高二数学上学期期中考试试卷
四川省成都市树德中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
四川省成都市树德中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11A D b = ，1A A c =，则下列向量中与1B M相等的向量是（）．A ．1122a b c-++B ．1122++a b cC ．1122-+ a b cD ．1122--+ a b c2．若直线经过(1,0),A B 两点，则直线AB 的倾斜角是（）A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒3．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A B C ．5-D 4．某年1月25日至2月12日某旅游景区A 及其里面的特色景点a 累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（）A ．1月29日景区A 累计参观人次中特色景点a 占比超过了13．B ．2月4日至2月10日特色景点a 累计参观人次增加了9800人次．C ．2月4日至2月6日特色景点a 的累计参观人次的增长率和2月6日至2月8日特色景点a 累计参观人次的增长率相等．D ．2月8日至2月10日景区A 累计参观人次的增长率小于2月6日至2月8日的增长率．5．如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度．甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处，从A ，B 到直线（水库底面与水坝的交线）的距离AC 和B 分别为3m 和4m ，B 的长为2m ，则水库底面与水坝所成二面角的大小为（）．A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵111ABC A B C -中AC BC ⊥．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ．下列说法正确的是（）A ．四棱锥11C AB BA -为“阳马”B ．四面体111A CC B 为“鳖臑”C ．1EF AC ⊥D ．1EF A B⊥7．阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz 中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,m a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，过点()000,,P x y z 且方向向量为()()0n u v w uvw =≠ ,,的直线l 的方程为000.x x y y z z uvw---==根据上述材料，解决下面问题：直线l 是两个平面220x y -+=与210x z -+=的交线，则（）是l 的一个方向向量．A ．()2,1,4B ．()1,3,5C ．()1,2,0-D ．()2,0,1-8．设直线系:cos sin 1m n M x y θθ+=（其中,,m n θ均为参数，{}02π,,1,2m n θ≤≤∈），则下列命题中是假命题．．．的是（）A ．当1m n ==时，存在一个点与直线系M 中所有直线的距离都相等．B ．当2m n ==时，直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限．C ．当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1．D ．当2,1m n ==时，若0a ≤，则点(),0A a 到直线系M 中所有直线的距离不小于1．二、多选题9．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组[)[)[)0,0.50.5,13,3.5 ，，，，制作了频率分布直方图，下列命题正确的有（）．A ．设该市有60万居民，则全市居民中月均用水量不低于3吨的人数恰好有3万人．B ．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a (吨)的最低标准的估计值为2.7．C ．该市居民月均用水量的平均数的估计值为1.875吨．D ．在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4．10．以下四个命题为真命题的是（）A ．过点(10,10)-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B ．已知直线10kx y --=和以(3,1)M -，(3,2)N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为213k -≤≤C ．直线10x y +-=与直线2210x y ++=D ．点P 在直线:10l x y --=上运动，(2,3),(2,0)A B ，则||||PA PB -11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱CD 的中点，N 为线段BM 上的动点（含端点），则下列选项正确的有（）A ．若直线1A M 与直线AN 所成角为α，则cos α的最大值为23．B ．若点N 到平面11ABCD 的距离为d ，则d CN +的最小值为5．C ．若在该正方体内放入一个半径为12的小球，则小球在正方体内不能达到的空间体积是π22-．D ．点T 从B 点出发匀速朝1D 移动，点S 从A 点出发匀速朝1A 移动．现,S T 同时出发，当S 到达1A 时，T 恰好在1BD 的中点处．则在此过程中，,S T ．三、填空题12．一条光线经过点(2,3)A 射到直线10x y ++=上，被反射后经过点(1,1)B ，则入射光线所在直线的一般式方程为.13．已知三棱锥P ABC -，如图所示，G 为ABC V 重心，点M ，F 为PG ，PC 中点，点D ，E 分别在PA ，PB 上，PD mPA= ，()0PE nPB mn =≠ ，若M D E F ，，，四点共面，则11m n+=．14．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“i 的胜者”，负者称为“i 的负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．则乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为．四、解答题15．如图，已知平行六面体1111—ABCD A B C D 的底面ABCD 是菱形，1AB =，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．(1)证明：1C C BD ⊥；(2)若1CA ⊥平面1C BD ，求1CC 的长．16．班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个，黄球2个．(1)如下两种方案，哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由．方案一：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；方案二：依次有放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品．(2)还剩最后一个奖品时，甲乙两位同学都想获得．于是他们约定：轮流从纸箱中有放回地抽取一球，谁先抽到黄球，谁获得奖品；如果3轮之后都两人都没有抽到黄球，则后抽的同学获得奖品．如果甲先抽，求甲获得奖品的概率．17．已知，如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且13AG GD =，BG GC ⊥，2GB GC ==，E 是BC 的中点，四面体P BCG -的体积为83．（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦；（2）求点D 到平面PBG 的距离；（3）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值．18．男子10米气步枪和女子10米气步枪在1984年被列为奥运会比赛项目．根据国际射联的要求，10米气步枪靶纸为总边长80毫米的正方形，直径最大的1环，直径为45.5mm ，而最高10.9环的靶心点，直径仅有0.5mm ．为了了解某校射击选手甲的训练水平，甲按照比赛要求进行了15次射击训练，命中的环数如下：射击序号123456789101112131415命中环数9.49.510.29.19.28.910.19.39.49.69.39.310.19.5 5.0(1)如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”．①用以上数据估计甲每次射击“命中靶心”的概率；②现发现一架小型无人机悬停在训练区域的上空（训练区域禁止无人机飞行），甲准备将其击落．假设甲每次射击能击中该无人机的概率为①中所求其“命中靶心”的概率，每次射击互不影响．则甲至少需要进行几次射击，才能有90%以上的概率能击落该无人机（该无人机被击中一次即被击落）？(2)经计算得甲这次训练命中环数的平均数15119.2015i i x x ===∑，标准差1.18s =，其中i x 为第i 次射击命中的环数，1i =，2，L ，15．第15次射击时，由于甲受到了明显的干扰，导致结果偏差较大．为了数据分析更加客观准确，教练剔除了这次的成绩．求剔除数据后，甲命中环数的平均数和方差(精确到0.01)．(参考数据lg20.3010=，lg30.4771=)19．如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点．(1)求证：//NC 平面PAM ；(2)若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；(3)设P AM D --的大小为θ，若π(0,]2θ∈，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．。
江西省萍乡市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
A． 2
2
B． 3 2
C． 10 5
D． 15 5
8．已知 O 为坐标原点，双曲线 C:
x2 a2
-
y2 b2
= 1(a
> 0,b
> 0) 的左、右焦点分别是 F1，F2，离
心率为 6 ，点 P ( x1, y1 ) 是 C 的右支上异于顶点的一点，过 F2 作 ÐF1PF2 的平分线的垂线，
2
垂足是 M，| MO |=
线 l 恰有 2 条，则 p 的取值范围为（ ）
A． 0 < p < 1
B． 0 < p < 2
C． p > 1
D． p > 2
5．已知椭圆 T
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0) 的右焦点为 F
，过 F
且斜率为 1 的直线 l 与T
交于
A, B
试卷第11 页，共33 页
两点，若线段 AB 的中点 M 在直线 x + 2 y = 0 上，则T 的离心率为（ ）
5
6
7
8
答案 A
B
D
A
D
B
C
A
题号 11
12
答案 ABD BC
1．A 【分析】先解出集合 M，再由子集关系求解集合 N 即可.
【详解】由 ln x < 0 得 0 < x < 1，所以 M = {x 0 < x < 1} ，
因为 M Í N ，所以 a < ex 对 "x Î(0,1) 恒成立，
所以 a £ 1 .
上海市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)
上海市2024学年第一学期高二年级数学学科期中试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分54分）本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.1.用数学符号语言表示“点在直线外，直线在平面上”:________________.2.若，是异面直线，直线，则与的位置关系是__________.3.“直线与平面无公共点”是“直线不在平面上”的_____条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）4.如果直线，直线，，则_________________.5.如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是__________.6.由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________个.7.在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是____________.8.已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为_____________.9.正三角形的边长为，是三角形所在平面外一点，平面，且，则到的距离为____________.10.三角形的一条边在平面内，，，，若与平面所成角为，则直线与平面所成角的大小为____________.11.如图，矩形的，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是____________.A l l αa b c a ∥c b l αl α11OA O A ∥11OB O B ∥3AOB π∠=111AO B ∠=l α3πl αABCD 8AB =6CD =M N BC AD 5MN =AB CD ABC △2B O ''=5O C ''=3O A ''=ABC △ABC 2P ABC PA ⊥ABC 1PA =P BC ABC AB α2A π∠=AB a =AC =AC α4πBC αABCD 2AB =AD x =PA ⊥ABCD CD Q PQ BQ ⊥x12.在平面几何里，有勾股定理“设的两边，互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在如图2的几何体中，若两两互相垂直，则有___________________________________.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分.13.下列命题中是真命题的是（ ）A.四边形一定是平面图形B.空间一个点与一条直线可以确定一个平面C.一个平面的面积可以为D.相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面14.已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则15.已知三边的长分别为、、，平面外一点到三边的距离都等于2，则点到平面的距离等于（ ）.A.1D.416.如图，为正方体，① ②平面③与底面④过点与异面直线与成角的直线有2条.ABC V AC AB 222AB AC BC +=A BCD -,,AB AC AD 210km l m αl α⊥l m ⊥m α⊂l α⊥m α∥l m ⊥l α⊥l m ⊥m α∥//l αm α⊂l m ∥ABC △345ABC P ABC △P ABC 1111ABCD A B C D -1AC BD ⊥1BD ⊥1ACB 1BD 11BCC B 1A AD 1CB 60其中正确结论的个数是（ ）.A.0B.1C.2D.3三、解答题（本大题满分78分）17.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点.（1）求证:平面；（2）求证:平面.18.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角大小.19.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位:）.（加工中不计损失）.111ABC A B C -AB BC ⊥E F 11AC BC AB ⊥11B BCC 1C F ∥ABE P O 4PO =OA OB 90AOB ∠= M AB PM OB mm（1）若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为，求钉身的长度（结果精确到）.20.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上.（1）求圆柱的表面积；（2）求证:；（3）若，是的中点，求的最小值.21.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是底面边长为1的正三棱锥，，，分别为棱，，上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）10mm 1mm AB 2AB =PA 2PA =C E PA F PC BC EF ⊥1AC =D PB CE DE +P ABC -D E F PA PB PC DEF ∥ABC DEF ABC -P ABC -（1）求证:为正四面体；（2）若，求二面角的大小；（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和?若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.P ABC -12PD PA =D BC A --DEF ABC -V V DEF ABC -。
南京市南师附中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷及答案
南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．过两点()2,4-和()4,1-的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．145B ．145-C ．73D ．73-2．过圆225x y +=上一点()2,1M --作圆的切线l ，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y -+=B ．250x y ++=C ．250x y --=D ．250x y +-=3．若k ∈R ，则“22k -<<”是“方程221362x y k k+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若抛物线24y x =上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．15．设直线l 的方程为()sin 10x y θθ+-=∈R ，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．()0,πB ．πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．若直线上存在到曲线T 上一点的距离为d 的点，则称该直线为曲线T 的d 距离可相邻直线．已知直线:430l x y m +-=为圆()()22:2716C x y -++=的3距离可相邻直线，则m 的取值范围是（ ）A ．[]48,22-B ．[]18,8--C ．(][),4822,-∞-+∞D ．(][),188,-∞--+∞7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线右支上的一点．若M 在以12F F 为直径的圆上，且12π5π,312MF F ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．)+∞C ．()1D ．)18．已知A ，B 分别是椭圆2214x y +=的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点．若2PBA PAB ∠=∠，则PA PB的值是（ ）A ．5BC ．5D ．5二．多选题9．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆CB ．12PF F △的周长为5C ．1290F PF ∠<︒D ．113PF ≤≤10．已知()0,2M ，()0,3N ，在下列方程表示的曲线上，存在点P 满足2MP NP =的有（ ） A ．370x -=B ．4320x y +-=C ．221x y +=D ．2222140x y x y +-+-=11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点()1,0F c -，()2,0F c ，动点P 满足212PF PF a ⋅=（a ，0c >且均为常数）．设动点P 的轨迹为曲线E ．则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．12PF PF +的最小值为2aC ．曲线E 与x 轴可能有三个交点D ．2ca ≥时，曲线E 上存在Q 点，使得12QF QF ⊥ 三．填空题12．与双曲线2212x y -=有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．13．若直线l 过抛物线24y x =的焦点．与抛物线交于A ，B 两点．且线段AB 中点的横坐标为2．则弦AB 的长为______．14．已知点()5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x =的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．四．解答题15．已知直线1:220l ax y +-=与直线2:220l x ay +-=．（1）当12l l ⊥时，求a 的值；（2）当12l l ∥时，求1l 与2l 之间的距离．16．已知点()1,2A ，()1,2B --，点P 满足4PA PB ⋅=． （1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过点()2,0Q -分别作直线MN ，RS ，交曲线Γ于M ，N ，R ，S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的最大值与最小值．17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的一个焦点坐标为()2,0，离心率为23．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设动圆22211:C x y t +=与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．动圆()222222212:C x y t t t +=≠与椭圆E 交于A '，B '，C '，D '四点．若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>和抛物线()2:20E y px p =>．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：(1P -，(22,P，)31P -，()49,3P ．（1）求椭圆C 和抛物线E 的方程；（2）设m 为实数，已知点()3,0T -，直线3x my =+与抛物线E 交于A ，B 两点．记直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k ，判断2121m k k +是否为定值，并说明理由． 19．设a 为实数，点()2,3在双曲线2222:12x y C a a -=+上． （1）求双曲线C 的方程； （2）过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=． （ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．【答案】A【解析】直线的斜率()415246k --==---，∴直线的方程为()5426y x -=-+，即5763y x =-+， ∴直线在x 轴上的截距为145，故选A ． 2．【答案】B【解析】00525xx yy x y +=⇒--=，故选B ． 3．【答案】B【解析】方程221362x y k k +=+-表示椭圆3602021362k k k k k+>⎧⎪⇒->⇒-<<-⎨⎪+≠-⎩或12k -<<，故选B ． 4．【答案】C【解析】设点2,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，由MO =()2220054y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， ∴24y =或220y =-（舍去），即214y x ==， ∴M 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离()112d =--=，根据抛物线定义得选项C ．5．【答案】C【解析】当sin 0θ=时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为π2， 当sin 0θ≠时，则直线的斜率(][)1,11,sin k θ=-∈-∞-+∞，即直线倾斜角为πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， 综上所述，直线的倾斜角的范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ． 6．【答案】A【解析】圆C 的半径为4，直线l 上存在到圆C 上一点的距离为3的点， 故圆心()2,7C -到直线l 的距离7d ≤，即()423775m⨯+⨯--≤，解得[]48,22m ∈-，故选A ．7．【答案】D【解析】设21MF F θ∠=，则12sin MF c θ=，22cos MF c θ=， 根据双曲线定义122sin 2cos 2MF MF c c a θθ-=-=，1π4c aθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，π5π,312θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故πππ,4126θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1c e a =<，故选D ． 8．【答案】C【法一】由题意知()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ， 直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1214k k =-， 由正弦定理得sin 2cos sin PA PBAPAB PB PAB∠==∠∠， 又22tan tan tan 21tan PABPBA PAB PAB∠∠=∠=-∠，则122121k k k -=-， 联立解得2119k =，即22211cos tan 9cos PAB PAB PAB -∠=∠=∠，所以cos PAB ∠=，即5PA PB =， 【法二】设()00,P x y ，则00tan 2y PAB x ∠=+，00tan 2y PBA x ∠=--， 0000200022102tan tan 221312y y x PBA PAB PBA PAB x x y x +∠=∠⇒-=∠=∠=⇒=-⎛⎫- ⎪+⎝⎭，20144169y =5PAPB==二．多选题9．【答案】AB对于选项A ：由题意可知2a =，1c ===，∴离心率12c e a ==，故选项A 错误， 对于选项B ：由椭圆的定义1224PF PF a +==，1222F F c ==， ∴12PF F △的周长为426+=，故选项B 错误，对于选项C ：当点P 为椭圆短轴端点时，12tan23F PF c b ∠==， 又∵120902F PF ∠︒<<︒，∴12302F PF∠=︒，即1260F PF ∠=︒， ∴1290F PF ∠<︒，故选项C 正确， 对于选项D ：由椭圆的几何性质可知1a c PF a c -≤≤+，∴113PF ≤≤，故选项D 正确．10．【答案】BC【解析】()2254,39P x y x y ⎛⎫⇒=+-= ⎪⎝⎭对于A ，7233d R -=>=，所以直线与圆相离，不存在点P ； 对于B ，5232553d R -==<=，所以直线与圆相交，存在点P ； 对于C ，121252133C C R R ==+=+，所以两圆外切，存在点P ；对于D ，()()22121221116433x y C C R R -++=⇒=<-=-，所以两圆内含，不存在点P ． 11．【答案】ACD【解析】212a PF PF =⋅==对于A ，用x -代x 得222x y c ++=y 轴对称，用y -代y 得222x y c ++=x 轴对称，用x -代x ，y -代y 得222x y c ++=所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A 正确；对于B ，当0a >时，122PF PF a +≥=，当0a =时，显然P 与1F 或2F 重合，此时122PF PF c +=，所以B 错误； 对于C ，根据对称性可得，曲线E 与x 轴可能有三个交点，所以C 正确； 对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，则12PF PF ⊥，因为()1,PF c x y =---，()2,PF c x y =--，所以222x y c +=，由222x y c ++=22c =222c a ≥，所以D 正确．三．填空题12．【答案】2212x y -= 【解析】设所求双曲线方程为()2202x y λλ-=≠，将点代入双曲线方程得121λ=-=-，故方程为2212x y -=．13．【答案】6【解析】设A 、B 两点横坐标分别为1x ，2x ， 线段AB 中点的横坐标为2，则1222x x +=，故12426AB x x p =++=+=． 14．【答案】57【解析】由抛物线方程得()2,0F ，准线方程为2x =-， 又点()5,4P ，则25c PF ==，在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x =-，交直线2x =-于点G ， 过P 作PM 垂直直线1x =-，交直线1x =-于点M ，由椭圆和抛物线定义得()2527a HF HP HG HP PM =+=+≥=--=，故椭圆离心率2527c e a =≤．四．解答题15．【解析】（1）由12l l ⊥，则20a a +=，解得0a =．（2）由12l l ∥得22244a a ⎧=⎨-≠-⎩，解得1a =-，直线2l 的方程为220x y -+-=，即220x y -+=， 直线1l 的方程为220x y --=， 因此，1l 与2l 之间的距离为d ==． 16．【解析】（1）设(),P x y ，则()()41,21,2PA PB x y x y =⋅=--⋅----，故轨迹方程为229x y +=． （2）假设点O 到MN 的距离为m ，到RS 的距离为n，则12S MN RS == 因为MN RS ⊥，所以224m n +=，所以)204S m ==≤≤，所以S ⎡⎤∈⎣⎦，所以四边形MRNS 面积的最大值14，最小值17．【解析】（1） 222249253a b a b e ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪==⎩⎪⎩椭圆22:195x y E += （2）设()33,A x y '，矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等 ∴331144x y x y =，即22221133x y x y=∵A ，A '均在椭圆上，∴22223113515199x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22139x x +=，222231135151599x x y y ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故()()()()()22222222222212113313131314t t x y x y x x x x y y +=+++=+=+++=为定值． 18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得12p =-，12，2，12，故抛物线E 方程为2y x =故(1P -，)31P -为椭圆上的点22222242186141a a b b a b ⎧+=⎪⎧=⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩椭圆C 方程22184x y += （2）设()12,A x x ，()22,B x y ，则1222123303x my y y m y my y y y x =++=⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩()()()121222212121212666136212my my m y y m m m k k y y y y y y ++++=+=++=-为定值． 19．【解析】（1）因为点()2,3在双曲线C 上，所以22222312a a -=+，整理得42780a a +-=， 即()()22180a a -+=，解得21a =，则双曲线C 的方程为2213y x -=； （2）（ⅰ）易知直线l 的方程为112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即112y kx k =+-， 联立2211213y kx k y x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 并整理得()()222132404k x k k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭， 设()11,M x y ，()22,N x y ，因为直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点M ，N ， 所以关于x 的方程()()222132404kxk k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭有两个不同的正数根1x ，2x ，()()()()()()()()()22222222212434033416043202301303404k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎧⎛⎫-+--+> ⎪⎪⎧-+->⎝⎭⎪⎪⎪⎪--<⇒-->⎨⎨⎪⎪-<⎛⎫⎪⎪⎩---+> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得k ∈⎝则斜率k的取值范围为⎝； （ⅱ）设()00,H x y ，由（ⅰ）得()()12222233k k k k x x k k --+=-=--，()222122221144416443343k k k k k k x x k k k ⎛⎫--+-+ ⎪-+⎝⎭===---， 因为1112x a ≥=>，2112x a ≥=>，()()01020x x x x --<， 又P ，M ，N ，H 在同一直线l 上，所以111222112122112122x x PM x PN x x x ---===---，0120MH x x HN x x -=-， 由PM MH PN HN=得0112202121x x x x x x --=--，即()()()()1202012121x x x x x x --=--， 化简得()()()1201212214x x x x x x x +-=-+，所以()()202222241621333k k k k k k x k k k --⎛⎫-+-=- ⎪---⎝⎭， 整理得()()()2202234162k k k x k k k k --+=-+--，解得0832kx k -=-，即003821x k x -=- 又点()00,H x y 在直线112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭上，所以()001136911223264k k y k x k k +⎛⎫=-+=+= ⎪--⎝⎭ 即00000386921386421x x y x x -+⋅-=--⋅-，故点H 恒在定直线3260x y --=上．。
安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试题含答案
2024～2025学年第一学期高二期中检测数学（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章～第二章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()1,2,4a =，()1,0,2b =-r，则a b ⋅的值为（）A.()1,0,8- B.9C.－7D.7【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量数量积坐标运算法则进行计算.【详解】()()1,1,2,00874,21a b ⋅⋅=-=-++=.故选：D2.直线+1=0x 的倾斜角为（）A.34π B.4π C.2π D.不存在【答案】C 【解析】【分析】根据倾斜角的定义可得结果【详解】因为直线+1=0x 即直线1x =-垂直于轴,根据倾斜角的定义可知该直线的倾斜角为2π，故选:C.3.与直线20x y +=垂直，且在x 轴上的截距为-2的直线方程为（）．A.220x y -+=B.220x y --= C.220x y -+= D.220x y --=【答案】A 【解析】【分析】先求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.【详解】由题得所求直线的斜率为12，∴所求直线方程为10(2)2y x -=+，整理为220x y -+=．故选：A【点睛】方法点睛：求直线的方程，常用的方法：待定系数法，先定式（从直线的五种形式中选择一种作为直线的方程），后定量（求出直线方程中的待定系数）.4.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BE AA x AB y AD =++，则（）A.11,22x y =-=B.11,22x y ==-C.11,22x y =-=-D.11,22x y ==【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】根据题意，得；11()2BE BB BA BC =++11122AA BA BC=++111,22AA AB AD =-+ 1BE AA xAB y AD =++ 又11,,22x y =-=∴故选：A5.已知向量()0,0,2a = ，()1,1,1b =- ，向量a b + 在向量a上的投影向量为（）．A.()0,0,3 B.()0,0,6C.()3,3,9- D.()3,3,9--【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算及投影向量的公式计算即可.【详解】由题意可知()1,13a b +=-，，()6,2a b a a +⋅== ，所以向量a b + 在向量a上的投影向量为()()()60,0,20,0,322a b a a a a +⋅⋅=⨯=⋅ .故选：A6.若圆()()2213425O x y -+-=:和圆()()()222228510O x y r r +++=<<:相切，则r 等于A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得r 的值并验证510r <<即可得结果.【详解】圆()()2213425O x y -+-=:的圆心()13,4O ，半径为5；圆()()2222:28O x y r +++=的圆心()22,8O --，半径为r.＝|r－5|，求得r＝18或－8，不满足5<r<10.＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故选C．【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题.两圆半径为,R r ，两圆心间的距离为d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()2,1,0D ，向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，则点O 到平面DEF 的距离为（）A.21B.7C.21D.21【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算点O 到平面DEF 的距离.【详解】因为()2,1,0D ，所以()2,1,0OD = ，又向量()4,1,2,m m =⊥平面DEF ，所以()4,1,2m =是平面DEF 的一个法向量所以点O 到平面DEF的距离为7OD m d m ⋅===.故答案为：7.8.已知直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ），点P 在圆221x y +=上，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】先求得直线过的定点的坐标，再由圆心到定点的距离加半径求解.【详解】解：直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ）即为()()340x y m -+-=，所以直线过定点()3,4Q ，所以点P 到直线l的距离的最大值为16OQ r +=+=，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线2y x =与0x y a ++=交于点()1,P b ，则（）A.3a =-B.2b =C.点P 到直线30ax by ++=的距离为13D.点P 到直线30ax by ++=的距离为13【答案】ABD 【解析】【分析】联立直线方程结合其交点坐标求参数a 、b ，进而应用点线距离公式求P 到直线30ax by ++=的距离即可.【详解】由题意，得：210b b a =⎧⎨++=⎩，解得3a =-，2b =，故A 、B 正确，∴()1,2到直线3230x y -++=的距离13d ==，故C 错误，D 正确.故选：ABD.10.已知空间向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，则下列说法正确的是（）A.()32//a b a+B.()57a a b⊥+C.a =D.b =【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解.【详解】因为向量()()3,1,2,3,3,1a b =--= ，可得214,10a a b =⋅=-，对于A 中，由()323,3,8a b +=-，设32a b a λ+= ，即()3,3,8(3,1,2)λ-=--，可得33382λλλ-=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，此时方程组无解，所以32a b + 与a 不平行，所以A 错误；对于B 中，由()257575147(10)0a a b a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯-=，所以()57a a b ⊥+，所以B 正确；对于C中，由a ==，所以C 正确；对于D中，由b == D 正确.故选：BCD.11.直线2y x m =+与曲线y =恰有两个交点，则实数m 的值可能是（）A.4B.5C.3D.4110【答案】AD 【解析】【分析】做出函数图象，数形结合，求出m 的取值范围，再进行选择.【详解】做出函数2y x m =+与y =的草图.设2y x m =+与圆224x y +=2=⇒m =m =-（舍去）.因为函数2y x m =+与y =有两个交点，所以4m ≤<.故选：AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知在空间直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(1,2,)3-，点B 的坐标为(0,1,4)--，点A 与点C 关于x 轴对称，则||BC =___________.【答案】【解析】【分析】首先根据对称求出点C 的坐标，然后根据两点间的距离公式求||BC 的值即可.【详解】因为点A 与点C 关于x 轴对称，所以点C 的坐标为()1,2,3-，又因为点B 的坐标为(0,1,4)--，所以BC ==．13.过点()2,4作圆224x y +=的切线，则切线方程为___________．【答案】2x =或34100x y -+=【解析】【分析】考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径列出方程，求出切线方程.【详解】①直线的斜率不存在时2x =满足，②直线斜率存在时，设切线方程为()42y k x -=-，则324d k ==⇒=，所以切线方程为4y -=()324x -，即34100x y -+=．故答案为：2x =或34100x y -+=.14.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．【答案】【解析】【详解】22225325539OC OA OB OA 2OA OB OB44164416⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭即222225159r r r cos AOB r 16816=+∠+，整理化简得cos∠AOB＝－35，过点O 作AB 的垂线交AB 于D，则cos∠AOB＝2cos 2∠AOD－1＝－35，得cos 2∠AOD＝15.又圆心到直线的距离为OD＝=，所以cos 2∠AOD＝15＝22OD r＝22r ，所以r 2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.已知直线l 过点()2,1P -．（1）若直线l 与直线230x y ++=垂直，求直线l 的方程（2）若直线l 在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l 的方程．【答案】（1）240x y --=；（2）20x y +=或30x y --=．【解析】【分析】（1）根据直线方程垂直设出方程求解未知数即可；（2）根据截距的概念分类讨论求方程即可.【小问1详解】因为直线l 与直线230x y ++=垂直，所以可设直线l 的方程为20x y m -+=，因为直线l 过点()2,1P -，所以()2210m -⨯-+=，解得4m =-，所以直线l 的方程为240x y --=【小问2详解】当直线l 过原点时，直线l 的方程是2xy =-，即20x y +=．当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a -=，把点()2,1P -代入方程得3a =，所以直线l 的方程是30x y --=．综上，所求直线l 的方程为20x y +=或30x y --=16.已知向量()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=.（1）若a b ⊥ ，求t 的值；（2）求b a -的最小值.【答案】（1）2（2）5【解析】【分析】（1）由空间向量垂直得到方程，求出答案；（2）计算出()1,21,0b a t t -=+-，利用模长公式得到b a -= ，求出最小值.【小问1详解】因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅=，即()()22110t t t t -+-+=，解得2t=；【小问2详解】()1,21,0 b a t t-=+-所以b a-=.所以当15t=时，b a-取得最小值为5.17.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为直角梯形，//AD BC，AB BC⊥，AP⊥平面ABCD，Q为线段PD上的点，2DQ PQ=，1AB BC PA===，2AD=．（1）证明：//BP平面ACQ；（2）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用三角形相似得2MD MB=，结合2DQ PQ=，则有//MQ BP，利用线面平行的判定即可证明；（2）以A为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面ACQ的法向量，利用线面角的空间向量法即可得到答案.【小问1详解】如图，连接BD与AC相交于点M，连接MQ，∵//BC AD，2AD BC=，则AMD CMB，∴2MD ADMB CB==，2MD MB=，∵2DQ PQ=，∴//MQ BP，BP ⊄ 平面ACQ ，MQ Ì平面ACQ ，∴//BP 平面ACQ ；【小问2详解】AP ⊥ 平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ,,AP AB AP AD ∴⊥⊥，因为底面AB BC ⊥,则AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，各点坐标如下：()0,0,0A ，()1,1,0C ，()0,0,1P ，220,,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面ACQ 的法向量为(),,m x y z =，由()1,1,0AC = ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，有02233AC m x y AQ m y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，1y =-，1z =，可得()1,1,1m =- ，由()1,1,1CP =-- ，有1CP m ⋅=，CP m ==，则1cos ,3CP m == ．故直线PC 与平面ACQ 所成角的正弦值为13．18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,F G 分别是棱1,CC AD 的中点，E 为棱AB 上一点，且异面直线1B E 与BG 所成角的余弦值为25.（1）证明：E 为AB 的中点；（2）求平面1B EF 与平面11ABC D 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）4242【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，不妨令正方体的棱长为2，设()2,,0E a ，利用111cos ,B E BG B E BG B E BG⋅= ，解得1a =，即可证得；（2）分别求得平面1B EF 与平面11ABC D 的法向量m n ，，利用cos ,m n m n m n⋅=⋅ 求解即可.【小问1详解】证明：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.不妨令正方体的棱长为2，则()0,0,0D ，()1,0,0G ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，()0,2,1F ，设()2,,0E a ，则()10,2,2B E a =-- ，()1,2,0BG =-- ，所以()1121422cos ,5524B E BG a B E BG B E BG a ⋅-===-+ ，所以2430a a -+=，解得1a =（3a =舍去），即E 为AB 的中点.【小问2详解】由（1）可得()10,1,2B E =-- ，()2,1,1EF =- ，设(),,m x y z = 是平面1B EF 的法向量，则12020m B E y z m EF x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ .令2z =，得()1,4,2m =-- .易得平面11ABC D 的一个法向量为()12,0,2n DA == ，所以cos ,42m n m n m n ⋅===⋅ .所以所求锐二面角的余弦值为42.19.已知圆C 过点(1,0)M -且与直线20x +-=相切于点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，直线:30l kx y k --+=与圆C 交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与x 轴的正半轴交于点P ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +是定值．【答案】（1）221x y +=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）确定圆心和半径，可得圆C 的方程.（2）把直线方程与圆C 方程联立，得到12x x +，21x x ，再表示出12k k +，运算整理即可.【小问1详解】过点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭且与直线20x +-=垂直的直线为：1022x y ⎛⎫⎫---= ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭0y -=.又线段MN，其中1,22N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭的垂直平分线为：()222213122x y x y ⎛⎫⎛⎫++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0y +=.由00y y -=+=，得圆心()0,0C ，又221r CM ==.故圆C 的方程为：221x y +=.【小问2详解】将()3y kx k =+-代入221x y +=得：()2231x kx k ⎡⎤++-=⎣⎦，整理得：()()()222123310k x k k x k ++-+--=.由0∆>⇒()()()22224341310k k k k ⎡⎤--+-->⎣⎦⇒43k >.设1,1，2,2，则()122231k k x x k -+=+，()2122311k x x k --=+.又()1,0P ，所以()111111133111k x y k k x x x -+===+---，同理：2231k k x =+-.所以121233211k k k x x +=++--()()()121236211x x k x x +-=+--()()1212123621x x k x x x x +-=+-++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++()()()22222336123123111k k k k k k k k k -⨯-+=+----+++18629k k --=+23=-.所以1223k k +=-为定值.。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+y−12=0的倾斜角是( )A. π4B. π2C. 3π4D. π32.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|等于A. 5B. 34C. 41D. 523.长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为A. x29+y2=1 B. x281+y29=1C. x29+y2=1或y281+x29=1 D. y29+x2=1或x281+y29=14.已知方程x22+m −y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围为A. (−2,−1)B. (−∞,−2)∪(−1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)5.在正四棱锥P−ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是( )A. 612B. 68C. 38D. 56246.已知椭圆C:x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点，点A(0,23)，则▵APF的周长的最大值为A. 9+21B. 14C. 7+23+5D. 15+37.已知A(−3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为A. 210B. 6C. 26D. 268.已知A,B两点的坐标分别是(−1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为A. y=−x2+1(x≠±1)B. y=x2+1(x≠±1)C. x=−y2+1(y≠±1)D. x=y2+1(y≠±1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A(−3,−4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a的值可取A. −13B. 13C. −79D. 7910.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，过点F1的直线与C的左支相交于P,Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则( )A. |PQ|=4aB. 3PF1=PQC. 双曲线C的渐近线方程为y=±223x D. 直线PQ的斜率为411.已知椭圆C1:x29+y25=1，将C1绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆C2，将C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆C3，动点P,Q在C1上，且直线PQ的斜率为−12，则A. 顺次连接C1,C2的四个焦点构成一个正方形B. C3的面积为C1的4倍C. C3的方程为4x29+4y25=1D. 线段PQ的中点R始终在直线y=109x上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
2024-2025学年度上学期期中考试高二数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．某工厂生产三种不同型号的产品，它们的产量之比为，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本.若样本中型号的产品有120件，则样本容量为（ ）A ．250B ．200C ．180D ．1502.黑龙江省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一．某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）A ．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数B ．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数C ．样本中男生人数少于女生人数D ．样本中选择物理学科的人数较多3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的数是偶数”，事件B 为“第二次取到的数是奇数”，则（ ）A.B.C.D.4. 给出下列说法中错误的是（ ）A. 回归直线恒过样本点的中心B. 两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1C. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变D. 在回归直线方程中，当变量x 增加一个单位时，平均减少0.5个单位5. 现有4道填空题，学生张三对其中3道题有思路，1道题思路不清晰．有思路的题做对的概率为，思路不清晰的题做对的概率为，张三从这4道填空题中随机选择1题，则他做对该题的概率为（ ）,,A B C 2:2:6n C n ()P B A =52451651258ˆˆˆy bx a =+()x y ||r ˆ20.5yx =-ˆy 3414A.B.C.D.6. .随机变量X 的分布列如表所示，若E(X)=，则D （3X ﹣2）＝（ ）X ﹣101PabA ．9B ．5C ．D ．37．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（ ）A ．估计该年级学生成绩的众数约为75B ．C ．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.508．箱中有标号为1，2，3，4，5，6，7，8且大小相同的8个球，从箱中一次摸出3个球，记下号码并放回，如果三球号码之积能被10整除，则获奖.若有2人参加摸奖，则恰好有2人获奖的概率是（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题（每小题6分，共18分）9．有一散点图如图所示，在5个（x ，y ）数据中去掉D （3，10）后，下列说法中正确的是（ ）A ．相关系数r 变小 B ．残差平方和变小C ．决定系数R 2变小D ．解释变量x 与响应变量y 的相关性变强10．下列命题正确的是（ ）A ．数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6B ．设随机变量，若，则的最大值为43C ．对于随机事件A ，B ，若，，，则A 与B 相互独立D ．已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本581814340.05a =81784813929491849()6,X B p ~()2E X ≤()D X ()()P AB P A =∣()0P A >()0P B >平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为12011．甲、乙、丙、丁四名同学每人从三种卡片中随机选取一张（每种卡片有多张），每种卡片至少有一人选择.事件为“甲选择卡片A ”，事件为“乙选择卡片”，则下列结论正确的是（ ）A ．事件与不互斥B ．C ．D ．三、填空题（每小题5分，共15分）12．若X 服从正态分布N （10，σ2），且P （X ≤8）＝P （X ≥20﹣t ），则t 的值为 ．13．在的展开式中，的系数为14．已知袋子中有a 个红球和b 个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法中正确的是 .①每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为②每次摸1个球，摸出球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为③每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n 次后，摸到红球的次数X 的方差为④从中不放回摸个球，摸到红球的个数X 的概率是四、解答题（共计77分）15．(13分)已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为．(1)求n 和a 的值；(2)求展开式中项的系数(3)求的展开式中的常数项．16. (15分)共享汽车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，某站点5天的使用汽车,,A B C M N B M N ()()||P N MP MN =()3136P M N =()23P M N ⋃=()()()()2391111x x x x ++++++++ 3x aa b+()()()11a a a b a b -++-naa b+()n n a ≤()C C C k n ka bn a bP X k -+==21nax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1-4x -22112nx ax x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭用户的数据如下，用两种模型①：②分别进行拟合，进行残差分析得到如表所示的残差值及一些统计量的值：日期（天）12345用户（人）1322455568模型①的残差值模型②的残差值(1)残差值的绝对值之和越小说明模型拟合效果越好，根据残差，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型？并说明理由；(2)求出（1）中所选模型的回归方程．（参考公式：，，参考数据：，）17．(15分)4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在(10,12]内的概率；(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望和方差；(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用P (k )表示这10名学y bx a =+y a =+x y 1.1- 2.8- 1.2- 1.9-0.40.3 5.4- 3.2- 1.6- 3.81221ˆni ii nii x ynx y bxnx==-=-∑∑ˆˆay bx =-52155ii x==∑51752i i i x y ==∑生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(8,12]内的概率，其中k =0，1，2，…，10．当P (k )最大时，写出k 的值．（写出证明）18．(17分)如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，（i ）求平面PDM 与平面BDM 的余弦值；（ii ）在线段上是否存在点Q ，使得点Q 到平面的的值；若不存在，说明理由．19．(17分)某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是34,35，通过第二轮比赛的概率分别是45,23，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响.(1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为X ，求X 的分布列；(2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是13,23，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率.P ABCD -PDC ⊥,,ABCD AD DC AB DC ⊥∥11,2AB CD AD M ===PC //BM PAD 1PC PD ==PA BDM PQ。
四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)_2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
四川省成都市第十二中学（四川大学附属中学） 2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、解答题
15．某校高二年级举行了“学宪法、讲宪法”知识竞赛，为了了解本次竞赛的学生答题情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，
按照[)
50,60，[)
70,80，[)
60,70，[)
90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.
80,90，[]
(1)求频率分布直方图中x的值，并估计该200名学生成绩的中位数和平均数；
(2)若在[)
70,80的样本成绩对应的学生中按分层抽样的方法抽取7人进行访谈，60,70和[)
再从这七人中随机抽取两人进行学习跟踪，求抽取的两人都来自[)
70,80组的概率.
16．如图，四边形
A ABB是圆柱的轴截面，C是下底面圆周上一点，点D是线段BC中点
11
则圆C有且仅有3个点,,
M N P
故选：BCD.
11．ABD
【分析】将二十四等边体补形为正方体，且二十四等边体根据题意易知正方体棱长为2，
uuu r uuu
根据向量的坐标，可得2
CE=。
湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案
武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线320x y --=在y 轴上的截距为（）A ．2-B ．2C ．23D ．23-2．已知直线1:1l y x =-绕点(0,1)-逆时针旋转512π，得到直线2l ，则2l 不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为13，且()3()P A P B =，则()P B =（）A ．16B ．13C ．23D ．565．现有一段底面周长为12π厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行2π厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行2π厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆22121:10504C x x y y -+-+=，点(,0)T t 为x 轴上一动点．现由点P 向点T 发射一道粗细不计的光线，光线经x 轴反射后与圆C 有交点，则t 的取值范围为（）A ．1527,88⎡⎤⎢⎣⎦B ．710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．如图所示，四面体ABCD 的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则V V'的最小值为（）A ．14B ．18C ．116D ．127二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（）A ．已知{,,}a b c 是空间的一个基底，若23m a c =+ ，则,,}a b m 〈也是空间的一个基底B ．平面α经过三点(2,1,0)A ，(1,3,1)B -，(2,2,1)C -，向量(1,,)n u t =是平面α的法向量，则2u t +=C ．若0a b ⋅> ，则,a b <>是锐角D ．若对空间中任意一点O ，有111362OM OA OB =++，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（）A ．设A ，B 是两个随机事件，且1()2P A =，1()3P B =，若1()6P AB =，则A ，B 是相互独立事件B ．若()0P A >，()0P B >，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足()()()()P ABC P A P B P C =D ．若事件A ，B 相互独立，()0.4P A =，()0.2P B =，则()0.44P AB AB = 11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值(1)λλ≠的点P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点(2,0)A ，(6,0)B ，动点P 满足||1||3PA PB =，记点P 的轨迹为τ，则下列命题正确的是（）A ．点P 的轨迹τ的方程是2230x y x +-=B ．过点(1,1)N 的直线被点P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线220x y -+=与点P 的轨迹τ相离D ．已知点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，点M 是直线:270l x -+=上的动点，过点M 作点P 的轨迹τ的两条切线，切点为C ，D ，则四边形ECMD 面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线1y =+与直线y x b =+有两个相异的交点，那么实数b 的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，(0,0,0)O ，(0,,3)A a ，(3,0,)B a ，(,3,0)C a ，33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 为ABC △所确定的平面内一点，设||PO PD -的最大值是以a 为自变量的函数，记作()f a ．若03a <<，则()f a 的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C 的概率分别是12，14，18．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知ABC △的顶点(4,2)A ，边AB 上的中线CD 所在直线方程为7250x y +-=，边AC 上的高线BE 所在直线方程为40x y +-=．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求BCD △的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，AB a = ，AC b = ，1AA c =，在1AC 上和BC 上分别有一点M 和N 且AM k AC = ，BN k BC =，其中01k ≤≤．（1）求证：MN ，a ，c共面；（2）若||||||2a b c ===，13AB =且160BAC BB C ∠=∠=︒，设P 为侧棱1BB 上靠近点1B 的三等分点，求直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(7,0)B -，平面内动点P 满足||2||PB PA =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 轨迹记为曲线C ，若曲线C 与x 轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线:17l x =上的动点，直线MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ，定义“F 变换”：()1F k k a a += ，其中，1k k k x x y +=-，1k k k y y z +=-，1k k k z z x +=-．记k k k k a x y z = ，k k k k a x y z =++．（1）若0(2,3,1)a =，求2a 及2a ；（2）证明：对于任意0a ，必存在*k ∈N ，使得0a 经过k 次F 变换后，有0k a = ；（3）已知1(,2,)()a p q q p =≥ ，12024a = ，将1a再经过m 次F 变换后，m a 最小，求m 的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．53613．1)+14．215．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以1111()12488P D =---=．所以111()()()884P C D P C P D =+=+= ．因此其得分低于4分的概率为14；（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．则“两次射击得分之和为8分”为事件()()()121221B B AC A C ，且事件12B B ，12AC，21A C 互斥，()121114416P B B =⨯=，()()12211112816P AC P A C ==⨯=，所以两次射击得分之和为8分的概率()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦ ．16．解：（1）因为AC BE ⊥，所以设直线AC 的方程为：0x y m -+=，将(4,2)A 代入得2m =-，所以直线AC 的方程为：20x y --=，联立AC ，CD 所在直线方程：207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)C -，设()00,B x y ，因为D 为AB 的中点，所以0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为()00,B x y 在直线BE 上，D 在CD 上，所以0040x y +-=，0042725022x y ++⨯+⨯-=，解得06x =-，010y =，所以(6,10)B -，10(1)11617BC k --==---，所以BC 所在直线的方程为：111(1)7y x +=--，即11740x y +-=．（2）由（1）知点(1,6)D -到直线BC 的距离为：d ==，又||BC ==，所以12722BCD S ==△．17．（1）证明：因为1AM k AC kb kc ==+，()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+，所以(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- ．由共面向量定理可知，MN ，a ，c共面．（2）取BC 的中点为O ，在1AOB △中，1AO B O ==13AB =，由余弦定理可得22211cos2AOB ∠=-，所以12π3AOB ∠=，依题意ABC △，1B BC △均为正三角形，所以BC AO ⊥，1BC B O ⊥，又1B O AO O = ，1B O ⊂平面1B AO ，AO ⊂平面1B AO ，所以BC ⊥平面1AOB ，因为BC ⊂平面ABC ，所以平面1AOB ⊥平面ABC ，所以在平面1AOB 内作Oz OA ⊥，则Oz ⊥平面ABC ，以OA ，OC ，Oz 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示：则1332B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1,0)B -，3,0,0)A ，(0,1,0)C ，1332C ⎛⎫⎪⎝⎭，1332A ⎫⎪⎝⎭设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，(3,1,0)AC =，13332AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即303332022y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，取1z =得(3,3,1)n =-- ，依题意可知123BP BB =，则11112332333713,,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=--+⨯-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．设直线1PC 与平面11ACC A 所成角为θ，则11169sin cos ,13213||133n C PC P n n C Pθ⋅====⋅⨯．故直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值为913．18．解：（1）设动点坐标(,)P x y ，因为动点P 满足||2||PB PA =，且(1,0)A -，(7,0)B -，2222(7)2(1)x y x y ++=++化简可得，222150x y x +--=，即22(1)16x y -+=，所以点P 的轨迹方程为22(1)16x y -+=．（2）曲线22:(1)16C x y -+=中，令0y =，可得2(1)16x -=，解得3x =-或5x =，可知(3,0)M -，(5,0)N ，当直线EF 为斜率为0时，||||EK FK +即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为x ny t =+，()11,E x y ，()22,F x y ，联立22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩消去x 可得：22(1)16ny t y +-+=，化简可得；()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=由韦达定理可得1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，因为()11,E x y ，()22,F x y ，(3,0)M -，(5,0)N ，所以EM ，FN 的斜率为113EM y k x =+，225FN y k x =-，又点()11,E x y 在曲线C 上，所以()2211116x y -+=，可得()()()22111116135y x x x =--=+-，所以111153EM y x k x y -==+，所以EM ，FN 的方程为115(3)x y x y -=+，22(5)5y y x x =--，令17x =可得()1212205125Q x y y y x -==-，化简可得；()()121235550y y x x +--=，又()11,E x y ，()22,F x y 在直线x ny t =+上，可得11x ny t =+，22x ny t =+，所以()()121235550y y ny t ny t ++-+-=，化简可得；()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=，又1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，代入可得()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++，化简可得()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=，()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=，(5)(816)0t t --=，所以2t =或5t =，当5t =时EF 为5x ny =+，必过(5,0)，不合题意，当2t =时EF 为2x ny =+，必过(2,0)，又||EF 为圆的弦长，所以当EF ⊥直径MN 时弦长||EF 最小，此时半径4r =，圆心到直线EF 的距离为211-=||8EF =，综上，||EF的最小值．19．解：（1）因为0(2,3,1)a = ，1(1,2,1)a = ，2(1,1,0)a = ，所以21100a =⨯⨯= ，21102a =++=，（2）设{}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == 假设对N k ∀∈，10k a +≠，则1k x +，1k y +，1k z +均不为0；所以12k k M M ++>，即123M M M >>> ，因为*(1,2)k M k ∈=N ，112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ ，所以121M M +≤-，与120M M +>矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意0a ，经过若干次F 变换后，必存在K N*∈，使得0K a =．（3）设()0000,,a x y z = ，因为1(,2,)()a p q q p =≥，所以有000x y z ≤≤或000x y z ≥≥，当000x y z ≥≥时，可得0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，三式相加得2q p -=又因为12024a =，可得1010p =，1012q =；当000x y z ≤≤时，也可得1010p =，1012q =，所以1(1010,2,1012)a =；设k a的三个分量为()*2,,2m m m +∈N 这三个数，当2m >时，1k a +的三个分量为2m -，2，m 这三个数，所以14k k a a +=- ；当2m =时，k a 的三个分量为2，2，4，则1k a + 的三个分量为0，2，2，2k a +的三个分量为2，0，2，所以124k k a a ++=== ；所以，由12024a = ，可得5058a = ，5064a =；因为1(1010,2,1012)a = ，所以任意k a的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以505a 的三个分量只能是2，2，4三个数，506a的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当505m <时，18m a +≥ ；当505m ≥时，14m a +=，所以m 的最小值为505．。
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含解析)
湖南省长沙市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷时量：120分钟满分：150分得分______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则在复平面对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设直线的倾斜角为，则A. B. C. D.3.如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是A.B. C. D.4.已知数列为等差数列，.设甲：；乙：，则甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽AB 为2m ，渠深OC 为1.5m ，水面EF 距AB 为0.5m ，则截面图中水面的宽度EF）A.0.816mB.1.33mC.1.50mD.1.63m6.已知圆．与圆外切，则ab 的最大值为A.2B.C.D.37.若函数在区间上只有一个零点，则的1i2iz -=+z :80l x -+=αα=30︒60︒120︒150︒1111ABCD A B C D -M 11A C 11B D AB 1,,a AD b AA c ===BM1122a b c ++1122a b c -++1122a b c --+1122a b c -+{}n a *,,,p q s t ∈N p q s t +=+p q s t a a a a +=+ 2.448≈≈≈221:()(3)9C x a y -++=222:()(1)1C x b y +++=52)44()2sin cos sin cos (0)f x x x x x ωωωωω=+->π0,2⎛⎫⎪⎝⎭ω取值范围为A. B. C. D.8.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点A ，B 使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为B.D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是A.用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的分位数是18D.若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为1510.下列四个命题中正确的是A.过定点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为B.过定点的直线与以为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为或C.定点到圆D.过定点且与圆相切的直线方程为或11.在棱长为2的正方体中，点满足，则A.当时，点到平面B.当时，点到平面C.当时，存在点，使得D.当时，存在点，使得平面PCD 选择题答题卡题号1234567891011得分答案三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.假设，且与相互独立，则______.14,33⎛⎤ ⎥⎝⎦14,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭17,66⎛⎤⎥⎝⎦17,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,F F 2222:1(0)x y E a b a b+=>>E 12AF F B c c 124AF BF =E 4556m 50%1210,,,x x x 121021,21,,21x x x --- (1,1)P -x y 20x y --=(1,1)P -(3,1),(3,2)M N -k 12k - (32)k …(1,0)Q 22(1)(3)4x y ++-=2-(1,0)Q 22(1)(3)4x y ++-=51250x y +-=1x =1111ABCD A B C D -P 1,,[0,1]AP AC AD λμλμ=+∈0λ=P 11A BC 0μ=P 11A BC 34μ=P 1BP PC ⊥34λ=P 1BC ⊥()0.3,()0.4P A P B ==A B ()P AB =13.斜率为1的直线与椭圆相交于A ，B 两点，AB 的中点为，则______．14.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.（1）求角；（2）若，点满足，且，求的面积.16.（15分）在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，若.（1）求证：平面平面ABCD ；（2）求平面ABQ 与平面BDQ 所成夹角的余弦值.17.（15分）已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，且.（1）求的方程；（2）A ，B 为双曲线右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点，求直线AB 的斜率的取值范围.18.（17分）已知是数列的前项和，若.（1）求证：数列为等差数列.（2）若，数列的前项和为.（ⅰ）求取最大值时的值；22143x y +=(,1)M m m ={}n a n n S 457,,{5,0}a S S ∈-n S ABC π22sin 6b aA c+⎛⎫+=⎪⎝⎭C 1a =D 2AD DB = ||CD = ABC Q ABCD -2,3AD QD QA QC ====QAD ⊥2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>12,,F F E y =2c =E E (0,4)C n S {}n a n 1112n n n n S S a a ++-={}n a 12,13n n a c a =-=+{}n c n n T n T n（ⅱ）若是偶数，且，求.19.（17分）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.（1）若圆是直线族的包络曲线，则m ，n 满足的关系式是什么？（2）若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围和直线族的包络曲线.（3）在（2）的条件下，过曲线上A ，B 两点作曲线的切线，其交点为.若且，B ，C 不共线，探究是否成立？请说明理由.m 2(1)nn n b a=-21mi i b =∑1x ty =+(1,0)221:1C x y +=1(,)mx ny m n +=∈R ()00P x y ，2:(24)4(2)0()a x y a a Ω-++-=∈R 0y ΩE E E 12,l l P (0,1)C A PCA PCB ∠=∠长沙市2024-2025学年度高二第一学期期中考试数学参考答案一、二、选择题题号1234567891011答案DABADDACACDBDBD1.D 【解析】因为，对应点为，在第四象限.故选D.2.A【解析】由直线，可得直线的斜率为设直线的倾斜角为，其中，可得.故选A.3.B 【解析】.故选B.4.A 【解析】甲是乙的充分条件；若为常数列，则乙成立推不出甲成立.5.D 【解析】以为原点，OC 为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设扡物线的标准方程为，由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为，设，则，则，所以截面图中水面的宽度EF 约为，故选D.6.D 【解析】圆的圆心，半径，1i (1i)(2i)13i 2i (2i)(2i)55z ---===-++-13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭:80l x +=l k =l α0180α︒︒<…tan α=30α︒=11111111111111222222BM BB B M AA B A B C AA AB AD a b c =+=++=-+=-++ {}n a O y 22(0)x py p =>(1,1.5)B 22x py =13p =13p =223x y =()()0000,0,0F x y x y >>0 1.50.51y =-=200221,0.81633x x =⨯===≈0.8162 1.63m ⨯≈221:()(3)9C x a y -++=1(,3)C a -13r =圆的圆心，半径，依题意，，于是，即，因此，当且仅当时取等号，所以ab 的最大值为3.故选D.7.A 【解析】由，令，则由题意知.8.C 【解析】如图，由，得，则为梯形的两条底边，作于点，由梯形的高为，得，在Rt 中，，则有，即，在中，设，则，，即，解得在中，，同理，又，所以，即，所以离心率.故选C.9.ACD 【解析】对于A ，一个总体含有50个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为10的样本，222:()(1)1C x b y +++=2(,1)C b --21r =12124C C r r =+=222()24a b ++=22122224a b ab ab ab ab =+++=…3ab …a b =)22π()sin 2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=-==-⎪⎝⎭πππ2π362k x k x ωωω-=⇒=+ππππ14,626233ωωωω⎛⎤<+⇒∈ ⎥⎝⎦…214AF BF =12//AF BF 12,AF BF 12AF F B 21F P AF ⊥P 12AF F B c 2PF c =12F PF 122F F c =1230PF F ︒∠=1230AF F ︒∠=12AF F 1AF x =22AF a x =-22221121122cos30AF AF F F AF F F ︒=+-222(2)4a x x c -=+-1AF x ==12BF F 21150BF F ︒∠=2BF =214AF BF = 4=3a =c e a ==则指定的某个个体被抽到的概率为，故A 正确；对于B ，数据1，2，m ，6，7的平均数是，这组数据的方差是，故B 错误；对于C ，，第50百分位数为，故C 正确；对于D ，依题意，，则，故D 正确；故选ACD.10.BD 【解析】对于A ，过点且在轴和轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为错误；对于B ，直线PM ，PN 的斜率分别为，依题意，或，即或，B 正确；对于C ，圆的圆心，半径，定点到圆C 错误；对于D ，圆的圆心，半径，过点斜率不存在的直线与圆相切，当切线斜率存在时，设切线方程为，解得，此切线方程为，所以过点且与圆相切的直线方程为或，D 正确；故选BD.11.BD 【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，11100.2505⨯== 4,4512674m =⨯----=222222126(14)(24)(44)(64)(74)55s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦850%4⨯=1719182+=8x =2116115x -=-=(1,1)-x y ,A y x =-2(1)31(1)1,312312PN FM k k ----====----PMk k ...FN k k ...12k - (3)2k …22:(1)(3)4C x y ++-=(1,3)C -2r =(1,0)Q 2(1)x +2(3)4y +-=22,+=+22:(1)(3)4C x y ++-=(1,3)C -2r =(1,0)1x =C (1)y k x =-2=512k =-51250x y +-=(1,0)22(1)(3)4x y ++-=51250x y +-=1x =1111ABCD A B C D -则,，设平面的法向是为，则令，得，对于，当时，，点到平面的距离A 错误；对于B ，当时，，点到平面的距离B 正确；对于C ，当时，，则，当时，显然，方程无实根，即BP 与不垂直，C 错误；对于D ，当时，，则，显然，即，由，得，即当时，，而平面PCD ，因此平面PCD ，D 正确．故选BD.三、填空题12.0.12【解析】由，且与相互独立，得，13.【解析】设直线AB 的方程为，代入椭圆方程，1111(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,2),(2,2;2),(0,2,2)A B C D A B C D 11(2,0,2),(0,2,2)BA BC =-=11A BC (,,)n x y z = 11220,220,n BA x z n BC y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1z =(1,1,1)n =- A 0λ=11(0,2,2),(0,2,2),(0,2,22)AP AD P A P μμμμμμμ===-P 11A BC 11||n A P d n ⋅=== 0μ=(2,2,0),(2,2;0),(22,2,0)AP AC P BP λλλλλλλ===-P 11A BC 2||||n BP d n ⋅===34μ=133333(2,2,0)0,,2,2,42222AP AC AD λλλλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13333112,2,,22,2,,22,2,222222P BP C P λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2213135(22)228602242BP C P λλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-++--=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2564802∆=-⨯⨯<1PC 34λ=133333,,0(0,2,2),2,242222AP AC AD μμμμμ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3331,2,2,,2,2,(2,0,0),(0,2,2)2222P DP DC BC μμμμ⎛⎫⎛⎫+=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10DC BC ⋅= 1BC DC ⊥1122402DP BC μμ⎛⎫⋅=-+= ⎪⎝⎭ 18μ=18μ=1BC DP ⊥,,DC DP D DC DP ⋂=⊂1BC ⊥()0.3,()0.4P A P B ==A B ()()()0.12P AB P A P B ==43-y x b =+22143x y +=可得，由韦达定理可得，则，则，则，所以.14.-6【解析】取得最小值，则公差或，①当时，，所以，又，所以，所以，故，令，得，所以的最小值为.②当，不合题意.综上所述：的最小值为-6.四、解答题15.【解析】（1），，，，，.…………………………………………………………………………………6分（2）由，，，分16.【解析】（1）证明：中，，22784120x bx b ++-=1287b x x +=-()121427M b x x x =+=-43177M M b y x b b b =+=-+==73b =474733M m x ==-⨯=-n S 40,5d a >=-10a =40a =7470S a ==55S =-535S a =31a =-4310a a d -==>4n a n =-0n a …4n …n S 346S S ==-4745,735a S a =-==-4570,5,0,n a S S S ==-=π2πsin 2sin 2sin 2sin 66sin b a B A A A c C ++⎛⎫⎛⎫+=⇒+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos )sin sin()2sin A A C A C A ∴+=++sin cos sin sin cos cos sin 2sin A C A C A C A C A +=++sin sin cos 2sin ,(0,π),sin 0A C A C A A A =+∈∴≠ πππ5πcos 2sin 1,,6666C C C C ⎛⎫⎛⎫=+⇒-=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππ2π,623C C ∴-=∴=222()33AD DB CD CA AD CA AB CA CB CA =⇒=+=+=+-1212,||3333CD CA CB CD CA CB ∴=+∴=+== 22214474272b a ab b b ⎛⎫∴++⋅-=⇒+-= ⎪⎝⎭211230(1)(3)03,sin 1322b b b b b S ab C ∴--=⇒+-=⇒=∴==⨯⨯=QCD 2,3CD AD QD QC ====所以，所以.又平面平面QAD ，所以平面QAD.又平面ABCD ，所以平面平面ABCD .……………………………………………………5分（2）取AD 的中点，因为，所以，且，因为，平面平面ABCD ，平面平面，所以平面ABCD ．在平面ABCD 内作，以OD 为轴，OQ 为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面ABQ 的法向量为，由，得令，得，所以平面ABQ 的一个法向量.设平西BDQ 的法向量为，由，得令，得，所以平面BDQ 的一个法向量.所以222CD QD QC +=CD QD ⊥,,CD AD AD QD D AD ⊥⋂=⊂QAD QD ⊂，CD ⊥CD ⊂QAD ⊥O QD QA =OQ AD ⊥2OQ ==OQ AD ⊥QAD ⊥QAD ⋂ABCD AD =OQ ⊥Ox AD ⊥y z O xyz -(0,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(2,1,0),(0,1,0),(0,0,2)O A B C D Q --()111,,x y z α=(2,0,0),(0,1,2)AB AQ ==11120,20,AB x AQ y z αα⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11z =-112,0y x ==(0,2,1)α=-()222,,x y x β=(2,2,0),(0,1,2)BD DQ =-=-2222220,20,BD x y DQ y x ββ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 21z =222,2y x ==(2,2,1)β=|cos ,αβ〈〉所以平面ABQ 与平面BDQ分17.【解析】（1）由题得推出所以双曲线的方程为.……………………………………………………………………4分（2）由题意可知直线AB 斜率存在且，设，设AB 的中点为.由消去并整理得，则，即，，于是点为.由中垂线知，所以，解得：.所以由A ，B 在双曲线的右支上可得：，且，且或，所以，即，综上可得，．…………………………………………………………………………15分18.【解析】（1）因为，所以是以为首项，以为公差的等差数列，所以，即①，2222,,b a c c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩1,a b ==E 2213y x -=k ≠()()1122:,,,,AB y kx m A x y B x y =+M 22,33y kx m x y =+⎧⎨-=⎩y ()22223230,30k x kmx m k ----=-≠()()()22222(2)4331230km k m m k ∆-+-+-+-=223m k >-()21212121222222326,,223333km m km m x x x x y y k x x m k m k k k k ++==-+=++=⋅+=----M 2222234331243,,333M C MC M m y y km m m k k k km k k x kmk ---+⎛⎫-=== ⎪--⎝⎭-1MC AB k k ⋅=-231241m k km k-+=-23m k =-22221223303033m m x x m k k k m++=-=->⇒=-<⇒>-12222003km x x k k k +==>⇒>-()()()()()222222221230333403m k k k k k k ∆=+->⇒-+-=-->⇒<24k >24k >2k >(2,)k ∈+∞1112n n n n S S a a ++-=n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭111a a =12111(1)22n n S n n a +=+-=12n n n S a +=所以②，由②-①可得，即，所以，所以，所以数列为等差数列.………………………………………………………7分（2）（Ⅰ）由题意知在等差数列中，，故.可得，当时，取最大值.………………………………………………………………………………12分（Ⅱ）.………………………………………………………………17分19.【解析】（1）由定义可知，与相切，则圆的圆心到直线的距离等于1，则，即.……………………………………………………4分（2）点不在直线族的任意一条直线上，所以无论取何值时，4）无解.将整理成关于的一元二次方程：.1122n n n S a +++=1122n n n n a a ++=11111n n a a a a n n +====+ 111(1),n n a n a a na +=+=11n n a a a +-={}n a {}n a 1(1)2n a a n d n =+-=-132n c n =-22(1)11(2)12(6)362n n n T n n n n -=+⨯-=-=--+∴6n =n T 222222212321234521m i m mi bb b b b a a a a a a ==++++=-+-+-++∑ ()()()()22222222123456212m m a a a a a a a a -=-++-++-+++-+ ()21232284m a a a a m m =-++++=+ 1mx ny +=221x y +=1C (0,0)1mx ny +=d 1==221m n +=()00,P x y 2:(24)4(2)0(R)a x y a a Ω-++-=∈a (2a -2004(2)0x y a ++-=200(24)4(2)0a x y a -++-=a ()()2000244440a x a y x +-++-=。
北京市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含解析
2024-2025学年第一学期高二数学期中考试2024.11（答案在最后）一、单选题（每小题4分，共40分）1.已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l mB.若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C.若l α⊥，αβ⊥，则//l βD.若l α∥，m α⊥，则l m⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或者l m ,异面，故A 错误，对于B ，若αβ⊥，l α⊂，且l 与α，β的交线垂直，才有l β⊥，否则l 与β不一定垂直，故B 错误，对于C ，若l α⊥，αβ⊥，则//l β或者l β⊂，故C 错误，对于D ，若l α∥，m α⊥，则l m ⊥，D 正确，故选：D2.下列可使非零向量,,a b c构成空间的一组基底的条件是（）A.,,a b c两两垂直B.b cλ=C.a mb nc=+ D.0a b c ++= 【答案】A 【解析】【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A 、B 、C 、D 得解.【详解】由基底定义可知只有非零向量,,a b c不共面时才能构成空间中的一组基底.对于A ，因为非零向量,,a b c 两两垂直，所以非零向量,,a b c不共面，可构成空间的一组基底，故A 正确；对于B ，b c λ= ，则,b c 共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a 与,b c 共面，故B错误；对于C ，由共面定理可知非零向量,,a b c共面，故C 错误；对于D ，0a b c ++=即a b c =--，故由共面定理可知非零向量,,a b c共面，故D 错误.故选：A.3.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则点B 到直线1AC 的距离为（）A.23B.33C.3D.223【答案】C 【解析】【分析】利用解直角三角形可求点B 到直线AC 1的距离.【详解】如图，连接1BC ，由正方体的性质可得1BC =1AB BC ⊥，故B 到1AC 的63=，故选：C.4.已知直线l 的方向向量为()1,2,4v =- ，平面α的法向量为(),1,2n x =-，若直线l 与平面α垂直，则实数x 的值为（）A.10-B.10C.12-D.12【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直得到()1,2,4v =- 与(),1,2n x =- 平行，设v kn =r r ，得到方程组，求出12x =.【详解】直线l 与平面α垂直，故()1,2,4v =- 与(),1,2n x =-平行，设v kn =r r ，即1224kx k k =⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得12x =.故选：D5.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,AC BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB y AA z AC =++，则x y z ++=（）A.1B.12C.32D.34【答案】C 【解析】【分析】连接,AM AN ，由()111312244AG AM AN AB AA AC =+=++，即可求出答案.【详解】连接,AM AN如下图：由于G 是MN 的中点，()12AG AM AN=+∴11111222AA AC AB AA ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1131244AB AA AC =++.根据题意知1AG xAB y AA z AC =++ .32x y z ∴++=.故选：C.6.已知直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据两条直线平行，求出m 值，再应用平行线间的距离公式求值即可.【详解】因为直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，所以6(1)1=347m m -+-≠-，解之得7m =.于是直线2:6860l x y --=，即2:3430l x y --=，所以1l 与2l2=.故选：A7.若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的直线分别为（）A.12k =，4b =- B.12k =-，4b =C.12k =，4b = D.12k =-，4b =-【答案】A 【解析】【分析】由圆的对称性可得20x y b ++=过圆的圆心且直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，从而可求出,k b .【详解】因为直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，故直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，且直线20x y b ++=过圆心()2,0，所以()21k ⨯-=-，2200b ⨯++=，所以12k =，4b =-.故选：A【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质，本题属于基础题.8.已知圆()()22:349C x y -+-=，直线l 过点()2,3P ，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先判断出()2,3P 与圆的位置关系，然后根据圆心到直线l 的距离的最大值求解出弦长的最小值.【详解】直线l 恒过定点()2,3P ，圆()()22:349C x y -+-=的圆心为()3,4C ，半径为3r =，又()()222233429PC=-+-=<，即P 在圆内，当CP l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大为d PC =，此时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，最小值为=．故选：A .9.已知圆C 的方程为22(2)x y a +-=，则“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】找出||y x =与圆有四个公共点的等价条件，据此结合充分条件、必要条件概念判断即可.【详解】由圆C 的方程为22(2)x y a +-=可得圆心()0,2，半径r =，若圆与函数y x =相交，则圆心到直线y x =的距离d ==<即2a >，若函数y x =的图象与圆C 有四个公共点，则原点在圆的外部，即220(02)a +->，解得4a <，综上函数y x =的图象与圆C 有四个公共点则24a <<，所以“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B .点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论不正确的是（）A.C 的方程为22(4)16x y ++=B.在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为3C.在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =D.C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为1【答案】C 【解析】【分析】对A ：设点 th ，由两点的距离公式代入化简判断；对B ：根据两点间的距离公式求得点(1,1)到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C ：设点 th ，求点M 的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D ：结合点到直线的距离公式求得C 上的点到直线34130x y --=的最大距离，由此分析判断.【详解】对A ：设点 th ，∵12PA PB =12=，整理得()22416x y ++=，故C 的方程为()22416x y ++=，故A 正确；对B ：()22416x y ++=的圆心()14,0C -，半径为14r =，∵点(1,1)到圆心()14,0C -的距离1d==，则圆上一点到点(1,1)的距离的取值范围为[]1111,4d r d r ⎤-+=⎦，而)34∈，故在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为9，故B 正确；对C ：设点 th ，∵2MO MA ==，整理得2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴点M 的轨迹方程为2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，是以28,03C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，半径243r =的圆，又12124833C C r r =<=-，则两圆内含，没有公共点，∴在C 上不存在点M ，使得2MO MA =，C 不正确；对D ：∵圆心()14,0C -到直线34130x y --=的距离为25d ==，∴C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为211d r -=，故D 正确；故选：C.【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B ，利用圆与圆的位置关系来判定C ，结合数形思想即可.二、填空题（每小题5分，共25分）11.已知圆锥的母线与底面所成角为45 ，高为1.则该圆锥的体积为________.【答案】1π3##π3【解析】【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，从而求出圆锥底面半径，再利用锥体的体积公式即可求解.【详解】因为圆锥底面半径OA 、高PO 、母线PA 构成一个Rt PAO △，又45PAO ∠= ，1PO =，所以底面圆半径1OA =，则该圆锥的体积22111π×π11π333V OA PO =⨯⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：1π3.12.已知平面α的一个法向量为(2,3,5)n =，点(1,3,0)A --是平面α上的一点，则点(3,4,1)P --到平面α的距离为__________.【答案】3819【解析】【分析】利用空间向量法可得出点P 到平面α的距离为PA nd n⋅= ，即可求解.【详解】由题意可知()2,1,1PA =-，根据点P 到平面α的距离为19PA nd n⋅==.故答案为：381913.过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为____________（用一般式表示）20y -++=【解析】【分析】联立两方程求出交点坐标，再由点斜式写出直线方程，然后化为一般形式即可；【详解】由题意可得12:30:20l x y l x y -+=⎧⎨+=⎩，解得交点坐标为()1,2-，又所求直线的倾斜角为π3，故斜率为πtan 3=所以直线方程为)21y x -=+，20y -++=.14.已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度为______________米．【答案】392【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得出半圆方程，设(2.5,0)A ，求出A 点处半圆的高度即可得．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，O 是圆心， 2.5OA =，半圆方程为2216x y +=（0y ≥）(2.5,0)A ，B 在半圆上，且BA ⊥x 轴，则2216 2.59.75B y =-=，2B y =，故答案为：2．15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC （不包含端点）上运动，则下列结论正确的是______.（填序号）①正方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为48π；②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦；③直线1//A M 平面1ACD ；④三棱锥1D AMC -的体积随着点M 的运动而变化.【答案】②③【解析】【分析】由正方体的对角线即为外接球的直径求得球表面积判断①，由异面直线所成角的定义确定1A M 与1BC 的夹角范围判断②，根据线面平面平行的判定定理判断③，换度后由三棱锥体积公式判断④．【详解】正方体对角线长为，即这外接球直径，因此球半径为r =2412ππ==S r ，①错；正方体中AB 与11C D 平行且相等，11ABC D 是平行四边形，11//AD BC ，11A BC V 是正三角形，1A M 与1BC 的夹角（锐角或直角）的范围是[,32ππ，因此②正确；由②上知11//BC AD ，而1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ，同理1//A B 平面1ACD ，又11A B BC B ⋂=，11,A B BC ⊂平面11A BC ，所以平面11//A BC 平面1ACD ，而1A M ⊂平面11A BC ，所以1//A M 平面1ACD ，③正确；由1//BC 平面1ACD ，因此M 到平面1ACD 的距离不变，所以11D AMC M ACD V V --=不变，④错．故答案为：②③．三、解答题（共85分）16.已知ABC V 顶点()1,2A 、()3,1B --、()3,3C -．（1）求线段BC 的中点及其所在直线的斜率；（2）求线段BC 的垂直平分线1l 的方程；（3）若直线2l 过点A ，且2l 的纵截距是横截距的2倍，求直线2l 的方程．【答案】（1）中点为()0,2-，13-（2）320x y --=；（3）2y x =或240x y +-=.【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式和斜率公式求解；（2）根据（1）中结果结合两直线垂直的斜率关系，得出中垂线斜率，然后利用点斜式方程求解；（3）分类讨论直线是否过原点结合截距式方程即可求解【小问1详解】由()3,1B --、()3,3C -，可知BC 中点为()0,2-，且()()311333BC k ---==---，【小问2详解】由（1）可得13BC k =-，BC 垂直平分线斜率1k 满足11BC k k ⋅=-，即13k =，又BC 的垂直平分线过(0,2)-，所以边BC 的垂直平分线1l 的方程为()()230y x --=-，即320x y --=；【小问3详解】当直线2l 过坐标原点时，2221k ==，此时直线2:2l y x =，符合题意；当直线2l 不过坐标原点时，由题意设直线方程为12x y a a +=，由2l 过点()1,2A ，则1212a a +=，解得2a =，所以直线2l 方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述，直线2l 的方程为2y x =或240x y +-=.17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点()1,0A 和点()1,2B -，且圆心在直线220x y -+=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线3x ay =+被圆C 截得弦长为a 的值.【答案】（1）()2214x y ++=（2）a =【解析】【分析】（1）先求线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程；（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离1d =，利用点到直线的距离公式运算求解.【小问1详解】因为()1,0A ，()1,2B -的中点为()0,1E ，且直线AB 的斜率20111AB k -==---，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为1y x =+，联立方程1220y x x y =+⎧⎨-+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()1,0C -，2r CA ==，所以，圆C 的方程为()2214x y ++=.【小问2详解】因为直线3x ay =+被曲线C截得弦长为，则圆心到直线的距离1d ==，由点到直线的距离公式可得1=，解得a =18.已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过点()1,0A .（1）求圆C 的圆心坐标及半径长；（2）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（3）设直线l 与圆C 相切于点B ，求 R .【答案】（1）圆心坐标为 th ，半径长为2.（2）1x =或3430x y --=.（3）4.【解析】【分析】（1）将圆化为标准方程即可求出圆心坐标以及半径长；（2）讨论直线l 的斜率不存在与存在两种情况，不存在时设出直线方程kx y k 0--=根据点到直线距离公式求解即可；（3）根据两点间距离公式求出AC 长，再根据勾股定理求解即可.【小问1详解】圆C 方程可化为:()()22344x y -+-=，圆心坐标为 th ，半径长为2.【小问2详解】①当直线l 的斜率不存在时，方程为 ，圆心 th 到直线l 距离为2，满足题意．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是h ，即kx y k 0--=.由圆心()34，到直线l2=，解得34k =，此时直线l 的方程为3430x y --=.综上，直线l 的方程为 或3430x y --=.【小问3详解】∵圆C 的圆心坐标为 th ，()1,0A ，∴()()22314025AC =-+-=.如图，由相切得，AB BC ⊥，2BC =，∴222044AB AC BC =-=-=.19.如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，AE ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为DG 、EF 的中点，1EG =.（1）求证：//MN 平面CFG ；（2）求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）53【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线MN 的方向向量31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，求得平面CFG 的法向量1n ，然后利用10n MN ⋅= ，证明1MN n ⊥ ，从而得出//MN 平面CFG ；（2）求得直线AN 的方向向量()1,0,2AN = ，由（1）知平面CFG 的法向量1n ，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，AE ⊥底面ABCD ，所以AB ，AD ，AE 两两相互垂直，如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，由题意可得 t t ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()2,0,2F ，()0,1,2G ，30,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,2N ，则()0,2,2CF =- ，()2,1,2CG =-- ，31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面CFG 的一个法向量为 th t ，则11n CF n CG⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，故11·=0·=0n CF n CG ⎧⎪⎨⎪⎩ ，即11111220220y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，则111112y z x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令12z =，得()11,2,2n = ，所以()1331,2,21,,111221022n MN ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1MN n ⊥ ，又MN ⊄平面CFG ，所以//MN 平面CFG .【小问2详解】由（1）得直线AN 的一个方向向量为()1,0,2AN = ，平面CFG 的一个法向量为()11,2,2n = ，设直线AN 与平面CFG 所成角为θ，则111sin cos,3n ANn ANn ANθ⋅=====⋅，所以直线AN与平面CFG 所成角的正弦值为53.20.如图，已知等腰梯形ABCD中，//AD BC，122AB AD BC===，E是BC的中点，AE BD M=，将BAE沿着AE翻折成1B AE△，使1B M⊥平面AECD.（1）求证：CD⊥平面1B DM；（2）求平面1B MD与平面1B AD夹角的余弦值；（3）在线段1B C上是否存在点P，使得//MP平面1B AD，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）155（3）存在，1112B PB C=.【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABED是菱形，AE BD⊥，得到1,AE B M AE DM⊥⊥，证明出AE⊥平面1B DM，再证明出四边形AECD是平行四边形，故//AE CD，所以CD⊥平面1B DM；（2）证明出1,,AE B M DM两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面1B MD与平面1B AD夹角余弦值；（3）假设线段1B C上存在点P，使得//MP平面1B AD，作出辅助线，得到A M P Q，，，四点共面，四边形AMPQ为平行四边形，所以12PQ AM CD==，所以P是1B C的中点，求出11B PB C.【小问1详解】如图，在梯形ABCD 中，连接DE ，因为E 是BC 的中点，所以12BE BC =，又122AD BC ==，所以AD BE =，又因为//AD BE ，所以四边形ABED是平行四边形，因为AB AD =，所以四边形ABED 是菱形，从而AE BD ⊥，BAE 沿着AE 翻折成1B AE △后，有1,AE B M AE DM⊥⊥又11,,B M DM M B M DM =⊂ 平面1B DM ，所以AE ⊥平面1B DM ，由题意，易知//,AD CE AD CE =，所以四边形AECD 是平行四边形，故//AE CD ，所以CD ⊥平面1B DM .【小问2详解】因为1B M ⊥平面AECD ，DM ⊂平面AECD ，则有1B M DM ⊥，由（1）知1,AE B M AE DM ⊥⊥，故1,,AE B M DM 两两垂直，以M 为坐标原点，1,,ME MD MB 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，因为AB BE AE ==，所以ABE 为等边三角形，同理ADE V 也为等边三角形，则(()()1,1,0,0,0,B A D -，设平面1B AD 的一个法向量为 tht ，则()()()(1,,0,,0m AD x y z x m B D x y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=-=⎪⎩ ，令1y =得1x z ==，故()m = ，又平面1B MD 的一个法向量为()1,0,0n = ，则cos ,5m n m n m n ⋅==⋅ ，故平面1B MD 与平面1B AD 夹角的余弦值为5；【小问3详解】假设线段1B C 上存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，过点P 作PQ CD∥交1B D 于Q ，连接MP AQ ，，如图所示：所以////AM CD PQ ，所以A M P Q ，，，四点共面，又因为//MP 平面1B AD ，所以//MP AQ ，所以四边形AMPQ 为平行四边形，所以12PQ AM CD ==，所以P 是1B C 的中点，故在线段1B C 上存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，且1112B P B C =.21.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用(),d A B 表示，又称“曼哈顿距离”，即(),d A B AC CB =+，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,d A B x x y y =-+-（1）①点()A 3,5，()2,1B -，求(),d A B 的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．（2）已知点()10B ,，直线220x y -+=，求B 点到直线的“曼哈顿距离”最小值；（3）设三维空间4个点为(),,i i i i A x y z =，1,2,3,4i =，且i x ，i y ，{}0,1i z ∈．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即d ，求d 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．【答案】（1）①7；②1x y +=；（2）2；（3）2，()10,0,0A ，()21,0,1A ，()31,1,0A ，()40,1,1A .【解析】【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；（2）设直线220x y -+=上任意一点坐标为()11,22C x x +，然后表示(),d C B ，分类讨论求(),d C B 的最小值；（3）将i A 的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的d ，即可得到d 的最小值.【小问1详解】①(),32517d A B =-++=；②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为(),x y ，则001x y -+-=，即1x y +=.【小问2详解】设直线220x y -+=上任意一点坐标为()11,22C x x +，则()11,122d C B x x =-++，当11x <-时，()1,31d C B x =--，此时(),2d C B >；当111x -≤≤时，()1,3d C B x =+，此时(),2d C B ≥；当11x >时，()1,31d C B x =+，此时(),4d C B >，综上所述，(),d C B 的最小值为2.【小问3详解】如图，A B C D E F G H ''''''''-为正方体，边长为1，则i A 对应正方体的八个顶点，当四个点在同一个面上时，（i ）例如：,,,A B C D ''''，此时121121463d +++++==；（ii ）例如：,,,A E G C ''''，此时23113226d +++++==；当四个点不在同一个平面时，（iii ）例如：,,,A C H D ''''，此时22222226d +++++==；（iiii ）例如：,,,A B E D ''''，此时221112563d +++++==；（iiiii ）例如：,,,A B E H ''''，此时112231563d +++++==；（iiiiii ）例如：,,,A B E G ''''，此时1223121166d +++++==；综上所述，d 的最大值为2，例如：()10,0,0A ，()21,0,1A ，()31,1,0A ，()40,1,1A .。
北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含解析
延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（答案在最后）2024.11本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数1i +的共轭复数所对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】求出复数的共轭复数，即可得出对应点所在象限.【详解】 复数1i +的共轭复数为1i -，∴其对应的点()1,1-位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2.已知向量(1,2,1),(3,,)a b x y =-=，且//a b，那么||b =（）A. B.6C.9D.18【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设b ka =，即(3， ，)(1y k =-，2，1)，分析可得 、y 的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，向量(1a =- ，2，1)，(3b = ， ，)y ，且//a b ，则设b ka =，即(3， ，)(1y k =-，2，1)，则有3k =-，则6x =-，3y =-，则(3b = ，6-，3)-，故||b =故选：A ．3.在空间直角坐标系中，点()1,2,3P 关于坐标平面xOy 的对称点为（）A.()1,2,3-B.()1,2,3- C.()1,2,3-- D.()1,2,3-【答案】B 【解析】【分析】由关于坐标平面xOy 的对称点的,x y 坐标不变，z 坐标相反可得．【详解】由于关于坐标平面xOy 的对称点的,x y 坐标不变，z 坐标相反，因此所求对称点坐标为(1,2,)3-，故选：B ．4.设()()120,1,1,1,0,1v v ==-分别是空间中直线12,l l 的方向向量，则直线12,l l 所成角的大小为（）A.π6B.5π6C.π3D.2π3【答案】C 【解析】【分析】根据向量的夹角公式即可求解.【详解】1212122c 1,o s v v v v v v ⋅==，设12,l l 所成角为π,0,2θθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则1cos 2θ=，故π3θ=故12,l l 所成角为π3，故选：C5.过()2,0-和()0,2两点的直线的倾斜角是（）A.1- B.1C.3π4D.π4【答案】D 【解析】【分析】根据两点求解斜率即可求解.【详解】由()2,0-和()0,2可得直线斜率为20102k -==+，故倾斜角为π4，故选：D6.“1a =”是“直线1:20l ax y +-=与()2:2120l x a y +++=平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据一般式方程的形式，结合两直线平行的条件，列式求解.【详解】若直线12l l //，则12212a a -=≠+，解得：1a =.所以“1a =”是“直线12l l //的充分必要条件.故选：C7.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,AA a AB b AD c ===，点P 在1AC 上，且1:1:2A P PC =，则AP =（）A.211333a b c ++r r rB.122333a b c ++C.112333a b c-++D.122333a b c --r r r 【答案】A 【解析】【分析】由题意，结合向量的线性运算即可求解.【详解】11111111()33AP AA A P AA AC AA AC AA =+=+=+-112121211()3333333AA AC AA AB AD a b c =+=++=++.故选：A .8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 为1BB 的中点，则1B 到平面11A D E 的距离为（）A.5B.255C.253D.235【答案】B 【解析】【分析】作11B F A E ⊥，垂足为F ，证明1B F ⊥平面11A D E ，在直角11A B E 中，求出1B F 即得．【详解】如图，作11B F A E ⊥，垂足为F ，因为11A D ⊥平面11ABB A ，1B F ⊂平面11ABB A ，所以111A D B F ⊥，又因为1111A E A D A ⋂=，111,A E A D ⊂平面11A D E ，所以1B F ⊥平面11A D E ，即1B F 的长即为1B 到平面11A D E 的距离，在直角11A B E 中，112A B =，11B E =，则15A E =，1111122555A B B E B F A E ⋅===，故选：B．9.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段11A C 上任意一点，则AE 与平面ABCD 所成角的正弦值不可能是（）A.13B.23C.53D.63【答案】A 【解析】【分析】首先求点E 到平面的距离，再求AE 的取值范围，即可求解线面角的正弦值，即可判断选项.【详解】设正方体的棱长为1，因为平面//ABCD 平面1111D C B A ，所以点E 到平面的距离为1，AE 的最小值为11AA =，AE 的最大值为13AC =，所以AE 与平面ABCD 所成角的正弦值的最大值为1333=，所以正弦值的范围是3,13⎤⎥⎣⎦，13,133⎤∉⎥⎣⎦.故选：A10.已知点()()0,1,0,1A B -，直线:2l y kx =-，若直线l 上至少存在三个M ，使得MAB 为直角三角形，直线l 倾斜角的取值范围是（）A.π5π0,,π66⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦B.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D.πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】0k ≠，过A 或B 作x 轴平行线，它们一定与直线l 相交，共有两个交点满足题意，然后由直线l 与以AB 为直径的圆有交点可得倾斜角的范围．【详解】当0k =时，直线l 上不存在M ，使得MAB 为直角三角形，当0k ≠，如图，过A 或B 作x 轴平行线，它们一定与直线l 相交，这就是符合题意的两个M ，因为至少有三个M ，使得MAB 为直角三角形，所以直线l 与以AB 为直径的圆有公共点，圆心是原点，半径为1，1≤，解得k ≥k ≤，设直线l 的倾斜角为θ，则tan θ≥或tan θ≤所以ππ32θ≤<或π2π23θ<≤，所以倾斜角范围是πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，故选：B．第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数5i12iz =-，则z =______.【答案】【解析】【分析】首先计算复数z ，再求模.【详解】()()()()5i 12i 5i i 12i 2i 12i 12i 12i z +===+=-+--+，所以z ==12.已知点()()1,1,4,1,4,2A B -，点C 在线段AB 上，且2AC CB =，则点C 坐标为__________.【答案】()1,3,0【解析】【分析】由条件得到2AC CB =，根据向量的坐标表示，即可求解.【详解】设(),,C x y z ，且2AC CB =,即()()1,1,421,4,2x y z x y z --+=---，即()()()121124422x x y y z z ⎧-=-⎪-=-⎨⎪+=-⎩，解得：1,3,0x y z ===，所以点C 的坐标为()1,3,0.故答案为：()1,3,013.若平面αβ⊥，平面α的法向量为()11,2,3n = ，平面β的法向量为()2,,0n x y =，写出平面β的一个法向量______.【答案】()2,1,0-（不唯一，共线即可）【解析】【分析】根据平面与平面垂直得法向量垂直，即120n n ⋅=，代入坐标公式列式求解.【详解】由平面αβ⊥，则1220n n x y ⋅=+=，2,1x y ==-满足条件，所以平面β的一个法向量为()2,1,0-.故答案为：()2,1,0-（不唯一，共线即可）14.已知点()()1,3,1,4B A -，直线:2l y ax =-与线段AB 无交点，则直线l 在y 轴上的截距为__________；a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.()6,5-【解析】【分析】根据直线l 所过的定点，根据条件求边界的斜率，即可求解.【详解】直线:2l y ax =-在y 轴上的截距为2-，a 表示直线l 的斜率，直线l 恒过点()0,2P -，5PA k =，6PB k =-，若直线l 与线段AB 无交点，则a 的取值范围是()6,5-.故答案为：()6,5-15.如图：在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,90AB BB BC ABC ∠==== ，1,(01,01)CH xCB CP yCB x y ==<≤≤≤.记(),f x y AH HP =+，给出下列四个结论：①存在H ，使得任意P ，都有AH HP ⊥；②对于任意点H ，都不存在点P ，使得平面AHP ⊥平面11A B C ；③(),f x y 的最小值为3；④当(),f x y 取最小时，过点,,A H P 作三棱柱的截面，则截面周长为56+.其中，所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④【解析】【分析】问题①，根据故AB ⊥平面11BB C C ，得BP AB ⊥,对任意P ，取H 位于B 处，则始终有AH HP ⊥即可判断，问题②化为对于任意点H ，是否存在点P ，使面AHP ⊥面11A B C ，由已知证面11A B C ⊥面11BB C C ，结合面面垂直判定判断存在性即可；问题③将△ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内，证△1AB C 为等边三角形，进而确定(,)f x y 的最小值；问题④P 为1CB 的中点，H 为△1AB C 的重心，平面11BCC B 中，延长HP 交11B C 于点M ，取1B M 的中点Q ，N 为11A C 的中点，证过点A ，H ，P 的三棱柱的截面为梯形AHMN ，即可判断.【详解】对于①，因为三棱锥111ABC A B C -为直三棱锥,故1BB BA ⊥,又BC BA⊥由1BB BC B = ，1BB ，⊂BC 平面11BB C C ，故AB ⊥平面11BB C C ，BP ⊂平面11A B C ，故BP AB ⊥,故对任意P ，取H 位于B 处，则始终有AH HP ⊥,故①正确；对于②，因为三棱锥111ABC A B C -为直三棱锥，所以1BB ⊥面111A B C ，又11A B ⊂面111A B C ，所以111BB A B ⊥，又90ABC ∠=︒，所以11190A B C ∠=︒，所以1111A B B C ⊥，由1111BB B C B = ，1BB ，11B C ⊂面11BB C C ，故11A B ⊥面11BB C C ，11A B ⊂面11A B C ，所以面11A B C ⊥面11BB C C ，而H BC ∈，1P CB ∈且都在面11BB C C 内，由于面11A B P 即为面11A B C ，要使面AHP ⊥面11A B P ，只需面AHP ⊥面11A B C ，综上，HP ⊥面11A B C 时，HP ⊂面AHP ，此时面AHP ⊥面11A B C ，即面AHP ⊥面11A B P ，对于任意点H ，只需对应HP 平行于△1BCB 中1CB 边上的高时，均满足要求，②错误；对于③，将△ABC 绕BC 翻折到平面1BB C 内，则AH HP +的最小值为点A 到直线1CB 的距离，又1AB BB ==3BC =，190ABC B BC ︒∠=∠=，所以11AC CB AB ===所以A 到直线1CB 的距离为3，所以(,)f x y 的最小值为3，③正确；对于④，当(,)f x y 取最小时，P 为1CB 的中点，因为△1AB C 为等边三角形，B 为1AB 的中点，所以H 为1AB C △的重心，故13BH BC =，在平面11BCC B 中，延长HP 交11B C 于点M ，因为1PC PB =，1PB M PCH ∠=∠，1B PM HPC ∠=∠，所以△1PB M ≅△PCH ，故123B M CH ==，取1B M 的中点Q ，N 为11AC 的中点，则1//MN A Q ，因为1//BH B Q ，1BH B Q =，所以四边形1BB QH 为平行四边形，则1//HQ BB ，1HQ BB =，又11//AA BB ，11AA BB =，所以1//A Q AH ，所以//MN AH ，故过点A ，H ，P 的三棱柱的截面为梯形AHMN ，2AH ==，1112MN A Q ==，2MH ==，AN ==则梯形AHMN 的周长为1225MN AH AN HM +++=+++=，④正确；故答案为：①③④【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知ABC V 的顶点坐标为()()()1,52,14,3A B C ---､､.（1）求过点B 且与直线AC 平行的直线的方程；（2）求BC 边上的中线所在直线的方程；（3）求AB 边上的高所在直线的方程.【答案】（1）2590x y ++=（2）230x y +-=（3）6220x y +-=【解析】【分析】（1）求出直线AC 的斜率再利用点斜式方程即可得出结果；（2）求出中点坐标再计算中线斜率，代入点斜式方程即可；（3）根据垂直关系得出斜率，再利用点斜式方程可求.【小问1详解】直线AC 的斜率532145AC k -==---过点B 且与直线AC 平行的直线的斜率为25-过点B 且与直线AC 平行的直线方程为()2125y x +=-+即2590x y ++=【小问2详解】设BC 边的中点为D ，因为()()2,14,3B C --､，所以点D 的坐标为2413,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,1D ，51211AD k -==---所以BC 边的中线所在直线方程为()121y x -=--即230x y +-=【小问3详解】因为15621AB k --==-+，所以AB 边的高线所在直线的斜率为16-，因此AB 边的高线所在直线方程为()1346y x -=--，即6220x y +-=17.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，D 是11A C 的中点，且12AC BC CC ===.（1）求证：1BC ∥平面1AB D ；（2）若AC BC ⊥，求直线1CC 与平面1AB D 所成角的正弦值；（3）若AC BC ⊥，求平面1AB D 与平面11ACC A 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）66（3）66【解析】【分析】（1）连接1A B 与1AB 相交于点E ,连接DE ，然后利用三角形的中位线证明线线平行，再用线面平行的判定定理证明线面平行即可；（2）直接建立空间直角坐标系求解即可；（3）利用（2）的法向量直接求解即可.【小问1详解】连接1A B ，设11A B AB E = ，连接DE ，由111ABC A B C -为三棱柱，得1A E BE =.又D 是11A C 的中点，所以DE 是11ΔA BC 的中位线，1BC ∴∥DE .1BC ⊄ 平面1,AB D DE ⊂平面1AB D ，1BC ∴∥平面1AB D ；【小问2详解】1CC ⊥ 底面,ABC AC BC ⊥，以C 为原点，1,, CA CB CC 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B ，()()()()1112,0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,2A B C D ，()()()110,0,2,2,2,2,1,0,2CC AB AD ==-=- 设平面1AB D 的法向量为由12220220n AB x y z n AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得()2,1,1n = ；设直线1CC 与平面1AB D 所成角为θ.则111sin cos ,6n CC n CC n CC θ⋅=== .∴直线1CC 与平面1AB D所成角的正弦值为6.【小问3详解】设平面1AB D 与平面11ACC A 所成角为,αα为锐角，平面11ACC A 的法向量为()0,1,0m =，cos cos ,6n m n m n m α⋅=== ，平面1AB D 与平面11ACC A所成角余弦值为6.18.设ABC V 的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c，且sin cos b A B =.（1）求角B 的大小；（2）从下列三个条件中选择一组作为已知，使ABC V 存在且唯一，并求ABC V 的面积.条件①：3,sin 2sin b C A ==；条件②：5b a ==；条件③：7b C ==.注：如果选择的条件使ABC V 不存在或不唯一，第（2）问得0分.【答案】（1）π3B =（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得tan B =，即可求解，（2）选①，根据正弦定理边角互化得2c a =，即可根据余弦定理求解a c ==，由面积公式即可求解，选②，根据余弦定理求解三角形不唯一，选③，根据和差角公式可得sin A ,即可根据正弦定理求解c ，由面积公式即可求解.【小问1详解】sin cos b A B =，由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin cos B A A B =，在ABC V 中，sin 0,tan A B ≠=，()0,πB ∈ ，π3B ∴=.【小问2详解】若选①，sin 2sin ,C A = 则2c a=由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222944cos a a a B =+-，解得a c ==11333sin2222S ac B ∴==⨯=.若选条件②：由5b a ==可得2201212525255c c c c =+-⨯⇒+-=⨯，解得52c =，此时三角形不唯一，若选③，7b C ==，故sin C ==()1sin sin sin cos cos sin 272714A B C B C B C =+=+=⨯+⨯=由正弦定理可得：sin 4sin 32b Cc B ==1157sin 42214S bc A ==⨯=19.已知函数()22sin cos 2cos f x a x x x =+，且()f x 的图象过点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数()f x 在π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与直线3y =有交点，求实数m 的取值范围；（3）设函数()()()g x f x t t =-∈R ，记函数()g x 在π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，求()M t 的最小值及此时t 的值.【答案】（1）最小正周期π；单调减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（3）当1t =时，min ()2M t =【解析】【分析】（1）直接代入已知点坐标可求得a ，利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式，然后由正弦函数性质求得最小正周期和单调递减区间；（2）ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，题意说明函数取得最大值3，因此解不等式ππ262m +≥可得；（3）ππ2,2π62x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，求出()f x t -的最大值和最小值，则通过比较它们的绝对值的大小得出()M t （由最大值和最小值是相反数可得t 的分类），从而可得()M t 的最小值．【小问1详解】由题意()sin 2cos 21f x a x x =++由题意，πππsin cos 110312632f a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得a =()cos21f x x x ∴=++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期2ππ2T ==；由ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+，得π2πππ63k x k +≤≤+，所以()f x 的单调减区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】 函数()f x 在区间π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与直线3y =有交点所以函数()f x 在区间π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，又因为ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦所以ππ262m +≥，解得π6m ≥.∴实数m 的取值范围是π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问3详解】()()ππ11πππ2sin 21,,,2,2π661262g x f x t x t x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=++-∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦当ππ262x +=时，()f x t -取最大值3t -当π3π262x +=时，()f x t -取最小值1t --，结合图象所以当1t ≤时，()3M t t=-当1t >时，()1M t t =+所以当1t =时，min ()2M t =20.如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，CD ⊥平面,PAD PAD 是正三角形，,,,E F G O 分别为,,,PC PD BC AD 的中点.（1）求证：⊥PO 平面ABCD ；（2）求点A 到平面EFG 的距离；（3）线段PC 上是否存在点M ，使得三棱锥M EFG -的体积为33，若存在，求PM PC 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（23（3）存在，14PM PC =或34【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明PO AD ⊥，PO CD ⊥；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，求平面EFG 的法向量，再代入点到平面的距离，求解；（3）根据11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，求得点M 的坐标，再根据（2）的结果求点M 到平面EFG 的距离，并根据向量的数量积公式，以及面积公式，求EFG S ，结合体积公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为PAD △是正三角形，O 是AD的中点，所以PO AD ⊥.又因为CD ⊥平面,PAD PO ⊂平面,PAD CD PO ⊥，,,AD CD D CD AD ⋂=⊂平面ABCD ，所以⊥PO 面ABCD ；【小问2详解】因为,,OA OG OP 两两互相垂直.以O 点为原点，,,OA OG OP 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()()(0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0,0,0,2O A B C D P --，((()1,,,0,4,0,E F G --()((0,2,0,1,2,,1,4,EF EG FG =-== 设平面EFG 的法向量为(),,n x y z =r ，由2020n EF y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，得)n =(3,AE =- ，点A 到平面EFG的距离AE n d n⋅== 【小问3详解】设11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦()()2,4,,12,42,M EM λλλλ-=-- 所以点M 到面EFG的距离为定值2PF n d nλ⋅==-cos ,2||||EF EG EF EG EF EG ⋅==- .1sin ,22EFG S EF EG EF EG == 113sin ,363M EFGEFG V S h EF EG EF EG h -==<>= ，解得：14PM PC λ==或34.21.给定正整数2n ≥，设集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈= ∣.对于集合M 中的任意元素()12,,,n x x x β= 和()12,,,n y y y γ= ，记1122n n x y x y x y ⋅=+++L βγ.设A M ⊆，且集合(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣，对于A 中任意元素,i j αα，若,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩则称A 具有性质(),T n p .（1）判断集合()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =是否具有性质()3,2T ，集合()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1B =是否具有性质()4,2T ；（直接写出答案，结论不需要证明）（2）判断是否存在具有性质()4,T p 的集合A ，并加以证明；（3）若集合A 具有性质(),T n p ，证明：()121,2,,j j nj t t t p j n +++== .【答案】（1）集合A 具有性质()3,2T ，集合B 不具有性质()4,2T （2）不存在具有性质()4,T p 的集合A ，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义，直接判断；（2）首先由题设{}0,1,2,3,4p ∈，再分p 的不同值，结合性质()4,T p ，即可判断选项；（3）记()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= ，则12n c c c np +++=L ，利用反证法，逐步推理证明.【小问1详解】集合A 具有性质()3,2T ，集合B 不具有性质()4,2T .【小问2详解】当4n =时，集合A 中的元素个数为4.由题设{}0,1,2,3,4p ∈.假设集合A 具有性质()4,T p ，则①当0p =时，(){}0,0,0,0A =，矛盾.②当1p =时，()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A =，不具有性质()4,1T ，矛盾.③当2p =时，()()()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1A ⊆.因为()1,1,0,0和()0,0,1,1至多一个在A 中；()1,0,1,0和()0,1,0,1至多一个在A 中；()1,0,0,1和()0,1,1,0至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾.④当3p =时，()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1A =，不具有性质()4,3T ，矛盾.⑤当4p =时，(){}1,1,1,1A =，矛盾.综上，不存在具有性质()4,T p 的集合A .【小问3详解】记()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= ，则12n c c c np +++=L .若0p =，则(){}0,0,,0A =，矛盾.若1p =，则(){}1,0,0,,0A = ，矛盾.故2p ≥.假设存在j 使得1j c p +≥，不妨设1j =，即11c p +≥.当1c n =时，有j c =0或()12,3,,j c j n == 成立.所以12,,,n ααα 中分量为1的个数至多有()1212n n n n np +-=-<≤.当11p c n +<≤时，不妨设11211,111,0p n t t t t +===== .因为n n p αα⋅=，所以n α的各分量有p 个1，不妨设23,11n n n p t t t +====L .由i j ≠时，1i j αα⋅=可知，{}121,2,3,,1,,,,q q p q q p t t t +∀∈+ 中至多有1个1，即121,,,p +αααL 的前1p +个分量中，至多含有121p p p ++=+个1.又()11,2,,1i n i p αα⋅==+ ，则121,,,p +αααL 的前1p +个分量中，含有()()1122p p p +++=+个1，矛盾.所以()1,2,,j c p j n ≤= .因为12n c c c np +++=L ，所以()1,2,,j c p j n == .所以()121,2,,j j nj t t t p j n +++== .【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解新定义.。
扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题及答案
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷 高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆()()22232x y +++=的圆心和半径分别是（ ） A ．()2,3-，1B ．()2,3-，3C ．()2,3--，D ．()2.3-，2．经过两点(2,7)A ，(4,6)B 的直线的斜率为（ ） A ．12- B ．2-C ．12D ．23．椭圆的焦点为12,,F F P 为椭圆上一点，若13PF =，则2PF =（ ）A ．4B ．3C ．5D ．74．已知双曲线22:1y C x m -=的离心率大于实轴长，则m 的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B．)+∞C ．(0,3)D．5．两平行直线320mx y --=与4670x y --=之间的距离为（ ） ABCD6．已知圆22:330C x y mx y +-++=关于直线:0l mx y m +-=对称，则实数m =（ ） A ．1或3-B ．1C ．3D ．1-或37．已知抛物线 的焦点为F ，若抛物线上一点M 满足 ， ，则p =（ ） A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线2218y x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与该双曲线的两支分别交于A 、B 两点（A 在线段1F B 上），⊙1O 与⊙2O 分别为12AF F △与2ABF △的内切圆，其半径分别为1r 、2r ，则12r r 的取值范围是（ ） A ．1132⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ． ，二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（ ）A ．若0abc ≠，且直线0ax by c ++=不经过第二象限，则0ab >，0bc <.B ．方程()()21250x y λλ++--=（R λ∈）表示的直线都经过点()2,1.C ．m ∈R ，直线220m x y ++=不可能与y 轴垂直.D ．直线3310x y +-=的横、纵截距相等.10．已知曲线:44C x x y y =-．点1F ，2(0,F ，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P ，使得124PF PF -= C ．直线2y x =与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向2y x =±作垂线，垂足分别为A ，B ，则45QA QB ⋅=.11．已知集合(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为1+B ．在阴影部分任取一点M ，则M 到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为8π.D ．阴影部分的内外边界曲线长为8π.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线()222210,0y x a b a b -=>>的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为 、 ，过点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=，则该椭圆的离心率为 . 14．已知(),P a b 为曲线 上的动点，则223a b a b --++的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知 的顶点坐标是()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --为AB 的中点. (1)求中线CM 的方程；(2)求经过点B 且与直线AC 平行的直线方程.16．已知双曲线的离心率为()5,,03F c 为双曲线的右焦点，且点F 到直线2a x c=的距离为165. (1)求双曲线C 的方程；(2)若点()12,0A ，点P 为双曲线C 左支上一点，求PA PF +的最小值.17．已知()6,2A m +，()24,8B m +是抛物线C ：()221y px p =>上的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若斜率为()0k k ≠的直线l 经过C 的焦点，且与C 交于P ，Q 两点，求2PQ k +的最小值．18．椭圆C 与椭圆1C ：2212x y +=有相同的焦点，且经过点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 的右焦点为B ，设动直线l 与坐标轴不垂直，l 与椭圆C 交于不同的M ，N 两点，且直线BM 和BN 的斜率互为相反数.①证明：动直线l 恒过x 轴上的某个定点，并求出该定点的坐标. ②求 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记MN 的最大值为m ，MN 的最小值为n ，若2m n =，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“E F -”的“钻石点”.已知圆A ：()()221113x y +++=，P 为圆A 的“黄金点” (1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：()()22221x y -+-=，P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”. ①求直线PQ 的方程.②若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线l ：13y kx =+与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分IWJ ∠？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷 高二数学（参考答案） 2024.118．【详解】设11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-，，，()()11224m r S m S p m p r +∴==+.在 12AF F 与 2AF B 中：122cos cos F AF F AB ∠=-∠， 即()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-，32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--， 当//l 双曲线的斜率为正的渐近线时，m 取最大，此时p →+∞，404m m ∴-=⇒=， 当l 与x 轴重合时，m 取最小，此时2m =，经上述分析得：()2,4m ∈，1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭.故选：C. 10．【详解】当0,0x y ≥>时，曲线22:44x y =-，即2214y x -=；当0,0x y ≥<时，曲线22:44C x y =--，即2214y x +=-；不存在；0,0x y ≤≥时，曲线22:44C x y -=-，即2214y x +=；0,0x y <≤时，曲线22:44C x y -=--，即2214y x -=；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程2214y x -=是以12,F F 为上下焦点的双曲线，当0,0x y ≥>时，曲线C 存在点P ，使得214PF PF -=，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为2y x =，所以直线2y x =与曲线C 没有交点，故C 正确； 对于D ，设()00,Q x y ，设点A 在直线2y x =上，点B 在直线2y x =-， 则由点到直线的距离公式可得QA QB所以220045x y QA QB -⋅==，又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点， 代入曲线方程可得22004455x y QA QB -⋅==，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，令0x =时，整理得[]32sin 0,2y yθ=-∈，解得[1][3,3]y ∈-，“水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点(0,1)B -，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为||1AB =A 正确；对于B ，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，整理得：2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩，所以2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++，所以M 到坐标轴的距离为||2cos cos αθ+或|2sin sin |αθ+， 因为cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈，所以2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=，|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=， 所以M 到坐标轴的距离小于等于3，故B 正确；对于C ，由于22(cos )(sin )4x y θθ-+-=，令0y =时，整理得[]32cos 2,2y yθ=-∈-， 解得[3,1][1,3]x ∈--，因为22(cos )(sin )4x y -+-=θθ表示以()cos ,sin Q θθ为圆心，半径为2r =的圆， 则13r OQ OP OQ r =-≤≤+=，且0πθ≤≤，则()cos ,sin Q θθ在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以O 为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以O 为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以()1,0M -为圆心，半径为2的圆弧， 设()1,0N ，则2AN AM MN ===，即 所对的圆心角为π3，同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为π3，阴影部分在第四象限的外边界为以()1,0N 为圆心，半径为2的圆弧，设()()3,0,3,0G H -，可得π1,3ON OD OND ==∠=， 所对的圆心角为2π3， 同理 所在圆的半径为2，所对的圆心角为2π3，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，所以它的面积是212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯⎝弓形半圆x 轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为219π3π22⨯=，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于2114π21π323⨯⨯+=所以阴影部分的面积为941116π2(πππ2363+-+=+C 错误；对于D ，x 轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=，x 轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=，所以阴影部分的内外边界曲线长为13π11π8π33+=，故D 正确.故选：ABD.12．π3 13【详解】如图，设14BF t =，因为1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=，所以15,3AF t AB t ==．由椭圆定义可知，21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-，由22493AB AF BF a t t =+=-=，可得13t a =，所以1242,33BF a BF a ==．在 中，由2221212||||||F F BF BF =+，可得222424()()33a a c =+，即得2295c a =，故得c e a ==.14．9+【详解】曲线1y =()()22141x y y +-=≥，由于(),P a b 在曲线上，令()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩， 则()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-，（其中sinϕcos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭），[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈--，又π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴当π2θϕ-=时223a b a b --++取得最大值9+15．【详解】（1）因为()()2,0,6,2A B -，所以()4,1M -， 故CM 的方程是143124y x +-=+--，即2350x y +-=； （2）因为直线AC 的斜率303224AC k -==---， 所以经过点B 且与直线AC 平行的直线方程为()3264y x +=--，即34100x y +-=. 16．【详解】（1）由题意知253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得35a c =⎧⎨=⎩，则4b =， 所以双曲线C 的方程为221916x y -=.（2）记双曲线C 的左焦点为0F ，则()05,0F -， 可得0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++，当0,,P F A 三点共线时，0PA PF +最小，且最小值为017AF =.故PA PF +的最小值为17623+=.17．【详解】（1）∵()6,2A m +，()24,8B m +是抛物线C ：()221y px p =>上的两点， ()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，则()()22842m m +=+，整理得216m =，解得4m =±， 当4m =-时，()21224p m =+=，解得113p =<，不合题意； 当4m =时，()212236p m =+=，解得31p =>．故抛物线C 方程为 ．（2）由（1）知C 的焦点为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，故直线l 的方程为32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩，得()222293604k x k x k -++=，必有0∆>， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则212236k x x k ++=， 2122236636k PQ x x p k k +=++=+=+，222666PQ k k k +=++≥+226k k =，即2k =所以2PQ k +的最小值为6+18．【详解】（1）椭圆1C ：2212x y +=的焦点坐标为()1,0±，所以椭圆C 的焦点坐标也为()1,0±，即得焦距为22c =，∵椭圆C 过点31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭，24a ==，2a =，b = 椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）①设直线l ：x my t =+（0m ≠），由223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩，得()2223463120m y mty t +++-=， 设 ， ，所以122634mt y y m +=-+，212231234t y y m -=+， 所以()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--， 因为直线BM 和BN 的斜率互为相反数，所以0MB NB k k =+，所以()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--，所以()()1221110y my t y my t +-++-=，所以()()1212210my y t y y +-+=.即()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++，所以()640m t -=，因为0m ≠，所以4t =，所以动直线l 恒过x 轴上的定点()4,0T ②由①知，1222434m y y m +=-+，1223634y m =+且()()22Δ24434360m m =-+⋅>，即24m >， 又224==令240n m =->，则24m n =+，（当且仅当316n =时取“＝”）.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，所以2PA PA ⎛= ⎝⎭，即PA 所以点P 的轨迹是以A P 所在曲线的方程为()()2211 3.x y +++= （2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则()121PB PB +=-所以||3PB =，即点P 在圆()()22229x y -+-=上， 则P 是圆()()22113x y +++=和()()22229x y -+-=的交点. 因为P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”，所以直线PQ 即为圆()()22113x y +++=和()()22229x y -+-=的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得0x y +=，故直线PQ 的方程为0x y +=. ②设22(1)(1)3x y +++=的圆心为(11),S --()()22229x y -+-=的圆心为(2,2)T ，半径为3.直线ST 的方程为y x =，得PQ 的中点坐标为(0,0)，点S 到直线0x y +== 则12PQ ==，所以圆H 的方程为221x y +=.假设y 轴上存在点(0),W t 满足题意，设()()1122,,,I x y J x y ，120x x ≠. 若y 轴平分IWJ ∠，则0IM JW k k +=，即12120y t y tx x --+=， 整理得()()21120.x y t x y t -+-=又11223,113y kx y kx =+=+，所以代入上式可得211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=，整理得()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭①，由22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得()22281039k x kx ++-=， 所以，代入①并整理得2203k kt -+=，此式对任意的k 都成立，所以3t =. 故y 轴上存在点()0,3W ，使得y 轴平分IWJ ∠.。
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题本试卷共4页。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过两点的直线的倾斜角为，则等于（）A.-3B.-1C.0D.22.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（）A. B. C. D.4.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于A，B两点，若，则的斜率为（）5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形若该椭圆恰好平分的另两边，则椭圆的离心率为（）(3,1)(2,1)A y B+-、3π4y22221(0,0)x ya ba b-=>>542y x=±12y x=±43y x=±34y x=±22:(1)(2)1M x y+++=22(3)(4)1N x y-++=：l l 250x y++=250x y--=250x y++=250x y--=2:4C y x=F F l C16||3AB=l22221(0)x ya ba b+=>>12,F F12F F12AF F 12AF FV12,AF AF6.已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若的面积为1，则的焦距的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.7.如图，已知直线与抛物线交于A ，B 两点，且交AB 于点，点的坐标为，则方程为（ ）A. B. C. D.8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（ ）A.的虚轴长为6B.的离心率为C.的渐近线方程为D.点到的一条渐近线的距离为410.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（ ）1-F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F C OEF V C l 22y x =,OA OB OD AB ⊥⊥D D (1,1)l 20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=12,F F P 12PF PF >1PF 2F 1e 2e 2114e e +(5,)+∞(6,)+∞(7,)+∞(6,7)F 22:1169x y Γ-=ΓΓ54Γ430x y ±=F ΓP :60l x y +-=Q 22:(1)(1)4C x y -+-=P CA.直线与圆相交B.|PQ |的最小值为C.四边形PACB 面积的最小值为4D.存在点，使得11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则（ ）A.曲线关于直线对称B.曲线经过点，其方程为C.曲线围成的图形面积小于D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦距是2，则的值是_____________.13.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为____________.14.双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，已知函数.则其在一象限内的焦点横坐标是__________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知圆与轴交于A ，B 两点，动点与点A 的距离是它与点距离倍.（1）求点的轨迹方程;l C 2-P 120APB ︒∠=C C (0)a a >C y x =C (1,1)--()322||x yxy +=C 2π8a (2,6)a ∈C 221(4)4x y m m +=>m 24y x =A x B C ABC V 1y x=y x =y x =-(1,1),(1,1)--(y x =+e 22O :4x y +=x P B P（2）过点作倾斜角为直线交点的轨迹于M ，N 两点，求弦长|MN |.16.（本小题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.（1）求双曲线的方程;（2）直线与双曲线相交于两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.17.（本小题15分）已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点.（1）求椭圆的方程;（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点，记AP 的斜率为的斜率为.求证:为定值.18.（本小题17分）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段AB 的中点.（i ）求证:点N 在定直线上;（ii ）若的面积为6，求点A 的坐标.19.（本小题17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，（1）已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，B 45︒l P 2222:100x y C a b a b-=>>（，）0x -=P C l C ,A B (3,2)l 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F A B C C (1,0)D l l C M 1,k BQ 2k 12k k 2:2(0)C y px p =>F (,2)M t C ||2MF =C ()()1122,,,A x y B x y 12x x <C M AMB ∠x N MAB ∆(,)AB x y =AB A θ(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θP (A B -B A π3P P 221x y xy +-=22221(0)x y a b a b+=>>O π4C（i ）求斜椭圆的离心率;（ii ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点M 、N ，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点G 、H是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.C Q 1l C O 2l 1l 2l C 21||OH +福建省厦门2026届高二上期中考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
上海市长征中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
上海市长征中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1．用集合符号表示直线l 在平面α上2．空间中一条直线和平面所成的角的取值范围是.3．在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，则直线AB 到平面11CDD C 的距离为．4．已知直线a 、b 、c ，若//a b ，c 与a 为异面直线，则c 与b 的位置关系是．5．如图，O A B ''' 是水平放置的OAB △的直观图，且2O A ''=，3O B ''=，则OAB △的周长为．6．已知一个正六棱柱底面边长为2，高为3，则这个正六棱柱的侧面积为.7．已知边长为1的正方形ABCD 绕BC 旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为．8．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =则该棱台的体积为．9．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 为棱AB 的中点，则二面角1D EC D --的大小为．（结果用反三角函数值表示）10．已知圆锥的底面直径为8，母线长为5，过圆锥的任意两条母线作一个平面与圆锥相截，则截面面积的最大值是．11．已知一个棱长为2的正四面体和一个圆锥的底面均处于同一平面α，若用任意平行于平面α的平面去截这两个几何体，所得的截面面积总是相等，则该圆锥的高为.12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 在平面11BCC B 上，A ，P 之间的距离为5，则1C 、P 之间的最短距离为．二、单选题13．“直线m 垂直平面α内的无数条直线”是“m α⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必安条件14．设矩形边长分别为a 、()b a b >，分别以a 、b 两边为轴旋转一周所得旋转体的体积记为a V 和b V ，则a V 与b V 的大小关系是（）A ．a b V V >B ．a bV V =C ．a bV V <D ．a V 、b V 的大小不确定15．如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（）A ．2B ．4C ．6D ．816．某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，不可．．计算出旗杆高度的方案是（）．A ．在水平地面上任意寻找两点A 、B ，分别测量旗杆顶端的仰角α、β，再测量A 、B 两点间距离B ．在旗杆对面找到某建筑物（建筑物高度低于旗杆高度），测得建筑物的高度为h ，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和βC ．在地面上任意寻找一点A ，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A 到旗杆底部的距离D ．在旗杆的正前方A 处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5m 到达B 处，再次测量旗杆顶端的仰角β三、解答题17．《九章算术》是中国古代数学专著，书中记载了一种名为“刍甍（méng ）”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB .若3AB EF =，ADE V 和BCF V 都是正三角形，且2AD EF =，求异面直线AE 与CF 所成角的大小.18．如图，已知E ，F ，G ，H 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，BC ，1CC ，11C D 的中点，且EF 与HG 相交于点Q .(1)求证：点Q 在直线DC 上；(2)作出过A 、G 、l D 三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹）19．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2．(1)若圆锥的侧面积为8π，求圆锥的体积；(2)设4,PO OA OB =、是底面半径，且90,AOB M ∠=︒是线段AB 的中点，如图．求直线PM 与平面POB 所成的角的大小．20．如左下图1，ABCP 是水平放置的矩形，2AC AB =，将矩形ABCP 沿对角线AC 折起，使得平面PAC ⊥平面ABC ，如右下图2．设O 是AC 的中点，D 是AP 的中点．(1)求直线B与平面APC所成角的大小；(2)连接PB，设平面DBO与平面PBC的交线为直线l，求证：//l PC．21．（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），可沿图1中的虚线将正三角形纸片剪拼成一个正三棱锥模型，要求用图2的正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积．．．都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图2中，并作简要说明：（2）试比较剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（3）给出一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等.请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明.。
北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学2024.11本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量且，那么（ ）A. B.6C.9D.183.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（）A. B. C. D.4.设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（ ）A. B. C. D.5.过和两点的直线的倾斜角是（）A. B.1 C. D.6.“”是“直线与平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平行六面体中，，点在上，且，则（ ）1i +()()1,2,1,3,,a b x y =-= a ∥b b = ()1,2,3P xOy ()1,2,3-()1,2,3-()1,2,3--()1,2,3-()()120,1,1,1,0,1v v ==- 12,l l 12,l l π65π6π32π3()2,0-()0,21-3π4π41a =1:20l ax y +-=()2:2120l x a y +++=1111ABCD A B C D -1,,AA a AB b AD c === P 1AC 1:1:2A P PC =AP =A. B.C. D.8.已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ）9.在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ）A. B.10.已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（ ）211333a b c ++ 122333a b c ++ 112333a b c -++ 122333a b c -- 1111ABCD A B C D -2,E 1BB 1B 11A D E 1111ABCD A B C D -E 11A C AE ABCD 1323()()0,1,0,1A B -:2l y kx =-l M MAB V lA. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数，则__________.12.已知点，点在线段上，且，则点坐标为__________.13.若平面，平面的法向量为，平面的法向量为，写出平面的一个法向量__________.14.已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________.15.如图：在直三棱柱中，，.记，给出下列四个结论：①存在，使得任意，都有；②对于任意点，都不存在点，使得平面平面；③的最小值为3；④当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为.其中，所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题13分）已知的顶点坐标为.π5π0,,π66⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦5i 12iz =-z =()()1,1,4,1,4,2A B -C AB 2AC CB =C αβ⊥α()11,2,3n = β()2,,0n x y = β()()1,3,1,4A B -:2l y ax =-AB l y a 111ABC A B C -13,90AB BB BC ABC ∠==== 1,(01,01)CH xCB CP yCB x y ==<≤≤≤ (),f x y AH HP =+H P AH HP ⊥H P AHP ⊥11A B C (),f x y (),f x y ,,A H P 5ABC V ()()()1,52,14,3A B C ---､､（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程；（3）求边上的高所在直线的方程.17.（本小题14分）如图，在三棱柱中，底面是的中点，且.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，求平面与平面所成角的余弦值.18.（本小题14分）设的内角对应的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分.19.（本小题14分）已知函数，且的图像过点.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数在上与直线有交点，求实数的取值范围；（3）设函数，记函数在上的最大值为，求的最小B AC BC AB 111ABC A B C -1CC ⊥,ABC D 11A C 12AC BC CC ===1BC ∥1AB D AC BC ⊥1CC 1AB D AC BC ⊥1AB D 11ACC A ABC V ,,A B C ,,a bc sin cos b A B =B ABC V ABC V 3,sin 2sin b C A ==5b a ==b C ==ABC V ()22sin cos 2cos f x a x x x =+()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =m ()()()g x f x t t =-∈R ()g x π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()M t ()M t值及此时的值.20.（本小题15分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在点，使得三棱锥的值；若不存在，说明理由.21.（本小题15分）给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质.（1）判断集合是否具有性质，集合是否具有性质；（直接写出答案，结论不需要证明）（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；（3）若集合具有性质，证明：.t P ABCD -ABCD CD ⊥,PAD PAD V ,,,E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD A EFG PC M M EFG -PM PC 2n ≥(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈= ∣M ()12,,,n x x x β= ()12,,,n y y y γ= 1122n n x y x y x y βγ⋅=+++ A M ⊆(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣A ,i j αα,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩A (),T n p ()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =()3,2T ()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1B =()4,2T ()4,T p A A (),T n p ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==延庆区2024-2025学年第一学期期中考试高二数学参考答案及评分标准2024.11一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.D2.A3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A 10.B二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）12. 13.（不唯一，共线即可）14.，（注：第一问3分，第二问2分）15.①③④（注：对一个2分，两个3分，有选错0分）三､解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（1）直线的斜率过点且与直线平行的直线的斜率为过点且与直线平行的直线方程为（2）设边的中点为，因为，所以点的坐标为，即，所以边的中线所在直线方程为()1,3,0()2,1,0-2-()6,5-AC 532145AC k -==---B AC 25-B AC ()21225905y x x y +=-+⇒++=BC D ()()2,14,3B C --､D 2413,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1D 51211AD k -==---BC ()121230y x x y -=--⇒+-=（3）因为，所以边的高线所在直线的斜率为，因此边的高线所在直线方程为.17.（共14分）（1）证明：连接，设，连接，由为三棱柱，得.又是的中点，所以是的中位线，.平面平面，平面；（2）解：底面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为由，得；15621AB k --==-+AB 16-AB ()13462206y x x y -=--⇒+-=1A B 11A B AB E ⋂=DE 111ABC A B C -1A E BE =D 11A C DE 11ΔA BC 1BC ∴∥DE 1BC ⊄ 1,AB D DE ⊂1AB D 1BC ∴∥1AB D 1CC ⊥ ,ABC AC BC ⊥C 1,,CA CB CC ,,x y z ()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B ()()()()1112,0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,2A B C D ()()()110,0,2,2,2,2,1,0,2CC AB AD ==-=- 1AB D (),,n x y z =12220220n AB x y z n AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ()2,1,1n =设直线与平面所成角为.则.直线与平面.（3）设平面与平面所成角为为锐角，平面的法向量为，，平面与平面.18.（共14分）解：（1），由正弦定理得，在中，，，.（2）若选①，由余弦定理，得，解得若选③，1CC 1AB Dθ111sin cos ,n CC n CC n CC θ⋅=<>== ∴1CC 1AB D 1AB D 11ACC A ,αα11ACC A ()0,1,0m =cos cos ,n m n m n m α⋅=<>== 1AB D 11ACC A sin cos b A B =sin sin a b A B =sin sin cos B A A B =ABC V sin 0,tan A B ≠=()0,πB ∈ π3B ∴=sin 2sin ,2C A c a== 2222cos b a c ac B =+-222944cos a a a B =+-a c ==1sin 2S ac B ∴==b C == ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=由正弦定理可得：选择②，面积公式2分；余弦定理2分.不超过4分.19.（共14分）解：（1）由题意，，解得，，，的最小正周期；的单调减区间为（2）函数在区间上与直线有交点所以，函数在区间上的最大值为3，又因为所以，解得.实数的取值范围是.（3）当时，取最大值4c =1sin 2S bc A ==2πππ3sin 2cos 206364f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =()22cos f x x x ∴=+cos21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ==()f x π2ππ,π,63k k k z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦ππ262m +≥π6m ≥∴m π,6∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭()()ππ11πππ2sin 21,,,2,2π661262g x f x t x t x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=++-∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ262x +=()f x t -3t -当时，取最小值所以，当时，当时，所以，当时，20.（共15分）（1）证明：因为是正三角形，是的中点，所以.又因为平面平面，平面，所以面；解：（2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的法向量为，由，得，点到平面的距离π3π262x +=()f x t -1t --1t ≤()3M t t=-1t >()1M t t =+1t =min ()2M t =PAD V O AD PO AD ⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PADCD PO ⊥,,AD CD D CD AD ⋂=⊂ABCD PO ⊥ABCD ,,OA OG OP O ,,OA OG OP,,x y z ()()()()()(0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0,0,0,O A B C D P --((()1,,,0,4,0,E F G --()((0,2,0,1,2,,1,4,EF EG FG =-==EFG (),,n x y z =2020n EF y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ )n = (3,AE =- A EFG AE n d n ⋅==（3）设所以点到面的距离为定值解得：或.21.（共15分）（1）集合具有性质，集合B 不具有性质.（2）当时，集合A 中的元素个数为4.由题设.假设集合A 具有性质，则①当时，，矛盾.②当时，，不具有性质，矛盾.③当时，.因为和至多一个在A 中；和至多一个在A 中；和至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾.④当时，，不具有性质，矛盾.⑤当时，，矛盾.综上，不存在具有性质的集合.11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦()()2,4,,12,4M EM λλλλ-=-- M EFG 2PF n d nλ⋅== cos ,||||EF EG EF EG EF EG ⋅<>=== 1sin ,22EFG S EF EG EF EG =<>=V 11sin ,36M EFGEFG V S h EF EG EF EG h -==<>=V 14PM PC λ==34A ()3,2T ()4,2T 4n ={}0,1,2,3,4p ∈()4,T p 0p =(){}0,0,0,0A =1p =()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A =()4,1T 2p =()()()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1A ⊆()1,1,0,0()0,0,1,1()1,0,1,0()0,1,0,1()1,0,0,1()0,1,1,03p =()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1A =()4,3T 4p =(){}1,1,1,1A =()4,T p A（3）记，则.若，则，矛盾.若，则，矛盾.故.假设存在使得，不妨设，即.当时，有或成立.所以中分量为1的个数至多有.当时，不妨设.因为，所以的各分量有个1，不妨设.由时，可知，中至多有1个1，即的前个分量中，至多含有个1.又，则的前个分量中，含有个1，矛盾.所以.因为，所以.所以.()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= 12n c c c np +++= 0p =(){}0,0,,0A = 1p =(){}1,0,0,,0A = 2p ≥j 1j c p +…1j =11c p +…1c n =0j c =()12,3,,j c j n == 12,,,n ααα ()1212n n n n np +-=-<…11p c n +<…11211,111,0p n t t t t +===== n n p αα⋅=n αp 23,11n n n p t t t +==== i j ≠1i j αα⋅={}121,2,3,,1,,,,q q p q q p t t t +∀∈+ 121,,,p ααα+ 1p +121p p p ++=+()11,2,,1i n i p αα⋅==+ 121,,,p ααα+ 1p +()()1122p p p +++=+()1,2,,j c p j n = …12n c c c np +++= ()1,2,,j c p j n == ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==。
广东省部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题
2024—2025学年度高二年级11月联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（ ）A.11B.10C.9D.82.已知直线：，：，且，则（）A.1B.-2C.2D.33.经过，两点的直线的一个方向向量为，则（）A.-2B.1C.3D.44.已知，，三点不共线，点不在平面内，（，），若，，，四点共面，则的最大值为（ ）A.B.C.1D.25.已知集合，，则集合的非空真子集个数为（ ）A.32B.62C.64D.306.直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为线段的中点，为棱上靠近点的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）D.()1,1,3a = ()2,3,2b = a b ⋅=1l 220250x my +-=2l ()1320250m x y +++=12//l l m =()2,3A -()1,B m -()1,2-m =A B CO ABC 12OD OA xOB yOC =++x 0y >A B CD xy 18116{}31A x x =∈-≤N ()(){}120B x x x =∈+-<Z {}22,,C z z x y x A y B ==+∈∈111ABC ABC -14AA =6AB AC ==D BC E 11BC 1B DE 11ACC A 127.设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数（）的最小正周期为，则的零点可以为（ ）A. B.C.D.10.已知复数，则（ ）A.的虚部为B.C.在复平面内的对应点位于直线上D.为方程的一个根11.三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ）A.5D.6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出一个过和的直线的两点式方程______.13.已知平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为______.14.中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，若，则的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程；212025x ax y -+=()4,7a (],4-∞(],8-∞[]4,8(],7-∞1111A B C D ABCD -P 10AP BP AP AP ⋅=⋅=ABP ∠ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦()sin f x x x ωω=0ω>π()f x 2π3-π6-5π12π321iz =-z 2-z =z 0x y -=z 2220x x -+=A BCD -0AB BD CD BD ⋅=⋅=3AB =2BD =4CD =ABD BCD 3πAC ()3,1-()2,2-α()3,5,4m =- O α∈P α∉10,0,4OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ P αABC △A B C a b c ABC △S sin 2sin cos cos A BA B=2Sa ()1,3A()4,7B AB（2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程.16.（本小题满分15分）已知，.（1）求在方向上投影向量的坐标；（2）求以，为邻边的平行四边形的面积.17.（本小题满分15分）如图，在棱长均为2的正四棱柱中，，，，，用空间向量法解决下列三个问题：（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值；（3）求的长度.18.（本小题满分17分）现定义：在平面直角坐标系中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知，均为“正直点”.（1）求的取值范围；（2）求的面积取得最小值时对应的周长；（3）若，也为“整数点”，求直线的一般式方程.19.（本小题满分17分）在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus ）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有.（1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；（2）建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.π3l ()2,1l ()1,2AB =-()0,AC =A B A CAB AC 12DD DE = 2DB DF = 3C D C G =12GC GH = 1E F BC ⊥EF 1CG 1BH xOy ()52,0A a +520,1a B a +⎛⎫⎪+⎝⎭a AOB △A B AB S V l V Sl =Oxyz ()0,0,1P(),,Q a b c若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值.提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径；②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量.a 0b >1c >Q ABC ABC △()()()2222000x x y y z z r -+-+-=()000,,x y z r ()()()0000Ax x B y y C z z -+-+-=()0000,,P x y z (),,u A B C =2024—2025学年度高二年级11月联考数学参考答案及解析一、选择题1. A 【解析】.故选A.2. C 【解析】由题意可得，故，解得.故选C.3. C 【解析】由题干条件可得，解得 3.故选C.4. B 【解析】因为，，，四点共面，所以，所以，当且仅当时取“＝”.故选B.5. B 【解析】由题意可得，，故，故集合的非空真子集个数为.故选B.6. C 【解析】如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，故，因为轴平面，则可取平面的一个法向量为，则，即直线与平面.故选C.7. B 【解析】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，所以函数在区间上也是单调递增，因为二次函数的对称轴为，所以有，即.故选B.8. B 【解析】建立如图所示空间直角坐标系，12133211a b ⋅=⨯+⨯+⨯=12//l l 21131m m -=≠+2m =32121m +-=--m =A B C D 112x y ++=21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭14x y =={}2,3,4A ={}0,1B ={}{}22,,4,6,9,11,16,18C z z x y x A y B ==+∈∈=C 62262-=A AB AC 1AA x y z ()3,3,0D ()4,2,4E ()1,1,4DE =-x ⊥11ACC A 11ACC A ()1,0,0n =cos ,DE n DE n DE n ⋅===DE 11ACC A 2025xy =212025x ax y -+=()4,721y x ax =-+()4,721y x ax =-+2a x =42a≤8a ≤设，、、，则有、、，设中点为，中点为，则有，即，又，同理可得，即，即，即，故有，且，，，，故由可得，故，故.故选B.二、选择题9. ABD 【解析】易知，其最小正周期为，所以，即，令（），解得（）.故选ABD.10. BCD 【解析】对于A ，，故，其虚部为，故A 错误；对于B ，，故B 正确；对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直(),,Px y z x y []0,2z ∈()2,0,0A ()2,2,0B ()12,0,2A AB ()12,1,0O 1AA ()22,0,1O 11PO =()()222211x y z -+-+=10AP AP ⋅=21PO =()()222211x y z -++-=()()()()222222211211x y z x y z ⎧-+-+=⎪⎨-++-=⎪⎩22222242404240x y z x y x y z x z ⎧++--+=⎨++--+=⎩y z =2224240x y x y +--+=()2,2,BP x y z =-- ()0,2,0BA =-()()22222222244824BP x y z x y x y y =-+-+=+--+=-+ cos ,BP BA BP BA BP BA ⋅====()()222211x y z -++-=[]0,1y ∈cos ,BP BA ⎤⎥⎦π0,4ABP ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭2ππT ω==2ω=()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2π3x k +=k ∈Z ππ26k x =-k ∈Z ()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+1i z =-1a -z ==z ()1,1线上，故C 正确；对于D ，易得，故D 正确.故选BCD.11. BC 【解析】三棱锥中，由可得，，则是二面角的平面角，如图，，而，，，，因为平面与平面的夹角为，则当时，，当时，，所以.故选BC.三、填空题12.（答案不唯一，四种形式写出一种即可）.【解析】经过点和点直线两点式方程是：.故答案为.【解析】由题可知平面的一个法向量为，又，故点到平面的距离为.14. 【解析】由，可得，即，所以，所以，0x y -=()()21i 21i 22i 22i 20+-++=--+=A BCD -0AB BD CD BD ⋅=⋅=AB BD ⊥CD BD⊥,BA DCA BD C --AC AB BD DC BA BD D C =++=-++ 3AB =2BD =4CD =22222AC BA BD DC BA DC=++-⋅9416234cos ,2924cos ,BA DC BA DC =++-⨯⨯=-ABD BCD π3π,3BA DC = AC = 2π,3BA DC =AC =AC 132123y x -+=--+()3,1-()2,2-132123y x -+=--+132123y x -+=--+α()3,5,4m =- 10,0,4OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ P αOP m d m⋅===38sin 2sin cos cos A B A B=222222222a b b c a a c b bcac=+-+-22233a b c =+2233b c a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111sin 222S bc A bc bc ===故令，，则，，所以，等号成立条件为.故答案为.四、解答题15.解：（1）由题意可得，，所以线段的中点为，，所以直线的垂直平分线的斜率为，故线段垂直平分线的斜截式方程为，即.（2）设直线的截距式方程为，则①，.由①②解得，，故直线.16.解：（1）因为，，所以，，所以在方向上投影向量为.（2）因为，，222S bc a a ==2b m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭2c n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭33m n +=2S a 238S a ≤=58m =38()1,3A()4,7B AB 5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭734413AB k -==-AB 34-AB 35542y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭35548y x =-+l 1x ya b+=211a b +=tan 3b k a π-===2a =-1b =-l 1=()1,2AB =- ()0,AC =08210AB AC ⋅=++=3AC = A B A C 101099AB AC AC AC ACAC ⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭()1,2AB =- ()0,AC = AB =所以，又，所以，故以，为邻边的平行四边形的面积为17.解：（1）证明：以为坐标原点，、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意得，，，，，，因为，，所以，所以，所以.（2）由（1）可得，，所以cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅()0,πCAB ∠∈sin CAB ∠==AB AC sin 3S AB AC CAB =∠== D DA DC 1D D x y z Dxyz ()0,0,1E()1,1,0F ()12,2,2B ()0,2,0C ()10,2,2C 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭50,,13H ⎛⎫⎪⎝⎭()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--()()11210120EF B C ⋅=⨯-+⨯-⨯-=1EF BC ⊥1E F BC ⊥()1,1,1EF =- 120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭111cos ,EF C G EF C G EF C G⋅==.故异面直线与（3）由（1）可得，故.18.解：（1）由题意可得，解得.（2）由（1），，则，当且仅当，即时等号成立，此时，，所以的周长为.（3）由题意可知，均为整数，所以均为整数，又因为，，，.所以，即.所以，，0或2，所以直线的一般式方程为或或或.19.解：（1）考虑提示：球体体积，半圆面积，==EF 1CG 112,,13B H ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭1B H ==5205201a a a +>⎧⎪+⎨>⎪+⎩1a >-10a +>()()152195*********AOBa S a a a a +⎡⎤=⨯+⨯=+++⎢⎥++⎣⎦△112122⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦()9411a a +=+12a =()6,0A()0,4B AOB △4610+=+52a +523211a a a +=+++352,1a a ++1a >-22a k =>-k ∈Z 3361212k a k ==+++21,2,3,6k +=1,0,1,4k =-12a =-12AB 280x y +-=23120x y +-=50x y +-=390x y +-=34π3r V =2π2r S =设几何重心到圆心的距离为，由于几何重心在对称轴上，则运动的轨迹长度为，运用巴普斯定理有：，解得，代入即.注：开始时代入计算也给分.（2）由题知：球面方程为，故.另一方面：.则切面方程为：：，代入得到：，于是，运用等体积法：设的面积为，（当且仅当取等）.x 2πx 23π4π2π23r r x V ⨯==43πr x =3r =4πx =()22211x y z ++-=()22211a b c ++-=(),,1PQ a b c =- L ()()()()1a x a b y b c z c -+-+--()()()222111ax by c z a b c c ⎡⎤=++--++---⎣⎦()10ax by c z c =++--=,0,00,,00,0,1c A a c B b c C a ⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎩()31131261C OAB c c c c V c a b ab c -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪--⎝⎭ABC △A B C S △333C OAB C OAB C OAB ABC O L V V V S cd c---→===△()()()()()222222211111c c c ab c a b c c c =≥=-⎡⎤+----⎣⎦()()213221323cc c c c c c c ===≥=+---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭a b ==c =。
重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案
重庆市高2026届高二上期期中考试数学试题（答案在最后）2024.11注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.1.直线l 过(,),(,)()P b c b Q a c a a b ++≠两点，则直线l 的斜率为（）A.a b a b+- B.a b a b-+ C.1D.1-【答案】C 【解析】【分析】利用直线上两点的坐标求斜率即可.【详解】由题意可知，斜率()()1a b a bk a c b c a b--===+-+-，故选：C.2.若平面α的法向量为()4,4,2n =--，方向向量为(),2,1x 的直线l 与平面α垂直，则实数x =（）A.4B.4- C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直于平面，则直线的方向向量平行于平面的法向量，即可求解.【详解】由直线l 与平面α垂直，故直线l 方向向量(),2,1x 与平面α的法向量()4,4,2n =--平行，设()()4,4,2,2,1x λ--=，即4422xλλλ=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得22x λ=-⎧⎨=-⎩.故选：D.3.圆心为(1,1)-且过原点的圆的一般方程是（）A.22220x y x y ++-= B.22220x y x y +-+=C.22220x y x y +--= D.222210x y x y ++-+=【答案】B 【解析】【分析】先求半径，再得圆的标准方程，最后转化为圆的一般方程.【详解】由题意知，()0,0在圆上，圆心为(1,1)-，所以圆的半径r ==，所以圆的标准方程为()()22112x y -++=，则一般方程为：22220x y x y +-+=，故选：B.4.椭圆22221x y a b +=和2222(0,0,,0)x y k a b a b k a b+=>>≠>一定具有（）A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长轴长【答案】A 【解析】【分析】先将方程化为标准方程，再根据离心率，焦点。
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上学期高二年级期中考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，36分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列各命题中，是真命题的是
A. 如果a ＞b,那么
c a ＞c
b
B. 如果ac ＜bc ，那么a ＜b
C. 如果a ＞b,c ＞d,那么a -c ＞b -d
D. 如果a ＞b,那么a -c ＞a -c 2. 直线4x+2y+1=0的斜率是
A.-2
B.2
C.
21 D.- 2
1 3. 设曲线F 1（x , y ）=0和曲线F 2（x , y ）=0的交点为P ，那么曲线F 1（x , y ）F 2（x , y ）
=0
A.必过原点
B.必过点P
C.不一定过点P
D.是否过点P 无法确定 4. x 2+y 2≤是│x │+│y │≤1的
A.必要不必充分条件
B.充分不必要条件
C. 充要条件
D.既不充分又不必要条件
5. 已知实数a,b 满足-1＜a ＜0, b ＜0,则b ，ab ，a 2b 的大小关系是 A. b ＜ab ＜a 2b B. b ＜a 2b ＜ab C. a 2b ＜b ＜ab D. ab ＜a 2b ＜b
x=2t -1 x=-3+2sin θ
6. 曲线 (t 为参数)和曲线` （θ为参数）的公共点的个数是 y=-2t+6 y=4-2cos
A. 一个
B. 两个
C. 不确定
D. 没有 x+2y -5≤0 x+2y -3≥0 7. 已知实数x,y 满足 ，则
x
y
的最值 x ≥1
y ≥0
A. 最大项是2，最小值是1
B. 最大值是1，最小值是0
C. 最大值2，最小值是0
D. 无最大值是，无取小值 8. 椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点为（0，2），那么k 的值是 A. -1 B. 1 C.
5 D. - 5
9. 椭圆32x +2
2y =1上一点P 到左焦点的距离为23，则P 到右准线的距离是
A.
33 B. 1059 C. 23 D. 2
9
10. 下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是
A. y 2=x 与y=x
B. (x -1)2+(y+2)2=0与（x -1）(y+2)=0
C. y=
x
1
与xy=1 D. y=1gx 2与y=21gx 11. 已知集合M={（x,y ）│x 2+y 2≤1，0＜y ≤1},集合N={（x,y ）│y=x+b,b ∈R}，且M
N=Φ，则b 的取值范围是
A. b ＞2或b ＜-1
B. -1＜b ≤2
C. b ＞2或b ≤-1
D. b ≤-1
12. 如图点F 是椭圆的焦点，P 是椭圆上一点，A 、B 是椭圆的顶点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率是
A.
22 B. 42 C.
2
1
D. 23A
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分. 把答案填在题中横线上.
13. 点（-1，1）关于直线2x -3y=8对称的点的坐标是__________. 14. 已知点A （1，1）和B （3，3），则在x 轴的正半轴上使∠AMB 最大的点M 的坐标是__________.
15. 不等式
2
2-x x
≤1的解集是_____________. 16. 已知实数a, b 满足2b 2=a 2+1，则a 2+4b 2-4ab 的最小值是__________.
三、解答题：本大题共5小题，共52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分10分）
已知m, n ，a ，b 都是实数，且m 2+n 2=1,a 2+b 2=1, 求证│ma+nb │≤1 18 . （本小题满分10分）
如果关于x 的不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是{x │x ＜-3或x ＞2}，求关于x 的不等式cx 2+bx+a ＞0的解集.
19. (本小题满分10分)
一动圆M 与圆A ：x 2+y 2+6y+5=0外切，同时与圆B ：x 2+y 2-6y -91=0内切， （1）求圆A 与B 的圆心和半径，并判断两圆的位置关系： （2）求动圆圆心M 轨迹方程. 20. (本小题满分10分) 在ΔABC 中，点A （-1，5）、B （5，5）、C （6，-2）
（1）分别求AC 边上的中线、BC 边上的高、∠ACB 的平分线所在的直线的方程； （2）求ΔABC 的外接圆的方程. 21. ( 本小题满分12分)
经过点P （-1，2）且倾斜角为α的直线l 与圆x 2+y 2=8的交点是A ，B （1）（理科）求弦AB 的长度（用α的三角函数表示）；
（文科）当α为
4
时，求弦AB 的长度； （2）求当弦AB 的长度最短时的直线l 方程： （3）（理科）过点P 作垂直l 的直线m ，交圆于C ，D 两点，求弦AC 的中点M 的轨 迹方程
(文科)求弦AB 中点M 的轨迹方程
高二年级数学试卷答案.
13. (3,-5). 14. (6,0)15. {x │-2≤x (2)16. 1.
17. (本小题满分10分)
∵m 2+n 2=│m │2+│n │2≥│mn │
a 2+b 2=│a │2+│b │2≥2│ab │ (4)
∴m 2=n 2+a 2+b 2≥2│mn │+2│ab │,而m 2+n 2=1,a 2+b 2=1 ∴2│mn │+2│ab │≤2,即│mn │+│ab │≤1
又│ma+nb │≤│mn │+│ab │, ∴│ma+nb │≤1…………10 18. (本小题满分10分)
（1） AC 边上的中线所在的直线的方程7x -5y -10=0. BC 边上的高所在的直线的方程x -7y+36=0
∠ACB 的平分线所在的直线的方程2x+y -10=0 …………6 （2）∠ACB 的外接圆的方程x 2+y 2-4x -2y -20=0…………10 19. (本小题满分10分) （1）圆A 可化为x 2+(y+3)2=4, ∴圆A 的圆心（0，-3），半径2圆B 可化为x 2+(y -3)2=100∴圆B 的圆心（0，-3），半径10
∵│AB │=6＜10-2，∴圆A 与圆B 内含…………5 （2）设动圆的半径为r
∵动圆M 与圆A ：x 2+y 2+6y+5=0外切，∴│MA │=2+r ∵动圆M 与圆 B ：x 2+y 2-6y -91=0内切，∴│MB │=10-r
∴│MA │+│MB │=12,既点M 的轨迹是以点A 、B 为焦点，长轴长为12的椭圆
∴M 的轨迹方程为
127
362
2=+x y …………10 20. （本小题满分10分）
∵不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是{x │x ＜-3或x ＞2} ∴a ＜0,且方程ax 2+bx+c=0的两个根是-3、2 ∵-
a b =1，a
c
=-6 即b=a ，c=-6a …………5 不等式cx 2+bx+a ＞0可化为-6ax 2+ax+a ＞0,即6x 2+x+1＞0 ∴x ＞
21或x ＜31,∴不等式cx 2+bx+a ＞0的解集是{x │x ＞21或x ＜-3
1
＝}…10 21. （本小题满分12分）
（1）（理科）当α=90°时，│AB │=27：
当α≠90°时，│AB │=2a
a a 2
2tan 14
tan 4tan 7++- （文科）│AB │=14 (4)
（2）x -2y+5=0 (6)
x=
2
2
1x x + （3）（理科）设M （x, y ）,A(x 1y 1),C(x 2,y 2)则
y=
2
2
1y y + ∴x 1+x 2=2x, y 1+y 2=2y,
x 12+x 22+2x 1x 2=4x 2 , y 21+y 22+2y 1y 2=4y 2 x 12+y 1
2=8
又 x 22+y 22=8
11
2
.122211-=+-+-x y x y ∴x 12+x 22+y 12+y 22=16, x 1x 2+y 1y 2+( x 1+x 2)-2(y 1+y 2)+5=0 ∴16+2x 1x 2+y 1y 2=4x 2+4y 2, x 1x 2+y 1y 2+2x -4y+5=0 ∴2x 2+2y 2+2x -4y -3=0为点M 的轨迹方程
（文科）∵OM ⊥PM ，∴弦AB 中点M 的轨是以OP 为直径的圆 ∴弦AB 中点M 的轨迹方程是 x+21 2+(y -1)2= 4
5
(12)。