2008年高考试题--数学理(湖南卷)

(1,4)(1,1)(3,3)XyOx=11x+2y-9=0x-y=0绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数31()i i-等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D【解析】由33412()()88ii i ii i--==-⋅=-,易知D 正确. 2．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由12x -<得13x -<<，由(3)0x x -<得03x <<，所以易知选B.3.已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( )A.2B.5C.6D.8【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点(3,3)时,x y +最大值是33 6.+=故选C.4.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】2(2,3)N ⇒ 12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ=311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c =2, 所以选B. 5.设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 【答案】D【解析】由立几知识,易知D 正确.6.函数2()sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( ) A.1 B.132+ C.32D.1+3【答案】C【解析】由1cos 231()sin 2sin(2)2226x f x x x π-=+=+-, 52,42366x x πππππ≤≤⇒≤-≤max 13()1.22f x ∴=+=故选C.7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD = 2,CE EA =2,AF FB = 则AD BE CF ++与BC ( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:212,1233AC AB AD AC AB +==++12,33BE BC BA =+ 12,33CF CA CB =+以上三式相加得1,3AD BE CF BC ++=-所以选A.8.若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )C 1D 1B 1A 1ODCBAA.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)【答案】B【解析】2033,22a ex a e a a a c -=⨯->+ 23520,e e ⇒-->2e ∴>或 13e <-(舍去),(2,],e ∴∈+∞故选B.9.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一球面上，且AB =2,AD =3,AA 1=1,则顶点A 、B 间的球面距离是( ) A.22π B.2πC.22π D.24π 【答案】C【解析】11222,BD AC R === 2,R ∴=设11,BD AC O = 则2,OA OB R ===,2AOB π⇒∠=2,2l R πθ∴==⨯故选C.10.设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的n ∈N *, 定义[][](1)(1),(1)(1)x nn n n x C x x x x --+=--+ x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数x n C 的值域是( )A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.284,3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭[)28,56D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D【解析】当x ∈3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，328816,332C ==当2x →时，[]1,x = 所以8842x C ==; 当[)2,3时，288728,21C ⨯==⨯当3x →时，[]2,x = 88728,323x C ⨯==⨯ 故函数x C 8的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

把答案填在对应题号后的横线上。

11.211lim ______34x x x x →-=+-.【答案】15【解析】21111111limlim lim .34(4)(1)(4)5x x x x x x x x x x →→→--===+-+-+ 12.已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的右焦点为F,右准线为l ,离心率e =5.5过顶点A (0,b )作AM ⊥l ,垂足为M ，则直线FM 的斜率等于 . 【答案】12【解析】2(,),a M b c 55,2,5e a c b c =⇒==201.2FM b c k a b c c-∴===- 13.设函数()y f x =存在反函数1()y f x -=,且函数()y x f x =-的图象过点(1,2), 则函数1()y f x x -=-的图象一定过点 . 【答案】(-1,2)【解析】由函数()y x f x =-的图象过点(1,2)得: (1)1,f =-即函数()y f x =过点(1,1),- 则其反函数过点(1,1),-所以函数1()y f x x -=-的图象一定过点(1,2).-14.已知函数3()(1).1axf x a a -=≠- （1）若a ＞0,则()f x 的定义域是 ;(2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 . 【答案】3,a⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦, ()(],01,3-∞⋃【解析】（1）当a ＞0时，由30ax -≥得3x a ≤,所以()f x 的定义域是3,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦; (2) 当a ＞1时，由题意知13a <≤;当0<a <1时，为增函数,不合; 当a <0时，()f x 在区间(]0,1上是减函数.故填()(],01,3-∞⋃. 15.对有n (n ≥4)个元素的总体{}1,2,,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{}1,2,,m 和{}1,2,,m m n ++ (m 是给定的正整数，且2≤m ≤n -2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样 本中的概率，则1n P = ; 所有ij P (1≤i ＜j ≤)n 的和等于 . 【答案】4()m n m - , 6【解析】11111224(1)(1)4;(1)()(1)()m n m n m n mC C m n m P C C m m n m n m m n m ----⋅---===⋅-----第二空可分: ①当 {},1,2,,i j m ∈ 时, 221mij mC P C ==; ②当 ,i j ∈{}1,2,,m m n ++ 时, 1ij P =;③当{}1,2,,,i m ∈ j ∈{}1,2,,m m n ++ 时, 4()4()ij P m n m m n m =-⨯=-;所以114 6.ij P =++=三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求： （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率; （Ⅱ）签约人数ξ的分布列和数学期望.解: 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，且P （A ）＝P （B ）＝P （C ）＝12. （Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是3171()1()()()1().28P ABC P A P B P C -=-=-=（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3. (0)()()()P P A B C P A BC P AB C ξ==++＝()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ ＝3231113()()().2228++=(1)()()()P P A B C P A B C P AB C ξ==++=()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C ++ =3331113()()().2228++=1(2)()()()().8P P A B C P A P B P C ξ====1(3)()()()().8P P A B C P A P B P C ξ==== 所以， ξ的分布列是ξ0 1 2 3P38 38 18 18ξ的期望33110123 1.8888E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=17.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.解: 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD =60°知，△BCD 是等边三角形.因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ,又AB ∥CD , 所以BE ⊥AB .又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，所以 PA ⊥BE .而PA ⋂AB =A ,因此BE ⊥平面PAB .又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAB .（Ⅱ）延长AD 、BE 相交于点F ，连结PF .过点A 作AH ⊥PB 于H ，由（Ⅰ）知 平面PBE ⊥平面PAB ,所以AH ⊥平面PBE . 在Rt △ABF 中，因为∠BAF ＝60°， 所以，AF =2AB =2=AP .在等腰Rt △PAF 中，取PF 的中点G ，连接AG . 则AG ⊥PF .连结HG ，由三垂线定理的逆定理得，PF ⊥HG .所以∠AGH 是平面PAD 和平面PBE 所成二面角的平面角（锐角）. 在等腰Rt △PAF 中， 22.2AG PA == 在Rt △PAB 中， 22225.55AP ABAP AB AH PBAP AB ====+所以，在Rt △AHG 中， 25105sin .52AH AGH AG ∠===故平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是10arcsin .5解法二: 如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A （0，0，0），B （1，0，0），33(,,0),22C 13(,,0),22D P （0，0，2）,3(1,,0).2E （Ⅰ）因为3(0,,0)2BE =， 平面PAB 的一个法向量是0(0,1,0)n =， 所以0BE n 和共线.从而BE ⊥平面PAB . 又因为BE ⊂平面PBE ， 故平面PBE ⊥平面PAB .(Ⅱ)易知3(1,0,2),(0,02PB BE =-= ，）， 13(0,0,2),(,,0)22PA AD =-= 设1111(,,)n x y z = 是平面PBE 的一个法向量，则由110,n PB n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩得111122020,3000.2x y z x y z +⨯-=⎧⎪⎨⨯++⨯=⎪⎩所以11110,2.(2,0,1).y x z n === 故可取 设2222(,,)n x y z = 是平面PAD 的一个法向量，则由220,0n PA n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得 2222220020,1300.22x y z x y z ⨯+⨯-=⎧⎪⎨++⨯=⎪⎩所以2220,3.z x y ==-故可取2(3,1,0).n =- 于是，1212122315cos ,.552n n n n n n <>===⨯故平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是15arccos .518.（本小题满分12分）数列{}221221,2,(1cos)sin ,1,2,3,.22n n n n n a a a a a n ππ+===++= 满足 (Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++ 证明：当162.n n S n ≥-<时，解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以22311(1cos)sin 12,22a a a ππ=++=+=22422(1cos )sin 2 4.a a a ππ=++==一般地，当*21(N )n k k =-∈时，222121(21)21[1cos]sin 22k k k k a a ππ+---=++ ＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -=当*2(N )n k k =∈时，22222222(1cos)sin 2.22k k k k k a a a ππ+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k k a =故数列{}n a 的通项公式为**21,21(N ),22,2(N ).n n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2122,2n n n a nb a -==23123,2222n n n S =++++ ①2241112322222n n nS +=++++ ② ①-②得，23111111.222222n n n nS +=++++-21111[1()]1221.122212n n n n n ++-=-=--- 所以11222.222n n n n n n S -+=--=-要证明当6n ≥时，12n S n -<成立，只需证明当6n ≥时，(2)12nn n +<成立. 证法一(1)当n = 6时，66(62)48312644⨯+==<成立.(2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2)1.2kk k +< 则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k++++++++=⨯<<++由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2(1)12n n +<.即当n ≥6时，12.nS n-< 证法二令2(2)(6)2n n n c n +=≥，则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，66831.644n c c ⨯≤==< 于是当6n ≥时，2(2)1.2n n +< 综上所述，当6n ≥时，12.n S n-<19.（本小题满分13分）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ=2626，090θ<<)且与点A 相距1013海里的位置C .（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由. 解: （I ）如图，AB =402，AC=1013，26,sin .26BAC θθ∠==由于090θ<<,所以cos θ=2265261().2626-= 由余弦定理得BC=222cos 10 5.AB AC AB AC θ+-=所以船的行驶速度为10515523=（海里/小时）. （II ）解法一 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 2）, C （x 1，y 2）, BC 与x 轴的交点为D.由题设有，x 1=y 1=22AB=40, x 2=AC cos 1013cos(45)30CAD θ∠=-= , y 2=AC sin 1013sin(45)20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =20210=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离d =|05540|357.14+-=<+所以船会进入警戒水域.解法二: 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理得，222cos 2AB BC AC ABC AB BC+-∠=⋅=22240210510132402105⨯+⨯-⨯⨯⨯=31010.从而2910sin 1cos 1.1010ABC ABC ∠=-∠=-=在ABQ ∆中，由正弦定理得，AQ=10402sin 1040.sin(45)2210210AB ABC ABC ⨯∠==-∠⨯由于AE =55>40=AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE=AE-AQ =15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.在Rt QPE ∆中，PE =QE ·sin sin sin(45)PQE QE AQC QE ABC ∠=⋅∠=⋅-∠=515357.5⨯=< 所以船会进入警戒水域.20.（本小题满分13分）若A 、B 是抛物线24y x =上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点P ，则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当2x >时，点(),0P x 存在无穷多条“相关弦”.给定02x >.（I ）证明：点()0,0P x 的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (II) 试问：点()0,0P x 的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x 0表示）：若不存在，请说明理由.解: （I ）设AB 为点()0,0P x 的任意一条“相关弦”，且点A 、B 的坐标分别是()()()112212,,x y x y x x ≠、,则2211224,4y x y x ==,两式相减得()()()1212124y y y y x x +-=-.因为x 1≠x 2,所以y 1+y 2≠0. 设直线AB 的斜率是k ，弦AB 的中点是(),m m M x y ,则k=12121242m y y x x y y y -==-+.从而AB 的垂直平分线l 的方程为 ().2m m m yy y x x -=-- 又点P （x 0,0）在直线l 上，所以 0().2mm m y y x x -=-- 而0,m y ≠于是0 2.m x x =-故点P （x 0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x 0-2. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB 所在直线的方程是()m m y y k x x -=-，代入24y x =中，整理得2222[()2]()0.m m m m k x k y kx x y kx +--+-= （·）则12x x 、是方程（·）的两个实根，且2122().m m y kx x x k-⋅= 设点P 的“相关弦”AB 的弦长为l ，则22222121212()()(1)()l x x y y k x x =-+-=+-22221212122222224222222200(1)[()4]4(1)()2()44(1)[]4(4)(4)4(1)164(1)[2(1)]4(1)[2(3)].m m m mm mmm m m m m m mm m m m k x x x x k x x x y x y x y y y x y y y x x x y x x y x =++-=+--=+-=+-=-+-+=+---=----因为()200044248m m y x x x <<=-=-,于是设t=2my ,则t ∈(0,4x 0-8). 记2l =()()()22002341g t t x x =---+-⎡⎤⎣⎦.若03x >,则()()00230,48x x -∈-,所以当()023t x =-,即2m y =2(x 0-3)时,l 有最大值()021x -.若023x <≤,则()0230x -≤,()g t 在区间()00,48x -上是减函数， 所以()200162l x <<-,l 不存在最大值.综上所述，当x 0>3时，点()0,0P x 的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值 为2（x 0-1）；当2< x 0≤3时，点()0,0P x 的“相关弦”的弦长中不存在最大值.21.（本小题满分13分）已知函数()()22ln 11x f x x x=+-+.(I) 求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）若不等式1(1)a ae n++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）.求α的最大值.解: （Ⅰ）函数()f x 的定义域是(1,)-+∞，22222ln(1)22(1)ln(1)2().1(1)(1)x x x x x x xf x x x x ++++--'=-=+++设2()2(1)ln(1)2,g x x x x x =++--则()2ln(1)2.g x x x '=+- 令()2ln(1)2,h x x x =+-则22()2.11xh x x x-'=-=++ 当10x -<<时， ()0,h x '> ()h x 在（-1，0）上为增函数， 当x ＞0时，()0,h x '<()h x 在(0,)+∞上为减函数.所以h (x )在x =0处取得极大值，而h (0)=0,所以()0(0)g x x '<≠， 函数g (x )在(1,)-+∞上为减函数. 于是当10x -<<时，()(0)0,g x g >= 当x ＞0时，()(0)0.g x g <=所以，当10x -<<时，()0,f x '>()f x 在（-1，0）上为增函数. 当x ＞0时，()0,f x '<()f x 在(0,)+∞上为减函数.故函数()f x 的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为(0,)+∞.（Ⅱ）不等式1(1)n ae n++≤等价于不等式1()ln(1) 1.n a n ++≤由111n+>知，1.1ln(1)a n n≤-+ 设(]11(),0,1,ln(1)G x x x x =-∈+则 22222211(1)ln (1)().(1)ln (1)(1)ln (1)x x x G x x x x x x x ++-'=-+=++++ 由（Ⅰ）知，22ln (1)0,1x x x+-≤+即22(1)ln (1)0.x x x ++-≤ 所以()0,G x '<(]0,1,x ∈于是G (x )在(]0,1上为减函数. 故函数G （x ）在(]0,1上的最小值为1(1) 1.ln 2G =- 所以a 的最大值为11.ln 2-。