自由度及相关分析

较小的闭合曲线。在势能E2时，
相轨迹出现分岔现象。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( F1x F2 x )
d xc (m1 m2 ) 2 ( F1x F2 x ) dt 2 d yc (m1 m2 ) ( F1 y F2 y ) 2 dt 2 d I 2 (M1 M 2 ) dt
给出6个自由度所对应的初始条件，即t = 0时，
2
xc 0 vc 0
例： 阻尼振动(弱阻尼)的相轨迹 v
x
2 自由度
自由度----完全确定一个力学体系的状态所需要 的独立变量。 3N个----空间位置， N个自由质点 ----6N个自由度 3N个-----运动情况
一个自由运动刚体----12个自由度。
物体系统的空间位置和运动受到一定限制（亦 称为约束）， 自由度数会减少。 一个 质点 在直线或曲线上---- 2个自由度。 在平面或曲面上---- 4个自由度。 ---- 总自由度数 (6N − k) 。 当刚体的运动受到某些条件的限制时， 刚体平动---- 6个自由度。
yc 0 0 v
c0 0
求解方程组即可得到所需的结果。
(3)在热力学中，热力学系统的自由度与系统的 能量密切联系，对于由N个分子所组成的热力学系
统，该系统的热能其实就是系统所有微观自由度上
的平均能量的总和。在讨论热能做功的过程及现律、 以及热能与其它能量形式的转化过程时，如果我们 直接从微观自由度的运动出发，以理想气体作为分 析和理解问题的具体对象进行讨论，可以使热力学
E p重 mgR (1 cos )
E p重 mgR (1 cos )
对于惯性离心力，
F惯 mR sin
2
由保守力做功与势能的关系，
d Ep Fl d l Fl R d
1 d E p惯 F惯 cos R d mR 2 2 sin 2 d 2 1 1 2 2 E p惯 mR sin 2 d mR 2 2 (1 cos 2 ) 0 2 4
所以
2* ( H 1 cos )
2

2
2
(1 cos 2 )
1 E p mgR(1 cos ) mR 2 2 (1 cos 2 ) 4
2*2 ( H 1 cos )
2
2
(1 cos 2 )
*
* 时，
1 1 2 2 2 2 E mR mgR(1 cos ) mR (1 cos 2 ) 2 4
用mgR来约化， 令
* g R , 得
2 2
E 1 1 H (1 cos ) (1 cos 2 ) mgR 2 * 4 *
§3.3 自由度及相关分析
1 相空间 由N个自由质点所组成的系统， t 时刻 的状态
x1, y1, z1, x2 , y2 , z2 ,...,xN , yN , zN
v1x , v1y , v1z , v2 x , v2 y , v2 z ..., vNx , vNy , vNz
相空间, 相点 , 相点在相空间内运动并描出一条曲线----相轨迹，
d d d d t d d t
m

2
R
N mR sin sin mg cos
2
( )
R
解法二 ：从能量角度分析
支持力N 不作功， 重力 mg， 惯性离心力
F惯 mR sin
2
只是坐标的单值函数，可视 为保守力。 取B为势能零点 重力势能
N个质点系统，存在k个限制条件（约束）
刚体定轴转动----2个自由度。 刚体平面运动---- 6个自由度。
3 自由度分析的意义
(1) 分析系统的自由度可以给出非常直观的物理 图像。
(2)从原则上讲，只要知道系统所受的力，根据牛
顿动力学方程写出与空间自由度数对应的二阶常微分
方程，再给出与自由度数相对应的初始条件，求解方 程组，便可得到任意时刻系统的运动情况。
规律的物理图象十分请晰。
例1 如图所示。试求小环在大 圆环上位置随时间t的变化率与 的关系，画出相应的相图。
解法一： 传统方法
2 惯性离心力 F惯 mR sin
在与大圆环一同转动的参考 系中，重力 mg，支持力N,
d 2 m mR sin cos mg sin dt
势能在 = 0处有一个 极小值；相轨迹是围 绕中心的一些闭合线。
1 E p mgR(1 cos ) mR 2 2 (1 cos 2 ) 4
2*2 ( H 1 cos )
2
2
(1 cos 2 )
*
* 时，
势能在 = 0处变为极大值， 而在其两侧势能E1出现对称的 极小值，相轨迹分裂成两个
d Fx E p (讲义p55) dx
E p重 mgR (1 cos )
1 1 2 2 E p惯 mR sin 2 d mR 2 2 (1 cos 2 ) 0 2 4 1 2 2 总势能 E p mgR (1 cos ) mR (1 cos 2 ) 4 1 2 动能为 Ek mR 2 2 总机械能为 1 1 2 2 2 2 E mR mgR(1 cos ) mR (1 cos 2 ) 2 4
例如，
m1x1 m2 x2 xc m1 m2 m1y1 m2 y 2 yc m1 m2
(m1 m2 )
c 2
确定位置---- 3个自由度，确定运动速度----3个自由 度。 d2 x
dt d 2 yc (m1 m2 ) ( F1 y F2 y ) 2 dt d2 I 2 (M1 M 2 ) dt