对数与对数运算导学案

§2.2对数函数

2.2.1对数与对数运算

第1课时对数

学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点).

知识点1对数

1.对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念：

(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.

2.常用对数与自然对数

【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()

(2)对数式log32与log23的意义一样.()

(3)对数的运算实质是求幂指数.()

提示(1)×因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；

(2)× log 32表示以3为底2的对数，log 23表示以2为底3的对数，所以(2)错； (3)√ 由对数的定义可知(3)正确. 知识点2 对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)log a

1＝0(a >0，且a ≠1). (3)log a a ＝1(a >0，且a ≠1). 【预习评价】

若log 32x －3

3＝1，则x ＝________；若log 3(2x －1)＝0，则x ＝________. 解析 若log 32x －33＝1，则2x －3

3＝3，即2x －3＝9，x ＝6；若log 3(2x －1)＝0，则2x －1＝1，即x ＝1. 答案 6 1

题型一 对数的定义

【例1】 (1)在对数式y ＝log (x －2)(4－x )中，实数x 的取值范围是________； (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. ①54＝625；②log 216＝4；③10－2＝0.01；④log

5125＝6.

(1)解析

由题意可知⎩⎪⎨⎪

⎧4－x >0，x －2>0，x －2≠1，

解得2

答案 (2，3)∪(3，4)

(2)解 ①由54＝625，得log 5625＝4. ②由log 216＝4，得24＝16. ③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2. ④由log

5125＝6，得(

5)6＝125.

规律方法 指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

【训练1】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)43

＝64；(2)ln a ＝b ；(3)⎝ ⎛⎭

⎪⎫12m

＝n ；(4)lg 1000＝3.

解 (1)因为43＝64，所以log 464＝3； (2)因为ln a ＝b ，所以e b ＝a ； (3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12m

＝n ，所以log 12n ＝m ；

(4)因为lg 1 000＝3，所以103＝1 000.

题型二 利用指数式与对数式的互化求变量的值 【例2】 (1)求下列各式的值.

①log 981＝________.②log 0.41＝________.③ln e 2＝________. (2)求下列各式中x 的值. ①log 64x ＝－2

3；②log x 8＝6； ③lg 100＝x ；④－ln e 2＝x .

(1)解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92，故x ＝2，即log 981＝2；②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40，故x ＝0，即log 0.41＝0；③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2，故x ＝2，即ln e 2＝2. 答案 ①2 ②0 ③2

(2)解 ①由log 64x ＝－23得x ＝64－23＝43×(－23)＝4－2＝116

； ②由log x 8＝6，得x 6

＝8，又x >0，即

x ＝81

6＝23×

1

6＝

2；

③由lg 100＝x ，得10x ＝100＝102，即x ＝2； ④由－ln e 2＝x ，得ln e 2＝－x ，所以e －x ＝e 2， 所以－x ＝2，即x ＝－2.

规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想.

在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解.

(2)基本方法.

①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算.

【训练2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 的值. (1)log 2x ＝－1

2；(2)log x 25＝2； (3)log 5x 2＝2.

解 (1)由log 2x ＝－12，得2－1

2＝x ， ∴x ＝2

2.

(2)由log x 25＝2，得x 2＝25. ∵x ＞0，且x ≠1，∴x ＝5. (3)由log 5x 2＝2，得x 2＝52，

∴x ＝±5.∵52＝25＞0，(－5)2＝25＞0， ∴x ＝5或x ＝－5.

题型三 利用对数的性质及对数恒等式求值 【例3】

(1)71－log 75；(2)100⎝ ⎛⎭

⎪

⎪⎫

12lg 9－lg 2； (3)a log a b ·log b c

(a ，b 为不等于1的正数，c >0).

解(1)原式＝7×7－log75＝7

7log75＝7 5.

(2)原式＝1001

2

lg 9×100－lg 2＝10lg 9×1

100lg 2

＝9×1

102lg 2

＝9×1

10lg 4＝9 4.

(3)原式＝(a log a b)log b c＝b log b c＝c.

规律方法对数恒等式a log a N＝N的应用

(1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可.

(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.

【训练3】(1)设3log3(2x＋1)＝27，则x＝________.

(2)若logπ(log3(ln x))＝0，则x＝________.

解析(1)3log3(2x＋1)＝2x＋1＝27，解得x＝13.

(2)由logπ(log3(ln x))＝0可知log3(ln x)＝1，所以ln x＝3，解得x＝e3.

答案(1)13(2)e3

课堂达标

1.有下列说法：(1)只有正数有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式；(3)以5为底25的对数等于±2；(4)3log3(－5)＝－5成立.其中正确的个数为()

A.0

B.1

C.2

D.3

解析(1)正确；(2)，(3)，(4)不正确.

答案 B

2.使对数log a(－2a＋1)有意义的a的取值范围为()