高等数学极限与导数测试题

高等数学极限与导数测试题

（时间：120分钟）

1.

求极限1

32lim e 2x x x x x →∞⎡⎛⎫-+- ⎪⎢⎝⎭⎣． 2.

求极限lim n

n →∞⎝⎭． 3. 求极限()201cos sin ln 1lim sin x x x x x x

→--++． 4. 设2()cos2f x x x =，求高阶导数(10)()f x ．

5. 求由参数方程222,3x t t y t t

⎧=-⎪⎨=+⎪⎩所确定的函数在1t =时相应的点处的导数d d y x 和二阶导数22d d y x

． 6. 设()3

2()21x f x x =-，求出该函数的定义域、单调区间、凹凸区间、拐点、渐近线和极值，并画出它的图像．

7. 设函数()f x 在区间[],a b 上是可微的，0ab >，证明：存在a c b <<，满足等式[]()()()()()af b bf a f c cf c a b '-=--．

8. 设π02x <<，证明：tan sin x x x x

<． 9. 设0k >，求当k 为何值时，方程arctan 0x kx -=有正实根．

10. 设函数()f x 在区间(),a +∞上二次可导，且()0f x ''≥，证明：若()lim 1x f x x →+∞=，则lim ()1x f x →+∞'=．

参考答案：

1.

16． 2.

ln10． 3. 12

． 4.

()8224cos240sin 290cos2x x x x x -++． 5. 2d 31d 21y t x t +=-，()223

2d 321d 41y t t x t --=-． 6. 定义域为{},1x x x ∈≠且R ；单调区间和凸性区间如下表

拐点为()0,0；渐近线为112y x =+和1x =；极小值为27(3)8

f =；图像略． 7. 提示：构造函数1()()F t tf t =，运用Cauchy 中值定理．

8. 提示：构造函数22()cos sin f x x x x =-．

9. ()0,1k ∈．

10. 提示：证明极限lim ()x f x →+∞'存在，即可运用L'Hospital 法则．