智轩2010考研数学第3专题讲座---导数的经济学应用(数学3)

C x C0 C1 x
其中： C0 表示固定成本，如设备维修费、企业管理费等等， C1 x 表示可变成本，如购买原材料、 动力费等等。 平均成本：
C x
C x C0 C1 x x x x
2）总收入（或称总收益）函数 R x （用字母 R 表示） （Total Receipt Function）
t为国家征税率， x为产量。 L x 0 称为：收支平衡
4）需求函数 Qd （用字母 Q d 表示） （Demand Function）
Qd Qd p 在线形情况下：Qd a bp
a
0, b 0 a , 称为最大销售价格。 b
Qd 0 pmax
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2010 数学 3 专题----导数的经济学应用
一、 经济分析中常用的 5 大经济学函数
1）总成本函数 C x （Total Cost Function） 在经营活动中的总成本（用字母 C 表示）与产品的产量（用字母 x 表示）密切相关，经过抽象简化， 可以看成仅是产量的函数，在不考虑产品积压，假设供求平衡的条件下， x 为产品的产量 x 为产品的销 售量。
由于产品的最小单位是 1，故，当 x 1 或 x 1 时，分别给出
f ( x 1) f ( x) f ( x)
或
f ( x) f ( x 1) f ( x) ．
因此边际函数值 f ( x0 ) 的经济意义是：经济函数 f ( x) 在点 x x0 处，当自变量 x 再增加 1 个单位时，因 变量 y 的改变量的近似值，或近似于经济函数值 f ( x0 ) 与 f ( x0 1) 之差．但在应用问题中解释边际函数
R R(Q) Q P ．
若需求函数为 P P(Q) ，则总收益函数为
R R(Q) Q P(Q) ，
4
智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座---导数的经济学应用（数学 3）http://bbs.qinjing.cc 故平均收益函数为
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R R(Q)
R(Q) QP(Q) P(Q) ， Q Q
R R x
当产品的单价（price）为 p， x 为销售量时
R x p x p x R x R x , 即平均收益函数 x
3）总利润函数 L x （用字母 L 表示） （Total Gain Function）
L L x R x C x tx
3
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C
C 9000 40 0.001Q ， Q Q
C
9000 0.001 ， Q2
令 C 0，得 Q = 3000(件)．由于 C 0，故当产量为 3000 件时平均成本最小． 【例 3】 某工厂生产 Q 个单位产品的总成本 C 为产量 Q 的函数
C C (Q) 1100
1 Q2 ， 1200
求：(1)生产 900 个单位时的总成本和平均成本； (2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率； (3)生产 900 个单位时的边际成本； 解 (1)生产 900 个单位时的总成本为
C C (900) 1100
(1)边际利润为
L 60
当产量为 100 吨时，边际利润为
Q ． 5
L (100) 60
(2)令 L 0 得 Q = 300(吨)．由于 L 0 ，故当产量为 300 吨时，利润最大．
100 40 (元)． 5
p 和边际供给 Qs p ，一共 5 个边际函数。 同样，还有边际需求 Qd
C C (Q)
生产 Q 个单位产品时的边际成本函数为
C (Q) ， Q
C C (Q) ．
C (Q0 ) 称为当产量为 Q0 时的边际成本．西方经济学家对它的解释是：当生产 Q0 个单位产品前最后
增加的那个单位产品所花费的成本或生产 Q0 个单位产品后增加的那个单位产品所花费的成本．这两种理 解均算正确，我们一般使用后一种说法． 【例 2】 已知生产某产品 Q 件的成本为 C 9000 40Q 0.001Q (元)，试求：
x 5
当 x 5 时，x 改变一个单位(增加或减少一个单位)， 10. 该值表明：
y 约改变 10 个单位(增加或减少 10 个单位)．
下面介绍经济学中常用的三个边际概念． 2.1 边际成本 C x 某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或 费用总额．它由固定成本和可变成本两部分组成． 平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本． 边际成本是总成本的变化率． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数． 设总成本函数 C C (Q) ， Q 为产量，则平均成本函数为
如果当初的 T0 没有存入银行，则当初的 T0 相当于现在的值： T t T0 e
rt
nt
二、边际与边际分析
在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率．平均变化率就 是函数增量与自变量增量之比，函数 y f ( x) 在 ( x0 , x0 x) 内的平均变化率为
5）供给函数 QS （用字母 Qs 表示） （Supply Function）
1
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Qs Qs p 在线性情况下：Qs c dp
c
0, d 0 ac , 称为均衡价格。 bd
三、 弹性与弹性分析
前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率．在实际问题中，有时仅知道函数
y f ( x) 的改变量 y 及绝对改变率 f ( x) 是不够的．例如，设有 A 和 B 两种商品，其单价分别为 10 元
和 100 元．同时提价 1 元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为 10%和 1%．前者是后者 的 10 倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性．它定量地反映了 一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时， 因变量变动的百分数． 定义 设函数 y f ( x) 在点 x 处可导，且 y f ( x) 0 ．函数的相对改变量
15 2 255 ， 5
平均收益
R(Q) QP(Q) P(Q) Q 15 17 ， Q Q 15 Q Q 15
边际收益
2 R R(Q) Q 15 20 15 14 ． 5
【例 5】 某工厂生产一批产品的固定成本为 2000 元，每增产一吨产品成本增加 50 元，设该产品的市场 需求规律为 Q = 1100 – 10P(P 为价格)，产销平衡，试求： (1)产量为 100 吨时的边际利润； (2)产量为多少吨时利润最大？
x0 处的导数
f ( x0 ) 称为 f ( x) 在点 x x0 处的变化率，也称为 f ( x) 在点 x x0 处的边际函数值．它表示 f ( x) 在点 x x0 处的变化速度．
现设 y f ( x) 是一个可导的经济函数，于是当 x 很小时
f ( x x) f ( x) f ( x)x (x) f ( x)x ．
2
(1)边际成本函数； (2)产量为 1000 件时的边际成本，并解释其经济意义； (3)产量为多少件时，平均成本最小？ 解 (1)边际成本函数：
C 40 0.002Q ．
(2)产量为 1000 件时的边际成本：
C (1000) 40 0.002 1000 60.
它表示当产量为 1000 件时，再生产 1 件产品需要的成本为 60 元； (3)平均成本：
5
智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座---导数的经济学应用（数学 3）http://bbs.qinjing.cc 由于 P 110
解
Q , 故总收入为 10 R PQ 110Q Q2 ， 10
总成本为
C 2000 50Q ，
故总利润为
Q2 L R C 60Q 2000 ． 10
2
智轩 2010 考研数学第 3 专题讲座---导数的经济学应用（数学 3）http://bbs.qinjing.cc 值的具体意义时，常略去“近似”两字，因为产品的最小单位为 1，不存在小数． 【例 1】 解 设函数 y x ，试求 y 在 x 5 时的边际函数值．
2
因为 y 2 x ， 所以 y
时收益的改变量． 由经济学知识，总利润是总收益与总成本之差，设总利润为 L ，则总利润函数为
L L(Q) R (Q) C (Q) (其中 Q 为商品量)
那么边际利润函数为
L L(Q) R(Q) C (Q)
它的经济意义是： L(Q0 ) 表示销售量为 Q0 单位时，再销售一个单位商品时利润的改变量． 【例 4】 设某产品的需求函数为：
Qs Qd a bp -c dp p0
6）复利公式 设银行存款的年利率为 r ，开始存钱为 T0 ，则 t 年后， 年复利公式： T t T0 1 r 月复利公式： T t T0 1
t

r 12
12 t
r rt ： T t lim T0 1 T0 e 连续复利公式（即：按天、时或更少的时间） n n
平均成本为
1 900 2 1775 ． 1200
C (900) 1775 1.97 ． 900 900
(2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成本的平均变化率为
C C (1000) C (900) 1933 1775 1.58 ． Q 1000 900 100
即价格 P (Q) 可视作从需求量(这里需求量即为销售量) Q 上获得的平均收益．边际收益为
R R (Q) (Q P(Q)) Q P (Q) P(Q) ．
R (Q0 ) 的经济意义为： R (Q0 ) 表示销售量为 Q0 个单位时，多销售一个单位产品或少销售一个单位产品
P 20
Q ， 5
其中 P 为价格， Q 为销售量，当销售量为 15 个单位时，求总收益、平均收益与边际收益； 解 因为需求函数为 P 20
Q ，则总收益函数为： 5 Q2 ， 5
R R(Q) Q P(Q) 20Q
故销售量为 15 个单位时，有 总收益
R(15) 20 15 R(15)
y ，如我们常用到年 x
产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等．瞬时变化率就是函数对自变量的导数， 即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限：
x 0
lim
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x
在经济学中，一个经济函数 f ( x) 的导数 f ( x) 称为该函数的边际函数． f ( x) 在点 x
(3)生产 900 个单位时的边际成本为
1 C (900) 1100 Q2 1200
2.2 边际收益 R x 和边际利润 L x

Q 900
1 Q 1.5 ． 600 Q 900
总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入．平均收益是生产者出售一定量产品，平均每单 位产品所得到的收入，即单位商品的售价 p ．边际收益为总收益的变化率． 总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数． 设 P 为价格， Q （有时也用 x 表示，但要注意 Q 与 Qd , Qs 完全不同！ ）为销售量，则总收益函数为：