碎纸片拼接复原
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i j
n
s.t. xij 1, i 1, 2, , n 每个顶点只有一条边出去
2013年B题:碎纸片的拼接复原
2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设 计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、 附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据 进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预， 请写出干预方式及干预的时间节点。复原结
果表达要求同上。
2013年B题:碎纸片的拼接复原
3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件， 从现实情形出发，还可能有双面打印文件的 碎纸片拼接复原问题需要解决。附件5给出的 是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数 据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型 与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原 结果，结果表达要求同上。
2013年B题:碎纸片的拼接复原
【数据文件说明】 每一附件为同一页纸的碎片数据。 附件1、附件2为纵切碎片数据，每页纸被切为
19条碎片。 附件3、附件4为纵横切碎片数据，每页纸被切
为11×19个碎片。 附件5为纵横切碎片数据，每页纸被切为
11×19个碎片，每个碎片有正反两面。该 附件中每一碎片对应两个文件，共有 2×11×19个文件，例如，第一个碎片的 两面分别对应文件000a、000b。
则（该列留白）重复该步骤直至将B中的碎片均判 断完
3. 若B中碎片的个数大于 n ，则 1, 转2；若 l
B中碎片的个数等于 n ，则找到符合条件的最左侧 l
碎片，算法终止
问题1：仅有纵切的情形
建模思想一 相邻碎片的灰度比较接近
1. 找出最左侧碎片（设编号为 k1 ）, 置 index =k1, I {1, 2, , n} \ {k1}, i 1
i j
n
s.t. xij 1, i 1, 2, , n 每个顶点只有一条边出去
j 1
n
xij 1, j 1, 2, , n 每个顶点只有一条边进去
i 1
xij 0,1, i, j 1, 2, , n, i j 取1表示路线从i到j
仅有一个回路
旅行商问题（TSP）的规划模型
min z cij xij
2013年B题:碎纸片的拼接复原
【结果表达格式说明】 复原图片放入附录中，表格表达格式如下： 附件1、附件2的结果：将碎片序号按复原后
顺序填入1×19的表格； 附件3、附件4的结果：将碎片序号按复原后
顺序填入11×19的表格； 附件5的结果：将碎片序号按复原后顺序填入
两个11×19的表格； 不能确定复原位置的碎片，可不填入上述表
问题1：仅有纵切的情形
建模思想二 转化为旅行商问题（TSP）
旅行商问题
有一个推销员，从城市 1 出发，要遍访城市 2， 3，…，n各一次，最后返 回城市 1。已知从城市
i到j的旅费为 cij ，问他应
按怎样的次序访问这些城 市，使得总旅费最少？
1
2
3
4
5
旅行商问题（TSP）的规划模型
min z cij xij
dki j
d
(
Abw ki
(:,
q
),
Abj w (:,1)).
问题1：仅有纵切的情形
最左侧碎片查找算法：
1. 初始化, 置 B={ A1bw , A2bw , , Anbw }, 1
2. 从B中依次选出需要判别的碎片 Akbw。若 Akbw 的第
列中包含0（黑像素），则将 Akbw 从B中删除，否
格，单独列表。
符号说明
Ai ：第i个碎片对应的灰度矩阵，阶数为p*q Aibw：第i个碎片对应的二值化矩阵，阶数为p*q dij ：碎片j拼接在碎片i后的匹配距离 aibw ：第i个碎片对应二值化矩阵按行求平均值后
的向量，阶数为p*1
模型假设
1.假设需要复原的碎片是来自同一张纸，且对于该张 纸具有完备性。 2.假设同一页中，文字的种类、颜色、行间距，段落 分布情况和背景颜色是相同的。
m0 ：0-0配对的个数 m1 ：1-1配对的个数
m2 ：不配对的个数
问题1：仅有纵切的情形
建模思想一 相邻碎片的灰度比较接近
假设从左往右进行拼接，最左侧碎片的序号为 k1
ki1
arg
min jIi
dki
j,
i 1, 2,
,n1
Ii {1, 2, , n} \ {k1, k2, , ki },
2. 若i=n, 则停止, 输出拼接复原图序号index; 否则 计算第j（ j I）个碎片最左侧列与第 ki 个碎片最右 侧列之间的距离，记距离最小的碎片的编号为 ki1
3. 置 index = index ki1, I I \ {ki1}, i i 1 ，转2
缺点 1.局部寻优方法，计算复杂度高；2.不易推 广到问题2和问题3中
2013年B题:碎纸片的拼接复原
1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的 碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼 接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给 出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼 接复原。如果复原过程需要人工干预，请写 出干预方式及干预的时间节点。复原结果以 图片形式及表格形式表达（见【结果表达格 式说明】）。
碎纸片拼接复原的数学方法
2013年B题:碎纸片的拼接复原
破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文 献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的 应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成， 准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量 巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随 着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的 自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论 以下问题：
3. 所有碎片尺寸大小相等，边缘轮廓为规则的矩形。 4. 假设文字从左往右、从上往下书写的。
5. 所有碎片均已摆放端正，即碎片中的文字端正。
建模准备：数据的读取与处理
A= imread (filename) 读取文件名为filename的 图像文件到矩阵A BW= im2bw (A) 读将图像A转换成二值图像BW
imshow(A) 将灰度矩阵A以图像的形式展现
imwrite(A, filename) 将数字图像A写入图像 文件filename中
Fra Baidu bibliotek
建模准备：距离的定义
若数据没有二值化
绝对值距离，Euclid距离等 若数据已经二值化
Hamming距离（绝对值距离）
Jaccard距离 d m2 m1 m2
d m2
n
s.t. xij 1, i 1, 2, , n 每个顶点只有一条边出去
2013年B题:碎纸片的拼接复原
2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设 计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、 附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据 进行拼接复原。如果复原过程需要人工干预， 请写出干预方式及干预的时间节点。复原结
果表达要求同上。
2013年B题:碎纸片的拼接复原
3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件， 从现实情形出发，还可能有双面打印文件的 碎纸片拼接复原问题需要解决。附件5给出的 是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数 据。请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型 与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原 结果，结果表达要求同上。
2013年B题:碎纸片的拼接复原
【数据文件说明】 每一附件为同一页纸的碎片数据。 附件1、附件2为纵切碎片数据，每页纸被切为
19条碎片。 附件3、附件4为纵横切碎片数据，每页纸被切
为11×19个碎片。 附件5为纵横切碎片数据，每页纸被切为
11×19个碎片，每个碎片有正反两面。该 附件中每一碎片对应两个文件，共有 2×11×19个文件，例如，第一个碎片的 两面分别对应文件000a、000b。
则（该列留白）重复该步骤直至将B中的碎片均判 断完
3. 若B中碎片的个数大于 n ，则 1, 转2；若 l
B中碎片的个数等于 n ，则找到符合条件的最左侧 l
碎片，算法终止
问题1：仅有纵切的情形
建模思想一 相邻碎片的灰度比较接近
1. 找出最左侧碎片（设编号为 k1 ）, 置 index =k1, I {1, 2, , n} \ {k1}, i 1
i j
n
s.t. xij 1, i 1, 2, , n 每个顶点只有一条边出去
j 1
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xij 1, j 1, 2, , n 每个顶点只有一条边进去
i 1
xij 0,1, i, j 1, 2, , n, i j 取1表示路线从i到j
仅有一个回路
旅行商问题（TSP）的规划模型
min z cij xij
2013年B题:碎纸片的拼接复原
【结果表达格式说明】 复原图片放入附录中，表格表达格式如下： 附件1、附件2的结果：将碎片序号按复原后
顺序填入1×19的表格； 附件3、附件4的结果：将碎片序号按复原后
顺序填入11×19的表格； 附件5的结果：将碎片序号按复原后顺序填入
两个11×19的表格； 不能确定复原位置的碎片，可不填入上述表
问题1：仅有纵切的情形
建模思想二 转化为旅行商问题（TSP）
旅行商问题
有一个推销员，从城市 1 出发，要遍访城市 2， 3，…，n各一次，最后返 回城市 1。已知从城市
i到j的旅费为 cij ，问他应
按怎样的次序访问这些城 市，使得总旅费最少？
1
2
3
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5
旅行商问题（TSP）的规划模型
min z cij xij
dki j
d
(
Abw ki
(:,
q
),
Abj w (:,1)).
问题1：仅有纵切的情形
最左侧碎片查找算法：
1. 初始化, 置 B={ A1bw , A2bw , , Anbw }, 1
2. 从B中依次选出需要判别的碎片 Akbw。若 Akbw 的第
列中包含0（黑像素），则将 Akbw 从B中删除，否
格，单独列表。
符号说明
Ai ：第i个碎片对应的灰度矩阵，阶数为p*q Aibw：第i个碎片对应的二值化矩阵，阶数为p*q dij ：碎片j拼接在碎片i后的匹配距离 aibw ：第i个碎片对应二值化矩阵按行求平均值后
的向量，阶数为p*1
模型假设
1.假设需要复原的碎片是来自同一张纸，且对于该张 纸具有完备性。 2.假设同一页中，文字的种类、颜色、行间距，段落 分布情况和背景颜色是相同的。
m0 ：0-0配对的个数 m1 ：1-1配对的个数
m2 ：不配对的个数
问题1：仅有纵切的情形
建模思想一 相邻碎片的灰度比较接近
假设从左往右进行拼接，最左侧碎片的序号为 k1
ki1
arg
min jIi
dki
j,
i 1, 2,
,n1
Ii {1, 2, , n} \ {k1, k2, , ki },
2. 若i=n, 则停止, 输出拼接复原图序号index; 否则 计算第j（ j I）个碎片最左侧列与第 ki 个碎片最右 侧列之间的距离，记距离最小的碎片的编号为 ki1
3. 置 index = index ki1, I I \ {ki1}, i i 1 ，转2
缺点 1.局部寻优方法，计算复杂度高；2.不易推 广到问题2和问题3中
2013年B题:碎纸片的拼接复原
1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的 碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼 接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给 出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼 接复原。如果复原过程需要人工干预，请写 出干预方式及干预的时间节点。复原结果以 图片形式及表格形式表达（见【结果表达格 式说明】）。
碎纸片拼接复原的数学方法
2013年B题:碎纸片的拼接复原
破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文 献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的 应用。传统上，拼接复原工作需由人工完成， 准确率较高，但效率很低。特别是当碎片数量 巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。随 着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的 自动拼接技术，以提高拼接复原效率。请讨论 以下问题：
3. 所有碎片尺寸大小相等，边缘轮廓为规则的矩形。 4. 假设文字从左往右、从上往下书写的。
5. 所有碎片均已摆放端正，即碎片中的文字端正。
建模准备：数据的读取与处理
A= imread (filename) 读取文件名为filename的 图像文件到矩阵A BW= im2bw (A) 读将图像A转换成二值图像BW
imshow(A) 将灰度矩阵A以图像的形式展现
imwrite(A, filename) 将数字图像A写入图像 文件filename中
Fra Baidu bibliotek
建模准备：距离的定义
若数据没有二值化
绝对值距离，Euclid距离等 若数据已经二值化
Hamming距离（绝对值距离）
Jaccard距离 d m2 m1 m2
d m2