华师大版八年级数学上册课件：11.1 平方根.ppt
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（3）如果有一个正方形的面积为10平方米，那么 它的边长是多少呢？
填空：
3 2=( 9 )
(－3 )2= ( 9 )
(
1 2
)2= (
1 4
)
(－ 1
2
)2 =(
1 4
)
02 =( 0 )
( ±3 )2 = 9
( ± 1 )2 = 1
2
4
( 0 )2 = 0
( 不存在 )2 =－4
什么叫乘方？
已知底数、指数，求幂。 已知幂、指数，求底数。
２的数的算术平方根是___m__2___2____
5、判断：
（1）5是25的算术平方根； （2）-6是 36 的算术平方根；
(√ ) (× )
（3）0的算术平方根是0；
(√ )
（4）0.01是0.1的算术平方根； ( × )
（5）-5是-25的算术平方根；
（6）5的算术平方根是 5 。
回顾 & 思考☞
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互 为逆运算的是？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方 五种运算。
加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、乘方有没有逆运算？
8米
8米 ？
？ 100米2
（图一）
（图二）
（1）图一的正方形的面积为＿＿64＿米＿2＿； （2）图二的正方形的边长为＿＿10＿米＿＿；
乘方运算
乘方的逆运算
平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。 开平方：求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平 方，开平方运算是已知指数和幂，求底数。
是不是所有的数都能进行开平方运算？
不是，只有正数和零才能进行开平方运算。
由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过 平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运 算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
（1）－9的平方根是－3;
( ×)
（2）49的平方根是7 ；
( ×)
（3）（－2）2的平方根是±2 ；（ √ ）
（4）1 的平方根是 1 ；
（ ×）
（5）－1 是 1的平方根;
（√）
（6）7的平方根是±49. （7）若X2 = 16 则X = 4
( ×) （ ×）
2. 问：3 有没有平方根 ？ 若有 ，怎样表示？没 有，说明为什么 ？
±3
算术平方根
（1）算术平方根的意义：非负数a的正的平方根。 一个非负数a的平方根用符号表示为：“ a ”，
读作：“根号a”，其中a叫做被开方数
（2）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根是一个正数； ②0的算术平方根是0； ③负数没有算术平方根
（3）重要性质： a2 a
2
a a(a0)
探索 & 交流
（A）0.1 （B）±0.1 （C）0.0001 （D）±0.0001
（2）∵ （0.3）2 = 0.09 ∴ （ C ）
（A）0.09 是 0.3的平方根. （B）0.09是0.3的3倍.
（C）0.3 是0.09 的平方根. （D）0.3不是0.09的平方根.
练习2：
1. 判断下列说法是否正确：
• 10、Life is measured by thought and action, not by time. ——Lubbock 衡量生命的尺度是思想和行为，而不是时间。8.5.20208.5.202011:0311:0311:03:1011:03:10
熟悉：
根指数
简写为：
m
根号
2m
被开方数 （m≥0)
读作： 二次根号m
读作： 根号m
认清：一个数的平方根的表示方法：
非负 正的平方根表示为： ＋ m 数m 负的平方根表示为： － m
2 m
即 m的平方根表示为： 2 m 简写为± m
如：49 的平方根是 ± 49
则： ± 49 =±7
3的平方根是：
解：根据题意得 x y4 和 |x2y5| 均为非负数,
xy4|x2y5|0
由非负数的性质得： x y4=0
且 |x2y5|=0
所以
x y4 0 x2y 5 0
解方程组得，
x y
3 1
学以致用
1. 当x为何值时,下列各式有意义?
(1) x 1 ； (2) 23x ；(3) x-2 2x
2. (1) ３的算术平方根是＿＿3 ＿．
(× ) (√ )
探究： （1） 求22，（3）2，52，（6）2，72，
02的值 ，对于a任 ，a意 2 ？ 数 练习 1.（ ： m1） 2 3，则 m 4或 -2 。
a≤2 ２ .若（ a2） 2 2a，a则 的 取 值 范 围 。 是
（2） 求 （ 4）2， （9）2， （2） 52， （4） 92， （0）2的 值 ， 对 于 任 意a， 非（ 负 a）2数 ？
• 6、Almost any situation---good or bad---is affected by the attitude we bring to. ----Lucius Annaus Seneca差不多任何一种处境---无论是好是坏---都受到我们对待处境态度的影响。11时3分11时3分5Aug-208.5.2020
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二〇年八月五日2020年8月5 日星期三
• 7、Although the world is full of suffering, it is full also of the overcoming of it.----Hellen Keller, American writer虽然世界多苦难，但是苦难总是能战胜的。20.8.520.8.520.8.5。2020年8月5日星期三二 〇二〇年八月五日
３.当a ≥0 时 9， a 2的算术平方 3a。 根为 -5 4.5 ab的最大值为 ，
此时a与b的关系为 互 为 相 反 数 。
５.已知（ １ｘ2） y2 z30 求xyz的算术平方根。
我们已学习了3种非负数，即绝对值、 偶数次方、算术平方根。几个非负数 的和为零，它们就同时为零，然后转 化为方程（或方程组）来解。
• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Wednesday, August 5, 2020August 20Wednesday, August 5, 20208/5/2020
已 a 、 b 知 满a 足 5 21 ： 0 2 a b 4 ， a 、 b 求 的值
例：求 31的整数部分和小数部。分
解：31的整数部分是 5
31的小数部分31是 5
小数部分=原数-整数部分 思考7： 7的整数部分与小数。 部分
2 有多大?
因为 1 2 < ( 2 )2 < 2 2
若（x3）2 x30， 则x的取值范围 是X ≤3 。
计算各式中 x的值： （1）9 x 2 256 0 （2） x 2 100 0 （3）4（2 x 1）2 25 0
补充练习； 1. 16的算术平方根 2是 ； 52 122 13 。 ２ .若2x54，则 2x5 ） （ 22 56。
(2) 8 1 的算术平方根是＿3＿＿．
⑶＿0＿和＿1 算术平方根等于它本身．
⑷ 若 x 2 , 则 x__4___
⑸若 3 x 3,则 x_6___
(6)若 3 x2 x3 ,则 x 3
3.已知 x 2y 9 与 x y 3 互为相反
数,求xy的算术平方根．
4.如果一个正数的算术平方根为m，则比这个数大
学以致用
判断下列各数有没有平方根，若有，求其平方根。若没有，
说明为什么。
（1） 0.81 （2）
25 36
（3）
1
2
4
（4） （－2 ）2
（5 ）9 （6）0 （7）－100
解（：1）∵ 0.920.81
∴0.81的平方根是 0. 9
（2 ∵
5 6
2
25
36 ，
25
∴36
的平方根是 5
请同学们概括一个数的平方根的性质：
3 2=( 9 )
(－3 )2= ( 9 )
(
1 2
)2= (
1 4
)
(－ 1 022
)2 =( =( 0
1
4
)
)
( ±3 )2 = 9
( ± 1 )2 = 1
2
4
( 0 )2 = 0
(不存在 )2 =－4
得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 零有一个平方根，它是零本身； 负数没有平方根。重点
（1）9的算术平方根是＿3＿ （2） 9 的算术平方根是＿3＿
（3）0.01的算术平方根是＿0.1＿ （4）10 的算术平方根是＿＿10 （5）(－4)2的算术平方根是＿4 ＿ （6）算术平方根等于它本身的是＿0或＿1
1 3= 6＿1 ＿ .4 =4 ＿＿ 24=＿2 ＿ = 5＿＿
已知 xy4|x2y5|0求x，y的值．
6
（7）∵ －100 是负数，∴ －100 没有平方根；
(1) 、如果－5是某数的平方根，那么这
个数是（ 25 ）
(2)、36的平方根记作（ 36 ），值是 （ 6 ）
(3) 、若15是m的一个平方根，则m的另一
个平方根是 -15
(4) 、9平方根是_____3___，16的平方根Fra Baidu bibliotek是_____4___.
• •
THE END 8、For man is man and master of his fate.----Tennyson人就是人，是自己命运的主人11:0311:03:108.5.2020Wednesday, August 5, 2020
9、When success comes in the door, it seems, love often goes out the window.-----Joyce Brothers成功来到门前时，爱情往往就走出了窗外。 11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
2.本节主要学习了:①平方根的概念； ②平方根 的性质：一个正数有两个平方根，它们互为 相反数，0的平方根是0，负数没有平方根； ③平方根的表示方法；④求一个数的平方根 的运算—开平方，应分清平方运算与开平方 运算的区别与联系.
3.算术平方根的定义及表示方法
• 1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
• 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行 8.5.20208.5.202011:0311:0311:03:1011:03:10
常用的平方
1
121
4
144
9
169
16
196
25
225
36
256
49
289
64
324
81
361
100
400
随堂练习1
1、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。
（1）±12 , 144 是
（2）±0.2 , 0.04 是
（3）102 ，104 是
（4）14 ，256 不是
2、选择题 （1） 0.01的平方根是 （ B ）
所以 1 <
2 <2
因为 1.4 2 < ( 2 )2 < 1.5 2
逼 近
法
所以 1.4 <
2 < 1.5
……
1.414 <
2 < 1.415
2 = 1.4142135623730950 …
无限不循环小数!
小结 & 归纳
1.本节课引入了新的运算------开方运算，开 方和乘方互为逆运算，从而完备了初等代数中 六种基本代数运算（加、减、乘、除、乘方、 开方），这对代数内容学习有着重要的意义。
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
填空：
3 2=( 9 )
(－3 )2= ( 9 )
(
1 2
)2= (
1 4
)
(－ 1
2
)2 =(
1 4
)
02 =( 0 )
( ±3 )2 = 9
( ± 1 )2 = 1
2
4
( 0 )2 = 0
( 不存在 )2 =－4
什么叫乘方？
已知底数、指数，求幂。 已知幂、指数，求底数。
２的数的算术平方根是___m__2___2____
5、判断：
（1）5是25的算术平方根； （2）-6是 36 的算术平方根；
(√ ) (× )
（3）0的算术平方根是0；
(√ )
（4）0.01是0.1的算术平方根； ( × )
（5）-5是-25的算术平方根；
（6）5的算术平方根是 5 。
回顾 & 思考☞
1、我们已经学习过哪些运算？它们中互 为逆运算的是？
答：加法、减法、乘法、除法、乘方 五种运算。
加法与减法互逆；乘法与除法互逆。
2、乘方有没有逆运算？
8米
8米 ？
？ 100米2
（图一）
（图二）
（1）图一的正方形的面积为＿＿64＿米＿2＿； （2）图二的正方形的边长为＿＿10＿米＿＿；
乘方运算
乘方的逆运算
平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根。 开平方：求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平 方，开平方运算是已知指数和幂，求底数。
是不是所有的数都能进行开平方运算？
不是，只有正数和零才能进行开平方运算。
由于平方与开平方互为逆运算，因此可以通过 平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运 算来检验一个数是不是另一个数的平方根。
（1）－9的平方根是－3;
( ×)
（2）49的平方根是7 ；
( ×)
（3）（－2）2的平方根是±2 ；（ √ ）
（4）1 的平方根是 1 ；
（ ×）
（5）－1 是 1的平方根;
（√）
（6）7的平方根是±49. （7）若X2 = 16 则X = 4
( ×) （ ×）
2. 问：3 有没有平方根 ？ 若有 ，怎样表示？没 有，说明为什么 ？
±3
算术平方根
（1）算术平方根的意义：非负数a的正的平方根。 一个非负数a的平方根用符号表示为：“ a ”，
读作：“根号a”，其中a叫做被开方数
（2）算术平方根的性质
①正数a的算术平方根是一个正数； ②0的算术平方根是0； ③负数没有算术平方根
（3）重要性质： a2 a
2
a a(a0)
探索 & 交流
（A）0.1 （B）±0.1 （C）0.0001 （D）±0.0001
（2）∵ （0.3）2 = 0.09 ∴ （ C ）
（A）0.09 是 0.3的平方根. （B）0.09是0.3的3倍.
（C）0.3 是0.09 的平方根. （D）0.3不是0.09的平方根.
练习2：
1. 判断下列说法是否正确：
• 10、Life is measured by thought and action, not by time. ——Lubbock 衡量生命的尺度是思想和行为，而不是时间。8.5.20208.5.202011:0311:0311:03:1011:03:10
熟悉：
根指数
简写为：
m
根号
2m
被开方数 （m≥0)
读作： 二次根号m
读作： 根号m
认清：一个数的平方根的表示方法：
非负 正的平方根表示为： ＋ m 数m 负的平方根表示为： － m
2 m
即 m的平方根表示为： 2 m 简写为± m
如：49 的平方根是 ± 49
则： ± 49 =±7
3的平方根是：
解：根据题意得 x y4 和 |x2y5| 均为非负数,
xy4|x2y5|0
由非负数的性质得： x y4=0
且 |x2y5|=0
所以
x y4 0 x2y 5 0
解方程组得，
x y
3 1
学以致用
1. 当x为何值时,下列各式有意义?
(1) x 1 ； (2) 23x ；(3) x-2 2x
2. (1) ３的算术平方根是＿＿3 ＿．
(× ) (√ )
探究： （1） 求22，（3）2，52，（6）2，72，
02的值 ，对于a任 ，a意 2 ？ 数 练习 1.（ ： m1） 2 3，则 m 4或 -2 。
a≤2 ２ .若（ a2） 2 2a，a则 的 取 值 范 围 。 是
（2） 求 （ 4）2， （9）2， （2） 52， （4） 92， （0）2的 值 ， 对 于 任 意a， 非（ 负 a）2数 ？
• 6、Almost any situation---good or bad---is affected by the attitude we bring to. ----Lucius Annaus Seneca差不多任何一种处境---无论是好是坏---都受到我们对待处境态度的影响。11时3分11时3分5Aug-208.5.2020
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二〇年八月五日2020年8月5 日星期三
• 7、Although the world is full of suffering, it is full also of the overcoming of it.----Hellen Keller, American writer虽然世界多苦难，但是苦难总是能战胜的。20.8.520.8.520.8.5。2020年8月5日星期三二 〇二〇年八月五日
３.当a ≥0 时 9， a 2的算术平方 3a。 根为 -5 4.5 ab的最大值为 ，
此时a与b的关系为 互 为 相 反 数 。
５.已知（ １ｘ2） y2 z30 求xyz的算术平方根。
我们已学习了3种非负数，即绝对值、 偶数次方、算术平方根。几个非负数 的和为零，它们就同时为零，然后转 化为方程（或方程组）来解。
• 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Wednesday, August 5, 2020August 20Wednesday, August 5, 20208/5/2020
已 a 、 b 知 满a 足 5 21 ： 0 2 a b 4 ， a 、 b 求 的值
例：求 31的整数部分和小数部。分
解：31的整数部分是 5
31的小数部分31是 5
小数部分=原数-整数部分 思考7： 7的整数部分与小数。 部分
2 有多大?
因为 1 2 < ( 2 )2 < 2 2
若（x3）2 x30， 则x的取值范围 是X ≤3 。
计算各式中 x的值： （1）9 x 2 256 0 （2） x 2 100 0 （3）4（2 x 1）2 25 0
补充练习； 1. 16的算术平方根 2是 ； 52 122 13 。 ２ .若2x54，则 2x5 ） （ 22 56。
(2) 8 1 的算术平方根是＿3＿＿．
⑶＿0＿和＿1 算术平方根等于它本身．
⑷ 若 x 2 , 则 x__4___
⑸若 3 x 3,则 x_6___
(6)若 3 x2 x3 ,则 x 3
3.已知 x 2y 9 与 x y 3 互为相反
数,求xy的算术平方根．
4.如果一个正数的算术平方根为m，则比这个数大
学以致用
判断下列各数有没有平方根，若有，求其平方根。若没有，
说明为什么。
（1） 0.81 （2）
25 36
（3）
1
2
4
（4） （－2 ）2
（5 ）9 （6）0 （7）－100
解（：1）∵ 0.920.81
∴0.81的平方根是 0. 9
（2 ∵
5 6
2
25
36 ，
25
∴36
的平方根是 5
请同学们概括一个数的平方根的性质：
3 2=( 9 )
(－3 )2= ( 9 )
(
1 2
)2= (
1 4
)
(－ 1 022
)2 =( =( 0
1
4
)
)
( ±3 )2 = 9
( ± 1 )2 = 1
2
4
( 0 )2 = 0
(不存在 )2 =－4
得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 零有一个平方根，它是零本身； 负数没有平方根。重点
（1）9的算术平方根是＿3＿ （2） 9 的算术平方根是＿3＿
（3）0.01的算术平方根是＿0.1＿ （4）10 的算术平方根是＿＿10 （5）(－4)2的算术平方根是＿4 ＿ （6）算术平方根等于它本身的是＿0或＿1
1 3= 6＿1 ＿ .4 =4 ＿＿ 24=＿2 ＿ = 5＿＿
已知 xy4|x2y5|0求x，y的值．
6
（7）∵ －100 是负数，∴ －100 没有平方根；
(1) 、如果－5是某数的平方根，那么这
个数是（ 25 ）
(2)、36的平方根记作（ 36 ），值是 （ 6 ）
(3) 、若15是m的一个平方根，则m的另一
个平方根是 -15
(4) 、9平方根是_____3___，16的平方根Fra Baidu bibliotek是_____4___.
• •
THE END 8、For man is man and master of his fate.----Tennyson人就是人，是自己命运的主人11:0311:03:108.5.2020Wednesday, August 5, 2020
9、When success comes in the door, it seems, love often goes out the window.-----Joyce Brothers成功来到门前时，爱情往往就走出了窗外。 11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
2.本节主要学习了:①平方根的概念； ②平方根 的性质：一个正数有两个平方根，它们互为 相反数，0的平方根是0，负数没有平方根； ③平方根的表示方法；④求一个数的平方根 的运算—开平方，应分清平方运算与开平方 运算的区别与联系.
3.算术平方根的定义及表示方法
• 1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
• 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行 8.5.20208.5.202011:0311:0311:03:1011:03:10
常用的平方
1
121
4
144
9
169
16
196
25
225
36
256
49
289
64
324
81
361
100
400
随堂练习1
1、检验下面各题中前面的数是不是后面的数的平方根。
（1）±12 , 144 是
（2）±0.2 , 0.04 是
（3）102 ，104 是
（4）14 ，256 不是
2、选择题 （1） 0.01的平方根是 （ B ）
所以 1 <
2 <2
因为 1.4 2 < ( 2 )2 < 1.5 2
逼 近
法
所以 1.4 <
2 < 1.5
……
1.414 <
2 < 1.415
2 = 1.4142135623730950 …
无限不循环小数!
小结 & 归纳
1.本节课引入了新的运算------开方运算，开 方和乘方互为逆运算，从而完备了初等代数中 六种基本代数运算（加、减、乘、除、乘方、 开方），这对代数内容学习有着重要的意义。
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020