谓词逻辑习题及答案

1. 将下列命题用谓词符号化。

4) 2 或 3 是质数。

5)除非李键是东北人，否则他一定怕冷。

解：
(1) 令 P( x) ：x 学过英语， Q(x) ：x 学过法语， c ：小王，命题符号化为 P(c) Q(c) (2) 令P(x,y)：x 大于 y, 命题符号化为 P(2,4) P(2,3) (3) 令 P(x)：x 是偶数，命题符号化为 P(3)
(4) 令 P(x)：x 是质数，命题符号化为 P(2) P(3)
(5) 令 P(x)：x 是北方人； Q(x)：x 怕冷； c ：李键；命题符号化为 Q(c) P(x) 2. 设个体域 D {a ，b ，c} ，消去下列各式的量词。

(1)
x y(P(x) Q(y)) (2) x y(P(x) Q(y))
(3) xP(x)
yQ(y)
(4)
x(P(x ，y) yQ(y))
解：
(1) 中 A(x) y(P(x) Q( y)) ，显然 A(x)对y 是自由的，故可使用 UE 规则，得到 A(y) y(P(y) Q(y)) ，
因此 x y(P(x) Q(y)) y(P(y) Q( y)) ，再用 ES 规则， y( P( y) Q(y)) P(z) Q(z)，z D ，所以 x y(P(x)
Q(y)) P(z) Q(z) (2)中 A(x) y(P(x) Q( y)) ，它对 y 不是自由的，故不能用 UI 规则，然而，对 A( x)中约束变元 y 改名z ，得到 z(P(x) Q( z)) ，这时用 UI 规则，可得：
x y(P(x) Q(y))
x z(P(x) Q(z)) z(P(x) Q(z))
3) 略 4) 略
3. 设谓词 P(x ，y)表示“x 等于 y ”，个体变元 x 和y 的个体域都是 D {1，2，3} 。

求下列各式
的真值。

(1) xP( x ，3) (2) yP(1，y) (3) x yP(x ，y) (4)
x yP( x ，y)
(5)
x yP(x ，y)
(6) y xP(x ，y)
解：
(2) 当 x 3时可使式子成立，所以为 Ture 。

(3) 当 y 1 时就不成立，所以为 False 。

谓词逻辑习题
1) 小王学过英语和法语。

2) 2大于3仅当 2大于 4。

3) 3 不是偶数。

(4)任意的x,y 使得x y ，显然有x y 的情况出现，所以为False 。

(4) 存在x,y 使得x y ，显然当x 1,y 1时是一种情况，所以为Ture 。

(5)
存在x，任意的y 使得x y 成立，显然不成立，所以为False 。

(6)任意的y ，存在x ，使得x y 成立，显然不成立，所以为False 。

4. 令谓词P(x)表示“ x说德语”，Q(x)表示“ x了解计算机语言C++”，个体域为杭电全体学生的集合。

用P(x) 、Q( x) 、量词和逻辑联接词符号化下列语句。

( 1)杭电有个学生既会说德语又了解C++。

( 2)杭电有个学生会说德语，但不了解C++。

( 3)杭电所有学生或会说德语，或了解C++。

( 4)杭电没有学生会说德语或了解C++。

假设个体域为全总个体域，谓词M(x)表示“ x是杭电学生” 。

用P(x)、Q(x)、M(x) 、量词和逻辑联接词再次符号化上面的 4 条语句。

解：(ⅰ)个体域为杭电全体学生的集合时：
5. 令谓词P(x，y)表示“x爱y”，其中x和y的个体域都是全世界所有人的集合。

用P(x，y)、
量词和逻辑联接词符号化下列语句。

(1)每个人都爱王平。

(3)有个
人人都爱的人。

(5)有个张键不爱的人。

(7)恰有一个人人都爱的人。

(9)每个人都爱自己。

(2)每个人都爱某个人。

(4)没有人爱所有的人。

(6)有个人人都不爱的人。

(8)成龙爱的人恰有两个。

(10)有人除自己以外谁都不爱。

x yP(x,y)
x y P(x,y)
x y P(x,y)
z x))
1)x(P(x) Q(x))
2)x(P(x) Q(x))
3)x(P(x) Q(x))
4)x (P(x) Q(x))
假设个体域为全总个体
域，
谓词
1)x(M (x) P(x) Q(x))
2)x(M (x) P(x) Q(x))
3)x(M (x) (P(x) Q( x)))
4)x(M (x) (P(x) Q(x))) M (x) 表示“ x 是杭电学生”时：
ⅱ)
解：
a ：
王平b ：张键 c ：张龙
(1) xP(x,a)(2)
(3) y xP(x,y) (4)
(5) x P(b，x) (6)
(7) x( yP(y,x) z(( P( ,z))
自由变元。

（p q ） q （ p q ） q p q q 0 是永假式，所以公式是永假式。

(8) x y(x y P(c,x) P(c)
z(P(c ，z)
(z x z (9) xP(x,x)
(10)
x y(P(x,y)
谓词公式及其解释
习题
1. 指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。

（1） x(P(x) Q( x ， y))
（2） xP(x ，y)
yQ(x ，y)
（3） x y(P(x ， y) Q(y ，z))
xR(x ，y ，z)
x 的辖域是 P
（x ）
x 是指导变元， y)))
§ x y)
Q （x,y ） ，对于 x 的辖域而言， x 是约束变元， y 是
解 ： （ 1） （2）x,y 都为指导变元， x 的辖域是 P （x ， 的辖域而言， x,y 都为约束变元，对于 y 的辖域而言， （ 3）x,y 为指导变元， x 的辖域是 y （P （x ， y)
yQ （x ，y ），
是自由变元，
y) Q(y ，z)) y 的辖域是 Q （x ，y ） ；对于 x y 是约束变元。

xR （ x ， y ， z ） ， y 的辖域是
（P （x ，y ） Q （y ，z ）） xR （ x ， y ， z ） ， x 的辖域是 R （ x ， y ， z ） ；对于 束变元， z 为自由变元，对于 y 的辖域而言， z 为自由变元， y 为约束变元， x x 的辖域而言， x,y 为约
x 即为约束变元也为自由
x,y 即为约束变元又为自
（1） x(P(x) Q(x)) ( xP(x) yQ(y)) （2
） x(P(x) Q(x)) ( xP(x) yQ(y))
（3
）
( xP(x) yQ(y)) yQ(y) （4
）
x(P(y) Q(x)) (P(y) xQ(x)) （5
）
x(P(x) Q(x)) (P(x) xQ(x))
（6
）
(P(x) ( yQ(x ，y) P(x))) （7） P(x ，y) (Q(x
， y) P(x ， y))
解：
（
1）易知公式是 （p q) (p q ）的代换实例，
而
(p q) (p q)
(p q) (p q)
(p
（p q ） （p 是永真式，所以公式是永真
式。

q)
(p q) (p q)
3）易知公式是 （p q ） q 的代换实例，而
由变元， z 为自由变元。

2. 判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。

1
是永真式，所以公式是永真式。

2）易知公式是 （p q ）
q ）的代换实例，而
（4）易知公式是 （p
q)
(p q ） 的代换实例，而 (p q) (
p
q)
(p q) (p q) 1
是永真式，所以公式是永真式。

（5）易知公式是 （p q)
(p q ） 的代换实例，而 (p q) (
p
q)
(p q) (p q) 1
是永真式，所以公式是永真式。

（6）易知公式是 （p
(q p ）） 的代换实例，而
(p (q
p))
(
p ( q p)) p q p 0
是永假式，所以公式是永假式。

（ 7）易知公式是 p q
p 的代换实例，而
pqp (
p
q) p (p q) p
是可满足式，所以公式是可满足式。

§ 谓词公式的等价演算与范式
习题
1. 将下列命题符号化，要求用两种不同的等价形式。

解：（1） P （x ）：x 为负数， Q （x ） ：x 是正数，
x y(R(P(x),Q(y))) 或 x y ( R(P(x),Q(y)))
(2) 略
2.设 P （x ）、Q （x ）和 R （ x ， y ）都是谓词，证明下列各等价式 （1） x(P(x) Q(x)) x(P(x) Q(x))
（2
）
x(P(x) Q(x)) x(P(x) Q(x))
（3） x y(P(x) Q(y) R( x ，
y)) x y(P(x) Q(y) R(x ， y)) （4
）
x y(P(x) Q(y) R(x ，y)) x y(P(x)
Q(y)
R(x ， y))
证
明：
（1）左边＝ x (P(x) Q(x))
＝
x( P(x) Q(x))
＝
x(P(x)
Q （x ）） ＝右边
（ 2）左边 ＝ x (P(x)
Q(x))
＝
x ( P(x) Q(x))
＝
x (P(x)
Q （x ）） ＝右边
3)左边＝ x y (P(x) Q(y) R(x,y))
＝ x y ( (P(x) Q(y)) R(x, y))
＝ x y(P(x) Q(y) R( x ， y)) ＝右边
4)左边＝ x y (P(x) Q(y) R(x,y)
1）没有小于负数的正数。

2）相等的两个角未必都是对顶角。

R （x, y ） ： x 小于 y ，命题可符号化为：
＝ x y (P(x) Q(y)) R(x,y)
＝ x y(P(x) Q(y)
R(x ，y)) ＝右边
3. 求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式。

1) xP(x) yQ(x ，y)
2) x(P(x ，y)
yQ( x ， y ， z))
3)
x yP(x ，y) ( zQ(z) R(x))
§ 谓词公式的推理演算
习题
2. 指出下面演绎推理中的错误，并给出正确的推导过程。

② P(y) Q(y)
② x(P(x) G(x))
解：(1) 原式
x yP(x) Q(z, y) x y( P(x) Q(z,y))
前束析取范式
x y (P(x)
Q(z,y))
前束合取范式
(2) 原式
x t(P(x,y) Q(x,t,z)
x t( P(x,y) Q(x,t,z) 前束析取范式
x t (P(x,y)
Q(x,t,z)
前束合取范式
(3) 原式
x y z( P(x,y) (Q(z)
R(t))
x y z(P(x, y)
Q(z) R(t))
前束析取范式
x y z ( P(x,y) Q(z) R(t)) 前束合取范式
(4) 原式
x(P(x) Q(x ， y)) ( t(R(t) zS(t ， z))
4) x(P(x)
Q(x ，y)) ( y(R(y) zS( y ， z))
S(t , z)))
x t z((P(x) Q(x, y)) (R(t)
1) ① xP(x) Q(x)
P 规则 5) ① P(a) G(b)
P 规则
z( ( P(x) Q(x,y)) ( R(t) S(t,z))) z(( P( x) Q(x,y)
R(t))
(P(x) Q(x, y) S(t,z)))
z((P(x) ( R(t) S(t,z)) (Q(x, y)
R(t) S(t,z)
1. 证明： x(A(x) B(x)) x(A(x) B(x))
证明：(1)左边
x(A(x) B(x)) (A(x) B(x))
(A(x) B(x)) ＝ x(A(x)
B(x))
US 规则：① 2) ① x(P(x) Q(x))
P 规则 3) 4) ② P(a)
① P(x)
② P(a)
① P(a)
Q(b) xQ(x) Q(a)
G(a)
US 规则：① P 规则 ES 规则：① P 规则 UG 规则：①
② x(P(x) G(x)) EG规则：①
(6) ① P( y) Q(y) P规则
② x(P(c) Q(x)) EG规则：①
解：(1)②错，使用US,UG,ES,EG规则应对前束范式，而①中公式不是前束范式，所以不能用US 规则。

(2) ②错，①中公式为xA(x) ，这时，A(x) P(x) Q(x) ，因而使用US规则时，应得A(a)( 或A(y)), 故应有P(a) Q(a) ，而不能为P(a) Q(b) 。

3. 用演绎法证明下列推理式
xP(x) y((P(y) Q(y)) R(y))，xP(x) xR(x)
证明：①xP(x) 前提引入
②P(a) ES ①
③xP(x) y((P(y) Q(y)) R(y)) 前提引入
④y((P(y) Q(y)) R(y)) T ①③
⑤(P(a) Q(a)) R(a) US ④
⑥P(a) Q(a) T ②
⑦R(a) T ⑤
⑥
⑧xR(x) EG ⑦
4. 将下列命题符号化，并用演绎推理法证明其结论是有效的。

( 1)有理数、无理数都是实数；虚数不是实数。

因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。

(个
体域取全总个体域)
( 2)所有的舞蹈者都很有风度；万英是个学生并且是个舞蹈者。

因此，有些学生很有风度。

(个
体域取人类全体组成的集合)
(3) 每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车；每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车；有的人不喜欢乘汽车。

所以有的人不喜欢步行。

(个体域取人类全体组成的集合)
(4) 每个旅客或者坐头等舱或者坐经济舱；每个旅客当且仅当他富裕时坐头等舱；有些旅客富裕但并非所有的旅客都富裕。

因此有些旅客坐经济舱。

(个体域取全体旅客组成的集合)
解：(2) 证明：设P(x) ：x 是个舞蹈者；Q(x) ：x 很有风度；S(x) ：x 是个学生；
a ：王华
上述句子符号化为：
前提：x(P(x) Q(x)) 、S(a) P(a) 结论：x(S(x) Q(x))
1) S(a) P(a)
2) x(P(x) Q(x)) P
3)P(a) Q(a) U S(2
)
4)P(a)
T
(1)I
5)Q(a).
T
(3)(
4
)
6)S(a)
T
(1)I
7)S(a) Q(a)
T
(5)(
6
)
8)x(S( x) Q(x) E G (7
)
] ( 3)命题符号化为：F(x) ：x 喜欢步行,G(x) ：x 喜欢骑自行车，H(x) ：x 喜欢坐汽车。

前提：x(F(x) G(x)) ，x(G(x) H(x)) ，x( H(x))
结论：x( F(x)) .
证明：(1) x( H(x)) P
(2) H(c) ES(1)
(3) x(G(x) H (x)) P
(4) G(c) H (c) US(3)
(5) G(c) T(2)(4) I
(6) x(F(x) G(x)) P
(7) F(c) G(c) US(6)
(8) F(c) T(5)(7) I
(9) x( F(x)) EG(8)
4)命题符号化为：F(x) ：x 坐头等舱, G(x) ：x 坐经济舱，H(x) ：x富裕。

前提：结论：x(F(x) G(x)) ，
x(G(x)).
x(F(x) H(x))，x(H (x)) ，x( H(x))
证明：(1) x( H(x)) P
(2) H(c) ES(1)
(3) x(F(x) H(x)) P
(4) F(c) H(c) US(3)
(5) F(c) T(2)(4)I
(6) x(F(x) G(x)) P
(7) F(c) G(c) US(6) (8) G(c) T(5)(7)I (9) x(G(x)) EG(8)
5. 令谓词P（x）、Q（x）、R（x）和S（x）分别表示“ x是婴儿”，表示“ x的行为符合逻辑” 、“x能管理鳄鱼”和“ x被人轻视”，个体域为所有人的集合。

用P（x）、Q（x）、R（x）、S（x）、量词和逻辑联接词符号化下列语句。

（1）婴儿行为不合逻辑。

（2）能管理鳄鱼的人不被人轻视。

（3）行为不合逻辑的人被人轻视。

（4）婴儿不能管理鳄鱼。

请问，能从（1）、（2）和（3）推出（4）吗？若不能，请写出（1）、（2）和（3）的一个有效结论，并用演绎推理法证明之。

解：
（1）
x(P(x) Q(x))
（2）x(R(x) S(x))
（3）x( Q(x) S(x))
（4）x(P(x) R(x))
能从（1）（2）（3）推出（4）。

证
明：
( 1) P(x) 前提假设
（2）x(P(x) Q(x)) 前提引入
（3）Q(x)) T 规则：（1），（2）
（4）x( Q(x) S(x)) P 规则
（5）S(x) T
规则：（3），（4）
（6）x(R(x) S(x)) P 规则（7）R(x) 拒取式（8）x(P(x) R(x)) UG 规则。