高等数学第一章第九节教案-吴赣昌
高数切线方程的求法
高数切线方程的求法标题：高数切线方程的求法一、引言在微积分中，切线是一个基本的概念。
它是曲线在某一点处的局部近似，可以用来描述物理现象的变化趋势，也可以用于优化问题等。
本篇文章将详细介绍如何求解高数中的切线方程。
二、切线的基本概念给定一个函数y=f(x)，在点(x0,y0)处的切线就是与曲线相切的一条直线。
这条直线经过点(x0,y0)，并且其斜率等于函数在该点的导数f'(x0)。
三、切线方程的求法1. 求出函数在指定点的导数：对于任意可导函数y=f(x)，在点x0处的导数可以通过求导法则得出，即f'(x0)。
2. 利用导数得到切线的斜率：切线的斜率就等于函数在指定点的导数，即k=f'(x0)。
3. 通过点斜式求得切线方程：已知切线的斜率和经过的定点(x0,y0)，可以利用点斜式求得切线方程。
点斜式为y-y0=k(x-x0)，其中k是切线的斜率，(x0,y0)是切线经过的点。
四、实例解析例如，我们要求函数y=x^2在点(1,1)处的切线方程。
首先，我们求出函数在x=1处的导数，因为y'=2x，所以f'(1)=2。
然后，我们得到切线的斜率为k=2。
最后，我们将斜率和切线经过的点代入点斜式，得到切线方程为y-1=2(x-1)，化简后为y=2x-1。
五、结论求解高数中的切线方程，关键在于理解并掌握导数的概念和求导的方法，以及切线的基本性质。
通过实际的例子，我们可以更深入地理解和应用这些知识。
六、参考文献[1] 吴赣昌. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.[2] 斯坦利·艾林. 微积分及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2012.以上内容仅为初步指导，具体的理论学习和实践操作还需结合教材和教师的讲解进行。
《高等数学B-微积分一》本科教学大纲
《高等数学B-微积分(一)》本科教学大纲课程编号：上海立信会计金融学院《高等数学B—微积分(一)》课程教学大纲一、课程基本信息课程名称：高等数学B-微积分(一)英文名称：Advanced Mathematics (B)-Calculus Ⅰ课程编号：课程类别：长学段-专业必修课预修课程：初等数学开设部门：统计与数学学院适用专业：经管类专业（本科）学分：4总课时：60学时其中理论课时：60学时，实践课时：0学时二、课程性质、目的微积分是经济管理类本科专业的学科专业课。
本课程的教学目的是使学生掌握经济管理学科所需的微积分基础知识，学会应用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系，同时通过本课程的教学，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，为后继课程的学习和将来进一步的专业发展打好扎实必要的数学基础。
思政元素融入课程，引导学生树立正确的科学观，培养学生科学理性思维能力、创新思维能力、独立思考能力，解决实际问题能力，培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感；引导学生树立正确的人生观和价值观，了解数学发展史和数学文化，提升数学素养、弘扬中华文明、培养民族文化自信，以精神文明为切入点，科学育人、文化育人。
在大纲中，概念、理论方面用“理解”表述，方法、运算方面用“掌握”表述的内容，应该使学生深入领会和掌握，并能熟练运用；概念理论方面用“了解”表述，方法、运算方面用“熟悉”表述的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。
三、教学内容、基本要求、课时分配四、课程考核考核方式：考试；期末考核形式：课程试卷闭卷（教考分离）；题型：填空、选择、计算、证明题和应用题等；课程类别：■必修（考试）课程□除体育类、短学段开设、实践教学类以外的必修（考查）课程□选修课程□体育类必修（考查）课程□短学段开设的必修（考查）课程□实践教学类必修（考查）课程平时成绩占50 %，期末成绩占50 %（见下表）。
平时成绩考核项目参照表平时成绩考核评定依据与标准:1. 课堂表现（含考勤）：随机抽查考勤、课堂提问、参与讨论等20次，每次5分，满分100分，按20%的比例记入平时成绩；2. 课外作业：作业共收15次，随机抽10次记分，每次满分10分，满分100分，按30%的比例记入平时成绩；3. 阶段测验：在学期1/4和3/4节点处各安排1次阶段测验，每次满分100分，取两次成绩平均分，按30%的比例记入平时成绩；4. 期中测验：在学期1/2节点处安排1次期中测验，满分100分，按20%的比例记入平时成绩。
高等数学第一章第九节教案-吴赣昌
★连续函数与连续区间★ 例6
★函数的间断点
★ 例7★ 例8★ 例9
★ 例10★ 例11★ 例12
★ 例13★ 例14★ 例15
★内容小结★课堂练习
★习题1-9
教学过程设计
01、本节引言：（观察一些自然现象，引入连续性的概念）
02、承前启后：（简述连续性的重要性及严格定义的发展过程，导出变量增量（或改变量）的概念和计算方法——定义1）
例4：利用定理1来求分段函数中的待定系数。
例5：利用定理1求满足条件时待定系数的值。
08、承前启后：总结前面讲授的主要内容，引出函数在区间内的连续的概念。
09、例题选讲：
例6：证明正弦函数在实数域上的连续性。
10、承前启后：分析函数在某点连续的充要条件，引出函数间断点的概念，并对间断点进行分类。
11、例题选讲：（选择2-4例）
例1：证明分段函数在分段点连续。
例2：证明单调增函数，若在定义区间的某点上极限存在，则在这点也连续。
06、承前启后：回顾左、右极限等于函数数值的情况，引出左、右连续的概念，阐述连续与左、右连续的关系——定理1，并强调定理1是判断分段函数在分段点处是否连续的重要方法。
07、例题选讲：（选择1-2例）
例3：讨论分段函数在分段点处的连续性。
例12：利用定理1和定义4，讨论分段函数的间断点情形。
例13：利用定理1和定义4，判断分段函数的间断点，并做适当修改使其在间断点连续。
例14：利用定理1和定义4，讨论含有待定常量的分段函数的连续性。
例15：根据变量的取值，讨论极限函数的连续性。
12、课堂小结：总结本节的主要内容和归纳解题方法。
13、课堂练习：根据教学情况，可在讲解例题之间或课堂小结安排适当的例习题。
高等数学第一章第三节教案-吴赣昌
01、承上启下：回顾初等函数、分段函数，列出等教学要学习和讨论的主要内容。 02、本节引言：介绍刘徽的割圆术和极限的思想方法。 03、数列极限：给出数列的概念，列举并观察数列的变化趋势，引入极限的概念，深入 分析，用数学语言表述数列的极限，并演示几何意义。 04、例题选讲： （选择 1-2 例，介绍对给定的ε 找 N 的方法） 例 1：利用数列极限的定义，验证数列是否收敛，以及数列的极限。 例 2：利用 N 论证法，证明一个数列的极限为某个确定的值。 例 3：利用数列极限的定义，证明一常数数列的极限为其自身的值。 例 4： 利用数列极限的定义， 证明一抽象数列在某区间内极限是否为某个确定的值。 。 例 5：利用数列极限的定义和一已知数列的极限，证明另一数列的极限值。 例 6：利用数列极限定义，证明一数列的极限。 例 7：利用数列极限定义，证明一特殊数列的极限。 例 8：利用数列极限的 N 定义，证明一不等式成立。 05、承前启后：分析极限的定义，介绍数列的有界性，并归纳导出有极限的数列必有界 （定理 1） 。 06、定理的说明：说明定理中的条件是充分的，但不是必要的，并举例。进一步分析， 有定理的逆否命题导出推论。 07、承前启后：分析常数的唯一性和确定性，引入极限的唯一性（定理 2） 。 08、例题选讲： （举例说明定理 2 的应用，即用定理 2 证明列举的数列极限不存在。 ） 例 9：利用数列极限的定义和反证法，证明数列是发散的。 09、承前启后：由数列极限与数列有界的关系，联想到数列极限的符号与数列的符号之 间的联系，引出极限的保号性（定理 3） 。 10、定理的推论：分析定理 3 的逆命题，导出定理 3 的推论。 11、承前启后：回顾数列收敛的概念，分析数列与其部分之间的关系，引出子数列的概 念，并举例观察他们的收敛性，归纳导出定理 4. 12、定理的说明：分析定理 4 的逆否命题，导出判断数列发散的充分条件，并举例说明
线性代数 吴赣昌 教案--第一章--行列式
专业层次
授课班级
授课教师
年月日
《线性代数》教案
任课教师
授课班级
1
授课时间
教学时间安排
2学时
授课题目
（章节）
第一章行列式
第一节二阶与三阶行列式
教学目的、要求（教学目标）
⑴了解行列式的概念
⑵掌握二阶、三阶行列式的计算方法
教学重点
与难点
二阶、三阶行列式的计算
教学方式、方法与手段
讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合
例1解方程组
例2计算三阶行列式
例3求解方程
例4解三元线性方程组
本学期要求叙述5分钟
课程介绍20分钟
理论讲解35分钟，习题选讲25分钟，练习、答疑5分钟
提问：行列式是什么？是否具有几何意义？
注：沙路法则是对角线发则的变形，仅适用于要条件.
2.求一个二次多项式 ，使
张天德线性代数习题精选精解山东科学技术出版社2009课后小结这节课介绍了行列式的性质知道了当对行列式的行或列进行了某些变换如行与列互换交换两行列位置某行列乘以某个数某行列乘以某数后加到另一行列等后变换前后两个行列式的值仍保持着线性关系们可以利用这些关系大大简化高阶行列式的计算
学年度第学期
线性代数课堂教学方案
P5 2⑵⑶3
课外阅读
资料或自主学习体系安排
1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，1995
2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
3./special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线性代数
内容要点
一、行列式按一行(列)展开
定义1在 阶行列式 中,去掉元素 所在的第 行和第 列后,余下的 阶行列式,称为 中元素 的余子式,记为 ,再记 称 为元素 的代数余子式.
微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)第一章第一节 函数
例7 设函数f(x)是周期为T的周期函数，试求函数f(ax+b) 的周期，其中a,b常数，且a>0。
解：
T f (ax b ) f (ax b T ) f a (x ) b a
所以函数f(ax+b)的周期为T/a
五、数学建模——函数关系的建立
1.依题意建立函数关系
例5 证明函数y
x
1x
在( 1, )上是单调增加函数。
3. 奇偶性
设函数 y = f (x) 的定义域 Df 关于坐标原点对称, 若x
Df , 有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为偶函数; x Df ,
有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为奇函数; 奇函数的图形关于坐标原点对称, 偶函数的图形关于 y 轴对称. 在关于坐标原点对称的区间 I 内: 两个偶 (奇) 函数之和仍是一偶 (奇) 函数. 两个偶 (奇) 函数之积均为一个偶函数.
实数的连续性：实数点能铺满整个数轴，而不会留下任何空隙，即实数与 数轴上的点成一一对应关系。
常用数集： N 表示全体正整数的集合；Z 表示全体整数的集合； Q 表示全体有理数的集合；R 表示全体实数的集合； C 表示全体复数的集合．．
（1）有限区间
（2）无限区间
[a , ) x a x ;[ , b ) x x b .
y O M y
x
m O
x
有上界 在区间 I 上:
有下界
f (x)有界 f (：
2
x x 1
2
在( , )上是有界的。
x 1 2 x ,
1 f (x ) 2 x 1 2
高等数学 上册 第 章习题答案 吴赣昌 人民大学出版社 高数 理工类
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)⎰思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
高等数学第一章第七节教案-吴赣昌
12、例题选讲：（挑选1-3例，说明第二个重要极限的应用）
例19：应用第二个重要极限，求一数列的极限
例20：应用第二个重要极限，求一函数当x→0时极限
例21：通过变换函数形式应用第二重要极限。
02、承前启后：为求形如 的极限，导出夹逼准则。
03、夹逼准则：（说明夹逼法的思想，应用中的关键步骤）
04、例题选讲：（选择1-2例，分析应用夹逼法求极限的放缩技巧）
例1：利用函数组成项之间的变化特点进行放大和缩小。
例2：把函数进行恒等变形后，再进行放大和缩小。
例3：利用函数项的变化规律，进行放大和缩小。
★例5★例6★例7★ 例8ห้องสมุดไป่ตู้例9
★单调有界准则★ 例10★ 例11
★ ★ 例12★ 例13★ 例14
★ 例15 ★ 例16 ★ 例17★ 例18
★ ★ 例19-20 ★ 例21 ★ 例22
★ 例23 ★ 例24★ 例25
★ 柯西极限存在准则
★内容小结★课堂练习★习题1-7
教学过程设计
01、承上启下：复习极限的运算法则，引出本节要讨论的问题。
16、课外作业：根据教学要求，选择适量的习题或补充题。
06、例题选讲：（选一例说明单调准则的应用）
例10：利用单调有界准则求递归数列的极限。
例11：利用单调有界准则求递归数列的极限。
07、承前启后：分析、总结夹逼准则的思想方法，并推广到求函数的极限，导出准I’。
08、第一个重要极限：作图直观分析，应用夹逼准则，给出第一个重要极限的证明，并阐述第一个重要的极限的特征和在求极限中的应用。
高等数学第一章第二节教案-吴赣昌
高等数学课程教案——与高等数学（完整版 理工类）立体化教材配套
授课单元 授课时间 教学要求 教学重点 教学难点
第一章 函数、极限与连续：第二节 初等函数 授课地点 授课类型 理论课 理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念，掌握基本初等函数 的性质及其图形，理解初等函数的概念。 复合函数及分段函数 复合函数的求法 教学内容分布 ★ 反函数 ★ 例1 ★ 例2 ★ 基本初等函数 ★ 复合函数 ★例 3 ★例 4 ★初等函数 ★例 7 ★例 8 ★双曲函数和反双曲函数 ★内容小结 ★习题 1-2
★例 5 ★例 9 ★课堂练习
★例 6 ★例 10
教学过程设计 01、反函数：由函数的定义导出反函数的定义，给出反函数存在的条件。 02、例题选讲： （可选讲 1 例，介绍反函数的求法） 例 1、例 2：利用反函数的定义来求反函数。 03、基本初等函数：回顾以往学过的函数，给出基本初等函数的概念。 04、复合函数：给出复合函数的定义，讲解复合函数的 3 种求法，及代入法、分析法、 示图法。 05、例题选讲： 例 3：代入法求复合函数。 例 4：分析法分解复合函数。 例 5：分段函数的复合运算。 例 6：求函数表达式。 06、初等函数：简介初等函数的概念，给出指数增长（衰减）模型。 07、例题选讲： （可选 1 例） 例 7：指数增长模型。 例 8：指数衰减模型。 例 9：指数衰减模型——半衰期。 例 10：里氏震级模型 08、双曲函数：双曲正弦、双曲余弦、双曲正切及其反函数。可以类比于相应的三角函 数进行讲解。 09、课堂小结：总结本节主要内容，归纳解题方法。 10、课堂练习：根据教学情况，适当安排和选择练习题。 11、课外作业：根据教学要求，选择适量的习题或补充题。
《高等数学(A)》课程教学大纲精品文档15页
《高等数学（A）》课程教学大纲Advanced Mathematics (A)学时数：180学分数：18适用专业：理工科各本科专业执笔者：吴赣昌编写日期：2000年8月课程的性质、目的和任务高等数学课程是高等学校工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。
通过本课程的学习，要使学生获得：1．一元函数微积分学，2．向量代数和空间解析几何，3．多元函数微积分学，4．无穷级数（包括傅里叶级数），5．常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，并注意培养学生的数学建模能力和用所学理论解决简单应用问题的能力，培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
课程教学的基本要求一、 函数、极限与连续1. 理解函数的概念.2. 了解函数的单调性、周期性和奇、偶性.3. 了解反函数和复合函数的概念.4. 熟悉基本初等函数的性质及其图形.5. 能列出简单实际问题中的函数关系.6. 了解极限的N -ε、δε-定义(对于给出ε求N 或δ不作过高耍求),并能在学习过程中逐步加深对极限概念的理解.7. 掌握极限四则运算法则.8. 了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)会用两个重要极限求极限.9. 了解无穷大、无穷小的概念. 掌握无穷小的比较.10.理解函数在一点连续的概念, 会判断间断点的类型.11.了解初等函数的连续性. 知道在闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大值最小值定理).二、导数于微分1. 理解导数和微分的概念.了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系,能用导数描述一些物理量.2. 熟悉导数和微分的运算法则(包括微分形式不变性)和导数的基本公式. 了解高阶导数概念. 能熟练地求一阶二阶导数.3. 掌握隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。
吴赣昌编_概率论和数理统计_第1章课件
四、事件之间的关系 （熟练掌握）
1.事件的包含与相等(p4)“A发生必导致B发生”，即A中的样 本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。 A与B两个事件相等：A＝B AB且BA。
例1.2
2020/11/6
2.和事件(p4)（[4]） ：“事件A与B至少有一个发生”，记作 A∪B
2020/11/6
第一章 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算 • 频率与概率 • 古典概型和几何概型 • 条件概率 • 事件的独立性
2020/11/6
1.1随机试验、样本空间、随机事件
一、随机试验（简称“试验”） 试验Ⅰ：一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后任意摸出
一球 试验Ⅱ：一个盒子中有10个大小完全相同的球，5个白色，5个
3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点， 但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。
4)股市的变化。
2020/11/6
说明：随机现象是广泛存在的。
• 一个射手在一次射击中可能击中目标，也可 能未击中目标，但在一个短时间内，每天的 命中率却是稳定的。
• 同一门炮在同样发射条件下射出的许多炮弹 其落点不一样。虽然落点不同，但形成一个 椭圆---落点分布。
n n
fn A fn(Ai) i1 i1
2020/11/6
事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越 大，事件A发生得越频繁，即在一次试验中发生 的可能性越大。
历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰 和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图 证明出现正反面的机会均等。
实验者
思考：何时A-B=?
何时A-B=A？
5.互斥的事件(p4) ：AB=Φ ,指事件A与B不能同时发生 。又称A与B互不相容。
高等数学 理工类 第三版 吴赣昌 第1章 函数、极限与连续
F x 为偶函数；
当
f x , g x 均为奇函数时， F x f x g x f x g x F x ，得
F x 为奇函数；
（2）令 G 当
x f xg x ，定义域为 D1 D2 ， D1 D2 关于原点对称，
第一章函数、极限与连续
内容概要
名 称 邻 域 主要内容（1.1、1.2）
U a, x x a
（即U a,
（ U
0
x a x a
）
U 0 a, x 0 x a
两个要素：对应法则
a, x a x a , x 0 ）
★
2．下列各题中，函数是否相同？为什么？
（1） （2） y 2 x 1 与 x 2 y 1 f ( x) lg x 2 与 g ( x) 2 lg x ；
知识点：函数相等的条件； 思路：函数的两个要素是 f （作用法则）及定义域 D（作用范围） ，当两个函数作用法则 f 相同（化简
0 3 x x 3 x ,1 1,3 ； 0 x 1 1 x , or , x 1 x 1
2
0 x 1 x 1,2 2,4 ； （5） y log x 1 (16 x ) 1 x 1 0 16 x 2
★
1．求下列函数的定义域：
知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量 x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① log a □,（ □ 0 ） ② N / □, （ □ 0 ） ③
④
( 0)
高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.2 导数的概念教学设计 新人教A版选修2-2(2021年整
江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教学设计新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教学设计新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省苏州市高中数学第一章导数及其应用1.1.2 导数的概念教学设计新人教A版选修2-2的全部内容。
导数的概念一、教学内容及分析导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限,反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具,同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时,导数在物理学,经济学等领域都有广泛的应用,是开展科学研究必不可少的工具。
教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因,一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以,让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数,这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率,我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．二、教学目标及分析1．使学生认识到:当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数,并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求,体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建,使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．上述目标中，目标1是形成概念的基础，它提供了一个具体的导数模型．目标2是教学重点，是本节课要花近一半时间去完成的目标．目标3体现了算法思想,这是教学中应该充分重视的方面．目标4和5体现了数学育人的重要价值．三、教学问题诊断要使学生能通过观察发现运动的物体在某一时刻的平均速度的极限是一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度,一个非常难突破的问题就是大量平均速度的计算问题．为解决这个问题，在教学时为每个学生准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，利用这种计算器的CAS功能，可以在较短的时间内解决计算问题，从而使学生有更多的时间用于观察与发现．另外,从具体的模型中提炼出一般的概念的困难在于具体模型的数量，因此,设计本节课的教学时，在教材的基础上增加了计算跳水运动员瞬时速度的数目，以此大大方便了学生归纳与概括．四、教法特点及预期效果本节课在教学方法的选择上，充分尊重学生认知事物的基本规律，强调教师的启发与学生的参与度，给学生操作感知、观察发现的时间充分．由于技术的介入，大大方便了学生获得导数概念的表象，因此学生通过表象抽象出导数概念的过程自然到位，并且能帮助学生更准确地理解导数的本质．。
高等数学电子教案1
第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。
教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1. 1 映射与函数一、教学目的与要求：1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形。
二、重点：复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及图形。
难点: 复合函数及分段函数.自学:集合,映射三、主要外语词汇: Function and mapping四、辅助教学情况:多媒体课件第四版（修改）五、参考资料(资料):同济大学《高等数学》第五版一、集合1. 集合概念集合(简称集): 具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a ∈M . 集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }.描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅, a n }, M ={x | x 具有性质P }.例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集:N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. N +={1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={⋅ ⋅ ⋅, -n , ⋅ ⋅ ⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n , ⋅ ⋅ ⋅}.Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.},|{互质与且q p q Z p qp+∈∈=N Q子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ⊂B (读作A 包含于B )或B ⊃A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ⊂B 且B ⊂A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ⊂B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠⊂B . 例如, N ≠⊂Z ≠⊂Q ≠⊂R .不含任何元素的集合称为空集, 记作∅. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ⋃B , 即A ⋃B ={x |x ∈A 或x ∈B }.设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ⋂B , 即A ⋂B ={x |x ∈A 且x ∈B }.设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即A \B ={x |x ∈A 且x ∉B }.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合, 则(1)交换律A⋃B=B⋃A, A⋂B=B⋂A;(2)结合律(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C), (A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C);(3)分配律(A⋃B)⋂C=(A⋂C)⋃(B⋂C), (A⋂B)⋃C=(A⋃C)⋂(B⋃C);(4)对偶律(A⋃B)C=A C⋂B C, (A⋂B)C=A C⋃B C.(A⋃B)C=A C⋂B C的证明:x∈(A⋃B)C⇔x∉A⋃B⇔x∉A且x∉B⇔x∈A C且x∈B C⇔x∈A C⋂B C, 所以(A⋃B)C=A C⋂B C.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A⨯B, 即A⨯B={(x, y)|x∈A且y∈B}.例如, R⨯R={(x, y)| x∈R且y∈R }即为xOy面上全体点的集合, R⨯R常记作R2.3. 区间和邻域有限区间:设a<b, 称数集{x|a<x<b}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|a<x<b}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤x<b }、(a, b] = {x | a<x≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x < b } , (-∞, +∞)={x | | x | < +∞}.区间在数轴上的表示:邻域:以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).设δ是一正数, 则称开区间(a-δ, a+δ)为点a的δ邻域, 记作U(a, δ), 即U(a, δ)={x | a-δ< x < a+δ}={x | | x-a|<δ}.其中点a称为邻域的中心, δ称为邻域的半径.去心邻域οU(a, δ):οU(a, δ)={x |0<| x-a |<δ}二、函数1. 函数概念定义设数集D⊂R, 则称映射f : D→R为定义在D上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈D,其中x 称为自变量, y 称为因变量, D 称为定义域, 记作D f , 即D f =D . 注:（1）记号f 和f (x )的含义是有区别的, 前者表示自变量x 和因变量y 之间的对应法则, 而后者表示与自变量x 对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f (x ), x ∈D ”或“y =f (x ), x ∈D ”来表示定义在D 上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f . （2）函数符号: 函数y =f (x )中表示对应关系的记号f 也可改用其它字母, 例如“F ”, “ϕ”等. 此时函数就记作y =ϕ (x ), y =F (x ).（3）函数的两要素: 函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R 内, 因此构成函数的要素是定义域D f 及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.（4）函数的定义域: 函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例: 求函数412--=x xy 的定义域.解：要使函数有意义, 必须x ≠0, 且x 2 - 4≥0. 解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为D ={x | | x |≥2}, 或D =(-∞, 2]⋃[2, +∞]).(5)表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集{P (x , y )|y =f (x ), x ∈D }称为函数y =f (x ), x ∈D 的图形. 图中的R f 表示函数y =f (x )的值域. 2.单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个x ∈D , 对应的函数值y 总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x ∈D , 总有确定的y 值与之对应, 但这个y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x 和y 之间的对应法则由方程x 2+y 2=r 2 给出. 显然, 对每个x ∈[-r , r ]，由方程x 2+y 2=r 2,可确定出对应的y 值, 当x =r 或x =-r 时, 对应y =0一个值; 当x 取(-r , r )内任一个值时, 对应的y 有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x 2+y 2=r 2给出的对应法则中, 附加“y ≥0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≥0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支221)(x r x y y -==; 附加“y ≤0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≤0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支222)(x r x y y --==.3.分段函数:在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数. 注：（1）分段函数是一个函数，而不是两个函数。
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例8：利用定理1，判断分段函数在分段点的连续性。
例9：利用定理1，判断分段函数在分段点的连续性。
例10：（1）利用定理1和定义4，讨论分段函数的连续性及间断点的类别。
（2）利用定义4，判断复合函数间断点的类别。
例11：利用定理1，判断使分段函数在分段点连续的待定系数的值
授课单元
第一章函数、极限与连续：第九节函数的连续与间断
授课时间
授课地点
授课类型
理论课
教学要求
理解函数连续性（含左、右连续）的概念，会求函数的连续区间，会判断函数间断点的类型。
教学重点
函数连续性概念，判断间断点的类型。
教学难点
函数连续性的概念
教学内容分布
★ 引言
★函数的连续性★ 例1★ 例2
★左右连续
例4：利用定理1来求分段函数中的待定系数。
例5：利用定理1求满足条件时待定系数的值。
08、承前启后：总结前面讲授的主要内容，引出函数在区间内的连续的概念。
09、例题选讲：
例6：证明正弦函数在实数域上的连续性。
10、承前启后：分析函数在某点连续的充要条件，引出函数间断点的概念，并对间断点进行分类。
11、例题选讲：（选择2-4例）
★ 例3★ 例4★ 例5
★连续函数与连续区间★ 例6
★函数的间断点
★ 例7★ 例8★ 例9
★ 例10★ 例11★ 例12
★ 例13★ 例14★ 例15
★内容小结★课堂练习
★习题1-9
教学过程设计
01、本节引言：（观察一些自然现象，引入连续性的概念）
02、承前启后：（简述连续性的重要性及严格定义的发展过程，导出变量增量（或改变量）的概念和计算方法——定义1）
14、课外作业：根据教学要求，选择适量的习题或补充题。
例1：证明分段函数在分段点连续。
例2：证明单调增函数，若在定义区间的某点上极限存在，则在这点也连续。
06、承前启后：回顾左、右极限等于函数数值的情况，引出左、右连续的概念，阐述连续与左、右连续的关系——定理1，并强调定理1是判断分段函数在分段点处是否连续的重要方法。
07、例题选讲：（选择1-Байду номын сангаас例）
例3：讨论分段函数在分段点处的连续性。
例12：利用定理1和定义4，讨论分段函数的间断点情形。
例13：利用定理1和定义4，判断分段函数的间断点，并做适当修改使其在间断点连续。
例14：利用定理1和定义4，讨论含有待定常量的分段函数的连续性。
例15：根据变量的取值，讨论极限函数的连续性。
12、课堂小结：总结本节的主要内容和归纳解题方法。
13、课堂练习：根据教学情况，可在讲解例题之间或课堂小结安排适当的例习题。
03、函数的连续性：通过图形直观分析函数在某点连续和不连续的特征，并用数学解析式表示这种特征，导出定义2，并举例。
04、承前启后：为将定义2中的极限转化为熟知的形式，导出定义3，并说明判断函数在某点的连续性用定义3，证明函数的连续性用定义2.
05、例题选讲：（举两例（或补充一例）说明两种定义的应用）