)(==a X P ,)(=
<
≤
二、选择题：（每题2分，共10分）
1．下列函数中可以作为随机变量的分布函数是 。 （ A ） 2
1()1F x x =
+ ； （ B ） 31
()arctan 42F x x π
=+ （ C ） 0,0,(),0.
1x F x x
x x
≤⎧⎪
=⎨>⎪+⎩ （ D ） 2
()1arctan F x x π
=+
2．设随机变量2
~(,),0,()X N f x X μσμ<为的密度函数，则对于任何实数a >0,
有 。
（ A ）()()f a f a <- （ B ）()()f a f a =-
（ C ）()()f a f a >- （ D ）()()1f a f a +-= 3. 设12(),()F x F x 为随机变量的分布函数，密度函数分别是12(),(),f x f x 则 。
（ A ）12()()f x f x +是密度函数 （ B ）12()()f x f x 是密度函数
（ C ）121
,()()a b a b af x bf x +=+对任何满足的实数、是密度函数
（ D ）12()()F x F x 是分布函数
4． 设随机变量X 服从指数分布， min{,2},Y X =则随机变量Y 的分布函数
是 。
（ A ）连续函数 （ B ）恰有一个间断点 （ C ）阶梯函数 （ D ）至少有两个间断点
5． 设随机变量X 的密度函数是(),()(),()f x f x f x F x -=且是X 的分布函数，则对任
意的实数a 有 。 （ A ）⎰-
=-a
dx x f a F 0
)(1)( （ B ） ⎰-=
-a
dx x f a F 0
)(21)( （ C ） )()(a F a F =- （ D ） 1)(2)(-=-a F a F
三、判断题：（每题2分，共10分）
1．（ ）连续型随机变量的dx x f )(与离散型随机变量的k p 在概率中的意义是相同
的.
2．（ ） 由0}{==a X P 可说明}{a X =是不可能事件. 3.（ ） 不同的随机变量，它们的分布函数一定不相同。 4.（ ） 连续型随机变量的密度函数是连续函数。
5.（ ） 设随机变量2~(,),(1)X N P X μσμ≤+则概率随着σ的增加而减少。 四、计算题（共70分）
1．（5分）设随机变量X 的分布函数为 ()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=41
421211213
2
10200
x x x x x
x x F 试求下列概率：⑴．{}1=X P ； ⑵．⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<<121X P ； ⑶．{23}P X ≤≤；⑷．{}42．（5分）假设在一次考试中，5名男同学与5名女同学的成绩各不相同．现将这10名同学的成绩按大小进行排列，令X 表示女同学得到的最高名次，试求X 的分布律．
3．（10分）设电子元件的电阻X （单位：Ω）服从正态分布()4.1050，N ，现检查15个同类型的电子元件，求这15个元件中至少有两个元件的电阻大于55Ω的概率是多少？ 4. （10分) 设连续随机变量ξ的分布函数为()arctan
,()x
F x a b x a
=+-∞<<+∞ （1） 求系数a 、b ；（2）.P (-2<ξ<2);
（3） 概率密度f (x ).
5. （10分）假设一部机器在一年内发生故障的概率为
，机器发生故障时全天停止工作，
若一周
个工作日里无故障，可获利润
万元，发生一次故障仍可获利润
万元；发生二次故障所获利润
万元；发生三次或三次以上故障就要亏损
万元，求一周内可获利润的分布律。
6.（10分） 设随机变量X 的分布函数)(x F 连续。试求：（1）随机变量)(X F Y =的密度函数；（2）随机变量)(ln 2X F Z -=的密度函数
7.（10分）设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=1
||0
1||)(2
x x x A
x f X ，试求：（1）常数A 的值；
（2）随机变量||ln X Y =的密度函数
8．（10分） 假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为1/5的指数分布。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作两小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作时间Y 的分布函数。
