振动理论及其应用：第4章_多自由度系统振动(d)

多自由度系统： MX KX 0 X Rn M、K Rnn
主模态： i 1~ n
φ(i)
mpi φ(i)T Mφ(i)
第 i 阶主模态
第 i 阶模态主质量
k pi φ(i)T Kφ(i)
第 i 阶模态主刚度
另一种模态：正则模态 φ(i) N 定义：全部主质量皆为1的主模态
i 1~ n
mpi φN(i)T MφN(i) 1
N
N
i2
固有频率的平方
9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
多自由度系统： MX KX 0 X Rn M、K Rnn
主模态
正交性条件：
φ(i
φ(i
)T )T
Mφ( Kφ( j
j) )
ij mpi ij k pi
i 1~ n
将 φ(i) (i 1 ~ n) 组成矩阵 Φ [φ(1) φ(n) ] Rnn
主模态： i 1~ n φ(i)
第 i 阶主模态
mpi φ(i)T Mφ(i)
第 i 阶模态主质量
k pi φ(i)T Kφ(i)
第 i 阶模态主刚度
正则模态：i 1~ n
φ(i) N
φ(i)T N
MφN(i)
1
第 i 阶正则模态
主质量为1
2020年12月9日 《振动力学》
φ φ K (i)T
(i)
第四章
多自由度系统振动
4
多自由度系统振动
教学内容
• 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统
2020年12月9日
2
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率
4
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态
小结：模态
特征值问题： (K 2M)φ 0 特征值（固有频率） φ 特征向量（模态）
在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的值的过 程称为归一化 。
φ(i) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态。
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
当i j 时
φ(i)T Mφ( j) 0 φ(i)T Kφ( j) 0
模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性
当 i＝j 时
主质量 φ(i)T Mφ(i) mpi
主刚度 φ(i)T Kφ(i) k pi
利用 Kronecker 符号：
φ(i)T Mφ( j) ij mpi
φ(i
)T
Kφ(
j
)
ij k pi
ij
1 0
i j i j
第 i 阶固有频率：
i
k pi m pi
(i 1n)
2020年12月9日 《振动力学》
φ(i)T Kφ( j) i2φ(i)T Mφ( j)
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
主振动仅取决于系统的 M 阵、K 阵等物理参数。
因为有：(K i2M)adjB(i ) 0 比较： (K i2M)φ(i) 0
2020年12月9日
adjB(i ) 的任一非零列都是第 i 阶主振动 φ(i)
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
• 模态的正交性，主质量和主刚度
i2
ci
1 m pi
8
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
正则模态的正交性条件：
φN(i)T MφN( j) ij
φN(i
)T
KφN( j)
2
ij i
ij
1 0
i j i j
主模态的正交性条件：
φ(i)T Mφ( j) ij mpi
φ(i
)T
Kφ( j)
ij k pi
• 模态
• 模态的正交性
• 主质量和主刚度
• 模态叠加法
• 模态截断法
2020年12月9日
3
《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/固有频率
小结：固有频率
正定系统： MX KX 0
X Rn M 正定，K 正定
主振动： X φsin( t ) 代入振动方程： (K 2M )φ 0
i φ(i) j φ( j) 均满足：
Kφ(i) i2 Mφ(i)
Kφ(
j
)
2 j
Mφ(
j
)
转置右乘φ( j) φ 左乘 (i)T
φ(i)T Kφ( j)
φ 2 (i)T i
Mφ(
j
)
φ(i)T Kφ( j)
φ 2 (i)T
j
Mφ(
j
)
两式相减：
(i2
2 j
)φ(i)T
Mφ(
j
)
0
φ(i)T Mφ( j) 0
φ(1)T
M
[φ(1)
φ(n)T
φ(n) ]
φ(1)T M
[φ(1)
φ(
n)T
M
φ(n) ]
φ(1)T Mφ(1)
φ(1)T Mφ(n)
φ有非零解的充分必要条件： K 2M 0 特征方程
2n a1 2(n1) an1 2 an 0 频率方程或特征多项式 最小的固有频率：1为基频。
自由振动的位移方程：FMX X 0 主振动： X φsin( t )
代入，得：
2020年12月9日
(FM I)φ 0
特征方程： FM I 0
模态矩阵
ΦT MΦ diag(mp1,, mpn ) M p ΦT KΦ diag(k p1,, k pn ) K p
主质量矩阵 主刚度矩阵
对角阵
2020年12月9日
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《振动力学》
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
推导： ΦT MΦ diag(mp1,, mpn) M p ΦT MΦ [φ(1) φ(n) ]T M[φ(1) φ(n) ]
令：φ(i) N
cφi (i)
φ φ M (i)T
(i)
N
N
φ c2 (i)T i
Mφ(i
)
ci2mpi
1
正则模态和主模态之间的关系：
φ(i) N
相对于φN(i) 的主刚度：
2020年12月9日 《振动力学》
φ φ K (i)T
(i)
N
N
1 φ(i)T Kφ(i)
mpi
1 φ(i)
mpi
k pi mpi
若 i j 时，i j 恒成立
模态关于质量的正交性
φ(i百度文库T Kφ( j) 0
当 i＝j 时
模态关于刚度的正交性
2020年12月9日 《振动力学》
φ(i)T Mφ(i) mpi 第 i 阶模态主质量
φ(i)T Kφ(i) k pi 第 i 阶模态主刚度 φ(i) 第 i 阶主模态
(K 2M)φ 0 6