2021专题9 立体几何与空间向量(解析版)

专题9 立体几何与空间向量从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是:(1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质;(2)有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力;(3)线线角、线面角和二面角是高考的热点,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查面积体积问题、点线面位置关系（各种角的关系或计算）等；主观题以常见几何体为载体，考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等.一、单选题1．（2020·山东高三下学期开学）设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ）A ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m nB ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥【答案】C 【解析】A 选项中，,m n 可能异面；B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥.C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C2．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==，AC =D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．9πC ．25π3D ．1219π【答案】D 【解析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积． 详解：因为2,22AB BC AC ===，所以AB BC ⊥， 过AC 的中点M 作平面ABC 的垂下MN ，则球心O 在MN 上， 设OM h =，球的半径为R ，则棱锥的高的最大值为R h +，因为1122()232D ABC V R h -=⨯⨯⨯⨯+=，所以3R h +=， 由勾股定理得22(3)2R R =-+，解得116R =，所以球的表面积为1211214369S ππ=⨯=，故选D ．3．（2020·山东高三下学期开学）在四面体ABCD 中，且AB AC ⊥，AC CD ⊥，AB ，CD 所成的角为30°，5AB =，4AC =，3CD =，则四面体ABCD 的体积为( ) A ．8 B ．6C ．7D ．5【答案】D 【解析】由题意，如图所示，AB AC ⊥，AC CD ⊥，过点A 作CD 的平行线AE ，则AC ⊥平面ABE ，且EAB ∠为30°或150°，从B 点向AE 作垂线，垂足为E ， 易证BE ⊥平面ACD .则点B 到平面ACD 的距离15sin 522BE AB EAB =⋅∠=⨯=， 162ACD S AC CD ∆=⋅=则， 则四面体ABCD 的体积为153ACD V S BE ∆=⋅⋅=. 故选：D.4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知四棱锥M ABCD -，MA ⊥平面ABCD ，AB BC ⊥，180BCD BAD ∠+∠=︒，2MA =，26BC =，30ABM ∠=︒.若四面体MACD 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．22πC ．40πD ．44π【答案】C 【解析】因为180BCD BAD ∠+∠=︒，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，90ADC ABC ∠=∠=︒. 由2tan30AB︒=，得3AB =()()2223266AC =+=.设AC 的中点为E ，MC 的中点为O ，因为MA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD .易知点O 为四面体MACD 外接球的球心，所以22621022OC ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2=4=40S OC ππ⋅球.故选C5．（2020届山东省烟台市高三模拟）《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D 642【答案】B 【解析】由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以外接球的体积34823V r π==, 故选:B6．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．6π B ．46πC ．26πD 6π【答案】D 【解析】 解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即364466,62338R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，6R ∴=，34466633V R ∴=π=π⨯=π，故选D. 7．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）在边长为2的等边三角形ABC 中，点D E ，分别是边AC AB ，上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=((01))λ∈,，将ADE 沿直线DE 折到A DE '的位置. 在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面ACD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，104A B '=D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ的最大值为23【答案】D 【解析】对于A ，假设存在F AE ∈，使得//BF 平面ACD '，如图1所示，因为BF ⊂平面A BE '，平面A BE '⋂平面A CD A A ''=，故//BF A A '， 但在平面A BE '内，,BF A A '是相交的，故假设错误，即不存在F AE ∈，使得//BF 平面ACD '，故A 错误.对于B ，如图2，取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A I A H AI ''， 因为ABC ∆为等边三角形，故AI BC ⊥，因为//DE BC ，故60,60,A DE A DE ACB A ED AED ABC '''∠=∠=∠=︒∠=∠=∠=︒ 所以,A DE ADE '∆∆均为等边三角形，故A H DE '⊥，AH DE ⊥， 因为//DE BC ，AI BC ⊥，AI BC ⊥，故,,A H I 共线， 所以IH DE ⊥，因为A H IH H '⋂=，故DE ⊥平面A HI '， 而DE ⊂平面CBED ，故平面A HI '⊥平面CBED ，若某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDE ，则A '在平面BCDE 的射影在IH 上，也在BC 上，故A '在平面BCDE 的射影为H ，所以AH IH >，此时1+2AD AH A H AC AI A H IH λ'===>'，这与102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,矛盾，故B 错误.对于C ，如图3（仍取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A H A B BH ''）因为,A H DE IH BC '⊥⊥，所以A HI '∠为二面角A DE I '--的平面角， 因为二面角A DE B '--为直二面角，故90A HI '∠=︒，所以A H AH '⊥， 而IH DE H ⋂=，故A H '⊥平面CBED ，因BH ⊂平面CBED ，故A H BH '⊥.因为12λ=，所以132A H IH AI '===. 在Rt IHB ∆中，3714BH =+=， 在Rt A HB '∆中，3710442A B '=+=，故C 错. 对于D ，如图4（仍取,BC DE 的中点分别为,I H ，连接,,,IH A H A B A C '''）， 作A '在底面CBED 上的射影O ，则O 在IH 上.因为,//AD BC DE AC λ=，所以3λ'=且2DEλ=，所以3A H λ'=其2DE λ=. 又()1132A CBED V DE CB IH A O '-'=⨯⨯+⨯⨯ ()()()()31122312231366A O λλλλλλλ'=+⨯-⨯≤+⨯-⨯=-+， 令()()3,0,1fλλλλ=-+∈，则()231f λλ'=-+，当30,λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f λ'>；当3,1λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f λ'<. 所以()f λ在30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为增函数，在3,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为减函数，故()max 32339f f λ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故D 正确. 故选：D.二、多选题8．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．AEF 的面积与BEF 的面积相等D ．三棱锥A BEF -的体积为定值 【答案】ABD 【解析】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD9．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3 【答案】ABD 【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即2h =，故选项B 正确；对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故222111322r ++==，故选项D 正确． 故选：ABD ．10．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【解析】对于A ，由AB 与CE 所成角为45︒，可得直线AB 与平面CDE 不垂直；对于B ，由AB CE ，AB ED ⊥，CE ED E ⋂=，可得AB ⊥平面CDE ；对于C ，由AB 与CE 所成角为60︒，可得直线AB 与平面CDE 不垂直；对于D ，连接AC ，由ED ⊥平面ABC ，可得ED ⊥AB ，同理可得EC AB ⊥，又ED EC E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE .故选：BD11．（2020届山东省烟台市高三模拟）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===，F 是AB 的中点，E 是PB 上的一点，则下列说法正确的是（ ）A ．若2PB PE =，则//EF 平面PACB ．若2PB PE =，则四棱锥P ABCD -的体积是三棱锥E ACB -体积的6倍C ．三棱锥P ADC -中有且只有三个面是直角三角形D ．平面BCP ⊥平面ACE【答案】AD【解析】对于选项A,因为2PB PE =,所以E 是PB 的中点,因为F 是AB 的中点,所以//EF PA ,因为PA ⊂平面PAC ,EF ⊄平面PAC ,所以//EF 平面PAC ,故A 正确；对于选项B,因为2PB PE =,所以2P ABCD E ABCD V V --=,因为//,,222AB CD AB AD AB AD CD ⊥===,所以梯形ABCD 的面积为()()113121222CD AB AD +⋅=⨯+⨯=,1121122ABC S AB AD =⋅=⨯⨯=,所以32E ABCD E ABC V V --=, 所以3P ABCD E ABC V V --=,故B 错误；对于选项C,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,PC CD ⊥,所以PAC ,PCD 为直角三角形, 又//,AB CD AB AD ⊥,所以AD CD ⊥,则ACD 为直角三角形,所以222222PA PC AC PC AD CD =+=++,222PD CD PC =+,则222PA PD AD =+,所以PAD △是直角三角形,故三棱锥P ADC -的四个面都是直角三角形,故C 错误；对于选项D,因为PC ⊥底面ABCD ,所以PC AC ⊥,在Rt ACD 中,AC =在直角梯形ABCD 中,BC ==, 所以222AC BC AB +=,则AC BC ⊥,因为BC PC C ⋂=,所以AC ⊥平面BCP ,所以平面BCP ⊥平面ACE ,故D 正确,故选:AD12．（2020·山东高三模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）A ．平面1D MN 与11BC 的交点是11B C 的中点B ．平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点C ．平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1【答案】BC【解析】如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=，连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.111111////,22NE CC DD NE CC DD ==，NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ，,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒，,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ， 则12//,,23BPFBMS BP MS BC MS FS =∴==，22111,33236BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=， E 为DF 中点，11//,233PE DQ DQ PE BC AD ∴=== N 分别是正方形11BCC B 的中心，11113C H BP C B ∴== 所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点，点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点，点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点.做出线段BC 的另一个三等分点P '，做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=，所以111113QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1.故选:BC.13．（2020届山东省高考模拟）如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得CN AB ⊥B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -的外接球的表面积是4π【答案】BD【解析】如图1，取AD 中点E ，取1AB 中点K ，连结EC 交MD 于点F ，连结NF ，KN ，BK ,则易知1//NE AB ，1//NF B M ，//EF AM ，//KN AD ，112NE AB =，EC AM = 由翻折可知，1MAB MAB ∠=∠，1AB AB =， 对于选项A ，易得//KN BC ，则K 、N 、C 、B 四点共面，由题可知AB BC ⊥，若CN AB ⊥，可得AB ⊥平面BCNK ，故AB BK ⊥，则22AK AB BK AB =+>，不可能，故A 错误；对于选项B ，易得1NEC MAB ∠=∠，在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠ 整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+ 故CN 为定值，故B 正确；如图2，取AD 中点E ，取AM 中点O ，连结1B E ，OE ，1B O ，DO ，，对于选项C ，由AB BM =得1B O AM ⊥，若1AM B D ⊥，易得AM ⊥平面1B OD ，故有AM OD ⊥，从而AD MD =，显然不可能，故C 错误；对于选项D ，由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122BO =，2DM =，故22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，表面积为4π，故D 正确.故选：BD.14．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE ∆是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若BC DE ⊥时，平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥时，直线EA 与平面ABCD 10C ．若直线BM 和EN 异面时，点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心时，BM =EN【答案】AC【解析】BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；设CD 的中点为F ，连接EF 、AF ，则EF CD ⊥.平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD 平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE .EF ∴⊥平面ABCD ，设EA 平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠， 223EF CE CF =-=，225AF AD FD =+=，2222AE EF AF =+=，则6sin 4EF EA θ==，B 项错误；连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B 、M 、E 确定的面即为平面BDE ，当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈，又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确；连接FN ，FN ⊂平面ABCD ，EF ⊥平面ABCD ，EF FN ∴⊥，F 、N 分别为CD 、BD 的中点，则112FN BC ==， 又3EF =222EN EF FN =+=，227BM BC CM =+=BM EN ≠，D 项错误. 故选：AC.15．（2020·山东高三下学期开学）在三棱锥D -ABC 中，1AB BC CD DA ====，且AB BC ⊥，CD DA ⊥，M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，下面结论正确的是（ ）A ．AC BD ⊥B ．//MN 平面ABDC ．三棱锥A -CMN 的体积的最大值为2D ．AD 与BC 一定不垂直【答案】ABD【解析】根据题意，画出三棱锥D -ABC 如下图所示，取AC 中点O ，连接,OB OD ：对于A ，因为1AB BC CD DA ====，且AB BC ⊥，CD DA ⊥，所以,ABC ADC ∆∆为等腰直角三角形，则,,OD AC BO AC ⊥⊥且OD BO O ⋂=，则AC ⊥平面BOD ，所以AC BD ⊥，即A 正确；对于B ，因为M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，由中位线定理可得//MN BD ，而BD ⊂平面ABD ，MN ⊄平面ABD ，所以//MN 平面ABD ，即B 正确； 对于C ，当平面DAC ⊥平面ABC 时，三棱锥A -CMN 的体积最大，则最大值为111212113222248A CMN N ACM V V --⎛⎫==⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即C 错误；对于D ，假设AD BC ⊥，由AB BC ⊥,且AD AB A ⋂=,所以BC ⊥平面ABD ，则BC BD ⊥，又因为AC BD ⊥，且AC BC C =，所以BD ⊥平面ABC ，由OB ⊂平面ABC ，则BD OB ⊥，由题意可知OB OD =，因而BD OB ⊥不能成立，因而假设错误，所以D 正确；综上可知，正确的为ABD ，故选：ABD.16．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（）A．沙漏中的细沙体积为3102481cmπB．沙漏的体积是3128cmπC．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是1985秒（ 3.14π≈）【答案】ACD【解析】A．根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径28433r cm=⨯=，所以体积23121641610243339381hV r cmπππ=⋅⋅=⋅⋅=；B．沙漏的体积2231125622483233hV h cmπππ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭；C．设细沙流入下部后的高度为1h，根据细沙体积不变可知：21102418132hhππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以1102416813hππ=，所以12.4h cm≈；D．因为细沙的体积为3102481cmπ，沙漏每秒钟漏下30.02cm的沙，所以一个沙时为：10241024 3.14815019850.0281π⨯=⨯≈秒.故选：ACD.17．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3 【答案】ABD【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， 对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即22h =，故选项B 正确； 对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故22211132r ++==D 正确．18．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ） A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个 B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2 D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π【答案】ABD 【解析】 如图：∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =11AA =， ∴()2212213DB =+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；∵()313PD =，，11DD =，则12PD =P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确；连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP ()22213+=故C 错误；由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为2221322122++=，面积为94π，故D 正确．19．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ︒∠=，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P BC A --的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC 【答案】ABC 【解析】如图，对于A ，取AD 的中点M ，连接,PM BM ，∵侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ︒∠=，ABD ∴是等边三角形，AD BM ∴⊥，又PM BM M ⋂=，PM ，BM ⊂平面PMB ，AD ∴⊥平面PBM ，故A 正确.对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90°，故B 正确. 对于C ，∵平面PBC平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PBM ，BC PB ∴⊥BC BM ⊥，PBM ∴∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则32BM =，32PM =， 在Rt PBM △中，tan 1PMPBM BM∠==，即45PBM ︒∠=，故二面角P BC A --的大小为45°，故C 正确.对于D ，因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误. 故选：ABC20．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大 D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小 【答案】AC 【解析】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大，故C 正确； 平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误． 故选：AC ．21．（2020届山东省青岛市高三上期末）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4π B ．点C 到面11ABC D 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3 【答案】ABD 【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即2h =，故选项B 正确；对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故222111322r ++==，故选项D 正确． 故选：ABD ．22．（2020届山东省泰安市肥城市一模）在空间四边形ABCD 中,,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点,当//BD 平面EFGH 时,下面结论正确的是( )A ．,,,E F G H 一定是各边的中点B ．,G H 一定是,CD DA 的中点C ．::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC = D ．四边形EFGH 是平行四边形或梯形 【答案】CD 【解析】由//BD 平面EFGH ,所以由线面平行的性质定理,得//BD EH ,//BD FG ,则::AE EB AH HD =,且::BF FC DG GC =,且//EH FG ,四边形EFGH 是平行四边形或梯形.故选：CD .23．（2020届山东省泰安市肥城市一模）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,则下列四个命题正确的是( )A ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于4πB ．点C 到面11ABCD 的距离为22C ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为4π D ．三棱柱1111AA D BB C -3 【答案】ABD 【解析】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于A ，直线BC 与平面11ABC D 所成的角为14CBC π∠=，故选项A 正确；对于B ，因为1B C ⊥面11ABC D ，点C 到面11ABC D 的距离为1B C 长度的一半，即2h =，故选项B 正确；对于C ，因为11//BC AD ，所以异面直线1D C 和1BC 所成的角为1AD C ∠，而1AD C 为等边三角形，故两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为3π，故选项C 错误； 对于D ，因为11111,,A A A B A D 两两垂直，所以三棱柱1111AA D BB C -外接球也是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，故222111322r ++==，故选项D 正确． 故选：ABD ．24．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）三棱锥P −ABC 的各顶点都在同一球面上，PC ⊥底面ABC ，若1PC AC ==，2AB =，且60BAC ∠=︒，则下列说法正确的是（ ） A ．PAB ∆是钝角三角形 B ．此球的表面积等于5π C ．BC ⊥平面P AC D ．三棱锥A −PBC 的体积为3【答案】BC 【解析】 如图，在底面三角形ABC 中，由1AC =，2AB =，60BAC ∠=︒， 利用余弦定理可得：2211221232BC =+-⨯⨯⨯= ∴222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，由于PC ⊥底面ABC ，∴PC AC ⊥，PC BC ⊥， ∵PC AC C =，∴BC ⊥平面P AC ，故C 正确；∴222PB PC BC AB +==，由于2220PB AB PA +->，即PBA ∠为锐角， ∴PAB ∆是顶角为锐角的等腰三角形，故A 错误；取D 为AB 中点，则D 为BAC 的外心，可得三角形ABC 外接圆的半径为1，设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，连接OP ，则215122OP ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 即三棱锥P ABC -的外接球的半径为5R =， ∴三棱锥球的外接球的表面积等于2545ππ⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确；11313132P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，故D 错误； 故选：BC . 三、填空题25．（2020届山东省高三高考模拟）若一个圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为_______. 【答案】8π. 【解析】作出圆柱与其外接球的轴截面如下：设圆柱的底面圆半径为r ，则2BC r =，所以轴截面的面积为()224ABCD S r ==正方形，解得1r =，因此，该圆柱的外接球的半径2222222BD R +=== 所以球的表面积为2428S ππ==.故答案为8π26．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）双曲线2213x y -=的渐近线与直线3x =围成的图形绕y轴旋转360︒，则所得旋转体的体积为___；表面积为_____ 【答案】4π 83π 【解析】双曲线2213x y -=的渐近线3y x =±，与直线3x =的交点为()3,1和()3,1-，该旋转体为底面半径是3，高为2的圆柱，挖掉两个底面半径为3，高为1，母线长为2的圆锥， 所以所得旋转体的体积为()()22123223143V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=圆柱圆锥，表面积为23223283S πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， 故答案为：4π，83π.27．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知正三棱锥P-ABC ，Q 为BC 中点，2PA =，2AB =，则正三棱锥P-ABC 的外接球的半径为________；过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积范围为________． 【答案】63,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为正三棱锥P ABC -，2PB PC PA ===，2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥， 同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，因此正三棱锥P-ABC 可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心， 所以点O 也是正三棱锥P-ABC 外接球的球心，记外接球半径为R ，则2R ==， 因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积最大为2max 32S R ππ==；又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得122OQ PA ==； 由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为1r ==，所以2min S r ππ==．因此，过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：(1).2(2). 3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦28．（2020届山东省泰安市肥城市一模）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知三棱柱111ABC A B C -是一个“堑堵”，其中12AB BC BB ===，点M 是11A C 的中点，则四棱锥11M B C CB -的外接球的表面积为__________． 【答案】8π 【解析】由题意得四边形11B C CB 为正方形，设其中心为O ，取11B C 中点N,则111,1ON MNON MN OM OB OC OB OC ⊥==∴=====,即O 为四棱锥11M B C CB -的外接24π8π=.29．（2020·山东高三模拟）如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，三棱锥A BCD -的底面边长和侧棱长都为4，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，则点B 到平面ACD 的距离为_______，点O 到直线AD 的距离的最大值为_______.463222 【解析】ACD ∆边长为4，则中线长为34， 点B 到平面ACD 22341646323⎛⎫-⨯⨯=⎪⎝⎭ 点O 是以BC 为直径的球面上的点，所以O 到直线AD 的距离为以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离， 最大距离为分别过BC 和AD 的两个平行平面间距离加半径. 又三棱锥A BCD -的底面边长和侧棱长都为4， 以下求过BC 和AD 的两个平行平面间距离， 分别取,BC AD 中点,E F ，连,,BF CF EF ， 则,BF CF EF BC =∴⊥，同理EF AD ⊥， 分别过,E F 做//,//EM AD FN BC ，直线,BC EM 确定平面α，直线,AD FN 确定平面β， 则,,EF FN FNAD F EF β⊥=∴⊥，同理EF α⊥，//,EF αβ∴为所求，1623CF ==12422EF ∴=-=所以O 到直线AD 最大距离为222. 故答案为463222.30．（2020届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为__________.【答案】3227π 【解析】由题意，设小圆柱体底面半径为cos θ， 则高为1sin 0,2πθθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，， 小圆柱体体积()2cos 1sin V πθθ=⋅⋅+，设()sin 0,1t t θ=∈，，则()()()232111V t t tt t ππ=⋅-+=⋅--++ 则()()()2321311V t t t t ππ'=⋅--+=⋅-++ 当13t =时，max 3227V π= 故答案为：3227π 31．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为____．【答案】26 86π 【解析】 (1)每个三角形面积是13312S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，由对称性可知该六面是由两个正四面合成的， 可求出该四面体的高为23613⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，故四面体体积为1362312⨯⨯=， 因此该六面体体积是正四面体的2倍， 所以六面体体积是2； (2)由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ，所以213663R R ⎛⎫=⨯⨯⨯⇒= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以球的体积334468633V R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：26；86π. 四、解答题32．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知如图1直角梯形ABCD ，///AB CD ，90DAB ∠=︒，4AB =，2AD CD ==，E 为AB 的中点，沿EC 将梯形ABCD 折起（如图2），使平面BED ⊥平面AECD .（1）证明：BE ⊥平面AECD ；（2）在线段CD 上是否存在点F ，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23，若存在，求出点F 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，F 为CD 中点【解析】（1）证明 连接AC ，则AC DE ⊥，又平面BDE ⊥平面AECD ，平面BDE ⋂平面AECD DE =，AC ⊂平面AECD ，所以AC ⊥平面BDE ，所以AC BE ⊥.又BE CE ⊥，AC CE C =，AC ，CE ⊂平面AECD ，所以BE ⊥平面AECD .（2）（1）得BE ⊥平面AECD ，所以BE AE ⊥.所以EA ，EB ，EC 两两垂直，分别以EA ，EB ，EC 方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -,如图所示，则()0,0,0E ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，设(),0,2F a ，02a ≤≤，所以()2,0,2AF a =-，(),2,2BF a =-，设平面FAB 的法向量为(),,n x y z =，则()220,220,AF n x x z BF n ax y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩取2x =，得()2,2,2n a =-.取平面EBC 的法向量为()1,0,0m =. 所以22cos 3412m n m n m n a a ⋅⋅===⋅-+， 所以1a =.所以线段CD 上存在点F ，且F 为CD 中点时，使得平面FAB 与平面EBC 所成的锐二面角的余弦值为23. 33．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF 平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．(3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 3BP 的长，若不存在，请说明理由．【答案】（I ）见解析（II ）53131（III ）2BP = 【解析】（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，(3E ，(3F -，∴(1,3BE =--，()0,2,0AB =，设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，∴230,20,x y z y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设()3,0,1n =，又(1,3DF =-，。