专题3.1 以立体几何中探索性问题为背景的解答题——新高考数学专项练习题附解析

专题三压轴解答题

第一关以立体几何中探索性问题为背景的解答题

【名师综述】利用空间向量解决探索性问题

立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．

1.以“平行”为背景的存在判断型问题

典例1（2019·山东省实验中学高考模拟）如图所示的矩形ABCD中，AB=1

2AD=2，点E为AD边上异

于A，D两点的动点，且EF//AB，G为线段ED的中点，现沿EF将四边形CDEF折起，使得AE与CF的夹角为60°，连接BD，FD．

(1)探究：在线段EF上是否存在一点M，使得GM//平面BDF，若存在，说明点M的位置，若不存在，请说明理由；

(2)求三棱锥G—BDF的体积的最大值，并计算此时DE的长度．

【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置．

【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.

（1）求证：;

（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.

类型2以“垂直”为背景的存在判断型问题

典例2如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，为中点,

（1）求证：平面；

（2）若是正三角形，且.

(Ⅰ)当点在线段上什么位置时，有平面？

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？

【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解．

【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，

底面，△ABC是边长为的正三角形，，D，E分别为AB，BC的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在一点M ，使

平面

？说明理由.

类型3以“角”为背景的探索性问题

典例3

（2019·山东高三月考）如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，SAD ∆是等边三角

形，平面SAD ⊥平面ABCD ，1AB =，E 为棱SA 上一点，P 为AD 的中点，四棱锥S ABCD -的体积为

23

3

.

（1）若E 为棱SA 的中点，F 是SB 的中点，求证：平面∥PEF 平面SCD ；

（2）是否存在点E ，使得平面PEB 与平面SAD 所成的锐二面角的余弦值为10

？若存在，确定点E 的位置；若不存在，请说明理由.

【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．

【举一反三】（2019·山东枣庄八中高三月考（理））如图，直三棱柱111-ABC A B C 中，120ACB ∠= 且

12AC BC AA ===，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点.

（Ⅰ）当E 是中点C 1C 时，求证：CF 平面AE 1B ；

（Ⅱ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得平面AE 1B 与平面ABC 所的成锐二面角为6

π

，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由.

【精选名校模拟】

1.（·山东高考模拟（理）

）如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD PCD PD CD ⊥⊥平面，底面ABCD 是梯形，//,1,2,AB DC AB AD PD CD AB Q ====为棱PC 上一点.(Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：//PQ PAD 平面；

(Ⅱ)PQ PC λ=

试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60°.

2.（2019·夏津第一中学高三月考）如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2AD AB BC ===，

4CD =，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平

面ABCE ）．

（1）证明：平面POB ⊥平面ABCE ；

（2）若PB =PB 上是否存在一点Q （不含端点）

，使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正

弦值为

5

，若存在，求出PQ OB 的值；若不存在，说明理由．

3.（2018·山东济南外国语学校高三月考（理）

）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=︒∠=︒，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点．

（Ⅰ）在棱AB 上是否存在一点E ，使得AF 平面PCE ，并说明理由；

（Ⅱ）当二面角D FC B --的余弦值为2

4

时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角．【答案】（1）见解析（2）60︒

4.（2019·北京北师大实验中学高三月考）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为正方

形，已知PA ⊥平面ABCD ，2AB =，PA =

.

（1）证明：BD PC ⊥；

（2）求PC 与平面PBD 所成角的正弦值；

（3）在棱PC 上是否存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ？若存在，求PE

PC

的值并证明，若不存在，说明理由.

5.【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点

分别是棱

上的动点，且

.

（1）求证：；

（2）当三棱锥

的体积取得最大值时，求二面角

的正切值．

6.【湖北省2019届高三联考测试】如图，在四棱锥中，

，

，

，且

PC=BC=2AD=2CD=2

，

.