第三部分_复合材料的设计原理和复合理论

连续纤维增强（串联模型，等应力模型）
1 fm fr Em fr Er 1 fr
Ec Em Er
EmEr
Ef
并联模型
Em
串联模型
体积分数fr
4)短纤维增强
短纤维（不连续纤维）增强复合材料受力时， 力学特性与长纤维不同。该类材料受力基体变形 时，短纤维上应力的分布载荷是基体通过界面传 递给纤维的。在一定的界面强度下，纤维端部的 切应力最大，中部最小。而作用在纤维上的拉应 力是切应力由端部向中部积累的结果。所以拉应 力端部最小，中部最大。
（7） 建立网格。
虚线代表实验值
FEM优点：灵活有效，可研究复合材料的局部或整体变形特征。
3.3 物理性能的复合法则
对于复合材料，最引人注目的是其高比强度、 高比弹性模量等力学性能。但是其物理性能(nonstructural properties)也应该通过复合化得到提高。
按照Alberts和Halo的分类，物理性能分为: ➢ 加和（平均）特性 ➢ 乘积（传递）特性 ➢ 结构敏感特性
短纤维增强
σf σf max
lc为纤维中点的最大拉应力恰等于纤维的
断裂强度时纤维的长度（临界长度）
l<lc
l=lc
作用在短纤维上的平均拉应力为:
lc /3
l>lc


1 l
l
0 f dl


f
,m
ax1


1




lc l

l
l lc
β为图中lc/3线段上的面积与σf,max乘以lc/3积之比值。 当基体为理想塑性材料时，纤维上的拉应力从末端为零线形增大，则β=1/3，因此
对于与时间有关的问题，时间也要离散化，从而可求得经一 系列时间步幅之后的一系列顺序解。
一般来讲，FEM比FDM更适合于（稳态）应力分析问题和 复杂的几何形状的情况。
数学基础 关于应力分析，基本方程的形式为
F=Ka
式中F为“力”矢量，K为“刚度”矩阵，a 为未知矢量（通常是位移）。
采用有限元法，应力分析 的基本步骤如下：
nz r0

sec
hns
1
n



E
I
2EM
1 M ln1/
f
2

n 是无量纲常数
4)有限差分与有限元模型
材料科学中的大多数问题都是要寻求一个普遍的二维二阶 方程的特定解：
a 2 b 2 c 2 d e f g h 0
第三部分 复合材料的设计原理和复合理论
3.1 力学性能的复合法则
✓ 增强原理: 弥散增强、颗粒增强、 长纤维增强、短 纤维增强
✓几种主要的力学模型：
层板模型、 切变延滞模型、 连续同轴柱体模型、 有限差分与有限元模型
3.2 物理性能的复合法则
✓ 加和特性 ✓ 传递特性 ✓ 结构敏感特性
复合材料的基本理论
不均匀变形引起位错增殖强化
颗粒复合材料的变形属于两相不均匀变形。较 硬的颗粒不变形或变形较小，因此在界面上形 成较高的形变不匹配，产生较高的变形应力。 该应力的释放靠放出位错环实现，从而增加了 基体位错的密度
两相不均匀变形在界面形成的位错环
（3）连续纤维增强
基体：通过界面将载荷有效地传递到增强相（晶须、纤维等）， 不是主承力相。
3.2 几种主要的力学模型
1) 层 板 模 型
1)层板模型
轴向（ 方向3 ）刚度：
E 3c = E m • f m + E I •（1- f m ）
M代表基体，I代表掺入物（纤维）
这一著名的“混合定律”表明：复合
3
材料的刚度就是两组分的模量的加权平均
（取决于增强体的体积分数）。只要纤维
足够长，等应变的假设成立，上式在较高
这一点加上它不能用于非连续增强复合材 料，决定了它在MMC方面的应用是非常有限 的。
3) 连续同轴柱体模型
能用于预测内应力
应力等
距纤维中心的距离
假设所涉及的材料都是横向各向
同性的，那么，当体系受均匀的外加 载荷（轴向或径向）或温度变化时， 该体系内的弹性应力状态的解析解是 存在的。这些解是通过对应力和应变 加协调的边界条件，得到可用标准方 法求解的线性联立方程式组求解得出。
➢通过考虑基体内和界 面上切应力的径向变 化而建立的。
图为切变模型基础的示意图。（a）无应力体系；
（b）平行于纤维加拉伸载荷时的轴向位移u； （c）基体的切应力和切应变随径向位置的变化。
i

E
I

3c
1

c
os
h
nz r0

s
ec
hns
பைடு நூலகம்

i

n 3c
2
EI
sinh
颗粒增强复合材料:用金属或高分子聚合物 为粘接剂，把具有耐热性好、硬度高但不耐冲击 的金属氧化物、碳化物、氮化物粘结在一起而形 成，既具有陶瓷的高硬度及耐热性，又具有脆性 小、耐冲击等优点。颗粒增强复合主要是为了改 善材料的耐磨性或综合的力学性能。
位错在晶面上滑移（a）和在TiC颗粒前位错的塞积（b）
3.3.3 传递特性(乘积特性，product properties)
复合材料的乘积特性的概念是充分发挥构成复合材料 的两种以上原材料的不同性能。
对于复合材料，假定X作为输入时产生输出Y（Y/X）； 而Y又作为第二次的输入，产生输出Z（Z/Y）。这样 就相当于产生了连锁反应，从而引出新的机能 （Z/X）。
所以为了提高复合材料的
强度，应尽量使用长纤维
纤维增强
为达到强化目的，必须满足下列条件： 1)增强纤维的强度、弹性模量应远远高于基体; 3)纤维和基体之间应有一定的结合强度; 3)纤维的排列方向要和构件的受力方向一致; 4)纤维和基体之间不能发生使结合强度降低的化学反应; 5)纤维和基体的热膨胀系数应匹配; 6)纤维所占的体积分数，纤维长度L和直径d及长径比L/d 等必修满足一定要求。
材料的微观组织
❖ 形状、分散程度 ❖ 体积分数 ❖ 几何学特征
复合材料的 基本理论
原材料的性能
❖力学性能 ❖ 物理性能 ❖ 界面的状态
复合材料的 整体性能
复合材料理论与组织、性能之间的关系
3.1 力学性能的复合法则
3.1.1 增强原理
为了提高力学性能而研制的复合材料，有三种类型：
（1）弥散增强型； （2）颗粒增强型； （3）纤维增强型（连续纤维、短纤维增强）。

* F


fF
1

lc 2l
V
f


* m
1Vf
式中σfF为纤维的平均拉伸应力，σm*为与 纤维的屈服应变同时发生的基体应力。
l/lc越大，拉伸强度越大; lc/3l <<1时，上式变为连续 纤维的强度公式;
当l=lc时，短纤维增强的效 果仅有连续纤维的50%
l=10lc时，短纤维增强的效 果可达到连续纤维的95%;
3.3.1 加和特性(mean properties)
主要由原材料的组合形状和体积分数决定复合材料 的性能。相当于力学性能中的弹性模量、线膨胀率等结 构不敏感特性。复合法则为
N
Pc (Pi ) n Vi
i 1
式中Pc为复合材料的特性，Pi为构成复合材料的原材料的 特性，Vi为构成复合材料的原材料的体积分数，n由实验 确定，其范围为 -1n1。热传导、电导、透磁率等都属 于此类，称为移动现象。其稳态过程可以按静电场、静 磁场的方法处理。


f ,max
1
lc 2l
短纤维增强
若基体屈服强度为τmy，则纤维临界尺寸比为 当基体为弹性材料时
lc

f ,max
df
2 my



1 sin 1 tanh A l / d f
f
,m
a
x

Al/df

短纤维增强复合材料的拉伸强度为:
3)切变延滞模型
最广泛地应用于描述加载对顺向排列短纤维复合材料影
响的模型。
这一模型最早由Cox提出来，后来由其他许多人进一步 发展了这个模型。
这一模型的中心点在于认为拉伸应力由基体到纤维是通 过界面切应力来传递的。
➢应力是通过界面由基 体传递给纤维
➢适用于定向排列短纤 维
➢外加载荷平行于纤维 轴向
其中（1）、（2）两种类型的增强原理几乎是相同的，而（3） 型属于另外一种。
50μm
弥散增强型 50x
颗粒增强型 50x
50μm
纳 米 碳 管 纤 维
（1）弥散增强
主要由基体承担载荷
弥散质点（微粒）阻碍基体中的位错运动或分子链运动
阻碍能力越大，强化效果越好
条件：
➢ 质点是弥散于基体中且均匀分布的球形
注意：仅适用于长纤维，未考 虑非弹性，需满足轴向对称。
轴向 径向
应 力
周向
图中采用了Ti-35vol%SiC纤维复合材料。图中显示了当 温度下降500K时所引起的三个主应力的径向分布
这种模型也可能用来研究热与机械载荷的综合影响。 图中显示了当温度下降500K时，叠加500MPa的 外加轴向拉伸载荷后的应力状态。
（1）式两边同除以A c ，
σ c•Ac/Ac=σ m•Am/Ac+σ r •Ar/A c
即σ c = σ m • f m + σ r • f r
----（3）
基体与纤维发生同样的应变ε c=ε m=ε f =ε
（3 ）式两边同除以ε， σ/ ε= E
E c = E m • f m+ E r • f r
这种基本想法与传统的的复合材料中“引入作为强化 的材料的第二相以改善基体材料的性能不足的部分” 的想法从本质上是不同的。它为开发出具有全新性能 的功能性复合材料指出了方向。现在对该系统的研究 主要是有关定向凝固合金等方面，当然对复合材料的 发展也寄予很大的希望。
结构敏感特性
在复合材料的力学性能中，弹性模量等属于不敏感 特性。即它主要受第二相的体积分数所支配，而与其绝对 尺寸和分散状态关系不大。物理性能中的传导率也属于此 类。 另一方面，还有一类性能对材料的微观结构和尺寸很敏感， 例如力性能中的强度。
并联模型
串联模型
基体
增强体
连续纤维增强（并联模型，等应变模型）
复合材料的载荷=基体载荷+纤维载荷 Pc=Pm+Pr
因P=σ • A，所以σ c • A c= σ m • A m+ σ r • A r ----（1） A c= A m+ A r A m / A c= f m A r / A c= f r (面积分数=体积分数)
诱电率、透磁率、电导系数、热导率、扩散系数 等稳态过程的相似性
现象
静电场 静磁场 电导 热传导 扩散
势
静电势 磁势 电动势 温度 浓度
梯度Xi=- 物理常数 Lij 流束 Ji=Lijxi
电场 磁场 电场 温度梯度 浓度梯度
诱电率 透磁率 电导率 热导率 扩散系数
电场密度 磁场密度 电流密度 热流束 质量流束
➢ d为微粒直径
➢ Vp为体积分数 ➢ Gm为基体的切变模量 ➢ b为柏氏矢量
➢ τy为复合材料的屈服强度
y
Gmb
1


2d 3V
2 p

2
1Vp
弥散质点的尺寸越小，体积分数越大，强化效果越好。
一般Vp=0.01 ~ 0.15，dp=0.001μm ~ 0.1 μm
材料基的体屈发服生强位度错运动时，复合材料产生塑性变形，此时剪切应力τy即为复合
的精确度范围内都是有效的。
3
1
等应变这种方法常称作“Voigt模
型”。
横向（方向3）刚度 (等应力)
1 fm 1 fm
E2c Em
EI
这里只能给出粗糙近似值，这种等应力的方法常称作 “Reuss模型”。
概括地说，基于层板模型可用于预测长纤 维复合材料的弹性常数，但一般不能用于预测 内应力。
（1）采用有限元法进行应力分析；
（3）确定（含有某些应力函数的） 偏微分方程；
（3）空间离散化（例如三角形或四 边形）。应力函数在节点上或单元内；
（4） 计算各体积单元的“力”矢量 与“刚度”矩阵，这是核心；
（5） 用各个体积单元的“力”与 “刚度”建立联立方程组；
（6） 解该联立方程组，获得未知矢 量a；
（2）颗粒增强
✓ 颗粒的尺寸较大(>1 μm) ✓ 基体承担主要的载荷 ✓ 颗粒也承担载荷 ✓ 颗粒约束基体的变形 ✓ σy 为复合材料的屈服强度
Gp为颗粒的切变模量 ▪ C为常数
颗粒的尺寸越小，体积分数越大，强化效果越好。一般在 颗 粒增强复合材料中，颗粒直径为 1 ~ 50 μm，颗粒间距为1 ~ 35 μm，颗粒的体积分数为0.05 ~ 0.5。
x2 y2 xy x y
t
❖ 自变量：x、y（空间）；t（时间）
❖ 函数：φ（温度、浓度、电势、动量等）
❖ 事实上，拉普拉斯方程、泊松方程、高斯方程、 菲克方程、傅立叶方程、胡克方程、柯西-雷 曼方程、纳维-斯脱克斯方程等 都是这种形式。
要获得这种解的方法可分成有限差分法（FDM）和有限元 法（FEM）。这两种方法都需要把空间离散化，即将有关的结构 组分分成一定数目的小畴或体积元。