70总复习：双曲线及其性质(基础)知识梳理

双曲线

【考纲要求】

1.了解双曲线图形的实际背景及形成过程；

2.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；

3.掌握双曲线的简单应用；

4.理解解析几何中数形结合思想的运用. 【知识网络】

【考点梳理】

【高清课堂：双曲线及其性质404777 知识要点】

考点一、双曲线的定义

在平面内，到两个定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长2a （21212F F a PF PF <=-）的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点1F 、2F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

要点诠释：

（1）双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；

（2）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=<（0a >），则此时的曲线是双曲线的靠2F 的一支；

（3）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -==，则此时的曲线是两条射线； （4）若常数a 满足约束条件：12122PF PF a F F -=>，则此时的曲线不存在. 考点二、双曲线的标准方程

（1）当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：22221x y a b -=(0,0)a b >>，其中222

c a b =+；

（2）当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：22221y x a b

-=(0,0)a b >>，其中222

c a b =+.

要点诠释：

（1）只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准双曲线

数形结合思想

标准方程及简单性质 双曲线的实际背景及定义

方程；

（2）在双曲线的两种标准方程中，都有222

c a b =+；

（3）双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.

当2

x 的系数为正时，焦点在x 轴上，双曲线的焦点坐标为(,0)c ，(,0)c -； 当2

y 的系数为正时，焦点在y 轴上，双曲线的焦点坐标为(0,)c ，(0,)c -. 考点三、双曲线的简单几何性质

双曲线22

221x y a b

-=(0,0)a b >>的简单几何性质

（1）范围：{}x x a x a ≤-≥或，y R ∈；

（2）焦点)0(，c ±，顶点(0)a ±，，实轴长=a 2，虚轴长=2b ，焦距＝2c ； （3）离心率是1c

e a

=

>； （4）渐近线：x a

b y ±

=. 双曲线22

221y x a b

-=)0(>>b a 的简单几何性质

（1）范围：{}y y a y a ≤-≥或，x R ∈；

（2）焦点(0,)c ±，顶点(0,)a ±，，实轴长=a 2，虚轴长=2b ，焦距＝2c ； （3）离心率是1c

e a

=

>； （4）渐近线：a y x b

=±

. 考点四、有关双曲线的渐近线的问题 （1）已知双曲线方程求渐近线方程：

若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程⇒=-02222b y a x 0=±b y a x ⇒x a

b

y ±=

（2）已知渐近线方程求双曲线方程：

若渐近线方程为x a

b

y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-22

22b y a x

（3）若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，

焦点在y 轴上）

（4）特别地当⇔=时b a 离心率2=

e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y x =±，此时双曲线为等

轴双曲线，可设为λ=-2

2

y x .

考点五、双曲线图像中线段的几何特征：

双曲线2

2

221x y a b

-=(0,0)a b >>的图像如图所示：

（1）实轴长122A A a =，虚轴长2b ,焦距122F F c =，

（2）离心率：2

121122212112211PF PF A F A F c b e e PM PM A K A K a a

======+>；

（3）顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+；

（4）21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来. 【典型例题】

类型一：求双曲线的标准方程

例1. 求与椭圆

2212736

x y +=有共同的焦点，且过点(15,4)的双曲线的标准方程。 【解析】依题意设双曲线方程为22

221y x a b

-=

由已知得222

9a b c +==， 又双曲线过点15,4)，∴

22

1615

1a b -= ∴222

2

2294

161515a b a b a b

⎧+=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪

⎩⎪⎩ 故所求双曲线的方程为

22

145

y x -=. 【总结升华】先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定a 、b .