几何概型 说课稿 教案 教学设计

几何概型

【教学目标】

1．了解几何概型与古典概型的区别．

2．理解几何概型的定义及其特点．

3．会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率．

【教法指导】

本节重点是几何概型的特点及概念；难点是应用几何概型的概率公式求概率；

本节知识的主要学习方法是动手与观察，思考与交流，归纳与总结.加强新旧知识之间的联系，培养自己分析问题、解决问题的能力，从而获得学习数学的方法.

【教学过程】

一、知识回顾

1.几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2.概率公式

在几何概型中，事件A的概率计算公式如下

想一想几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？

概念理解

(1)几何概型也可以如下理解对于一个随机试验，我们将每个基本事

件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．( ) (2)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )

(3)[2012·昆明模拟] 在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为1

3

.( )

几何概型概率的适用情况和计算步骤 (1)适用情况

几何概型用 计算事件发生的概率适用于有无限多个试验结果的情况，每种结果的出现也要求必须是等可能的．而且事件发生在一个有明确范围的区域中，其概率与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例． (2)计算步骤

①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性，比古典概型更难于判断．②计算基本事件空间与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)．这是计算的难点． ③利用概率公式计算． 特别提示

在使用几何概型中，事件A的概率计算公式

P(A)

＝

构成事件

A的区域长度面积或体积

试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积

时，公式中分子和分母涉及的几何度量一定要对等．即若一个是长度，则另一个也是长度．一个若是面积，则另一个也必然是面积，同样，一个若是体积，另一个也必然是体积．

题型一与长度有关的几何概型

例、（1）如图A，B两盏路灯之间的距离是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多少？

(2)已知函数f(x)＝log2x，在区间[

1

2

，2]上随机取一x0，则使得f(x0)≥0的概率为________．

解析f(x)＝log2x≥0可以得出x≥1，所以在区间

⎣

⎢

⎡

⎦

⎥

⎤

1

2

，2上使f(x)≥0的范围为[1,2]，所以使得f(x0)≥0的概率为P＝

2－1

2－

1

2

＝

2

3

.

答案

2

3

规律方法

将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何

概型（长度比长度） 求解． 变式训练

一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？ (1)红灯亮； (2)黄灯亮； (3)不是红灯亮．

【解析】 在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型．

(1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25．

(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝1

15

．

(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝3

5，

或P ＝1－P (红灯亮)＝1－25＝3

5．

题型二 与面积有关的几何概型

例、（1）一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．

总结规律、得出方法

此类几何概型题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征找出两个“面积”，套用几何概型公式，从而求得随机事件的概率． 变式训练

(1)如图，一个等腰直角三角形的直角边长为2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M (图中白色部分)．若在此三角形内随机取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为________．

【答案】 1－π4

【解析】 由题意知题图中的阴影部分的面积相当于半径为1的半圆面积，即阴影部分面积为π

2，又易知直角三角形的面积为2，所以区

域M 的面积为2－π2．故所求概率为2－

π22＝1－π

4

．

（2）已知x ≤2， y ≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，

P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．

题型三 与体积、角度有关的几何概型

例、（1）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，在正方体内随机取一点M.

(1)求点M 落在三棱锥B 1－A 1BC 1内的概率；[ 学_ _ ] (2)求点M 与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1的距离都大于a

3的概率；

(3)求使四棱锥M －ABCD 的体积小于16

a 3

的概率．

总结规律、提高升华

这类题目一般需要分清题中的条件，提炼出几何体的形状，并找出总