生物医学信号处理(医学)PPT课件
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自适应滤波 Adaptive Filters
• 维纳滤波参数是固定的，适用于平稳随机 信号。卡尔曼滤波器参数是时变的，适用 于非平稳随机信号。然而，只有对信号和 噪声的统计特性先验已知条件下，这两种 滤波器才能获得最优滤波。
• 所谓的自适应滤波，就是利用前一时刻已获 得滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的 滤波器参数，以适应信号或噪声未知的或随 时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。 设计自适应滤波器时可以不必要求预先知道 信号和噪声的自相关函数，而且在滤波过程 中信号与噪声的自相关函数即使随时间作慢 变化它也能自动适应，自动调节到满足最小 均方差的要求（因此实际同WF及KF是一致 的）。这些都是它突出优点。
R为对称方阵，[R] [R]T
dE[ 2 (
dw1
j)]
2PT
1 0
21,0,00[R][W ]
均方误差梯度为：
( j) 2[P] 2[R][W ] 2[R][W ] 2[P]
当( j) 0时， E[ 2 ( j)]为最小，[W ]达最佳值。
[R][W * ] [P] 或 [W * ] [R]1[P] 这是著名的维纳 霍夫方程 结论：最小权 [W 矢 *][R 量 ]1[P]为：
B
E[2( j1)]
A
W ( j1)
W( j2 )
w
调节加权系数W使均方误差最小，相当于沿超抛物形曲面下降 到最小值。
梯度法
• 在数学上，可用梯度法沿着该曲面调节权矢量 的各元 素 得到这个均方误差E [ε2(j)]的最小值。
• 将对上式 E[2( j)]均方误差对权矢量的各wi进行求导， 得到均方误差梯度：
最小误 E[差 2(j)] 为 E[d2： (j) ][W *]P []
已[R 知 ][,P]即 , 可[以 W *]求出
LMS递推算法
实际上，设计自适应DF无需知道R和P。关键： 找到LMS算法，寻找一个W的递推式，由W=W0， 起始值开始，沿着趋于W*的正确方向逐步递推，直 至W=W*，E[ε2(j)]=min为止。这就是最小均方误差 算法，简称LMS算法。
最小均方误差（LMS)自适应DF的基本原理
统计方法：大量数求平均时，提出均方误差最小 准则，即输出信号与期望输出之间误差最小。其 定义为：
E 2(n ) E (s(n )s ˆ(n ))2
测量数据越多，则越准确。
x(n)=s(n)+w(n)
y(n)sˆ(n)
h(n)
N 1
输y 出 (n )h ( ： n )x(n ) h (n )x(n m ) m 0
X1(j) X2(j) XN(j)
w1 w2 wN
y(j)
- ε(j)
+ d(j)
自适应算法 要找出E[ε2(j)]=min时的各wi值，首先推导出自适应线性组合 器均方误差E[ε2(j)]与加权系数wi的关系式。
写成矩阵形式：
N 1
y( j) Wi xi ( j) X ( j)T W WT X ( j)
dE [ 2 ( j )]
( j)
dw 1
dE [ 2 ( j )
dw N
对均方误差梯度求导
求最佳权矢量，则令 ( j) 0
即：dE[ 2 (
dw1
j)]
0
2PT
1 0
1
1,0,00[R][W ] [W ]T [R]0
1 T
[W
]T
[
R]0
wenku.baidu.com
1,0,00[W ]T [R] T 1,0,00[R]T [W ]
n0
w1
式中： W w2,
x1( j)
X
(
j)
x2
(
j)
w3 此处大写代表矩阵
xN ( j)
求均方误差：( j) d( j) y( j) d( j) W T X ( j)
E[ 2 ( j)] E[d ( j) W T X ( j)]2
E d 2 ( j) 2d ( j)[W ][ X ( j)] [W ]T [ X ( j)][ X ( j)]T [W ] E[d 2 ( j)] 2 E[d ( j)[ X ( j)]T ][W ] E[[W ]T [ X ( j)][ X ( j)]T [W ]]
• 寻找一个W的递推式，由W=W0，起始值开始， 沿着趋于W*的正确方向逐步递推，直至W=W*， E[ε2(j)]=min为止。
LMS算法递推式
设w(j)是j时刻的权矢量，w(j+1)是j+1时刻的权矢量；
( j) : 是j时刻的均方误差梯度。
则LMS算法的递推公式为：
W (j 1 ) W (j) (j)
•概念: 利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果,自动 的调节(更新)现时刻的滤波器参数.以适应信号 和噪声未知的统计特性,或者随时间变化的统计 特性,从而实现最优滤波.
这个概念是从仿生学中引伸出来的，生物能 以各种有效的方式适应生存环境，生命力极强。
几种重要的自适应滤波器: • 最小均方(LMS)自适应滤波器; • 递推最小二乘(RLS)自适应滤波器. • 格型结构自适应滤波器. 前两种最常用。
由于均方误差为：
E[2(j)]E[d2(j)]2[P]T[W][W]T[R]W [ ]
N1 N1
N1
dd(0)
W iWmxx(im)2 W id(i)
i1m1
i1
看出：均方误差E [ε2(j)]是加权系数W的二次函数，它
是一个中间上凹的超抛物形曲面，是具有唯一最小值
的函数。
E[ 2( j)]
E[2( j2)]
自适应DF(digital filter)：以均方误差最小为准则，能自动 调节单位脉冲响应h(n),以达到最优滤波的时变最佳DF
期望响应或 理想响应
自适应DF的要害在于按照ε(j)和各xi(j)的值，通过某种算法寻找 出E[ε2(j)]=min时的各wi值，从而可自动地调节各wi值。
设x(k-1), x(k-2) , x(k-3) …… x(k-M) ,为同一信号的不同延时组成的延时单元。
令[P] E[d ( j)[ X ( j)]]， [R] E[[ X ( j)][ X ( j)]T ]，
E[d 2 ( j)] dd (0)
代入式中求得 均方误差为：
E[ 2 ( j)] E[d 2 ( j)] 2[P]T [W ] [W ]T [R][W ]
E [ε2(j)]与[W]的关系
• 维纳滤波参数是固定的，适用于平稳随机 信号。卡尔曼滤波器参数是时变的，适用 于非平稳随机信号。然而，只有对信号和 噪声的统计特性先验已知条件下，这两种 滤波器才能获得最优滤波。
• 所谓的自适应滤波，就是利用前一时刻已获 得滤波器参数等结果，自动地调节现时刻的 滤波器参数，以适应信号或噪声未知的或随 时间变化的统计特性，从而实现最优滤波。 设计自适应滤波器时可以不必要求预先知道 信号和噪声的自相关函数，而且在滤波过程 中信号与噪声的自相关函数即使随时间作慢 变化它也能自动适应，自动调节到满足最小 均方差的要求（因此实际同WF及KF是一致 的）。这些都是它突出优点。
R为对称方阵，[R] [R]T
dE[ 2 (
dw1
j)]
2PT
1 0
21,0,00[R][W ]
均方误差梯度为：
( j) 2[P] 2[R][W ] 2[R][W ] 2[P]
当( j) 0时， E[ 2 ( j)]为最小，[W ]达最佳值。
[R][W * ] [P] 或 [W * ] [R]1[P] 这是著名的维纳 霍夫方程 结论：最小权 [W 矢 *][R 量 ]1[P]为：
B
E[2( j1)]
A
W ( j1)
W( j2 )
w
调节加权系数W使均方误差最小，相当于沿超抛物形曲面下降 到最小值。
梯度法
• 在数学上，可用梯度法沿着该曲面调节权矢量 的各元 素 得到这个均方误差E [ε2(j)]的最小值。
• 将对上式 E[2( j)]均方误差对权矢量的各wi进行求导， 得到均方误差梯度：
最小误 E[差 2(j)] 为 E[d2： (j) ][W *]P []
已[R 知 ][,P]即 , 可[以 W *]求出
LMS递推算法
实际上，设计自适应DF无需知道R和P。关键： 找到LMS算法，寻找一个W的递推式，由W=W0， 起始值开始，沿着趋于W*的正确方向逐步递推，直 至W=W*，E[ε2(j)]=min为止。这就是最小均方误差 算法，简称LMS算法。
最小均方误差（LMS)自适应DF的基本原理
统计方法：大量数求平均时，提出均方误差最小 准则，即输出信号与期望输出之间误差最小。其 定义为：
E 2(n ) E (s(n )s ˆ(n ))2
测量数据越多，则越准确。
x(n)=s(n)+w(n)
y(n)sˆ(n)
h(n)
N 1
输y 出 (n )h ( ： n )x(n ) h (n )x(n m ) m 0
X1(j) X2(j) XN(j)
w1 w2 wN
y(j)
- ε(j)
+ d(j)
自适应算法 要找出E[ε2(j)]=min时的各wi值，首先推导出自适应线性组合 器均方误差E[ε2(j)]与加权系数wi的关系式。
写成矩阵形式：
N 1
y( j) Wi xi ( j) X ( j)T W WT X ( j)
dE [ 2 ( j )]
( j)
dw 1
dE [ 2 ( j )
dw N
对均方误差梯度求导
求最佳权矢量，则令 ( j) 0
即：dE[ 2 (
dw1
j)]
0
2PT
1 0
1
1,0,00[R][W ] [W ]T [R]0
1 T
[W
]T
[
R]0
wenku.baidu.com
1,0,00[W ]T [R] T 1,0,00[R]T [W ]
n0
w1
式中： W w2,
x1( j)
X
(
j)
x2
(
j)
w3 此处大写代表矩阵
xN ( j)
求均方误差：( j) d( j) y( j) d( j) W T X ( j)
E[ 2 ( j)] E[d ( j) W T X ( j)]2
E d 2 ( j) 2d ( j)[W ][ X ( j)] [W ]T [ X ( j)][ X ( j)]T [W ] E[d 2 ( j)] 2 E[d ( j)[ X ( j)]T ][W ] E[[W ]T [ X ( j)][ X ( j)]T [W ]]
• 寻找一个W的递推式，由W=W0，起始值开始， 沿着趋于W*的正确方向逐步递推，直至W=W*， E[ε2(j)]=min为止。
LMS算法递推式
设w(j)是j时刻的权矢量，w(j+1)是j+1时刻的权矢量；
( j) : 是j时刻的均方误差梯度。
则LMS算法的递推公式为：
W (j 1 ) W (j) (j)
•概念: 利用前一时刻已获得的滤波器参数等结果,自动 的调节(更新)现时刻的滤波器参数.以适应信号 和噪声未知的统计特性,或者随时间变化的统计 特性,从而实现最优滤波.
这个概念是从仿生学中引伸出来的，生物能 以各种有效的方式适应生存环境，生命力极强。
几种重要的自适应滤波器: • 最小均方(LMS)自适应滤波器; • 递推最小二乘(RLS)自适应滤波器. • 格型结构自适应滤波器. 前两种最常用。
由于均方误差为：
E[2(j)]E[d2(j)]2[P]T[W][W]T[R]W [ ]
N1 N1
N1
dd(0)
W iWmxx(im)2 W id(i)
i1m1
i1
看出：均方误差E [ε2(j)]是加权系数W的二次函数，它
是一个中间上凹的超抛物形曲面，是具有唯一最小值
的函数。
E[ 2( j)]
E[2( j2)]
自适应DF(digital filter)：以均方误差最小为准则，能自动 调节单位脉冲响应h(n),以达到最优滤波的时变最佳DF
期望响应或 理想响应
自适应DF的要害在于按照ε(j)和各xi(j)的值，通过某种算法寻找 出E[ε2(j)]=min时的各wi值，从而可自动地调节各wi值。
设x(k-1), x(k-2) , x(k-3) …… x(k-M) ,为同一信号的不同延时组成的延时单元。
令[P] E[d ( j)[ X ( j)]]， [R] E[[ X ( j)][ X ( j)]T ]，
E[d 2 ( j)] dd (0)
代入式中求得 均方误差为：
E[ 2 ( j)] E[d 2 ( j)] 2[P]T [W ] [W ]T [R][W ]
E [ε2(j)]与[W]的关系