计算机科学与技术本科-入学测试高等数学测试题

山西广播电视大学开放教育新生 入学测试高等数学测试题（第1套）

一、单项选择题 1．设函数)1(log )(2++

=x x x f a ，)1,0(≠>a a ，则该函数是（

）．

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既是奇函数又是偶函数

2．当0→x 时，下列变量中，无穷小量是 ( )．

A ．x

x sin

B ．)1ln(2

x + C ．x

1e D ．x

1sin

3. 设x

x f e

)(=，则x

f x f x ∆-∆+→∆)

1()1(lim

0=（ ）．

A . 2e

B . e

C . e 41

D . e 2

1

二、填空题

1．若函数x x x f 211)(++=，则=)1

(x

f

．

2．若函数)1ln()(x x f +=，则='')0(f

．

3．已知函数x x a x f 3sin 31sin )(+

=的驻点是3

π

=x ，则=a ．

得分 评卷人 三、计算题

1．)cos 1(

lim 20x x

x -→ 2．)1sin 1(

lim 0x

x x -→ 3．设23ln sin 2

+-+=x x x x y ，求y d ．

4．已知11

ln

)sin(=+-y

x xy ，求

d d =x x y ．

5．⎰+dx e e x

x

1 6．

x x x d sin 0

2⎰

π

7．求幂级数∑∞

=125

n n n

n x 的收敛半径．

四、应用题

要建造一个体积为125立方米的无盖圆柱形仓库，问其高和底半径为多少时用料最省？

五、证明题

试证：当1>x 时，有 e e x x

>成立．

高等数学入学测试题（第一套）答案

（供参考） 一、 单项选择题

1．A 2. B 3. D 二、填空题 1. 12++

x x 2. -1 3. 2

三、计算题

1．解： )cos 1(

lim 20

x

x

x -→=2

2

02sin 2lim x x

x →

=21]2

2sin

[21)2(2sin lim

21202

22

0lim ==→→x x

x x x

x

2．解：)1sin 1(

lim 0

x x x -→=)sin sin (lim 0x

x x x x -→ =x

x x x

x cos sin cos 1lim 0+-→

=x

x x x

x sin cos 2sin lim

0-→= 0

3．解：因为31ln cos 22

-++='x x x y

2ln cos 22

-+=x x x 所以 x x x x y d )2ln cos 2(d 2

-+=

4．解： 当0=x 时，由已知11

ln )sin(=+-y

x xy ，得e =y 因为在方程等号两边分别对x 求导，得 011])[cos(='

++-

'+y

y x y x y xy 将e ,0==y x 代入，得 0e

101]0e )[e 0cos(='

++-

'⋅+⨯y y 所以

20

e e d d -==x x

y

5．解：⎰⎰++=+)1(11

1x x x x e d e

dx e e ⎰=

+du u e x

1

1

C u +=ln C e x

++=)1ln( 6．解

x x x d sin 0

2⎰

π

=x x

x

d 2

2cos 10

⎰-π

=x x x x x d 2cos d [2100

⎰⎰-ππ

=⎰--ππ

π

000

2

]2sin 2sin (2

12

1[21xdx x x x

=π

π0

2

)2cos 21

(414x -+=

42π 7．解：因为 n

n n a a 1lim

+∞→=n

n n n n 51

5)1(1

lim 21

2⋅⋅++∞→ =5

1

5)1(lim 22=

⋅+∞→n n n 所以原幂级数的收敛半径为：5 （6分）

四、应用题（本题12分）

解：当表面积S 最小时用料最省。设高为h 米， 底半径为r 米，则 S=rh r ππ22

+ 因为体积V=125,所以有：2

2h V

h V h r ππ=

⇒= r

V

r S 22+

=∴π 0222=-=∴r V r dr dS π 得3

π

V

r =就是最小点，相应的3

3

2

2

2

π

πππV

V

V

r

V

h ===

,5

125

3

3

π

π

=

=∴r ,5

125

3

3

π

π

=

=∴h 时用料最省。

五、证明题

证：设e e )(x x f x

-= 因为 e e )(-='x x f

当1>x 时，0)(>'x f ，即)(x f 单调增加. 有