共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。
3、基本事件、样本空间和事件：如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
概率论与数理统计第五讲共28页文档
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
1、不要是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
概率论与数理统计第五讲 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
自考4183概率论与数理统计(经管系)大纲
概率论与数理统计（经管系）自考大纲代码4183第一章随机事件与概率(一）考核的知识点1．随机事件的关系及其运算2．概率的定义与性质3．古典概型4．条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式5．事件的独立性、贝努利概型(二)自学要求本章总的要求是：掌握随机事件之间的关系及其运算；理解概率的定义，掌握概率的基本性质，会用这些性质进行概率的基本计算；理解古典概型的定义，会计算简单的古典概型问题；理解条件概率的概念，会用乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式进行概率计算；理解事件独立性的概念，会用事件独立性进行概率计算．重点：随机事件的关系与运算，概率的概念、性质；条件概率，事件独立性的概念，乘法公式、全概率公式，贝叶斯公式。
难点：古典概型的概率计算，全概率公式，贝叶斯公式，事件独立性的概念．（三）考核要求1随机事件的关系与运算1.1随机事件的概念及表示，要求达到“识记”层次1.2事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念1.3和事件、积事件、对立事件的基本运算规律，要求达到简单应用层次2率的定义与性质2.1频率的定义，要求达到“领会”层次2.2概率的定义，要求要求达到“领会”层次2.3概率的性质，要求达到“简单应用”层次3古典概型3.1古典概型的定义，要求达到“领会”层次3.2简单古典概型的概率运算，要求达到“简单应用”层次4条件概率4．1条件概率的概念，要求达到“领会”层次4．2乘法公式．会用乘法公式进行有关概率的计算，要求达到“简单应用’’层次4.3 全概率公式与贝叶斯公式，会用这两个公式进行计算，要求达到“综合应用’’层次5事件的独立性5.1 事件独立性的概念，要求达到“领会”层次5.2用事件的独立性计算概率，要求达到“简单应用”层次5.3 贝努利概型，要求达到“简单应用”层次第二章随机变量及其概率分布（一）考核的知识点1.随机变量的概念2.分布函数的概念和性质3.离散型随机变量及其分布律4.连续型随机变量概率密度函数5．随机变量函数的分布（二）自学要求本章总的要求是：理解随机变量及其分布函数的概念；理解离散型随机变量及其分布律的概念；掌握较简单的离散型随机变量的分布律的计算；掌握两点分布、二项分布与泊松分布；掌握连续型随机变量及其概率密度函数的概念、性质及有关计算；掌握均匀分布、指数分布及计算；熟练掌握正态分布及其计算；了解随机变量函数的概念，会求简单随机变量函数的概率分布．重点：随机变量的分布律与概率密度函数的概念、性质和计算，随机变量函数的分布，几种常用分布．难点：随机变量的分布律、概率密度函数，随机变量的函数的分布律、分布函数、概率密度函数．（三）考核要求1．随机变量的概念随机变量的概念及其分类，要求达到“识记”层次2．离散型随机变量的分布律2.1 离散型随机变量的概念，要求达到“识记’’层次2.2求较简单的离散型随机变量的概率分布律，要求达到“简单应用’’层次2.3两点分布，二项分布、泊松分布、要求达到“简单应用’’层次3.随机变量的分布函数3.1随机变量分布函数的定义、性质，要求达到“领会”层次3.2求简单离散型随机变量的分布函数，要求达到。
04183-概率论与数理统计(经管类)
04183概率论与数理统计（经管类） 1．若E （XY)=E （X))(Y E ⋅,则必：D(X+Y ）=D(X ）+D(Y)2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 0。
1 。
3．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是:)(x F 连续4．当X 服从参数为n,p 的二项分布时，P （X=k ）=k n k k n qp C -5．设X 服从正态分布)4,2(N ,Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立,则(23)D X Y ++= 20 6．设nX X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DXσ=都存在,则当n 充分大时,用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为1-Φ7．设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为则(0,1)F = 0.6 .8．设kX X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从(2χ分布 ）分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则：21)1(=≤+Y X P10．设总体X~N （2,σμ），2σ为未知，通过样本n x x x 21,检验00:μμ=H 时，需要用统计量：ns x t /0μ-=12．设A 、B 表示三个事件,则AB 表示 ：A 、B 都不发生；13．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-,0,0;0,e )(5x x c x f x则常数c 等于( 0.2 )14。
设随机变量X 的概率密度为其他10,,0)(3≤≤⎩⎨⎧=x ax x f ，则常数a= （ 4 ）.15.设21)(=A P ，31)(=B P ，61)(=A B P ，则=)(AB P 11216. 随机变量F~F （n1 ，n2),则F1~ ( F(n2，n1） )18．设()~0,2X N ，()~0,1Y N ，且X 与Y 相互独立，则随机变量~Z X Y =- (0,3)N19．抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为32，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是：81820、设C B A ,,为三事件，则=⋃B C A )(B C A ⋃)(21．已知)(A P =0.7，)(B P =0.6，3.0)(=-B A P ,则=)(B A P 0.1 。
【尚德教材】概率论与数理统计(经管类)(全国)
第七章 参数估计 ......................................................................................................................................................51 第一节 点估计的几种方法 .............................................................. 52 第二节 点估计的评价标准 .............................................................. 53 第三节 参数的区间估计 ................................................................ 54
第四章 随机变量的数字特征 ..................................................................................................................................32 第一节 随机变量的期望 ................................................................ 33 第二节 方差 .......................................................................... 35 第三节 协方差与相关系数 .............................................................. 37
04183概率论与数理统计(经管类)(有答案)
04183概率论与数理统计（经管类）一、单项选择题1．若E(XY)=E(X))(Y E ⋅,则必有( B )。
A ．X 与Y 不相互独立B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y)C ．X 与Y 相互独立D ．D(XY)=D(X)D(Y2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 A 。
A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。
A ．1)(=+∞FB ．0)(=-∞FC ．1)(0≤≤x FD ．)(x F 连续4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= ( B )。
A ．nk k m q p CB ．kn k k n q p C -C ．kn pq-D ．kn k qp -5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则(23)D X Y ++= CA ．8B ．16C ．20D ．246．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为 B 。
A ．1a n n μσ-⎛⎫-Φ⎪⎝⎭ B．1-Φ C ．a n n μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭ D．Φ7．设二维随机变量的联合分布函数为，其联合分布律为则(0,1)F = C 。
A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.88．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（ D ）分布A ．正态分布B ．t 分布C ．F 分布D ．2χ分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。
A ．21)0(=≤+Y X P B ．21)1(=≤+Y X PC ．21)0(=≤-Y X PD ．21)1(=≤-Y X P10．设总体X~N (2,σμ)，2σ为未知，通过样本n x x x 21,检验00:μμ=H 时，需要用统计量（ C ）。
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将这20个数据分组可得到如下频数频率分布，见表6－3。
表6－3 例6－10的频数频率分布表
组序
分组区间
组中值 频数
频率/%
1
（77，87]
82
3
15
2
（87，97]
92
5
25
3
（97，107]
102
7
35
4
（107，117] 112
3
15
5
（117，127] 122
2
10
合计
20
100
对表6－3的分组样本，
设总体X的分布函数为F（x），样本x1, x2，…，xn的观察值为x1, x2，…，xn，则样本的联合分布函数为
F（x1, x2，…，xn）＝
.
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② 偏差平方和最小，即对任意常数c，函数 证明：
，当 时取得最小值.
（3）样本均值的抽样分布 定理：设x1, x2，…，xn为总体X的样本， 为样本均值，
（1）若X～N（μ，σ2），则 的精确分布为
；
证明：
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我们看到两种计算结果不同，事实上，由于第二种计算未用到真实的样本观测数据，因而给出的是近似结果。 【答疑编号：12060202】 （2）样本均值的性质 ① 若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即
.
证明：
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6.顺序统计量
定义：设总体X的分布函数为F（x），分布密度为f（x），样本为x1, x2，…，xn，则称 x（1）=min{x1, x2，…，xn}和x（n）=max{x1, x2，…，xn} 为此样本的极小顺序统计量和极大顺序统计量.
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（2）若总体X的分布未知或不是正态分布，且E（X）= μ，D（X）= σ2，则当样本容量n较大时， 的近似分布为
.
4.样本方差与样本标准差 （1）定义：设x1, x2，…，xn为总体X的样本，则它关于 的平均偏差平方和
称为样本方差；其算术根
称为样本标准差.
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3.样本均值及其抽样分布 （1）样本均值的定义：设x1, x2，…，xn为总体X的样本，其算术平均值称为样本均值，一般记为 ，即
.
在将样本分为k组的情况下，样本均值的计算公式为
，
其中，k为组数，xi为第i组的组中值，fi为第i组的频数. 【答疑编号：12060201】 例10.P133 【例6－10】某单位收集到20名青年人某月的娱乐支出费用数据： 79 84 84 88 92 93 94 97 98 99 100 101 101 102 102 10 110 113 118 125 则该月这20名青年的平均娱乐支出为
§6.2 总体与样本
1.总体和个体 （1）定义：研究对象的全体称为总体，构成总体的每个成员称为个体. （2）解释：① 一般地，总体是研究对象的某个数量指标或可以数量化的指标；
② 总体的某个数量指标X的取值在客观上与一定的概率相联系，即服从一定的分布，所以X是一个随机变量； ③ 总体的指标选择应该是清楚的. 例题3. P126 【例6－3】 考察某厂的产品质量，将其产品只分为合格品与不合格品，并以0记合格品，以1记不合格品，则 总体＝{该厂生产的全部合格品与不合格品}＝{由0或1组成的一堆数}。若以p表示这堆数中1的比例（不合格率），则总体可
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由一个二点分布表示：
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不同的p反映了总体间的差异。 【答疑编号：12060103】 例如，两个生产同类产品的工厂的产品总体分布为：
例题7. P129 【例6－7】考虑电话交换台一小时内的呼唤次数X。求来自这一总体的简单随机样本x1, x2，…，xn的样本分布。 【答疑编号：12060107】
3.样本数据的整理与显示 【例6－8】为研究某厂工人生产某种产品的能力，随机调查了20位工人某天生产该种产品的数量，数据如下： 160 196 164 148 170 175 178 166 181 162 161 168 166 162 172
，k＝1，2，…，n-1，
则称Fn（x）为经验分布函数. 显然，Fn（x）是一个非减右连续函数，且满足Fn（-∞）=0，Fn（+∞）=1. 例9.P132 【例6－9】某食品厂生产听装饮料。现从生产线上随机抽取5听饮料，称得其净重为（单元：g） 351 347 355 344 351 这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本： x（1）＝344，x（2）＝347，x（3）＝351，x（4）＝351，x（,5）＝355， 其经验分布函数为
若总体X为连续型随机变量，概率密度为f（x），则样本的联合密度函数为
f（x1, x2，…，xn）＝
.
若总体X为离散型随机变量，则样本的（联合）概率函数为
p（x1, x2，…，xn）＝
.
例题5. P129
【例6－5】为估计一物件的重量μ，用一架天平重复测量n次，得样本x1, x2，…，xn。由于是独立重复测量，x1, x2，…， xn是简单随机样本。总体的分布即X1的分布（x1, x2，…，xn分布相同）。由于称量误差是均值（期望）为零的正态变量，所以 X1可认为服从正态分布N（μ，σ2）（X1等于物件重量μ加上称量误差）。
【答疑编号：12060105】
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例题6. P129 【例6－6】设某种电灯泡的寿命X服从指数分布E（λ），其概率密度为： 【答疑编号：12060106】
我们可以看到，第一个工厂的产品质量优于第二个工厂。 2.样本 （1）定义：从总体中随机抽取n个个体，其指标值为x1, x2，…，xn，则称x1, x2，…，xn为总体的一个样本，n称为样本容 量，样本中的个体称为样品. （2）解释：① 样本是随机变量. 样本是在总体中随机抽取的，事先并不知道哪个个体可能被抽中，无法预知它们的数值， 所以，样本是随机变量，用大写字母X，Y，Z等表示；
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（2）计算公式 在上面的定义中，
＝
称为样本偏差平方和，它有3个不同的表达式： .
例11.P135 【例6－11】在例6－10中，我们已经算得
，其样本方差与样本标准差为
【答疑编号：12060203】
（3）样本均值的数学期望和方差, 以及样本方差的期望 定理：设x1, x2，…，xn为总体X的样本，具有二阶矩，即E（X）= μ，D（X）= σ2， 和s2分别为样本的均值和方差，则
，
，E（s2）=σ2.
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5.样本矩及其函数 样本均值和样本方差的一般化为样本矩，这是一类常见的统计量. 定义：设x1, x2，…，xn为总体X的样本，则称统计量 为样本k阶原点矩；称统计量 为样本k阶中心矩. 样本均值是样本一阶原点矩，但本书中样本方差s2不是样本k阶中心矩，而用 表示，以示区别.
172
4
（177，187]
182
5
（187，197]
192
合计
频数 4 8 5 2 1
20
频率 0.20 0.40 0.25 0.10 0.05 1
累计频率/% 20 60 85 95 100
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【答疑编号：12060108】
§6.3 统计量及其分布
1.统计量与抽样分布 定义：设x1, x2，…，xn为总体X的样本，若样本函数T=T（x1, x2，…，xn）中不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量 的分布称为抽样分布. 2.经验分布函数 （1）定义：设x1, x2，…，xn为总体X的样本，总体X的分布函数为F（x），若将样本观察值x1, x2，…，xn按由小到大排列 为x（1），x（2），…，x（n），则称之为有序样本；用有序样本定义函数
内容讲解
§6.1 引 言
随机变量是通过概率分布来描述随机现象的，但是，概率分布往往是未知的，因此，必须寻求其他的方法来弥补随机变量的 不足，这就产生了数理统计的理论和方法。这是本课程的如下的内容。先看如下两个例题。
例题1. P126 【例6－1】某公司要采购一批产品，每件产品要么是正品，要么是次品。若设这批产品的次品率为p（一般是未知的），则 从该批产品中随机抽取一件，用X表示抽到的次品数，不难看出X服从0-1分布B（1,p）。但分布中的参数p是不知道的。显然，p 的大小决定了该批产品的质量，它直接影响采购行为的经济效益，故人们对p提出一些问题，例如： “p的大小如何？” “p大概落在什么范围内” “能否认为p满足设定要求（如p≤5%）？” 【答疑编号：12060101】 例题2. P126 【例6－2】彩电的彩色浓度是彩电质量好坏的一个重要指标。20世纪70年代在美国销售的SONY牌彩电有两个产地：美国和日 本。两地的工厂是按同一设计方案和相同的生产线生产同一型号SONY彩电，连使用说明书和检验合格的标准也是一样的。 【答疑编号：12060102】