2021专题9 立体几何与空间向量(解析版)

专题9 立体几何与空间向量

从近几年的高考试题来看,所考的主要内容是:

(1)有关线面位置关系的组合判断,试题通常以选择题的形式出现,主要是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质;

(2)有关线线、线面和面面的平行与垂直的证明,试题以解答题中的第一问为主,常以多面体为载体,突出考查学生的空间想象能力及推理论证能力;

(3)线线角、线面角和二面角是高考的热点,选择题、填空题皆有，解答题中第二问必考,一般为中档题,在全卷的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.

预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查面积体积问题、点线面位置关系（各种角的关系或计算）等；主观题以常见几何体为载体，考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等.

一、单选题

1．（2020·山东高三下学期开学）设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ）

A ．若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n

B ．若//,//,m n m n αβ⊥，则αβ⊥

C ．若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥

D ．//,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则l α⊥

【答案】C 【解析】

A 选项中，,m n 可能异面；

B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥.

C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C

2．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知三棱锥D ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，2AB BC ==，

AC =D ABC -体积的最大值为2，则球O 的表面积为( )

A ．8π

B ．9π

C ．

25π

3

D ．

1219

π

【答案】D 【解析】

分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积． 详解：因为2,22AB BC AC ===，所以AB BC ⊥， 过AC 的中点M 作平面ABC 的垂下MN ，则球心O 在MN 上， 设OM h =，球的半径为R ，则棱锥的高的最大值为R h +，

因为11

22()232

D ABC V R h -=

⨯⨯⨯⨯+=，所以3R h +=， 由勾股定理得22

(3)2R R =-+，解得116

R =，

所以球的表面积为1211214369

S π

π=⨯=，故选D ．

3．（2020·山东高三下学期开学）在四面体ABCD 中，且AB AC ⊥，AC CD ⊥，AB ，CD 所成的角为30°，5AB =，4AC =，3CD =，则四面体ABCD 的体积为( ) A ．8 B ．6

C ．7

D ．5

【答案】D 【解析】

由题意，如图所示，AB AC ⊥，AC CD ⊥，过点A 作CD 的平行线AE ，则AC ⊥平面ABE ，且EAB ∠为30°或150°，

从B 点向AE 作垂线，垂足为E ， 易证BE ⊥平面ACD .

则点B 到平面ACD 的距离15

sin 522

BE AB EAB =⋅∠=⨯

=， 1

62

ACD S AC CD ∆=

⋅=则， 则四面体ABCD 的体积为1

53

ACD V S BE ∆=⋅⋅=. 故选：D.

4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知四棱锥M ABCD -，MA ⊥平面ABCD ，

AB BC ⊥，180BCD BAD ∠+∠=︒，2MA =，26BC =，30ABM ∠=︒.若四面体MACD 的四个顶点都在同一

个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．22π

C ．40π

D ．44π

【答案】C 【解析】

因为180BCD BAD ∠+∠=︒，所以A ，B ，C ，D 四点共圆，90ADC ABC ∠=∠=︒. 由2

tan30AB

︒=

，得3AB =()()

2

2

23266AC =+=.

设AC 的中点为E ，MC 的中点为O ，因为MA ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD .

易知点O 为四面体MACD 外接球的球心，所以2

2

621022OC ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

2=4=40S OC ππ⋅球.

故选C

5．（2020届山东省烟台市高三模拟）《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马

11B ACC A -体积的最大值为4

3

时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）

A ．

4π3

B ．

82

π3

C ．

32π3

D 642

【答案】B 【解析】

由题意易得BC ⊥平面11ACC A , 所以()1122211211

3333

B AC

C A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=

⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为4

3

, 所以2AB =,

所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径22

1222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+=

⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭所以外接球的体积3482

3V r π==, 故选:B

6．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．6π B ．46π

C ．26π

D 6π

【答案】D 【解析】 解法一:

,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，

PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE

AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，