模拟地下水运动的一种新的数学模型及其算法

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程。
分数 阶 偏微 分方 程 是 经 典 的整 数 阶偏 微分 方 程 的 推广 。 它是将 整数 阶 的导数 用 分数 阶 导数来 替换 。 这类 方程 已在 物理 、工 程 领域 及 环境 问题 的研 究方 面 得到 了广泛 的运用ｒ— １因此 ， 它的研究 也 引起 了广 泛 的 １ ５。 对 要 的优势 在 于它能更 好 地 拟合 自然 物 理过 程和 动 态系 统过 程 。 比如 。 当一 种微 粒 的扩 散传播 速率 与古 典 的布
ｒ ） ｃ
其 中１ ≤ｉ
且
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出一 种差 分算法 。 此偏 微 分方 程转 化 成常微 分 系统 。 将 岛兰 【『） — 】 ［ ＋）ａ ｌａ， （ Ｊ ） ＝ ｆ ＋ （ ｌ －ｌ 】 ｆ － － － 利用 自动变 阶 （— １ ５阶 ） 步长 的 向后差 分方 法 。 变 ｌ 一 ｌ 一
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ｚ ｏ ＝ 办 ） ｕＯ ） 地 ｆ＝ ， （， ＝ ｔ ） ｏ
ｏ ｘＬ ， （ １ ）
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其 中 ｔｋ Ｏ是 常 数 ， ，为 充 分 光 滑 的 已知 ｘ ＞ ， （ ） ｏ ｆ 是 关 于 Ｃｐ ｔ ） ａ ｕｏ导数 ， Ｌ ｎ ｇ３ ￣ Ｙ ： 散 被称作 反常 扩散 。经典 的 Ｆｃ ｉｋ定 律是 用来讨 论 扩散 函数 ， 现象 的宏 观规律 ．如扩 散物 质 的浓 度分 布 与时 间 的关 系 而反 常扩散 过 程本 质上 是 时 间上有 记忆 性 和空 间 力＝ 却 。 ～ 。 非局域 性 的过程 ， 而整 数 阶导 数极 限定义 具有 局 域性 。 【 ａ 因此整 数 阶扩散 方程 不 能准 确地 描述 这类 反 常扩 散过
２２地 下水运 动 的模 型 ．
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ｌ｜ ‘Ｊ
对海水 入侵 地下 水 层建 立 如下模 型 ：
用 中心差 商离 散 —
ｄ Ｉ ，） ｘ ｆ
：即
基 金项 目： 建 省 教 育 厅 科 技 项 目 （Ａ１２ ４ ； 建省 教 育厅 科 技 项 目 （Ｂ ７ ８ ）２ １ 福 Ｊ ０８）福 Ｊ ０２ ３ ；０ ０年 福 建 省 交 通科 技 发 展 项 日资助 。
１ 引 言 。
在 自然界 和 工程 技 术 领 域 中 ． 出现 许多 扩 散现 象 。 如 不规 则 固体 、 解 微胞 中 的 电子传 输 、 油渗 流 、 溶 石 地 下 水传输 或者 是多 孔玻 璃 中 的扩 散等 ．这 些现 象 不遵 循 Ｆｃ 律 ．尤 其 在海 水 入 侵地 下水 层 的运动 中 ， ｉ ｋ定 溶 质 在入侵 地下水 层 时具 有 长尾 性 态 。这 种 不规 则 的扩
２１ ０ ０年第 １ ０期
福
建
电
脑
１ ９
模 拟地下水运动 的一种新的数 学模 型及 其算 法
陈秀华
（福 建 交通 职业技 术 学 院 福建 福 州 ３ ０ ０ ５ ０ ７）
【 摘 要】 ：本文就海水入侵地下水层建立了一种新的反应扩散模型，并给出了此模掣的差分算法， 通
过数值 计 算 实例 表 明数 值 结果是 有 效的 。 【 键词 】 地 下 水运动 ； 学模 型 ； 分算 法 关 ： 数 差
其 中 ｒ为 ｇｍｍ ａ ａ函数 ． 将 区间【 ，］ 匀分 为 Ｍ 个等 分 ， 间步 长 ｈ ＬＭ， ０ Ｌ均 空 ＝／
记 ∞ ｛ｆ ｉＭ；贝 ｘ ｆｏ ｉ ）再设 ｏ ＜ ，Ｕ ， ≤ ≤ ， ≤－ ＝（ 万 ＝ ≥ ＞ － ｚ ０ 是时间步长． ｛Ｉ ｏ， － ＂ ， ｎ， 丁 ＞ 假定 ＜ ｏ ，≥｝ ＝ Ｉ ≤ ０是在 ＯＸ － 上的网格函 ）Ｏ ｈ）
一
以下 引入 一些 记号 ： 关注。 分数阶微分方程与整数阶微分方程相比， 其最重 数 。
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（ ＋ ） ｚ ｆ
ｚ一 ，ｊ １ ＝
一 一 ）
朗运 动模 式不一 致 时 ．分数 阶导数 在模 拟 这种 微粒 异 常运 动起 了非常 关键 的作 用 ． 扩散 空 间模 型 中 。 分 在 用
２地 下水运 动模 型的 建立 ． ２１ ． 问题 的描述
由文献 ［】 知 ： ９可
研 究表 明 。海 水 入 侵地 下 水用 传 统 的扩 散方 程 难 以体 现溶 质在入 侵 地下 水层 的长尾 性 态 ．我们 将建 立 新 型反 应 扩散方 程来 模 拟地 下水 的运 动 对 此模 型 提
去 ）￣＝ 等 ｘ ２ ｔ ｌ ‘
数 阶导数代 替空 间扩 散二 阶导数 ， 导致 更强 的 扩散 。 ３ 模型 的差 分算 法 将 ． 本文 就海 水 入 侵地 下 水 层 建 立一 种 新 的数 学 模 型 ． 并 由 于 很 难 求 得 （ ） 精 确 解 ， 们 将 建 立 （ ） 相 １的 我 １式 建立 此模型 的差 分算 法 。利 用计 算机 模 拟该偏 微 分 系 应 的差分算 法 ， 利用 计算 机编 程求得 近 似解 。 统 的形 态生 成并 与整 数 阶的 系统 进行 比较 ．发 现 此模 为 了方 便起 见 我们 记 ＝ ， 为 方 程 （．） （ ） １ 的 １ 型能更 精确 地模 拟具 有长 尾性 态 的溶质 运动 过程 。 精 确解 ， 记 ＝ （ ）， ＝ ） ／ ， （ ．