2016全国高考数学卷理科1压轴题第21题分析

(2016全国卷1理21题)已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点。

（1）求a 的取值范围。

（2）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：.221<+x x
考点分析：零、方程根、图象交点问题的相互转化。

不等式的单调性转化。

如何用导数求最值。

难度系数：0.1
解：（1）：零点2)1()2(0)(--=-⇔=⇒x e x a x f x 有两个零点。

221)1()2(,--=-=x e x y a y x
两条曲线有两个交点。

接下来画图即可。

首先验证1=x 不是其零点。

因为接下来讨论过程中1=x 不在定义中。

3
2432)1()54()1()2)(1(2)1(-+-=-----='x x x e x e x x e x y x x x 所以2y 在)1,(-∞递减，),1(+∞递增，大致图象为：
所以只有当0>a 时图象21,y y 才有两个交点。

即函数)(x f 有两个零点。

（2）：)2)(1()(a e x x f x +-='，由于0>a 所以)(x f 在)1,(-∞上单调递减。

设21x x <。

由（1）知),1(),1,(21+∞∈-∞∈x x ，所以)1,(22-∞∈-x 。

所以
)2()(022212121x f x f x x x x ->=⇔-<⇔<+
由于0)1()2()(22222=-+-=x a e x x f x 所以
22)2()2(2222x x e x e
x x f ---=-- 下面构造函数1,)2()(2>---=-x e x xe x g x x
).)(1()(2x x e e x x g --='-所以当1>x 时)(0)(x g x g ⇒<'在),1(+∞递减。

所以0)1()(=<g x g 。

所以0)2(2<-x f 恒成立。

所以不等式221<+x x 成立。