高中数学--函数及其表示知识点

课题名称: 函数及其表示
（一）知识梳理
1．映射的概念
设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则
注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念
(1)函数的定义：
设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的 x ，在集合B 中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为__________
(2)函数的定义域、值域
在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， {}
A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(3)函数的三要素： 、 和
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析
考点1：映射的概念
例1．下述两个个对应是A 到B 的映射吗？
（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；
（2）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →= 例2．若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个
例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ ）
()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个
考点2：判断两函数是否为同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）2)(x x f =，33)(x x g =； （2）x x
x f =)(，⎩⎨⎧<-≥=;01,01
)(x x x g
（3）x
x f =)(1+x ，x x x g +=2)(； （4）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g
（5）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *
）； 考点3：求函数解析式
方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f
题型1：用待定系数法求函数的解析式
例1.已知函数()f x 是一次函数,且49)]([+=x x f f ,求()f x 表达式.
例2.已知()f x 是一次函数且()()()()()22315,2011,f f f f f x -=--==则（
）
A ．32x +
B ．32x -
C ．23x +
D ．23x - 例3.二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f (x)＞2x ＋5.
例4.已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式．
题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f
例2.已知)
()11,f x f x =-=则_____________。

例3．已知)11(x x f -+=22
11x
x +-，则)(x f 的解析式可取为 题型3：求抽象函数解析式
例1．已知函数)(x f 满足x x
f x f 3)1(2)(=+，求)(x f
例2、已知：1)(3)(2+=-+x x f x f ，求()f x 表达式.
例 3.设函数()f x 与()g x 的定义域是x R ∈且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1
()()1f x g x x +=-,求()f x 和()g x 的解析式.
考点4：求函数的定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

例1.函数()13f x x =
-的定义域为（ ） A ．[)
(]22+∞-∞-，， B ．[)()2,33+∞， C ．(][)()22,33-∞-+∞，，
D ．(]2-∞-， 例2、函数x x x x f -+=0
)1()(的定义域是（ ）
A.{}0|<x x
B. {}0|>x x
C. {}10|-≠<x x x 且
D. {}10|-≠≠x x x 且
题型2：求复合函数和抽象函数的定义域
例1．已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域
例2．已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域
例3、已知函数)1(+=x f y 的定义域为[-2，3]，则()12-=x f y 的定义域是_________ 考点5：求函数的值域
1． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
例1、322+--=x x y
例2、2285y x x =-+- （1）]1,1[-∈x （2）]4,1[∈x （3）]8,4[∈x
（2）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数2
2122+-+=x x x y 的值域 例3、132222+-+-=x x x x y 例4、1
12++-=x x x y （3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数
例5、x x y 21-+= 例6、13432)(-+-=x x x f
（4）分段函数分别求函数值域，
例7、53-++=x x y
例8、函数2
22(03)
()6(20)x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤≤⎪⎩的值域是（ ）
A ．R
B ．[)9,-+∞
C ．[]8,1-
D ．[]9,1-
（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

如求函数32
43x y x +=-的值域
例9、1122
+-=x x y
例10、设函数11
1y x
=+的定义域为M ，值域为N ，那么 （
） ()A {0},{0}M x x N y y =≠=≠ ()B {0},{}M x x N y y R =≠=∈ ()C {01,0}M x x x x =<≠->且或，{0011}N y y y y =<<<>或或
()D {1100}M x x x x =<--<<>或或， {0}N y y =≠
（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域
（9）对勾函数法 像y=x+m
x ，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了
三种模型：（1）如4
y x x =+，求（1）单调区间（2）x 的范围[3,5]，求值域
（3）x ∈ [-1,0 )⋃(0,4],求值域
（2）如 4
4y x x =++，求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x ≤0或x ≥4）。