用柯西收敛准则证明数列的敛散性(老黄学高数第77讲)
用确界原理证明柯西收敛准则
用确界原理证明柯西收敛准则柯西收敛准则是数列收敛的一个重要准则，它是由法国数学家柯西所提出的。
它的表述是：如果数列 ${a_n}$ 满足对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n,m>N$ 时，有 $|a_n-a_m|<varepsilon$，则称数列 ${a_n}$ 是柯西收敛的，或者称其为基本收敛的。
柯西收敛准则是收敛概念的一种等价表述，其证明可以通过极限的定义或确界原理等多种方式进行。
本文将以确界原理为基础，详细阐述柯西收敛准则的证明过程。
二、确界原理在证明柯西收敛准则之前，我们先来介绍一下确界原理。
确界原理是数学分析中的一个基本原理，它是指：非空有上界的实数集合必有上确界，非空有下界的实数集合必有下确界。
具体来说，如果实数集合 $S$ 非空且有上界，则存在一个实数$M$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xleq M$；这个实数 $M$ 被称为 $S$ 的上确界。
类似地，如果实数集合 $S$ 非空且有下界，则存在一个实数 $m$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xgeq m$；这个实数 $m$ 被称为 $S$ 的下确界。
在数学证明中，确界原理常常被用来证明一些重要定理，例如最大值定理、中值定理等。
三、柯西收敛准则的证明在进行柯西收敛准则的证明之前，我们先来说明一个引理：引理1：若数列 ${a_n}$ 满足对于任意 $nin mathbb{N}$，都有 $a_nleq a_{n+1}$，则 ${a_n}$ 收敛当且仅当 ${a_n}$ 有上界。
证明：设 ${a_n}$ 收敛于 $a$，则对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $|a_n-a|<varepsilon$。
因为 $a_nleq a_{n+1}$，所以 $a_Nleqa_{N+1}leq cdots leq a_nleq a$。
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。
以下是一些常见的方法和技巧：1.非负项级数的比较判别法：-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。
-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。
-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。
2.收敛级数的性质：-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。
-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。
3.交错级数的收敛性：-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。
4.幂级数的收敛性：- 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。
收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。
5.特殊级数的敛散性：-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。
- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。
6.柯西收敛准则：-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。
7.级数的整体性质：-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。
例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。
通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。
但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。
级数收敛的柯西准则
级数收敛的柯西准则级数收敛是数学中的一个重要概念，也是数学分析的经典问题之一。
在初学者学习级数时，最先学到的可能是级数的定义和判断方法，即一个级数是否收敛，还是发散。
而柯西准则则是判断一个级数是否收敛的重要方法之一。
下面我们就来介绍一下级数收敛的柯西准则。
一、什么是级数收敛的柯西准则在数学中，级数的定义是指无穷个数相加所形成的和。
例如，1+2+3+4+...就是一个级数。
当这个级数的和存在时，我们就称它有收敛的和，反之则称它为发散。
柯西准则，也称为柯西收敛准则，是判断一个级数是否收敛的方法之一。
柯西准则是由法国数学家柯西（Augustin Cauchy）提出的，几乎所有数学分析的教科书都会讲到它。
柯西准则的基本思想是，如果从某项开始，级数的后面所有部分的和都足够小，那么这个级数就是收敛的。
具体的说，柯西准则可以被表示为：对于级数a1+a2+a3+...，若对于任意正数ε，都存在正整数N，当n>N时有：∣an+1+an+2+...+an+m∣<ε那么级数a1+a2+a3+...就是收敛的。
二、柯西准则的证明要证明柯西准则，我们需要运用到数学分析中比较基本的两个定理：当级数收敛时，其收敛的值必须是唯一的；而当级数发散时，它的部分和会趋于无穷大。
假设级数a1+a2+a3+...收敛，那么我们可以定义Sn=a1+a2+a3+...+an，表示级数的前n项和。
由于级数收敛，所以Sn是有限的。
那么我们可以根据柯西准则的定义来计算：a(n+1)+a(n+2)+...+am < ε考虑在Sn之后把级数分成两段，即：S(n+m) - Sn = a(n+1) + a(n+2) + ... + am根据上述公式，我们可以得到：∣Sn+m - Sn∣ = |a(n+1) + a(n+2) + ... + am| < ε由于Sn和Sn+m都是有限数，所以它们之差也是有限数。
因此，我们可以得出级数的后面一部分的和是“趋于零的”，也就是说，它是“无限趋近于零的”。
柯西收敛定理
柯西收敛定理“柯西收敛原理”是数学分析中的一个重要定理之一，这一原理的提出为研究数列极限和函数极限提供了新的思路和方法。
在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。
在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy）获得了完善的结果。
下面我们将以定理的形式来叙述它，这个定理称为“柯西收敛原理”。
定理叙述：数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z 时，有|f(x)-f(y)|<ε成立此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。
证明举例：证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限证：对于任意的m,n属于正整数，m>n|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |当m-n为奇数时|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m=（1/n-1/m）→0由柯西收敛原理得{xn}收敛当m-n为偶数时|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0由柯西收敛原理得{xn}收敛综上{xn}收敛，即{xn}存在极限。
用柯西收敛准则证明数列收敛
用柯西收敛准则证明数列收敛1. 引言：数列收敛的魅力大家好，今天咱们来聊聊数列收敛这个话题，听上去有点高深，但其实它就像是一个老朋友，陪伴我们在数学的世界中游历。
想象一下，数列就像是一列火车，每一个车厢都是一个数。
当这列火车在轨道上稳定前进时，我们就说这个数列是收敛的。
而如果火车摇摇晃晃，东倒西歪，那就可能是发散了。
那么，怎么知道它究竟收敛没收敛呢？这里就不得不提到柯西收敛准则了。
今天就来给大家普及一下这个准则，让我们一起揭开这个神秘面纱吧！2. 柯西收敛准则的背景2.1 什么是柯西收敛准则？先给大家科普一下，柯西收敛准则是由一个叫做柯西的大哥提出来的，听起来是不是特别牛？这位大哥说，数列收敛的一个重要特征是：对于任意的小的正数 (epsilon)，总能找到一个足够大的自然数 (N)，使得对于所有的 (m, n > N)，都有 (|a_m a_n| < epsilon)。
这句话翻译成通俗话，就是说：如果数列收敛的话，那么它的后面那一大堆数字就得互相靠得很近，像是一群小伙伴在一起团结一致，互相抱团取暖。
2.2 为啥柯西收敛准则重要？那么，柯西大哥这条准则为什么如此重要呢？简单来说，它不需要知道数列的极限值是什么，只要能验证数列的“靠近度”，就能判断收敛性。
就像我们在生活中，朋友之间的关系，也不一定非要天天见面，只要彼此心灵相通，关系就会越来越紧密，对吧？所以，柯西收敛准则就像是为我们提供了一种新思路，解决了不少麻烦事儿。
3. 用柯西收敛准则证明数列收敛3.1 实际例子为了更直观地理解，我们可以用一个简单的数列来举个例子，假设我们有一个数列((a_n))，其中 (a_n = frac{1{n)。
大家一看就知道，随着 (n) 的增大，这个数列的值越来越小，最终会接近零。
我们想要证明它收敛，就得拿出柯西准则来过过招。
首先，我们得设定一个小小的 (epsilon)，比如说 (epsilon = 0.01)。
柯西收敛准则
《数学分析》观摩课教案 教学内容
柯西收敛准则
教学目的: 1. 理解柯西收敛准则; 2. 理解柯西收敛准则的充分性的证明方法及思想; 3. 掌握柯西收敛准则的应用. 教学重点: 对柯西收敛准则的理解及其应用. 教学难点: 柯西收敛准则的充分性的证明方法及思想. 教学方法: 探究式教学与启发式教学相结合. 教学时间: 45 分钟.
设问一 怎么叙述“极限 lim f ( x) 存在(或收敛)”类似的判定准则?
x →+∞
Hale Waihona Puke 第 1 页，共 6 页《数学分析》观摩课教案 (备注：其实质是将一个离散的结论，即数列的柯西收敛准则推广的连续的情形，见上图)
出现情况
应对策略 分析数列极限定义与函数极限定义二者的区别， 找到二者的异同, 引 导与启发学生直至写对为止.
作业: P96 10
第 6 页，共 6 页
n →∞
f ( an ) − b < ε .
若上面两个不等式同时成立, 则有
f ( x) − b < 2ε
(至此给出详细证明过程)
其余情形的柯西收敛准则
x→a+
lim f ( x), lim− f ( x), lim f ( x), lim f ( x) 情况的柯西收敛准则, 并给出其余五种情形的证
n →∞ x →a
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x : 0 < x − a < δ , 有 f ( x) − b < ε .
(仅供参考)柯西收敛准则
例3 设数列满足条件 : an1 an r n , n 1, 2,,
其中 r (0,1). 求证 {an}收敛.
证 an p an an1 an an2 an1 an p an p1
r n r n1
由于
lim
n
rn 1r
rn 0, 于是
p1
r n (1 r p ) 1r
定理1 对于级数 un, 将它的所有正项保留而
n1
将负项换为0, 组成一个级数记为 vn 将它
n1
的所以负项变号(乘上因子-1)而将正项换为0, 也组
成一个正项级数记 wn
n1
vn
un
un 2
un , un 0, un
0 0
wn
un
un 2
un , un 0 0, un 0
(1)若级数 un 绝对收敛, 则级数 vn wn 都收敛;
(
1
1 2
1
,
{ xn} 收敛 .
2
2016/6/14
二 函数极限的柯西收敛准则
lim
n
xn
a
xn f (n)
lim f (n) a
n
lim f ( x) A
x
当 n，m > N 时, 总有
当 n , m > N 时, 总有
当x1, x2 X时，
总有
lim f ( x) A
x x0
当0 x1 x0 ,
0 x2 x0 时，总有
lim f ( x) A
x x0
当0 x1 x0 ,
0 x2 x0 时，总有
lim f ( x)不存在
x x0
尽管
0 0
级数的柯西收敛准则
级数的柯西收敛准则我们首先需要了解什么是级数。
在数学中，级数就是一列数的和。
我们可以写成：S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...其中，a1、a2、a3...an等表示级数的项，而...表示无限多个项的和。
接下来，我们需要了解什么是柯西收敛准则。
柯西收敛准则是判断一列数或者一列函数是否收敛的准则。
柯西收敛准则的表述如下：对于一个无穷级数a1 + a2 + a3 + ... + an + ...，如果对于任何一个正数ε，存在一个正整数N，当n、m都大于N时，有|an + ... + am| < ε，则级数收敛；否则，级数发散。
可以看出，柯西收敛准则的核心在于判断级数的收敛性。
若满足柯西收敛准则，则这个级数收敛；反之这个级数就是发散的。
这个公式或者准则可以帮助我们来判断级数收敛的情况。
例如，假设我们有级数：S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n+ ...我们可以使用柯西收敛准则来判断这个级数是否收敛。
对于任意一个正数ε，存在一个正整数N，当n、m都大于N时，我们有|an+ ... + am| < ε。
我们需要证明的是，对于任何的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n、m都大于N时，有|an + ... + am| < ε成立。
首先，我们假设n > m，那么有：|an + ... + am| = 1/2^m + 1/2^(m+1) + ... + 1/2^n通过等比数列求和公式可以证明，上述式子的结果为：|an + ... + am| = (1/2^m)(1 - 1/2^(n-m+1))当n、m都大于N时，我们有 1/2^(n-m+1) < ε/(1/2^m) = 2^m ε。
因此，我们可以得到：|an + ... + am| < (1/2^m)(1 - 1/2^(n-m+1)) < (1/2^m)(1 -ε/2^m) < ε因此，我们可以得到当柯西收敛准则成立时，这个级数是收敛的。
柯西收敛准则与绝对收敛的判定
柯西收敛准则与绝对收敛的判定在数学分析中，收敛是一个十分重要的概念。
在讨论数列（或者函数）的极限值时，我们经常需要考虑该数列是否收敛，以及如何判断其收敛性。
在这个过程中，柯西收敛准则和绝对收敛是两个关键的概念。
一、柯西收敛准则柯西收敛准则是收敛性的一个基本准则。
它告诉我们，如果一个数列满足满足“任意小的正数都存在一个正整数N，使得当n,m>N时有|an-am|<ε”，那么这个数列就收敛。
这个定义可能有些抽象，我们可以通过一个例子来解释。
假设有一个数列an=1/1+1/2+…+1/n，我们要证明该数列收敛。
我们任取一个小数ε，不妨设ε=0.001。
现在我们要证明存在一个正整数N，当n,m>N时，有|an-am|<0.001。
具体地，我们可以这样做：首先，由于an是一个递增数列，所以我们取n>m，不妨设n=m+k（其中k是一个正整数）。
于是我们有：|an-am|=|(1/1+1/2+…+1/n)-(1/1+1/2+…+1/m)|=|1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/n|<=1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)下面我们用一个定理来证明这个式子小于0.001。
定理：对于任意一个正整数m，有1/2+1/3+…+1/m<=lnm证明：我们考虑一个递增的几何级数：1/2, 1/2^2, 1/2^3,…。
显然，该级数的和是1，即：1/2+1/2^2+1/2^3+…=1我们将每一项分别乘以2，得到：1+1/2+1/2^2+1/2^3+…=2令x=1/2，则上式为：1+x+x^2+x^3+…=2由于x<1，所以该级数在一般意义下收敛。
因此，我们可以对上式两边取极限，得到：1/(1-x)=2即：x=1/2因此，我们可以得到：1/2+1/2^2+1/2^3+…=11/3+1/4+1/5+…<=1/2+1/2^2+1/2^3+…=11/4+1/5+1/6+…<=1/3+1/4+1/5+…<=1/2……1/m+1/m+1/m+…<=ln(m-1)于是我们有：1/2+1/3+…+1/m<=lnm由此可得：1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)<=1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)<= 1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/m-1/(m+k)<=ln(m)-ln(m-k)接下来，我们再来证明一个常用的不等式：lnn>=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+…+((-1)^(n-1))*(1/n)证明：由于lnx=∑((-1)^(k-1))*(x-1)^k/k因此，ln(1+x)=x-1/2*x^2+1/3*x^3-1/4*x^4+…取x=1/2，得到：ln(3/2)=1/2-1/8+1/24-1/64+…因此，ln3>=2*(ln(3/2)+1/8+1/24+1/64+…)这是一个调和级数，可以证明级数收敛，因此这个式子有一个上界。
数列敛散性的判别法
数列的敛散性是数学分析中的重要内容，围绕数列极限是
否存 在 展 开，当 数 列 极 限 存 在 时 称 数 列 收 敛，反 之，称 数 列 发
散。收敛数列有很 多 性 质，包 括 数 列 极 限 的 唯 一 性，数 列 的 有
界性、保号性、保 不 等 式 性、迫 敛 性 等。另 外，我 们 可 以 应 用 单
５单调有界定理 定理 ３ 在实数系中，有界的单调数列必有极限。
例 ７ 证明数列极限存在并求其值：设 ａ１＝槡２，ａｎ＋１＝槡２ａｎ，
ｎ＝１，２，…。
证：ａ１＝槡２＜２，设 ａｎ＜２，则 ａｎ＋１＝槡２ａｎ＜２，所以{ａｎ} 有上界 ２，而 ａｎ＋１－ａｎ＝槡２ａｎ－ａｎ＝ａ槡ｎ２( ａ２ｎ－＋ａａｎ)ｎ＞０。
３．２．３头脑风暴———分析问题 头脑风暴是设计思维中分析问题常用的方法。它的原理 是通过刺激强化作用，无限制的自由联想和讨论，其目的在于 产生新观念或激发创新设想。头脑风暴的原则有 ５个：自由畅 想，延迟批判，以 量 求 质，综 合 改 善，限 时 限 人。 在 明 确 问 题 和 共享雨伞伞框草图绘制阶段，学生们都可以通过头脑风暴的方 法获得大量设想，并通过理论分析，确定最终设计方案。 ３．２．４原型制作———解决问题 “千万张图 纸 抵 不 过 一 个 原 型 ”。 原 型，是 最 终 产 品 的 雏 形，它是介于创意和产品之间的一个过程。原型可以是产品本 身，也可以是生产之前制作的与产品大小相同、用功能一致的 物体。设计者一旦进入到原型制作环节，就不得不开始思考该 原型的制作目的是什么、应用场景是什么、用什么方式表达、用 户如何与该原型进行交互等一系列新的问题，很多在前期设计 时没有考虑的细节就会一个接一个地浮出水面，从而促使设计 者在原型制作过程中不但要利用合适的介质将头脑中的设计 概念表达出来，还必须边做边想，应对制作出随时出现的新问 题。原型制作的形 式、材 料 可 以 多 元 化，伞 框 制 作 可 以 手 工 制 作，也可以通过计算机建模后 ３Ｄ打印出来。 ３．２．５测试———优化方案 测试是任何新产品在上市之前必须经历的阶段，因为新产 品很少有一次能成功的，大多都是在产品的发展过程中不断完 善，才能获得最后成功。测试是为了检验产品在结构和技术性 能方面能否达到预定的设计要求。测试的评价依据一般要根 据设计要求以及设计的原则来制定。共享雨伞伞框测试的依 据主要有创新、稳 定 性、美 观、安 全、环 境 适 应 性、规 格、防 水 能
级数柯西收敛准则
级数柯西收敛准则在数学的广袤天地中，级数是一个极其重要的概念，而柯西收敛准则则如同一位精准的裁判，为我们判断级数的收敛性提供了关键的标准。
要理解级数柯西收敛准则，首先得清楚什么是级数。
简单来说，级数就是把一堆数按照一定的顺序相加。
比如说，我们常见的无穷级数：＼（＼sum_{n=1}＾｛＼infty} a_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＼cdots\）。
那为什么我们要关心级数是否收敛呢？这是因为如果一个级数不收敛，它的和就会变得没有意义或者无法确定。
想象一下，你一直在不停地加数字，但永远也得不到一个确定的结果，这在很多实际问题中会带来极大的困扰。
这时，柯西收敛准则就登场了。
它的表述是：对于一个级数\（＼sum_{n=1}＾｛＼infty} a_n\），对于任意给定的正数\（＼epsilon\），存在正整数\（N\），使得当\（m,n ＞ N\）时，都有\（＼vert\sum_{k=n}＾｛m} a_k\vert ＜＼epsilon\）。
用通俗的话来解释，就是说不管你给出一个多么小的正数\（＼epsilon\），只要级数后面的项足够靠后（也就是\（n\）和\（m\）足够大），那么从第\（n\）项到第\（m\）项的这些数加起来的绝对值就会小于你给定的这个很小的\（＼epsilon\）。
柯西收敛准则的厉害之处在于，它不依赖于级数的具体形式，只通过这种对项之间关系的约束，就能判断级数是否收敛。
为了更深入地理解柯西收敛准则，我们来看几个例子。
先考虑一个收敛的级数，比如\（＼sum_{n=1}＾｛＼infty} ＼frac{1}｛n^2}＼）。
对于任意给定的\（＼epsilon\），我们可以通过一些数学技巧找到一个合适的\（N\），使得当\（m,n ＞ N\）时，＼（＼vert\sum_{k=n}＾｛m} ＼frac{1}｛k^2}＼vert ＜＼epsilon\）。
再看一个发散的级数，比如\（＼sum_{n=1}＾｛＼infty} n\）。
数列柯西收敛准则
柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。
柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。
充分性
由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一，所以用实数公理——戴德金定理证明{xn}收敛。
首先证明柯西序列是有界的。
根据柯西序列的定义，对任意ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε。
于是取m=N+1，则当n>N时，|xn-xN+1|<ε。
解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε，即当n>N时，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。
柯西收敛准则的3种不同证法
柯西收敛准则的3种不同证法柯西收敛准则是数学分析中用来判断无穷数列的收敛性的重要方法之一、柯西收敛准则指出，对于一个数列{an}来说，当对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n>N时，有，an - am，< ε成立，则该数列为柯西收敛数列。
证法一：基于序列收敛的定义根据数列收敛的定义，可以设该数列的极限为L，即lim(n->∞) an =L。
首先给定任意正数ε>0，由数列极限的定义，存在正整数N1，使得当n>N1时，有，an - L，< ε/2成立。
然后，由数列的极限定义，存在正整数N2，使得当m>N2时，有，am - L，< ε/2成立。
取N=max{N1, N2}，对于任意的n,m>N，根据三角不等式，有，an - am，≤ ，an - L， + ，am - L，< ε/2 + ε/2 = ε。
因此，数列{an}满足柯西收敛准则。
证法二：基于Cauchy-Schwarz不等式假设数列{an}满足柯西收敛准则。
给定任意正数ε>0，根据柯西收敛准则，存在正整数N，使得当n,m>N时，有，an - am，< ε。
根据Cauchy-Schwarz不等式，有，an - am，^2 ≤ (，an，^2 + ，am，^2)。
因此，有，an - am，< ε等价于，an - am，^2 < ε^2而，an - am，^2 = (an - am)^2 = an^2 - 2anam + am^2因此，有an^2 - 2anam + am^2 < ε^2整理得到an^2 + 2anam + am^2 < ε^2 + 4anam。
由于n,m>N，可令M=max{an, am}，则有an^2 + 2anam + am^2 <ε^2 + 4MN。
因此，当ε^2+4MN>0时，选择正整数N使得ε^2+4MN<ε^2/2得到N。
数列敛散性判定及求极限方法总结(老黄学高数第82讲)
设
=a，
=b.
记Sn=max{an,bn}，Tn=min{an,bn}，n=1,2,…
证明：(1)
=max{a,b}；(2)
=min{a,b}.
证：若a=b，则max{a,b}=min{a,b}=a，
记数列{Cn}：a1,b1,a2,b2…an,bn. 则
=a.
∵{Sn},{Tn}都是{Cn}的子列， ∴
(2)发散数列的ε-N定义： 设数列{an}，对任意的数a， 存在ε0>0，对任意的整数N>0，总有n0>N，使得 |an0-a|≥ε0，则{an}没有极限，称{an}为发散数列.
一、用定义判定： 2、数列极限与邻域相关的定义： 任给ε>0，若在U(a; ε)之外数列{an}的项 至多只有有限个，则称数列{an}收敛于极限a. (1)数列极限与邻域相关的否定定义： 若有ε0>0，使 {an}有无穷多项在U(a; ε0)之外， 则{an}不以a为极限。 (2)发散数列与邻域相关的定义： 若(1)中的a具有任意性，则{an} 是发散数列.
四、其它： 2、收敛数列前n项的算术平均数和几何平均数收敛； 3、利用极限e求相关数列的极限；
4、若an>0或an<0，且
…… 则{an}是无穷小数列.
五、发散数列的类型： 1、无界数列 (1)无穷大数列，如{n}, {(-1)nn}等； i 定向发散数列：包括 正无穷大数列，如{n}, 和负无穷大数列，如{-n}等； ii 不定向发散数列：如{(-1)nn}等. (2)无界非无穷大数列，如{n+(-1)nn}等；(不定向发散) 2、有界振荡数列，如{(-1)n}. 包含收敛于不同极限的子列，不定向发散.
二、数列收敛充要条件： 1、{an -a}为无穷小数列； 等价于{an}收敛于a. 2、{an}的任何非平凡子列都收敛； 且必收敛于同一极限. (1)若存在发散的非平凡子列，则{an}发散. (2)若存在极限不同的非平凡子列，则{an}发散.
柯西收敛准则的证明(老黄学高数第78讲)
老黄学高数
第78讲
柯西收敛准则的证明
(戴金德基本定理)： 将实数域任意分割成两个非空集A, A -. 设集A中任一元素小于集A -的每一元素，
则必产生实数β，使β是下组的最大值或上组的最小值.
A
A-敛的充要条件： ∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. 证：[必要性]设{an}收敛于η, 则∀ε>0，∃N， n,m>N时，有|an-η|<ε/2, |am-η|<ε/2, 则 |an-am|=|(an-η)-(am-η)|≤|an-η|+|am-η|<ε. 必要性得证！
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件：
∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. [充分性]设∀ε>0，∃N，使当n,m>N时，有|an-am|<ε. 取m’=N+1，则当n>N时，有|an-aN+1|<ε. 解得aN+1- ε<an<aN+1+ε，∴{an}有界.
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件：
∀ε>0，∃N，使得当n,m>N时，有|an-am|<ε. [充分性]已证{an}有界. 可设a<an<b (或a≤an≤b)， 存在某戴德金分割A, A-，使任一实数c满足
{an}中只有有限多个项落在(-∞,c)上时，A={c}. 对戴金德分界点η，有η-ε∈A， ∃m>N，使η-ε<am<η+ε， 又当m, n>N时，|an-am|<ε. 即有η-2ε<am-ε<an<am+ε<η+ε，∴{an}收敛于η.
柯西收敛原理
柯西收敛原理柯西收敛原理是数学分析中极为重要的一条定理，它在实数系和复数系中都有着广泛的应用。
柯西收敛原理是关于数列和函数收敛性的判定定理，它为我们研究数学问题提供了一个非常有力的工具。
本文将对柯西收敛原理进行详细的介绍和解析。
首先，我们来了解一下什么是柯西收敛原理。
柯西收敛原理是由法国数学家柯西在19世纪提出的，它是关于数列收敛的一个重要定理。
柯西收敛原理的内容是，对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n和m都大于N时，数列的第n项和第m项的差的绝对值小于ε。
这个定义可能有些抽象，我们可以通过具体的例子来理解。
举个例子，我们考虑一个数列an=1/n，即1, 1/2, 1/3, 1/4, ...。
我们想要证明这个数列是收敛的，即当n趋向于无穷大时，an趋向于某个极限值。
根据柯西收敛原理，我们需要证明对于任意给定的ε，存在正整数N，使得当n和m都大于N 时，|an am| < ε。
对于这个数列，我们可以通过严格的数学证明来得出结论。
另外一个重要的应用是柯西收敛原理在函数收敛性中的应用。
对于一个函数序列{fn(x)}，如果对于任意给定的ε，存在正整数N，使得当n和m都大于N时，|fn(x) fm(x)| < ε对于所有的x都成立，那么我们就可以说函数序列{fn(x)}在区间I上一致收敛。
这个结论对于我们研究函数的性质和极限具有非常重要的意义。
总结一下，柯西收敛原理是数学分析中的一个重要定理，它为我们研究数列和函数的收敛性提供了一个非常有力的工具。
通过柯西收敛原理，我们可以判定一个数列或者函数是否收敛，以及收敛的速度和方式。
这对于我们深入理解数学问题，解决实际问题具有非常重要的意义。
希望本文对柯西收敛原理有一个更深入的了解。
用柯西收敛准则证明数列的敛散性
用柯西收敛准则证明数列的敛散性要证明一个数列的敛散性，可以使用柯西收敛准则。
柯西收敛准则是数列敛散性的一个重要判定准则，它可以判断数列是收敛还是发散。
柯西收敛准则的表述如下：对于一个数列$\{a_n\}$，如果对于任意给定的正实数$\varepsilon>0$，存在正整数$N$，对于所有的$n,m>N$，都有$，a_n-a_m，<\varepsilon$成立，则数列$\{a_n\}$收敛。
我们可以使用柯西收敛准则来证明数列的敛散性。
首先，我们要证明一个数列的敛性。
假设有一个数列$\{a_n\}$，并且对于任意给定的正实数$\varepsilon>0$，存在正整数$N$，对于所有的$n,m>N$，都有$，a_n-a_m，<\varepsilon$成立。
我们要证明数列$\{a_n\}$收敛。
由柯西收敛准则的定义，我们要证明数列$\{a_n\}$收敛，就需要证明对于任意给定的正实数$\varepsilon>0$，存在正整数$N$，对于所有的$n>N$，都有$，a_n-L，<\varepsilon$成立，其中$L$为数列的极限。
考虑数列$\{a_n\}$，根据柯西收敛准则的定义，对于任意给定的正实数$\varepsilon>0$，存在正整数$N$，对于所有的$n,m>N$，都有$，a_n-a_m，<\varepsilon$成立。
由此可知，对于任意给定的正实数$\varepsilon>0$，当$n,m>N$时，有$，a_n-a_m，<\varepsilon$成立。
我们可以取$m=N+1$，那么对于$n>N$，我们就有$，a_n-a_{N+1}，<\varepsilon$。
由于$N+1$是一个正整数，所以我们可以取$L=a_{N+1}$作为数列的一个极限。
因此，可以证明对于任意给定的正实数$\varepsilon>0$，存在正整数$N$，对于所有的$n>N$，都有$，a_n-L，=，a_n-a_{N+1}，<\varepsilon$成立。
数项级数的柯西收敛原理
数项级数的柯西收敛原理
柯西收敛原理是数项级数收敛的重要原理之一，它同样适用于无穷级数的收敛判断。
柯西收敛原理的表述如下：
若数列${a_n}$满足对于任意正整数$k$，都存在正整数$N_k$，使得当$n,m>N_k$时，有
$$|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+k}|<\varepsilon_k,$$其中
$\varepsilon_k$是任意小的正数，则数列${a_n}$收敛。
该定理的直观解释是，如果对于任意大小的区间，级数中加和的结果都可以被控制在一定的差距范围内，则这个级数收敛。
注意到这里的柯西收敛原理仅能用于数项级数，而无法用于一般的函数级数。
对于一般的函数级数，还需要考虑一些其他的因素，比如单调性等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
| - |= ∴{an}发散.
>m0·
=ε0,
对柯西收敛准则的质疑：
数列{ln n}发散，但似乎满足柯西条件. 分析：∀ε>0， ∃N>0，使当n>N时， 对任意的自然数P，有
|ln(n+P)-ln n|=ln
<ε.
由柯西收敛准则知{ln n}收敛…？
问题出在哪里呢？
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件： 对任何ε>0，存在正整数N，使得当n,m>N时，有 |an-am|<ε. 柯西准则的条件称为柯西条件.
=0，∴∀ε>0， ∃N>0，使当n>N时，
<ε， ∴当n>N时，对任意的正整数P，有
|an+p-an|=|
|
由柯西收敛准则知{an}收敛.
1、应用柯西收敛准则，证明下列数列收敛.
(2)设an=1+
.
(2)对任给的ε>0，取m>n，要使
|am-an|=
只需取自然数N> ，则当m>n>N时， 有|am-an|<ε.由柯西收敛准则知{an}收敛.
| - |≥|sin
-sin |=1>ε0,∴{an}发散.
2、按柯西收敛准则叙述数列{an}发散的条件， 并用它证明下列数列{an}是发散的： (1)an=(-1)nn；(2)an=sin ；(3)an=1+ +….+ .
解：数列{an}发散的充要条件：存在ε0>0， 对任给的自然数N，有n0>m0>N，使| - |≥ε0. 证：(3)取ε0=1/2>0,∀自然数N,取n0=2m0=4N，则
| - |≥| |-| |=(N+2)-(N+1)=1>ε0,∴{an}发散.
2、按柯西收敛准则叙述数列{an}发散的条件， 并用它证明下列数列{an}是发散的： (1)an=(-1)nn；(2)an=sin ；(3)an=1+ +….+ .
解：数列{an}发散的充要条件：存在ε0>0， 对任给的自然数N，有n0>m0>N，使| - |≥ε0. 证：(2)取ε0=1/2>0,∀自然数N,取n0=4N+1,m0=4N，则
满足柯西条件
(即必收敛)，其中bk为0,1,2,…,9中的一个数，k=1,2… 证：记an= +…+ , 不妨设n>m，则∀ε>0，要使
|an-am|=
≤Leabharlann ==<ε.
只要取N=1/ε，则对一切n>m>N，有|an-am|<ε. 得证！
1、应用柯西收敛准则，证明下列数列收敛.
(1)设an=1+
.
证： (1) ∵
老黄学高数
第77讲 用柯西收敛准则
证明数列的敛散性
(柯西收敛准则)：数列{an}收敛的充要条件： 对任何ε>0，存在正整数N，使得当n,m>N时，有 |an-am|<ε. 柯西准则的条件称为柯西条件.
反之，若数列不满足柯西条件，则发散.
证明：任一无限十进制小数a=0.b1b2…bn… 的n位不足近似(n=1,2,…)所组成的数列：
<ε.
由柯西收敛准则知{an}收敛…？
当P≥n时， |ln(n+P)-ln n|=ln
≥ln2.
2、按柯西收敛准则叙述数列{an}发散的条件， 并用它证明下列数列{an}是发散的： (1)an=(-1)nn；(2)an=sin ；(3)an=1+ +….+ .
解：数列{an}发散的充要条件：存在ε0>0， 对任给的自然数N，有n0, m0>N，使| -
|≥ε0.
证：(1)取ε0=1/2>0,∀自然数N,取n0=N+2,m0=N+1，则
反之，若数列不满足柯西条件，则发散.
数列{an}发散的充要条件：存在ε0>0， 对任给的自然数N，有n0>m0>N，使| -
|≥ε0.
对柯西收敛准则的质疑：
数列{ln n}发散，但似乎满足柯西条件. 分析：∀ε>0， ∃N>0，使当n>N时， 对任意的自然数P，有
|ln(n+P)-ln n|=ln