自由度及相关分析
工件组合定位和自由度分析详解
单个定位时：
V1 限制了： x z
V2 限制了：
V3 限制了：
x
y
z z
x 两次重复限制，z 叁次重复限制，
按上准则分析，实际V1、V2较V3先
参与，V1、V2参与分不出先后，假
z 设Ｖ１为首参限制了 x ，V2次 参 xz 限制了 ；V3最后限制了 y y 。
图2.29 三个V形块 组合定位分析
2、判断准则 （1）定位元件单个定位时，限制转动自由度的作用在组合 定位中不变； （2）组合定位中各定位元件单个定位时限制的移动自由度 ，相互间若无重复，则在组合定位中该元件限制该移动自 由度的作用不变；若有重复，其限制自由度的作用要重新 分析判断，方法如下：
1)在重复限制移动自由度的元件中，按各元件实际参与定 位的先后顺序，分首参和次参定位元件，若实际分不出，可 假设；
x z 固定顶尖1限制了：
y
活动顶尖2限制了：
yz
x z y 固定顶尖为首参，限制了：
活动顶尖 y z
例5 如图2.32工件以外圆柱在两V形块上定位，分析各元 件限制的自由度。
图2.32 V形块组合定位分析右－V1、左－V2
单个定位时：
V1 限制了：x y
｝
V2 限制了： y
y 两次重复限制，V1 首参限制了
例3：如图2.30工件以内孔面、平面在圆柱销、支承平面上 定位，分析各元件限制的自由
单个定位时：
平销面 限限制制了了 ：：xxxyy
z
y
｝
综且合x 限y 重制复了限x制 x
y
y
z
例4：如图2.31工件以两顶尖孔在两顶尖上定位，分析各元件限制 自由度。
图2.31 两顶尖组合定位分析
平面机构的自由度与运动分析
平面机构的自由度与运动分析一、平面机构的自由度平面机构是指机构中的构件只能在一个平面内运动的机构，它由多个连接杆、转动副和滑动副组成。
平面机构的自由度是指机构中能够独立变换位置的最小的连接杆数目，也可以理解为机构中独立的变量的数量。
对于平面机构，其自由度可以通过以下公式计算：自由度=3n-2j-h其中，n表示连接杆的数量，j表示驱动链的数量，h表示外部约束的数量。
根据上述公式可以看出，自由度与平面机构中连接杆的数量和驱动链和外部约束的数量有关。
连接杆的数量越多，机构的自由度就越大，可以实现更复杂的运动。
驱动链的数量越多，机构中的动力驱动器越多，自由度就越小，机构的运动变得更加确定。
外部约束的数量越多，机构中的约束条件就越多，自由度就越小，机构的运动也会变得更加确定。
二、平面机构的运动分析1.闭合链和链架分析：首先需要确定机构中的闭合链和链架，闭合链是指机构中连接杆形成一个封闭的回路，闭合链中的连接杆数目应该为n 或n-1，n是机构中的连接杆数量。
链架是指机构中的连接杆形成一个开放的链路。
通过分析闭合链和链架中的链接关系和约束条件，可以确定机构中构件的位置和运动方式。
2.位置和速度分析：根据机构的连接杆的长度和角度，可以通过几何方法或代数方法确定机构中构件的位置和速度分量。
通过分析连接杆的长度和角度的变化规律，可以推导出机构中构件的位置和速度随时间的变化关系。
3.加速度和动力学分析：根据机构中各个构件的位置和速度，可以通过几何方法或动力学方法计算构件的加速度和动力学特性。
通过分析机构中构件的加速度和动力学特性，可以确定机构中构件的运动稳定性和质量分布。
4.动力分析：对于需要携带负载或进行力学传动的机构，需要进行动力学分析，确定机构中各个构件的受力和承载能力。
通过分析机构中构件的受力情况，可以确定机构的设计参数和强度要求。
总结起来，平面机构的自由度与运动分析是确定机构中构件位置和运动状态的重要方法，通过分析机构中的闭合链和链架、构件的位置和速度、加速度和动力学特性，可以确定机构的运动方式和特性，为机构的设计和优化提供依据。
名词解释
1、相关分析：相关分析（correlation analysis），相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。
2、计量经济学：计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系。
主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。
3、区间估计：参数估计的一种形式。
通过从总体中抽取的样本，根据一定的正确度与精确度的要求，构造出适当的区间，以作为总体的分布参数(或参数的函数)的真值所在范围的估计。
4、假设检验：假设检验是数理统计学中根据一定假设条件由样本推断总体的一种方法。
具体作法是：根据问题的需要对所研究的总体作某种假设，记作H0；选取合适的统计量，这个统计量的选取要使得在假设H0成立时，其分布为已知；由实测的样本，计算出统计量的值，并根据预先给定的显著性水平进行检验，作出拒绝或接受假设H0的判断。
常用的假设检验方法有u—检验法、t检验法、χ2检验法(卡方检验)、F—检验法，秩和检验等。
5、正态分布：正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。
其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
6、t分布，又称Student t分布，记作t~t(v)。
t分布十分有用，它是总体均数的区间估计和假设检验的理论基础。
自由度(degree of freedom, df)在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。
平面机构的自由度
3.计算机构自由度的几个特殊情况
小结 ◆ 复合铰链
存在于转动副处
正确处理方法：复合铰链处有m个构件 则有(m-1)个转动副
◆局部自由度
常发生在为减小高副磨损而将滑动摩擦 变成滚动摩擦所增加的滚子处。
正确处理方法：计算自由度时将局部自 由度减去。
◆ 虚约束
存在于特定的几何条件或结构条件下。
正确处理方法：将引起虚约束的构件和 运动副除去不计。
分析： 每个平面自由构件：3个自由度 每个平面低副：引入2个约束 每个平面高副：引入1个约束 设平面机构有n个活动构件，
在未用运动副联接之前共有3n 个自由度； 有Pl个低副和Ph个高副：引入 (2 Pl +Ph)约束
平面机构的自由度计算公式：F=3n-(2 pl + ph)=3n-2 pl - ph
B 、 B’有一 处为虚约束
A 、 A’有一 处为虚约束
没有虚约束
3.计算机构自由度的几个特殊情况
4）机构运动过程中, 某 两构件上的两点之间的 距离始终保持不变, 将此 两点以构件相联, 则将带 入1个虚约束。
5）某些不影响机构运动的 对称部分或重复部分所带 入的约束为虚约束。
3.计算机构自由度的几个特殊情况
▲两个构件组成在几处构成转动 副且各转动副的轴线是重合的。
▲两构件在几处接触而
构成移动副且导路互相 平行或重合。
只有一个运动副起约束作 用,其它各处均为虚约束;
3.计算机构自由度的几个特殊情况
3）若两构件在多处相接触构成平面高副，且各接触点 处的公法线重合或平行，则只能算一个平面高副。若 公法线方向相交，将提供2个约束。
实例分析1：计算图示直线机构自由度
解解：FF==33nn-2-2plp–l p–hph ==33××77--22××6-100=-90=1
平面机构自由度计算及结构分析
平面机构自由度计算及结构分析在机械工程领域，平面机构是由一系列连接件和铰链组成的机械系统，在平面内进行运动。
平面机构的自由度指的是机构能够独立移动的自由度数量。
自由度的计算及结构分析是设计和优化机构的重要环节，下面将详细介绍平面机构自由度的计算及结构分析方法。
1.平面机构自由度计算的基本原理平面机构中常见的连接件包括滑动副、铰链副和齿轮副等。
根据这些连接件的类型和数量，可以确定机构的格式方程。
例如，如果机构中有n个滑动副，则格式方程的数量为2n，因为每个滑动副有两个约束方程（平移约束和转动约束）。
同样地，如果机构中有m个铰链副，则格式方程的数量为m。
确定格式方程后，我们需要计算机构的独立运动方程数量。
独立运动方程描述了机构中各连接件之间的相对运动关系。
对于平面机构，独立运动方程的数量等于机构中的自由度数量。
通过求解格式方程和独立运动方程，我们可以得到平面机构的总约束方程数量。
然后，通过公式自由度=3n-总约束方程数量，可以计算机构的自由度数量。
2.平面机构自由度计算方法（1）基于迎接方式的计算方法这是一种基本的自由度计算方法，其思想是通过分析机构中两个相邻部件之间的约束关系来计算自由度数量。
首先，确定机构的基本框架，并标记出机构的连杆、滑块等部件。
然后，根据机构的连杆相邻部件之间的连接方式和铰链类型，确定相邻部件之间的约束关系。
对于滑块，如果其只能实现平移运动，则约束数量为2；如果可以实现平移和转动，则约束数量为3、类似地，对于连杆，如果只能实现转动运动，则约束数量为1；如果可以实现平移和转动，则约束数量为2在计算约束数量时，需要注意对于普通铰链，其约束数量为2；对于直线铰链，其约束数量为1；对于齿轮铰链，其约束数量为0。
通过统计各部件之间的约束数量，可以得到机构的自由度数量。
（2）利用虚位移法的计算方法虚位移法是一种准确且广泛应用的方法，用于计算机构的自由度数量。
这种方法基于贝努利-克洛福特定理，即机构中任意一点的虚位移应符合约束条件。
计算自由度和体系构造分析例题
基本规律运用1、求体系的计算自由度W，并对其进行结构分析。
解：混合系：W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)m=1(FGHIJ),j=5(A、B、C、D、E) ,g=0,h=0，b=10（链杆）+6(支杆)=16W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)=3×1+2×5-16=-3构造分析：在刚片FGHIJ的基础上增加二元体得到整个体系有多个三个多余约束的几何不变体系。
2、试求图示体系的计算自由度，并进行几何构造分析。
解：（1）求解W 按照刚片系计算：W = 3m - 2h - 3g - bm=9 h=12 g=0 b=0W = 3m - 2h - 3g - b =3×9-2×12=3（2）构造分析。
如图所示三刚片连接。
三铰不共线组成几何不变体系且无多余约束。
3、试求图示体系的计算自由度，并进行几何构造分析。
解：(1)计算W:W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)m=1(FGHIJ),j=5(A、B、C、D、E) ,g=0,h=0，b=10（链杆）+6(支杆)=16W = (3m + 2j)-(3g + 2h + b)=3×1+2×5-16=-3(2)结构构造分析如图示体系内部（先撤除支座及地基）由三个刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 用三个瞬铰两两相连，且三个瞬铰在一直线上，为几何瞬变体系。
4、如图所示为三角形ABC及其他链杆所组成体系，试考察BC边上G铰不同位置与体系整体几何特性的关系，给出简要分析过程。
(a) (b)(c) (d)解：（1）观察图（a）所示体系，△BEG直接与大地固定铰支，可以将B点看做铰结点，则BE，BG为链杆，因此，与大地直接相连的约束多余三根支杆，所以将大地必须看做是一个刚片。
BG和CD与GC相连，BE和A支座与△AEF相连，通过“找对家”的思路可以找到如图所示三刚片。
G铰位于BC中间时，三虚铰共线，组成瞬变体系。
四自由度机器人设计及分析
四自由度机器人设计及分析首先，设计一个四自由度机器人需要考虑机器人的结构和运动方式。
机器人的结构可以采用串联结构或并联结构。
串联结构是将各个旋转关节按照顺序链接起来，形成一个连续链条；而并联结构是通过并联机构将多个旋转关节连接起来，共同作用于机器人的末端执行器。
接下来，需要确定机器人的关节类型和参数。
常见的关节类型包括旋转关节和剪切关节。
旋转关节可以实现绕一些固定轴旋转，而剪切关节可以实现平移和旋转的复合运动。
在确定关节类型后，还需要考虑各个关节的转动范围、转动速度和负载能力等参数。
在进行四自由度机器人的运动分析时，可以采用运动学方法和动力学方法。
运动学方法主要研究机器人的位置、速度和加速度等随时间变化的规律，可以通过矩阵运算和几何推导等方法求解。
动力学方法则关注机器人的力学特性和运动过程中的力、力矩等量，可以通过运动学和力学方程来描述机器人的运动。
在运动学分析中，可以通过正逆运动学求解机器人的位置和姿态。
正运动学是根据关节参数和关节角度求解机器人位姿的问题，可以通过矩阵变换和旋转矩阵等方法求解。
逆运动学则是根据机器人末端执行器的位姿求解各个关节的角度，可以通过三角函数和解方程等方法求解。
在动力学分析中，可以通过运动学和基本力学原理推导出机器人的运动方程。
运动学方程描述机器人各个关节的速度和加速度与末端执行器的位姿之间的关系；动力学方程则描述机器人的力、力矩与关节角度、角速度和角加速度之间的关系。
同时，还可以利用仿真软件对四自由度机器人进行仿真分析。
通过建立机器人的仿真模型，可以模拟机器人的运动轨迹和运动过程，验证设计参数的合理性以及对不同操作条件的响应。
总之，设计和分析四自由度机器人需要考虑机器人的结构和运动方式，确定关节类型和参数，并通过运动学和动力学方法来研究机器人的运动特性。
利用仿真软件可以对机器人进行仿真分析，验证设计参数的合理性。
1自由度分析
是
不是
3. 虚约束（难点）
不产生实际约束效果的重复约束。在特定的几何条 件下出现。（或称消极约束）
（1）暗含的几何条件： 两构件组成若干转动副，但转动副轴线互相重合 两构件组成若干移动副，但移动副导路互相平行 两构件组成若干高副，但各接触点公法线互相重合
（2）明确给定的几何条件： 平行、垂直、长度关系
通过严格的几何证明识别 熟悉教材例题
目的：为了改善构件的受力情况
虚约束常出现的场合—特定几何条件
场合一：用双转动副杆联接两构件上距离保持不变的两点
B 2E
C
1
3
A
D
F 33 24 1
去除构件4及其上运动副
B 2E
C
1
4
3
A
F
D
5
AB CD EF
? F 3 4 2 6 0
B
2 EC B
2EC
1
31
5
3
A
4F
A
4F
D
D
AB
EF CD
F=3n-2PL-Ph=33
-A2B4=E1F
CD
B
2
E
C
1
5
A
F
4
3
D
F=3n-2PL-Ph=33 -24=0 桁架-非虚约束
距离不变两点例2
例各构件的尺寸有如下的几何关系：
，
，
，
F = 3×4 - 2×6 = 0 ？
去除虚约束构件及其上运动副
F 33 24 1
• 机构要能运动，它的自由度必须大于零。
F≤0，构件间无相对运动，不成为机构。
原动件数W=F，运动确定
2
平面机构的自由度
例 试绘制内燃机的机构运动简图
§1-3 平面机构的自由度
一、平面机构的自由度的计算 机构的自由度：机构中活动构件相对 于机架所具有的独立 运动的数目。 （与构件数目，运动副的类型和数目 有关）
n个活动构件：自由度为3n。 PL个低副： 限制 2PL个自由度 PH个高副： 限制 PH 个自由度
F≤0，构件间无相对运动，不成为机构。
F>0,
原动件数=F，运 动确定
2
1 1
3 4
C
3
原动件数<F，运动不确定 2 C'
B
1
1
D'
D
4 4
A
5
E
原动件数>F，机构破坏
试计算图示挖土机的自由度，并说明为什么要配置三个油缸。
缝纫机刺布机构
油泵
四、计算平面机构自由度的实用意义
1 判定机构的运动设计方案是否合理。 2 修改设计方案 （1） F=0:增加一构件带进一平面低副。 （2） F<原动件数目：增加一构件带进 两平面低副。 （3） F>原动件数目：增加原动件数目 3 判定机构运动简图是否正确
第一章 平面机构的自由度和速度分析
1.平面机构的组成 2.机构具有确定相对运动的条件 3.机构运动简图的画法 4.机构自由度的计算
§1-1 平面机构的组成
一、机构的组成与分类 1、概念：
机构是具有确定相对运动的构件的组合 构件：机构中的（最小）运动单元一个或 若干个零件刚性联接而成
2、机架：固定不动的构件 原动件：输入运动规律的构件 从动件：其它的活动构件
1. 铰链四杆机构 – 如图2-21所示，P24为构件4和构件2
的等速重合点，而构件4和构件2分 别绕绝对瞬心P14和P12转动，因此有
相关分析(Correlate)
相关分析（Correlate）Correlation and dependenceIn statistics, correlation and dependence are any of a broad class of statistical relationships between two or more random variables or observed data values.Correlation is computed（用...计算）into what is known as the correlation coefficient（相关系数）, which ranges between -1 and +1. Perfect positive correlation (a correlation co-efficient of +1) implies（意味着）that as one security（证券）moves, either up or down, the other security will move in lockstep（步伐一致的）, in the same direction. Alternatively（同样的）, perfect negative correlation means that if one security moves in either direction the security that is perfectly negatively correlated will move by an equal amount in the opposite（相反的）direction. If the correlation is 0, the movements of the securities are said to have no correlation; they are completely random（随意、胡乱）.There are several correlation coefficients, often denoted（表示、指示）ρ or r, measuring（衡量、测量）the degree of correlation. The most common of these is the Pearson correlation coefficient, which is sensitive only to a linear（只进行两变量线性分析）relationship between two variables (which may exist even if one is a nonlinear function of the other).Other correlation coefficients have been developed to be more robust（有效的、稳健）than the Pearson correlation, or more sensitive to nonlinear relationships.Rank（等级）correlation coefficients, such as Spearman's rank correlation coefficient and Kendall's rank correlation coefficient (τ) measure the extent（范围）to which, as one variable increases, the other variable tends to increase, without requiring（需要、命令）that increase to be represented by a linear relationship. If, as the one variable（变量）increases（增加）, the other decreases, the rank correlation coefficients will be negative. It is common to regard these rank correlation coefficients as alternatives to Pearson's coefficient, used either to reduce the amount of calculation or to make the coefficient less sensitive to non-normality in distributions（分布）. However, this view has little mathematical basis, as rank correlation coefficients measure a different type of relationship than the Pearson product-moment correlation coefficient, and are best seen as measures of a different type of association, rather than as alternative measure of the population correlation coefficient.Common misconceptions（错误的想法）Correlation and causality（因果关系）The conventional（大会）dictum（声明）that "correlation does not imply causation" means that correlation cannot be used to infer a causal relationship between the variables.Correlation and linearityFour sets of data with the same correlation of 0.816The Pearson correlation coefficient indicates the strength of a linear relationship between two variables, but its value generally does not completely characterize their relationship. In particular, if the conditional mean of Y given X, denoted E(Y|X), is not linear in X, the correlation coefficient will not fully determine the form ofE(Y|X).The image on the right shows scatterplots（散点图）of Anscombe's quartet, a set of four different pairs of variables created by Francis Anscombe. The four y variables have the same mean (7.5), standard deviation (4.12), correlation (0.816) and regression line (y = 3 + 0.5x). However, as can be seen on the plots, the distribution of the variables is very different. The first one (top left) seems to be distributed normally, and corresponds to what one would expect when considering two variables correlated and following the assumption of normality. The second one (top right) is not distributed normally; while an obvious relationship between the two variables can be observed, it is not linear. In this case the Pearson correlation coefficient does not indicate that there is an exact functional relationship: only the extent to which that relationship can be approximated（大概）by a linear relationship. In the third case (bottom left), the linear relationship is perfect, except for one outlier which exerts enough influence to lower the correlation coefficient from 1 to0.816. Finally, the fourth example (bottom right) shows another example when one outlier（异常值）is enough to produce a high correlation coefficient, even though the relationship between the two variables is not linear.(离群值可降低、也可以增加数据的相关性。
自由度及相关分析
例1 如图所示。试求小环在大
圆环上位置随时间t的变化率与
的关系，画出相应的相图。
解法一： 传统方法
在与大圆环一同转动的参考
系中，重力 mg，支持力N,
惯性离心力 F惯 mR 2 sin m d mR2 sin cos mg sin
dt
2
m
N
mR2 sin
sin
mg cos
R
d d d dt d dt
一个 质点
在直线或曲线上---- 2个自由度。 在平面或曲面上---- 4个自由度。
N个质点系统，存在k个限制条件（约束）
---- 总自由度数 (6N − k) 。
当刚体的运动受到某些条件的限制时， 刚体平动---- 6个自由度。
刚体定轴转动----2个自由度。 刚体平面运动---- 6个自由度。
3 自由度分析的意义
例： 阻尼振动(弱阻尼)的相轨迹 v
x
2 自由度
自由度----完全确定一个力学体系的状态所需要 的独立变量。
3N个----空间位置，
N个自由质点 ----6N个自由度
3N个-----运动情况
一个自由运动刚体----12个自由度。
物体系统的空间位置和运动受到一定限制（亦 称为约束）， 自由度数会减少。
(F1y
F2 y )
I
d2
dt2
(M1 M2)
给出6个自由度所对应的初始条件，即t = 0时，
xc0 yc0 0 vc0 vc0 0
求解方程组即可得到所需的结果。
(3)在热力学中，热力学系统的自由度与系统的 能量密切联系，对于由N个分子所组成的热力学系统， 该系统的热能其实就是系统所有微观自由度上的平 均能量的总和。在讨论热能做功的过程及现律、以 及热能与其它能量形式的转化过程时，如果我们直 接从微观自由度的运动出发，以理想气体作为分析 和理解问题的具体对象进行讨论，可以使热力学规 律的物理图象十分请晰。
从《力学》角度分析《电磁学》中的自由度
从《力学》角度分析《电磁学》中的自由度本文从《力学》角度讨论《电磁学》中一些客体的自由度以深化教学、提高学生正确分析物理问题的能力.使用实际教学分析的研究方法，先介绍《力学》中自由度特点，接着切入分析《电磁学》中一些客体的自由度并得出以下结论：（1）单个无、有极分子在无或有外电场时其自由度均为3；（2）无外电场时：由无、有极分子构成的刚性电介质有6个自由度，构成的非刚性电介质除反映整体运动的6个自由度外其内部还有3N-6个振动自由度；有外电场时：由无、有极分子构成的电介质整体的自由度为3（不考虑内部振动和干扰因素时）；（3）平面偏振光的光矢量有3个自由度。
然后分析《电磁学》里电磁波中某时刻某点平面偏振光与自然光振动矢量的自由度，最后讨论场的自由度及研究《力、电磁学》中自由度的意义。
标签：力学电磁学自由度实际教学分析法The analyse of the degree of freedom of electromagnetics from the angle of mechanicsHAN Wen-juan ，LIU Hai（Dept of Physics and Electronics of Sciences ，Guizhou Liupanshui Normal College，Liupanshui 553004，China）Abstract：The degree of freedom of some bodies of electromagnetics is talked in order to deepen teaching and enhance students ability to correctly analyze physical problem in this paper. Firstly，the characters of the degree of freedom of mechanics are introduced.Then the degree of freedom of some bodies of electromagnetics is analyzed by the approach of actual teaching and analyse .The conclusions are as following：（1）The degree of freedom of single non-polar （or polar molecule）is 3 having electric field or not.（2）The degree of freedom of rigidity dielectric medium being made up of non-polar or polar molecules is 6，but the nonrigidity dielectric medium being made up of them has 3N-6 vibrating degrees of freedom except for the 6 degrees of freedom that embody the whole dielectric medium’s movement without electric field.The degree of freedom of dielectric medium being made up of non –polar or polar molecule is 3 having electric field（withou inner vibrating and disturbing factors）. （3）The degree of freedom of the vector of plane polarized light is 3. The degree of freedom of vibrating vector of plane polarized light and natural daylight at sometime and somespot is analyzed in the field of electromagnetic wave in electromagnetics. Finally，the degree of freedom of electric and magnetic field is talked and the studying significace of the degree of freedom of electromagnetics of university physics is showed.key words：electromagnetics mechanics degree of freedom approach of actualteaching and analyse中圖分类号：O325 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2015）08-0271-02引言大学物理《电磁学》中没有自由度的介绍，学生很难将之与《力学》中的自由度进行联系，笔者结合教学实际，以新的视角描述《电磁学》中的一些客体，从分析《力学》自由度特点切入研究《电磁学》中一些客体的自由度，可拓宽学生思维，从而提高学生正确分析物理问题的能力。
统计学中自由度的定义
统计学中自由度的定义在统计学中，自由度是一个重要的概念，尤其在回归分析和相关分析中。
自由度，英文为“degrees of freedom”，是描述数据在统计分析中的“独立性”或“自由程度”的指标。
这个概念最初源于数学和物理领域，后来被引入统计学中。
首先，理解自由度的核心在于明白它是基于数据集的独立性或非相关性。
在统计学中，当我们进行某些计算，如求平均值、计算方差等，这些计算需要数据之间相互独立。
如果数据之间存在某种依赖关系，那么这些计算可能会产生偏差。
自由度就是用来量化这种依赖关系的指标。
具体来说，当我们谈论一个样本或一个总体，其中的数据点之间相互独立，那么自由度就等于数据点的数量。
但是，当数据之间存在某种依赖关系时，这种依赖关系会减少数据的独立性，进而减少自由度。
例如，在时间序列分析中，时间上的连续数据点之间通常存在依赖关系，因此它们的自由度会低于数据点的数量。
在实际应用中，自由度在许多统计分析方法中都起到了关键作用。
在回归分析中，我们通常需要基于自由度来计算回归系数的标准误差，以及模型的决定系数和F统计量等。
在方差分析中，我们也需要使用自由度来计算方差比和效应大小等统计量。
值得注意的是，自由度的概念不仅仅适用于回归分析和方差分析。
事实上，几乎所有的统计分析方法都需要考虑自由度。
这是因为几乎所有的统计分析方法都需要基于独立数据进行计算，而自由度正是量化这种独立性的有效工具。
此外，自由度的计算方法也会因分析方法和数据类型的不同而有所差异。
例如，在计算样本方差时，我们通常使用n-1作为自由度（n为样本大小），这是因为样本方差是基于样本均值和原始数据点计算的，其中的一个自由度被用来计算样本均值。
总结起来，自由度在统计学中是一个重要的概念，它描述了数据的独立性或自由程度。
在回归分析和相关分析中，自由度尤其重要，因为它影响了统计分析结果的准确性和可靠性。
正确理解和使用自由度是进行统计分析的关键之一。
中国经济自由度分析
中国经济自由度分析20世纪90年代初，随着全球经济一体化进程的加速，国际贸易和资本交易急剧上升。
因此，国际一些著名的研究机构开始测算和比较全球不同国家或地区的经济自由度，其中权威性的机构有加拿大弗雷泽研究所(The Fraser Institute)和美国传统基金会(The Heritage Foundation)。
虽然经济自由度测度在理论和实践上还不尽完善，但从总体上说，其研究结果还是具有较强的说服力的。
到目前为止，弗雷泽研究所测算了全球100多个国家或地区一个比较长时期的自由度历史数据，本文重点结合该所提供的各年度《经济自由度报告》，采取国际比较研究的方法对中国经济自由度程度进行分析。
一、中国经济自由度提高迅速弗雷泽研究所近年对全球123个主要国家或地区的经济自由度进行了测算。
需要指出的是，目前联合国有190多个会员国，未参加评估的国家或地区一般是较小或数据不健全的国家，其中不少是经济自由度低的国家，如越南、塔吉克斯坦、白俄罗斯、老挝、古巴，朝鲜等。
弗雷泽研究所的经济学家从政府规模、法律结构与产权保护、货币政策合理性、对外交往自由度及信贷、劳动力与商业管制五个因素衡量经济自由度，并采用综合指数的形式进行反映，指数值与经济自由度正相关，其区间为[0，10]，指数值越大，表示经济自由度越高。
中国自上世纪70年代末开始实行经济改革以来，经济自由度指数呈上升趋势，1980年为3.93，2001年达到5.49，自由度提高了39.7%；相比之下，全球经济自由度指数1980年平均水平为5.36，2001年为6.35，提高幅度为18.5%。
虽然中国经济自由度与发达市场经济国家相比还有一定的差距，但其在全球中的位次不断攀升，在弗雷泽研究所2003年《经济自由度报告》中，中国在参加排名的123个主要国家或地区中列第100位，排在其后的有23个，这23个国家分布在各大洲。
其中，非洲国家有12个，分别为：中非共和国、刚果(布)、刚果(金)、几内亚比绍、塞拉利昂、布隆迪、加蓬、卢旺达、多哥、马拉维、津巴布韦、阿尔及利亚；南美洲国家有3个，分别为：哥伦比亚、厄瓜多尔、委内瑞拉；亚洲国家有3个，分别为：叙利亚、缅甸、巴基斯坦；欧洲国家有5个，分别为：保加利亚、俄罗斯、罗马尼亚；乌克兰、土耳其。
自由度实验报告
一、实验目的1. 理解自由度的概念，掌握自由度的计算方法。
2. 分析不同结构在运动过程中的自由度变化。
3. 提高对机械系统运动学特性的认识。
二、实验原理自由度是指一个物体在空间中运动时所具有的独立运动方式数量。
对于一个具有n个自由度的物体，它可以沿着n个互相独立的直线方向或绕n个互相独立的轴旋转。
自由度的计算公式为：F = 3n - 2m其中，F表示自由度，n表示物体在空间中的坐标数，m表示物体之间的约束数。
三、实验器材1. 机器人平台2. 激光测距仪3. 视频测量软件4. 计算机及实验软件四、实验步骤1. 准备实验环境，搭建实验平台，确保机器人平台稳定。
2. 将激光测距仪放置在机器人平台上方，调整角度，使其能够测量机器人平台上的关键点。
3. 使用视频测量软件记录机器人平台在运动过程中的关键点坐标。
4. 根据实验数据，计算机器人平台在不同运动状态下的自由度。
5. 分析不同结构在运动过程中的自由度变化，总结规律。
五、实验结果与分析1. 计算机器人平台在静止状态下的自由度。
根据实验数据，机器人平台在静止状态下的自由度为0。
这是因为机器人平台受到重力、支撑力等约束，无法进行独立运动。
2. 计算机器人平台在直线运动状态下的自由度。
根据实验数据，机器人平台在直线运动状态下的自由度为2。
这是因为机器人平台在直线运动过程中，可以沿着两个互相独立的直线方向进行运动。
3. 计算机器人平台在旋转运动状态下的自由度。
根据实验数据，机器人平台在旋转运动状态下的自由度为1。
这是因为机器人平台在旋转运动过程中，可以绕一个互相独立的轴进行旋转。
4. 分析不同结构在运动过程中的自由度变化。
通过实验，我们发现，机器人平台在运动过程中，其自由度会随着运动状态的变化而发生变化。
当机器人平台处于静止状态时，自由度为0；当机器人平台处于直线运动状态时，自由度为2；当机器人平台处于旋转运动状态时，自由度为1。
六、实验结论1. 自由度是描述物体运动特性的重要参数，对于机械系统设计具有重要意义。
自由度分析及系统分解
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器的安全性和可靠性。
信息系统自由度分析
要点一
总结词
信息系统自由度分析是评估信息系统安全性和保密性的重 要方法，有助于提高信息系统的安全防护能力。
要点二
详细描述
在信息系统中，自由度分析用于评估系统的安全性和保密 性。通过分析信息系统的自由度，可以发现潜在的安全风 险和漏洞，进而采取有效的安全措施来保护信息系统的安 全。例如，在网络安全领域中，通过信息系统自由度分析 可以检测网络攻击和入侵行为，从而及时采取措施防止敏 感信息的泄露和网络攻击的破坏。
相互制约
自由度分析和系统分解之间也存在一定的相互制约关系，例 如在某些情况下，为了满足系统的整体性能要求，可能需要 在自由度分析和系统分解之间进行权衡和折衷。
04 实际应用案例
机械系统自由度分析
总结词
机械系统自由度分析是确定机械系统运动状态的关键步骤，有助于优化系统设计和提高机械性能。
详细描述
在机械系统中，自由度是指系统独立运动的数量。通过自由度分析，可以确定系统的运动状态和可能 的运动轨迹，从而优化机械系统的设计。例如，在汽车悬挂系统中，通过自由度分析可以确定悬挂系 统的运动范围和性能，进而优化悬挂系统的设计。
系统分解后，各个子系统的功能和结构更加清晰，有利于提高系 统的可维护性。
便于模块化开发
系统分解后，各个子系统可以独立开发、测试和集成，便于模块 化开发。
自由度与系统分解的相互作用
相互促进
自由度分析和系统分解是相互促进的过程，通过自由度分析 可以指导系统分解，而系统分解的结果又可以进一步验证自 由度分析的准确性。
夹具自由度确定方法及相关介绍
夹具自动度确定方法：1、上下移动看纵向约束；2、左右平移看横向约束；3、转动工件看旋转约束。
应依据六点定位原则综合分析定位情况，确定所限制的自由度。
具体的要看所采用的定位元件，不同的定位方式所限制的自由度是不同的。
如工件以平面定位，限制了三个位置自由度。
以一面两孔定位，限制六个位置自由度。
再者，在分析时要注意，不能单独以某个定位元件定，而是以综合作用效果综合分析确定。
1、机械加工分六个自由度。
2、“如果是车床，X轴的移动可以不限制”。
3、机械加工中的所谓“限制...”，一般是指夹具设计或选用时对工件定位相关的一个“名词”。
4、在夹具设计或应用中，对六个自由度要进行定位，多了，叫过定位，少了叫欠定位。
5、工件夹紧后，工件与夹持器具，在六个自由度上一般都不能产生相对位移。
偶有例外，但车床不是，“X轴的移动”是绝对不“可以不限制”的。
加工时工件绕X轴旋转，是在“夹持器具（卡盘）”加持后带动着，按照一定的要求在运动，而绝不是不受约束的自由状态。
更何况刀具在X轴的移动是直接决定工件直径尺寸的，如果工件在X轴是“自由”的，还能完成机械加工么。
1.此外，在数控技术应用中，引入了对运动描述的定义，把机械加工中在“直角坐标系”中的运动分解为延三个方向的移动（分别为X、Y、Z和U、V、W），绕三个轴的转动（A、B、C）。
在实际应用中，也有用极坐标编程的。
一种多自由度夹具,包括夹具支架支撑座,夹持机构,其特征在于:所述夹具支架支撑座为旋转座,所述旋转座上部横向固定有横向支撑杆,该横向支撑杆一端与夹持机构的可调节支撑块连接,所述横向支撑杆另一端夹有伸缩夹头,该伸缩夹头上端与夹持机构上的夹头对应.本实用新型结构简单,设计合理,可以进行X轴和Y轴方向的转动,对待加工的部件实现多个角度的固定,夹头也能伸缩,可以适用于多种不同的异型件.一套夹具可以适用多种不同的部件,大大提高了适用范围,降低了生产成本.。
自由度及运动分析
正确 F=3n-2PL-PH= 3*2-2*2-1=1
2 局部自由度
• 对整个机构运动无关 的自由度如凸 轮机构中的滚子带来 一个局部自由度
3 虚约束
• 不起独立限制作 用的约束称为虚 约束。如图所示 的平行四边形机 构中，加上一个 构件5，便形成具 有一个虚约束的 平行四边形机构。
第二章 平面机构的自由度 和速度分析
• 平面机构：
• 所有构件都在相互平行的平面内 运动的机构称平面机构 ，否则称为 空间机构。
§2-1 运动副极其分类
一、自由度和约束
1 自由度：
2 约束：
一种相对的独立运动 对运动的一种限制
构件之间的相互联接
二、运动副
1 低副 两构件通过面接触组成的运动副
回转副（或铰链）两构件只能相对转动
4）若Ｆ>０，而原动件数>F，则构件间不能运动或产生 破坏
计算平面机构自由度
F=3n-2PL-PH 3*7-2*6=9？ 错误 •锯床机构
3*7-2*10=1
1. 复合铰链 由两个以上构件在同一处构成的重合 转动副称为复合铰链。由m个构件汇集而成的复合 铰链应当包含（m-1）个转动副。
错误 F=3n-2PL-PH= 3*3-2*(2+1)-1=2
•运动副的表示方法
转动副
移动副
•机架
• 构件的表示方法
a
b
c
d
构件的分类：
• （1） 固定件（机架）
支承活动构件的构件
• （2） 原动件
运动规律已知的活动构件
• （3） 从动件
随原动件的运动而运动的构件。其中输 出机构预期运动规律的从动件为输出构
件
• 绘制机构运动简图的步骤 • 1）确定机构中的原动部分和工作部分，然后
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例： 阻尼振动(弱阻尼)的相轨迹 v
x
2 自由度
自由度----完全确定一个力学体系的状态所需要 的独立变量。 3N个----空间位置， N个自由质点 ----6N个自由度 3N个-----运动情况
一个自由运动刚体----12个自由度。
物体系统的空间位置和运动受到一定限制（亦 称为约束）， 自由度数会减少。 一个 质点 在直线或曲线上---- 2个自由度。 在平面或曲面上---- 4个自由度。 ---- 总自由度数 (6N − k) 。 当刚体的运动受到某些条件的限制时， 刚体平动---- 6个自由度。
1 1 2 2 2 2 E mR mgR(1 cos ) mR (1 cos 2 ) 2 4
用mgR来约化， 令
* g R , 得
2 2
E 1 1 H (1 cos ) (1 cos 2 ) mgR 2 * 4 *
规律的物理图象十分请晰。
例1 如图所示。试求小环在大 圆环上位置随时间t的变化率与 的关系，画出相应的相图。
解法一： 传统方法
2 惯性离心力 F惯 mR sin
在与大圆环一同转动的参考 系中，重力 mg，支持力N,
d 2 m mR sin cos mg sin dt
§3.3 自由度及相关分析
1 相空间 由N个自由质点所组成的系统， t 时刻 的状态
x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,...,xN , yN , zN
v1x , v1y , v1z , v2 x , v2 y , v2 z ..., vNx , vNy , vNz
相空间, 相点 , 相点在相空间内运动并描出一条曲线----相轨迹，
d Fx E p (讲义p55) dx
E p重 mgR (1 cos )
1 1 2 2 E p惯 mR sin 2 d mR 2 2 (1 cos 2 ) 0 2 4 1 2 2 总势能 E p mgR (1 cos ) mR (1 cos 2 ) 4 1 2 动能为 Ek mR 2 2 总机械能为 1 1 2 2 2 2 E mR mgR(1 cos ) mR (1 cos 2 m1 m2 m1y1 m2 y 2 yc m1 m2
(m1 m2 )
c 2
确定位置---- 3个自由度，确定运动速度----3个自由 度。 d2 x
dt d 2 yc (m1 m2 ) ( F1 y F2 y ) 2 dt d2 I 2 (M1 M 2 ) dt
较小的闭合曲线。在势能E2时，
相轨迹出现分岔现象。
yc 0 0 v
c0 0
求解方程组即可得到所需的结果。
(3)在热力学中，热力学系统的自由度与系统的 能量密切联系，对于由N个分子所组成的热力学系
统，该系统的热能其实就是系统所有微观自由度上
的平均能量的总和。在讨论热能做功的过程及现律、 以及热能与其它能量形式的转化过程时，如果我们 直接从微观自由度的运动出发，以理想气体作为分 析和理解问题的具体对象进行讨论，可以使热力学
N个质点系统，存在k个限制条件（约束）
刚体定轴转动----2个自由度。 刚体平面运动---- 6个自由度。
3 自由度分析的意义
(1) 分析系统的自由度可以给出非常直观的物理 图像。
(2)从原则上讲，只要知道系统所受的力，根据牛
顿动力学方程写出与空间自由度数对应的二阶常微分
方程，再给出与自由度数相对应的初始条件，求解方 程组，便可得到任意时刻系统的运动情况。
E p重 mgR (1 cos )
E p重 mgR (1 cos )
对于惯性离心力，
F惯 mR sin
2
由保守力做功与势能的关系，
d Ep Fl d l Fl R d
1 d E p惯 F惯 cos R d mR 2 2 sin 2 d 2 1 1 2 2 E p惯 mR sin 2 d mR 2 2 (1 cos 2 ) 0 2 4
势能在 = 0处有一个 极小值；相轨迹是围 绕中心的一些闭合线。
1 E p mgR(1 cos ) mR 2 2 (1 cos 2 ) 4
2*2 ( H 1 cos )
2
2
(1 cos 2 )
*
* 时，
势能在 = 0处变为极大值， 而在其两侧势能E1出现对称的 极小值，相轨迹分裂成两个
d d d d t d d t
m
2
R
N mR sin sin mg cos
2
( )
R
解法二 ：从能量角度分析
支持力N 不作功， 重力 mg， 惯性离心力
F惯 mR sin
2
只是坐标的单值函数，可视 为保守力。 取B为势能零点 重力势能
( F1x F2 x )
d xc (m1 m2 ) 2 ( F1x F2 x ) dt 2 d yc (m1 m2 ) ( F1 y F2 y ) 2 dt 2 d I 2 (M1 M 2 ) dt
给出6个自由度所对应的初始条件，即t = 0时，
2
xc 0 vc 0
所以
2* ( H 1 cos )
2
2
2
(1 cos 2 )
1 E p mgR(1 cos ) mR 2 2 (1 cos 2 ) 4
2*2 ( H 1 cos )
2
2
(1 cos 2 )
*
* 时，