12-2——华东师范大学数学分析课件PPT
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12-3——华东师范大学数学分析课件PPT
从而数列S2 m 1是递减的，而数列S2 m 是递增的.
又由条件(ii)知道
0 S2m1 S2m u2m 0 (m ), 从而{ [S2m, S2m-1] }是一个区间套. 由区间套定理, 存
在惟一的实数 S, 使得
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
lim
m
S2m1
lim
m
S2m
S.
所以数列 {Sn } 收敛, 即级数 (1) 收敛.
推论
若级数(1)满足莱布尼茨判别法的条件, 则收敛 级数(1)的余项估计式为
Rn un1 .
对于下列交错级数, 应用莱布尼茨判别法, 容易检验 它们都是收敛的:
数学分析 第十二章 数项级数
Sn
S,
所以对任何正整数 m,都有 m
S,
即级数(7)收敛, 且其和 S.
由于级数(5)也可看作级数(7)的重排, 所以也有
S , 从而得到 S. 这就证明了对正项级数定
理成立. 第二步 证明(7)绝对收敛.设级数(5)是一般项级数 且绝对收敛, 则由级数(6)收敛第一步结论, 可得
um1 um2 umr
因此由柯西准则知级数(5)也收敛. 对于级数(5)是否绝对收敛,可引用正项级数的各种 判别法对级数(6)进行考察.
数学分析 第十二章Байду номын сангаас数项级数
高等教育出版社
§3 一般项级数
交错级数
绝对收敛级数及其性质
阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法
例1 级数
n 2
n1 n!
原数列的重排. 相应地称级数 uk(n)为级数(5)的重
华东师范大学数学分析第四版
1 2
(b1
?
a1 ).
将上述过程无限进行下去 , 可得一列闭区间 [an , bn ]
满足下列三个性质 :
(i) [a n?1 , bn?1 ] ? [a n , bn ], n ? 1, 2, L ;
(ii)
bn
?
an
?
1 2n
(b ?
a) ?
0,
n?
?;
(iii) 对每一个闭区间 [an, bn], 都不能被 H 中有限个
n? ?
xn
?
?
称为 S的一个聚点
.
下面简单叙述一下这三个定义的等价性 .
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定义2 ? 定义2? 由定义直接得到 .
定义2?? 定义2? 因为 ? ? ? 0, U ?(? ;? ) I S ? 0,
那么
取?1 ? 1, ? x1 ? U o(? ;1) I S;
? ? 取?2 ? min 1/ 2, x1 ? ? , ? x2 ? U o(? ; ?2 ) I S;
,
n
?
1,
2,
L
,
2.
lim
n??
? ??
1 n
?
0
? ??
?
0.
但是定理1中的? 是不存在的 , 这是因为
I?
n?
1
???0,
1 n
? ??
?
?
.
例1.用区间套定理证明 连续函数根的存在性定理
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二、聚点定理与有限覆盖定理
定义2 设 S 为数轴上的非空点集 , ? 为直线上的
一个定点 (当然可以属于 S, 也可以不属于 S). 若对
(b1
?
a1 ).
将上述过程无限进行下去 , 可得一列闭区间 [an , bn ]
满足下列三个性质 :
(i) [a n?1 , bn?1 ] ? [a n , bn ], n ? 1, 2, L ;
(ii)
bn
?
an
?
1 2n
(b ?
a) ?
0,
n?
?;
(iii) 对每一个闭区间 [an, bn], 都不能被 H 中有限个
n? ?
xn
?
?
称为 S的一个聚点
.
下面简单叙述一下这三个定义的等价性 .
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定义2 ? 定义2? 由定义直接得到 .
定义2?? 定义2? 因为 ? ? ? 0, U ?(? ;? ) I S ? 0,
那么
取?1 ? 1, ? x1 ? U o(? ;1) I S;
? ? 取?2 ? min 1/ 2, x1 ? ? , ? x2 ? U o(? ; ?2 ) I S;
,
n
?
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2,
L
,
2.
lim
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但是定理1中的? 是不存在的 , 这是因为
I?
n?
1
???0,
1 n
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?
?
.
例1.用区间套定理证明 连续函数根的存在性定理
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二、聚点定理与有限覆盖定理
定义2 设 S 为数轴上的非空点集 , ? 为直线上的
一个定点 (当然可以属于 S, 也可以不属于 S). 若对
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第1章 实数集与函数
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(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
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二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
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记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域 U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
3. 令 a0 .a1a2 ,则 是正规小数表示. 4. sup S.
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四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下：设
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
其中 p n.
反之, 若x a0 .a1a2 akak1ak p ,
则 x
a0
k i 1
ai 10i
10
1 p
1
a p k j 10k j p j 1
Q.
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ; x 0.1010010001.
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二、实数的大小
定义1 x, y R+ , 若 x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理 四、非正常确界
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记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域 U (a; ) {x | 0 | x a | } : 点 a 的 空心邻域 U (a; ) {x | 0 x a } : 点 a 的 右邻域 U(a; ) {x | 0 a x } : 点 a 的 左邻域
3. 令 a0 .a1a2 ,则 是正规小数表示. 4. sup S.
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四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性: a,b R+ , n N+ , 使得 nb a. 理由如下：设
a a0 .a1a2 an , a0 k N, 则 a k 1 10k1. 设 b b0 .b1b2 bn , bp为第一个不为零的正整数, 令 n 10 pk1, 则 nb 10k1 a.
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第8章-不定积分 (2)可编辑全文
ln
|
x
a
|
1 2a
ln
|
x
a
|
1 ln x a C. 2a x a
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例3 求 x 1 x2dx.
解
x 1 x2dx 1
1
1 x2 2d(x2 )
2
1
1
1 x2 2d 1 x2
2
1 2 1 x2
3
2 C
23
1 1 x2
3
dx 所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g(( x))( x)dx g(( x))d( x) G(( x)) C,
其中 G(u) g(u). 常见的凑微分形式有
(1) adx d(ax);
(2) dx d( x a);
(3)
xdx
1
1
d(x 1
a2 x2 dx a cos t d(a sin t)
a2
cos2t
dt
a2 2
(1 cos 2t)dt
a2 2
t
1 2
sin
2t
C
a2 2
arcsin
x a
x a
1
x a
2
C
1 2
a2
arcsin
x a
x
a2
x2
C.
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例8 求
解 设x
dx
a2 a tan
或 ( x) 0, x [a,b]. 因此 u ( x) 是严格单调
函数,从而 u ( x) 存在反函数 x 1(u), 且
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dx 1
.
11-2——华东师范大学数学分析课件PPT
f ( x) dx 收敛，则 f ( x) dx 也收敛，并 有
a
a
a f ( x) dx a f ( x) dx.
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
非负函数无穷积分的收敛判别法
u1
u1
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
又因为 f ( x) 2 f ( x)dx u2 h( x)dx u2 g( x)dx ,
u1
证 设F(u)
u
f ( x)dx,
u [a, ),
则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F(u). 由函数
u
极限的柯西准则,此等价于
0, G a, u1, u2 G,
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
F (u1) F (u2 ) ,
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无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）
无穷积分
f ( x)dx
收敛的充要条件是:
a
0, G a, 当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
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§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第5章 导数和微分
意一点 x 都有 f 的一个导数 f ( x0 )与之对应, 这就
定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的
导函数，简称导数,
记作
f ( x) 或
dy dx
.
即
f ( x)
lim
D x0
f (x Dx) Dx
f (x),
x I.
(7)
注 这里 dy 仅为一个记号，学了微分之后就会知
(cos
x)
sin D x
lim Dx0
2 Dx
lim sin( x
D x0
Dx) 2
sin
x.
2
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(iii) 由于
a xD x a x a x aD x 1 a x eD x ln a 1
Dx
Dx
Dx
a x ln a eD xln a 1, D x ln a
因此 (a x ) a x ln a lim eDxlna 1 a x ln a . 特别有 Dx0 Dx ln a
记 为切线与 x 轴正向的夹角，则
f (x0) = tan .
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由此可知, f (x0) 0 说明 是锐角; f (x0) 0 说
明 是钝角; f x0 0 说明 0 ( 切线与 x 轴平
行 ).
y
y 0
•
y 0 •
y 0
•
yf (x)
O
x
点击上图动画演示
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证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有
华东师大第四版数学分析上册课件
数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连 续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等 ，它具有广泛的应用价值。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第13章 函数列与函数项级数
定理13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 { fn } 在数集 D上一致收敛的充要条件是: 对任给正数 ,
总存在正数N, 使当 n, m N , 对一切 x D, 都有
| fn( x) fm ( x) | .
(4)
证 必要性 设 fn( x) f ( x) (n ), x D，即对
1,
x 1.
证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
| fn( x) f ( x) || xn |,
只要取 N ( , x) ln , 当 n N ( , x) 时,就有
ln | x |
| fn( x) f ( x) || x |n| x |N .
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3
f3
像如图13-3 所示.
2
f2
1
f1
图13 3
f (x)
O 11 1 1 64 3 2
1
x
于是(8)在[0, 1]上的极限函数为 f ( x) 0. 又由于
sup
x[0, 1]
fn(x)
f (x)
fn
1 2n
n
(n ),
所以函数列 (8) 在 [0, 1] 上不一致收敛.
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(7)
xD
因为对一切 x D, 总有
| fn( x) f ( x) | sup | fn( x) f ( x) | .
xD
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故由 (7) 式得 fn( x) f ( x) , 于是 fn 在 D 上
一致收敛于 f .
注 柯西准则的特点是不需要知道极限函数是什么,
只是根据函数列本身的特性来判断函数列是否一致
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第7章 实数的完备性
a1 a2 an bn b2 b1.
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定理7.1(区间套定理) 若 {[an , bn ]} 是一个区间套,
则存在唯一的实数 , 使
或者
[an , bn ], n 1, 2, ,
{ } [an , bn ].
a1a2 anan1
n1
( 注意 : 这并不能说明
lim
n
an
aN .)
x
aN aN aN
令
1, 2
存在N1,
n
N1
时,an
(aN1
1, 2
aN1
1 ), 2
取 [a1,
b1] [
aN1
1, 2
aN1
1 2
]. 令
1 22
,
存在
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N2( N1 ), n N 2 时,
1
1
an [aN2 22 , aN2 22 ],
§1 关于实数集完备性的基本定理
在第一章与第二章中, 我们已经证明了实 数集中的确界定理、单调有界定理并给出了 柯西收敛准则. 这三个定理反映了实数的一种 特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是 不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与 上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定 理是数学分析理论的基石.
| an A | | an anK | | anK A | 2 ,
所以
lim
n
an
A.
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定义3 设 S 为数轴上的一个点集,H为一些开区间
的集合(即 H 中的元素均为形如 ( , ) 的开区间 ).
若对于任意 x S, 都存在 ( , ) H , 使 x ( , ),
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定理7.1(区间套定理) 若 {[an , bn ]} 是一个区间套,
则存在唯一的实数 , 使
或者
[an , bn ], n 1, 2, ,
{ } [an , bn ].
a1a2 anan1
n1
( 注意 : 这并不能说明
lim
n
an
aN .)
x
aN aN aN
令
1, 2
存在N1,
n
N1
时,an
(aN1
1, 2
aN1
1 ), 2
取 [a1,
b1] [
aN1
1, 2
aN1
1 2
]. 令
1 22
,
存在
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N2( N1 ), n N 2 时,
1
1
an [aN2 22 , aN2 22 ],
§1 关于实数集完备性的基本定理
在第一章与第二章中, 我们已经证明了实 数集中的确界定理、单调有界定理并给出了 柯西收敛准则. 这三个定理反映了实数的一种 特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是 不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与 上述三个定理的等价性定理及其应用.这些定 理是数学分析理论的基石.
| an A | | an anK | | anK A | 2 ,
所以
lim
n
an
A.
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定义3 设 S 为数轴上的一个点集,H为一些开区间
的集合(即 H 中的元素均为形如 ( , ) 的开区间 ).
若对于任意 x S, 都存在 ( , ) H , 使 x ( , ),
15-2——华东师范大学数学分析课件PPT
cos nπ) nπ
( 2k
6
1)π
,
n 2k 1,k 1,2,
,
0,
n 2k,2k 1,2, .
数学分析 第十五章 傅里叶级数
高等教育出版社
§2 以2l为周期的函数的展开式 以2l为周期的函数的傅里叶级数 偶函数与奇函数的傅里叶级数
代入(5)式, 得
f ( x) 3 6 sin (2k 1)πx
其中
an
1 π
π
F (t)cos ntdt ,
π
n 1,2,
(2)
bn
1 π
π
F (t)sin ntdt ,
π
n 1,2, .
因为 t πx ，所以 l
F(t)
f
lt π
f ( x). 于是由(1)与
(2)式分别得
f ( x)
a0 2
(an cos
n1
nπx l
bn
sin
nπx ), l
偶函数与奇函数的傅里叶级数
设 f 是以 2l 为周期的偶函数, 或是定义在[l, l] 上 的偶函数, 则在 [l, l] 上, f ( x)cos nx 是偶函数,
f ( x)sin nx是奇函数. 因此, f 的傅里叶系数(4)是
an
1 l
l l
f ( x)cos nπx dx l
2 l f ( x)cos nπx dx,
这里(4)式是以2l 为周期的源自数 f 的傅里叶系数, (3)式是 f 的傅里叶级数.
若函数 f 在 [l, l] 上按段光滑, 则同样可由收敛定理
知道
f
(
xf)(
x
a00) f 2 2n1
华东师大初中数学八年级上册《12课件
(2)(x-3)(x+5) =x2+2x-15
(3)(x+3)(x+5) =x2+8x+15
(4)(x-3)(x-5) =x2-8x+15
请观察上面四题的特点，你能总结出它们结 果的规律吗？
规律：+
(x a)(x b) x2 (a b)x ab
×
练习：用推导的公式计算：
(x 3)(x 4) x2 x 12
(x 1)(x 1) x2 1
合作探究：
当a为何值时，(x2+ax+1)(x2-3x+2) 的运算结果不含有x2项.
先利用多项式与多项 式相乘的乘法法则进 行计算，然后合并同 类项，合并时含有x2的
系数和为0即可。
本节课你的收获是什么？
如何进行多项式与多项式乘法运算？
运用多项式乘法法则，要有序地逐项相 乘，不要漏乘，并注意项的符号．
3
= - 30a5+4a4-6a3
• a2(a+1) – a(2a2+a-1)
= -a3+a
动手画一画
• 你能利用如下的长方形卡片拼成更大的长方形吗？
b a
m a
b n
m n
b
b
m
a mn
a
n
你能用不同的形式表示 所拼图的面积吗？
可以看成四个矩形的面积和: ab am nm nb
b
b
m
m mb
(1)(a 1)(b 1) ab a b 1
③④
注意①事②项：
(12、)(多a 项1③)式(④b乘1法)中a，b每 a一项b应1连同
符号相①乘②；切记“同号得正，异
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第16章 多元函数的极限与连续
个相同的集合.
例1 设平面点集（见图 16 – 3）
D ( x, y) 1 x2 y2 4 . (4)
y
满足 1 x2 y2 4 的一切点都 是 D 的内点; 满足 x2 y2 1
O 12x
的一切点是 D 的界点, 它们都属 于D; 满足 x2 y2 4 的一切点也
图 16 – 3
也常记作： S [a,b][c,d].
(iv) 点 A( x0 , y0 )的 邻域:
( x, y) ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 ( 圆形 )
与 ( x, y) | x x0 | , | y y0 | ( 方形 ).
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y
C
O
rx
(a) 圆 C
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闭集— 若点集 E 的所有聚点都属于 E ( 即 E E ), 则称 E 为闭集. 若点集 E 没有聚点 ( 即 E d ), 这时也称 E 为闭集. 例如前面列举的点集中, (2)式所示的 C 是开集; (3) 式所示的 S 是闭集; (4)式所示的 D 既非开集, 又 非闭集; 而(1)式所示的 R2 既是开集又是闭集. 在 平面点集中, 只有 R2 与 是既开又闭的. 开域— 若非空开集 E 具有连通性, 即 E 中任意两 点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接,
注意: 不要把上面的空心方邻域错写成 : ( 请指出
错在何处? ) ( x, y) 0 | x x0 | , 0 | y y0 | .
※ 点和点集之间的关系
任意一点 A R2与任意一个点集 E R2之间必有
以下三种关系之一 :
(i) 内点—若 0, 使 U ( A; ) E, 则称点 A是
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【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练
【史上最强】华东师范大学《数学分析》第四第五版上下册精讲精练华东师范大学《数学分析》第四版和第五版是数学专业本科生必修的课程。
数学分析是数学的基础课程之一，是学习数学专业的必备课程之一。
这两个版本的教材涵盖了微积分、级数和函数的基本概念、性质和理论。
下面我将结合个人的学习经验，给大家分享一些学习该教材的技巧和注意事项，以及重要概念的精讲精练。
一、学习技巧和注意事项1. 学好基础知识。
数学分析是建立在微积分基础之上的，因此在学习本课程之前，要先学习高等数学中的微积分部分。
这样可以更好地理解和掌握数学分析的内容。
2. 理解和掌握公式和定理。
数学分析中有很多重要的公式和定理，如极值定理、中值定理、费马定理等。
在学习时，要重视这些公式和定理的理解和掌握，并能熟练地运用它们来解决问题。
3. 培养良好的数学思维。
数学分析是一门具有很强的逻辑性和抽象性的学科，因此要善于拓展思维、培养逻辑思维能力，并多做一些题目来提高解决问题的能力。
4. 注意语言的表达。
数学分析中涉及到很多概念、符号和定理，因此在学习时要注意语言的准确性和表达能力，避免产生歧义。
5. 做好笔记和复习。
在学习数学分析时，要做好笔记，记录下重要概念、公式和定理，方便以后查阅和复习。
同时，要经常回顾已学知识，加强记忆和巩固。
二、重要概念的精讲精练1. 极限在数学分析中，极限是一个非常重要的概念。
它表示自变量在接近某个特定值时，函数取值的趋势。
简单来说，就是函数在某一点的极限值，通常用lim f(x)表示。
在计算极限时，通常需要用到极限计算法则，如代数运算法则、夹逼准则、洛必达法则等。
其中，洛必达法则是计算难度较大的一种方法，需要掌握其具体使用方法。
例如，计算以下极限：lim (3x^2 + 1) / x, x -> 0应用洛必达法则，可得：lim (6x) / 1x -> 0= 0因此，该极限的值为0。
2. 导数和微分导数和微分是微积分的核心概念，也是数学分析的重要内容。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第2章 数列极限
多只有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表
示当
n
>N
时, an U(a; ) ,
即
lim
n
an
a.
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以上是定义 1 的等价说法, 写成定义就是:
定义1' 任给 0 , 若在 U(a; ) 之外至多只有
{ an } 的有限多项, 则称数列 { an } 收敛于a . 这样,
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例1
证明
lim
n
1 n n!
0.
证 对任意正数 , 因为 lim (1 )n 0 ,
n n!
所以由
定理 2.4, N 0, 当 n N 时,
1 n
1, n!
即
1 n n!
.
这就证明了
lim
n
1 n n!
0.
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四、保不等式性
定理 2.5 设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正
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一、惟一性
定理 2.2 若 {an } 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 a 是 {an} 的一个极限. 下面证明对于任何 定数 b a, b 不能是 {an} 的极限 .
若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数 >0,
N1, 当 n N1 时，有
| an a | ;
lim
n
an
.
若 an G,改为 an G 或 an G,则称 {an } 是正无
穷大数列或负无穷大数列, 分别记作
lim
n
an
或
lim
n
an
.
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数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第9章 定积分
注2 条件 (i)不是必要条件, 以后将举例说明, 存在
函 数 f 在 [a, b] 上有间断点, 但 f 在 [a, b]上仍可
积.
例2 求 b xndx. a
解
b xndx xn1 b 1 (bn1 an1 ).
a
n1a n1
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1
例3 求 2
dx
.
0 1 x2
解
1 2
dx
f
(
x)dx
F
(
x)
b a
F(b) F(a).
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证 因 f 在 [a, b] 上一致连续, 则 0, 0, 当 x, x [a, b], | x x | 时,
| f ( x) f ( x) | .
任取 i [ xi1, xi ], i 1, 2, , n. 又 F 在 [ xi1, xi ]
S lim
n
i
1
2
1
n i 1
n
n
lim 1
n
i 12
n n 3 i 1
lim
n
n
1n2n
6n3
1
1 3
.
注 这里利用了连续函数的可积性.因为可积,所
以可取特殊的分割(等分)和特殊的介点i
i
1. n
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§2 牛顿－莱布尼茨公式
显然, 按定义计算定积分非常困难, 须寻找新的途径计算定积分. 在本节中, 介绍牛顿－莱布尼茨公式, 从而建立了 定积分与不定积分之间的联系, 大大简 化了定积分的计算.
与 i [ xi1, xi ] ( i 1, 2, , n) 如何选取, 都有
于是
n
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如果存在某正数N, 对一切 n > N 都有
un vn
(1)
则
(i) 若级数 vn 收敛,则级数 un 也收敛;
(ii) 若级数 un 发散,则级数vn 也发散.
证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛
散性, 因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.
现在分别以 Sn 和 Sn 记级数 un 与 vn 的部分和.
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
lim un l,
(3)
v n n
(i) 当 0 l 时, 级数un,vn同敛散;
证 (i) 由(3) 对任给正数 l, 存在某正数N,
当 n > N 时,恒有
un l
vn 或
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
正项级数收敛性的一般判别原则
若数项级数各项的符号都相同, 则称为同号级数. 对于同号级数, 只须研究各项都是由正数组成的级 数(称正项级数). 由级数与其部分和数列的关系，得：
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
后退 前进 目录 退出
§2 正项级数
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
由(1)式可得,对一切正整数 n, 都有
Sn Sn
(2)
若
vn收敛,
即
lim
n
Sn存在,
则由(2)式对一切 n 有
Sn
lim
n
Sn，
即正项级数
un的部分和数列 {Sn } 有
证 因为 0 unvn un2 vn2, 而级数 un2 , vn2 均收敛，根据比较原则, 得到正项级数 unvn 收敛.
在实际使用上,下面给出的极限形式通常更方便.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
推论（比较原则的极限形式）
数学分析 第 十二章 数项级数
§2 正项级数
收敛性是级数研 究中最基本的问题, 本 节将对最简单的正项 级数建立收敛性判别 法则.
一、正项级数收敛性的一 般判别原则
二、比式判别法和根式判 别法
三、积分判别法
*四、拉贝判别法
*点击以上标题可直接前往对应内容
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
(l )vn un (l )vn .
(4)
由比较原则及(4)式得, 当 0 l 时, 级数 un
与 vn 同时收敛或同时发散. 这就证得了(i).
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 比式判别法和根式判别
般判别原则
法
lim un l,
v n n
n 1
1,
根据比较原则的极限
n
形式以及调和级数
1 n
发散,
得到级数
sin
1 n
也发
散.
数学分析 第十二章 数项级数
高等教育出版社
§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
*例5 判断正项级数
1
2nsin 1 的敛散性.
于是由比较原则知道, 若级数 vn 发散, 则级数
un 也发散.
数学分析 第十二章 数项级数
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§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
例3
级数
2n
1
n
是收敛的,
因为
*拉贝判别法
1
lim 2n n n 1
2n
lim
n
2n 2n
n
lim 1
积分判 别法
*拉贝判别法
设 un, vn 是两个正项级数,若
lim un l,
(3)
v n n
则
(i) 当 0 l 时, 级数un,vn同敛散; (ii) 当 l 0 且级数vn收敛时, 级数un也收敛;
(iii) 当 l 且级数vn发散时, 级数un也发散.
数学分析 第十二章 数项级数
定理).这就证明了定理的结论.
仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不 容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收
敛性判别法则.
数学分析 第十二章 数项级数
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§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
定理12.6（比较原则）
设 un 和 vn 是两个正项级数
n2
1 n
1
n2
1
n
1
nn
1.
因为正项级数
1
n2 n(n 1)
收敛 (§1例5的注),
故由
比较原则和定理12.3,
级数
n2
1 n
1
也收敛.
数学分析 第十二章 数项级数
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§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
例2 若级数 un2 , vn2 收敛, 且un 0,vn 0. 则级数 unvn 收敛.
n
1
n 2n
1
以及等比级数
1 2n
收敛,
根据比较原则的极限形
式,
级数
2n
1
n
也收敛.
数学分析 第十二章 数项级数
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§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
例4
正项级数
sin
1 n
sin1
sin
1 2
sin 1 n
sin 1
是发散的, 因为 lim n
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
定理12.5
正项级数 un 收敛的充要条件是: 部分和数列
{Sn }有界, 即存在某正数M, 对一切正整数 n 有
Sn M . 证 由于 ui 0(i 1, 2, ), 所以{Sn}是递增数列. 而
单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界
(l )vn un (l )vn .
积分判 别法
*拉贝判别法
(3) (4)
(ii) 当l = 0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,若
级数 vn 收敛, 则级数 un 也收敛.
(iii) 若l , 则对于正数1, 存在相应的正数N,
当n > N 时, 都有
un vn
1 或un
vn .
界, 由定理12.5级数 un 收敛, 这就证明了(i).
(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.
un vn
(1)
数学分析 第十二章 数项级数
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§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别
的收敛性.
积分判 别法
*拉贝判别法
解 由于当 n 2 时, 有
un vn
(1)
则
(i) 若级数 vn 收敛,则级数 un 也收敛;
(ii) 若级数 un 发散,则级数vn 也发散.
证 因为改变级数的有限项并不影响原有级数的敛
散性, 因此不妨设不等式(1)对一切正整数都成立.
现在分别以 Sn 和 Sn 记级数 un 与 vn 的部分和.
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§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
lim un l,
(3)
v n n
(i) 当 0 l 时, 级数un,vn同敛散;
证 (i) 由(3) 对任给正数 l, 存在某正数N,
当 n > N 时,恒有
un l
vn 或
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
正项级数收敛性的一般判别原则
若数项级数各项的符号都相同, 则称为同号级数. 对于同号级数, 只须研究各项都是由正数组成的级 数(称正项级数). 由级数与其部分和数列的关系，得：
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§2 正项级数
正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
由(1)式可得,对一切正整数 n, 都有
Sn Sn
(2)
若
vn收敛,
即
lim
n
Sn存在,
则由(2)式对一切 n 有
Sn
lim
n
Sn，
即正项级数
un的部分和数列 {Sn } 有
证 因为 0 unvn un2 vn2, 而级数 un2 , vn2 均收敛，根据比较原则, 得到正项级数 unvn 收敛.
在实际使用上,下面给出的极限形式通常更方便.
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正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
推论（比较原则的极限形式）
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收敛性是级数研 究中最基本的问题, 本 节将对最简单的正项 级数建立收敛性判别 法则.
一、正项级数收敛性的一 般判别原则
二、比式判别法和根式判 别法
三、积分判别法
*四、拉贝判别法
*点击以上标题可直接前往对应内容
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正项级数收敛性的一 般判别原则
(l )vn un (l )vn .
(4)
由比较原则及(4)式得, 当 0 l 时, 级数 un
与 vn 同时收敛或同时发散. 这就证得了(i).
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正项级数收敛性的一 比式判别法和根式判别
般判别原则
法
lim un l,
v n n
n 1
1,
根据比较原则的极限
n
形式以及调和级数
1 n
发散,
得到级数
sin
1 n
也发
散.
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比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
*例5 判断正项级数
1
2nsin 1 的敛散性.
于是由比较原则知道, 若级数 vn 发散, 则级数
un 也发散.
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正项级数收敛性的一 般判别原则
比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
例3
级数
2n
1
n
是收敛的,
因为
*拉贝判别法
1
lim 2n n n 1
2n
lim
n
2n 2n
n
lim 1
积分判 别法
*拉贝判别法
设 un, vn 是两个正项级数,若
lim un l,
(3)
v n n
则
(i) 当 0 l 时, 级数un,vn同敛散; (ii) 当 l 0 且级数vn收敛时, 级数un也收敛;
(iii) 当 l 且级数vn发散时, 级数un也发散.
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定理).这就证明了定理的结论.
仅靠定义和定理12.5来判断正项级数的收敛性是不 容易的，因此要建立基于级数一般项本身特性的收
敛性判别法则.
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比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
定理12.6（比较原则）
设 un 和 vn 是两个正项级数
n2
1 n
1
n2
1
n
1
nn
1.
因为正项级数
1
n2 n(n 1)
收敛 (§1例5的注),
故由
比较原则和定理12.3,
级数
n2
1 n
1
也收敛.
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比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
例2 若级数 un2 , vn2 收敛, 且un 0,vn 0. 则级数 unvn 收敛.
n
1
n 2n
1
以及等比级数
1 2n
收敛,
根据比较原则的极限形
式,
级数
2n
1
n
也收敛.
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比式判别法和根式判别 法
积分判 别法
*拉贝判别法
例4
正项级数
sin
1 n
sin1
sin
1 2
sin 1 n
sin 1
是发散的, 因为 lim n
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*拉贝判别法
定理12.5
正项级数 un 收敛的充要条件是: 部分和数列
{Sn }有界, 即存在某正数M, 对一切正整数 n 有
Sn M . 证 由于 ui 0(i 1, 2, ), 所以{Sn}是递增数列. 而
单调数列收敛的充要条件是该数列有界(单调有界
(l )vn un (l )vn .
积分判 别法
*拉贝判别法
(3) (4)
(ii) 当l = 0时,由(4)式右半部分及比较原则可得,若
级数 vn 收敛, 则级数 un 也收敛.
(iii) 若l , 则对于正数1, 存在相应的正数N,
当n > N 时, 都有
un vn
1 或un
vn .
界, 由定理12.5级数 un 收敛, 这就证明了(i).
(ii)为(i)的逆否命题,自然成立.
un vn
(1)
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比式判别法和根式判别
的收敛性.
积分判 别法
*拉贝判别法
解 由于当 n 2 时, 有