方程与不等式组知识点总结教程文件
高中数学知识点总结线性方程与不等式
高中数学知识点总结线性方程与不等式高中数学知识点总结：线性方程与不等式一、线性方程线性方程是指最高次项的次数为1的方程，形如ax + b = 0。
1. 解一元一次线性方程的基本步骤：a. 对方程进行化简，将所有常数项移到等号的右边，变量项移到等号的左边；b. 合并同类项，使方程化为形如cx = d的标准形式；c. 根据等式两边相等的性质，得出变量的解。
2. 方程的解的类型：a. 如果方程有唯一解，说明图像是一条斜率为正数或负数的直线；b. 如果方程有无穷多解，说明图像是一条斜率为0的水平线；c. 如果方程没有解，说明图像是一条平行于x轴的直线，与x轴平行但不相交。
3. 线性方程组：a. 如果有两个或多个线性方程同时成立，称为线性方程组；b. 线性方程组可用消元法或代入法等方法求解；c. 解的个数与方程组中的方程个数及方程组的性质有关。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指最高次项的次数为1的不等式，形如ax + b > 0。
1. 解一元一次不等式的基本步骤：a. 对不等式进行化简，将所有常数项移到不等号的右边，变量项移到不等号的左边；b. 合并同类项，使不等式化为形如cx > d的标准形式；c. 根据不等式的性质进行判断，得出变量的解区间。
2. 不等式的解的类型：a. 开区间解表示不等号两边不包括临界值；b. 闭区间解表示不等号两边包括临界值；c. 无解表示不等式在实数范围内不存在解。
3. 不等式的图解法：a. 将不等式表示为一条直线或曲线；b. 根据不等式的性质，画出图像，并标出解的范围；c. 判断是否包括临界值，来确定解的类型。
三、二元一次方程与不等式二元一次方程是指两个变量的最高次项的次数为1的方程，形如ax + by + c = 0。
1. 解二元一次方程的基本步骤：a. 将方程化简为标准形式，即ax + by = c；b. 可使用代入法或消元法求解方程组；c. 得出两个变量的解。
第2讲 方程（组）与不等式（组）（解析）
第2讲 方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么b c2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．【典例】例1如果3m＝3n，那么下列等式不一定成立的是（）A．m﹣3＝n﹣3B．2m+3＝3n+2C．5+m＝5+n D．m−3=n −3【解答】解：A、由3m＝3n得m＝n，两边都减去3得m﹣3＝n﹣3，原变形正确，故此选项不符合题意；B、3m＝3n两边都加上2得3m+2＝3n+2，原变形错误，故此选项符合题意；C、由3m＝3n得m＝n，两边都加上5得5+m＝5+n，原变形正确，故此选项不符合题意；D、由3m＝3n得m＝n，两边都除以﹣3得m−3=n−3，原变形正确，故此选项不符合题意；故选：B．【方法总结】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式；性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以一个不为0的数），所得结果仍是等式．例2解方程：（1）2﹣3（x﹣1）＝2（x﹣2）；（2）．【解答】解：（1）2﹣3（x﹣1）＝2（x﹣2），去括号，得2﹣3x+3＝2x﹣4，移项，得﹣3x﹣2x＝﹣4﹣2﹣3，合并同类项，得﹣5x＝﹣9，系数化为1，得x＝；（2），去分母，得3（3x+2）＝15﹣5（2x﹣1），去括号，得9x+6＝15﹣10x+5，移项，得9x+10x＝15+5﹣6，合并同类项，得19x＝24，系数化为1，得x＝．【方法总结】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．例3若方程12﹣3（x+1）＝7﹣x的解与关于x的方程6﹣2k＝2（x+3）的解相同，求k的值．【解答】解：∵12﹣3（x+1）＝7﹣x，∴12﹣3x﹣3＝7﹣x，∴2＝2x，∴x＝1，把x＝1代入6﹣2k＝2（x+3）得6﹣2k＝8，∴k＝﹣1．【方法总结】本题考查了同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．例4若方程2（2x﹣1）＝3x+1与关于x的方程2ax＝（a+1）x﹣6的解互为倒数，求a的值．【解答】解：解方程①得，x＝3，方程②的解为x＝，代入得，解得a＝﹣17．【方法总结】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．例5我市某区为鼓励毕业大学生自主创业，经过调研决定：在2021年对60名自主创业的大学生进行奖励，共计奖励50万元．奖励标准是：大学生自主创业连续经营一年以上的给予5000元奖励；自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的，再给予1万元奖励．问：该区自主创业大学生中连续经营一年以上的和自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生分别有多少人？【解答】解：50万＝500000元，设自主创业且连续经营一年以上的大学生有x人，自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生有（60﹣x）人，根据题意得：5000x +10000（60﹣x ）＝500000， 解得：x ＝20，则60﹣x ＝60﹣20＝40（人），答：自主创业且连续经营一年以上的大学生有20人，自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生有40人．【方法总结】本题考查一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．例6两辆汽车从相距80km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km /h ，半小时后两车相遇？ （1）两车的速度各是多少？ （2）两车出发几小时后相距20km ？【解答】解：（1）设乙车的速度为xkm /h ，则甲车速度为（x +20）km /h ， 根据题意得：（x +x +20）×12=80， 解得：x ＝70， ∴x +20＝70+20＝90，则甲车速度为90km /h ，乙车速度为70m /h ； （2）设两车出发y 小时相距20km ， 当两车没有相遇时相距20km ， 根据题意得：（70+90）y +20＝80， 解得：y =38；当两车相遇后相距20km ， 根据题意得：（70+90）y ＝80+20， 解得：y =58，综上，两车出发38小时或58小时后相距20km ．【方法总结】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．【随堂练习】1．在下列方程的变形中，正确的是（ ） A ．由2x +1＝3x ，得2x +3x ＝1 B ．由25x =34，得x =34×52C ．由2x =34，得x =32D ．由−x+13=2，得﹣x +1＝6 【解答】解：A 、由2x +1＝3x 得2x ﹣3x ＝﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意； B 、由25x =34得x =34×52，原变形正确，故此选项符合题意；C 、由2x =34得x =38，原变形错误，故此选项不符合题意； D 、由−x+13=2得﹣x ﹣1＝6，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B ． 2．解方程：（1）3x +2＝4（2x +3）； （2）﹣1．【解答】解：（1）去括号得：3x +2＝8x +12， 移项得：3x ﹣8x ＝12﹣2， 合并得：﹣5x ＝10， 解得：x ＝﹣2；（2）去分母得：2（5y ﹣9）＝3（3y ﹣1）﹣6， 去括号得：10y ﹣18＝9y ﹣3﹣6， 移项得：10y ﹣9y ＝﹣3﹣6+18， 合并得：y ＝9． 3．某同学在解关于y 的方程﹣＝1去分母时，忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y ＝10． （1）求a 的值； （2）求方程正确的解．【解答】解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12， 则原方程变为3（3y ﹣a ）﹣2（5y ﹣7a ）＝1， ∵方程的解为y ＝10，代入得3（30﹣a ）﹣2（50﹣7a ）＝1．解得a＝1．（2）将a＝1代入方程﹣＝1，得﹣＝1，解得y＝﹣1，即原方程的解为y＝﹣1．4．已知关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，求m的值．【解答】解：因为关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，所以解方程3x﹣2＝﹣4，得x=−2 3，把x=−23代入2（x﹣1）＝3m﹣1，得2（−23−1）＝3m﹣1，解得m=−7 9．5．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表：每月用水量单价（元）不超过23立方米的部分m超过23立方米的部分m+1.1（1）某用户4月份用水10立方米，共交费26元，求m的值；（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费82元，请问该用户5月份用水多少立方米？【解答】解：（1）依题意得：10m＝26，∴m＝2.6，答：m的值为2.6；（2）∵23×2.6＝59.8＜82，∴该用户5月份用水超过23立方米，设该用户5月份用水x立方米，根据题意得：23×2.6+（2.6+1.1）•（x﹣23）＝82，解得x＝29，答：该用户5月份用水为29立方米．知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即242ab b ac -±-.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. )0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠221,2440)b b ac x b ac -±-=-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x（3）<0一元二次方程没有实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1若关于x 的方程（m +1）x |m |+1+x ﹣3＝0是一元二次方程，求m 的值． 【解答】解：∵关于x 的方程（m +1）x |m |+1+x ﹣3＝0是一元二次方程， ∴，解得m ＝1．【方法总结】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），特别要注意a ≠0的条件． 例2解方程：9（x ﹣1）2＝16（x +2）2．【解答】解：两边直接开平方，得：3（x ﹣1）＝±4（x +2）， 即3x ﹣3＝4x +8或3x ﹣3＝﹣4x ﹣8， 解得：x ＝﹣11或x ＝﹣．【方法总结】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2＝a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 例3用配方法解方程：x 2﹣8x +13＝0．ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax 20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x移项，得：x2﹣8x＝﹣13，配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，即（x﹣4）2＝3，开方，得：x﹣4＝±，∴x1＝+4，x2＝﹣+4．【方法总结】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程．例4若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，求k的取值范围．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1且k≠0．【方法总结】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．例5岳池县是电子商务百强县，某商店积极利用网络优势销售当地特产—西板豆豉．已知每瓶西板豆豉的成本价为16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．为了回馈广大顾客，该商店现决定降价销售（销售单价不低于成本价）．经市场调查反映：若销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶．（1）当销售单价降低1元时，每天的销售利润为360元；（2）为尽可能让利于顾客，若该商店销售西板豆豉每天的实际利润为350元，求西板豆豉的销售单价．【解答】解：（1）（20﹣16﹣1）×[80+20×（1÷0.5）]＝360（元）．答：如果销售单价降低1元，那么每天的销售利润为360元．故答案为：360；（2）设销售单价降低x元，则每瓶的销售利润为20﹣16﹣x＝（4﹣x）元，每天的销售量为80+20×＝（80+40x）瓶，依题意，得：（4﹣x）（80+40x）＝350，解得：x1＝1.5，x2＝0.5，又∵为尽快减少库存，∴x＝1.5，∴20﹣x＝18.5，答：西板豆豉的销售单价为18.5元．【方法总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系：每天的销售利润＝每瓶的销售利润×日销售量是解决问题的关键．例6在学校劳动基地里有一块长40米、宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积为741平方米，小道的宽为多少米？【解答】解：设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长（40﹣x）米，宽（20﹣x）米的矩形，依题意得：（40﹣x）（20﹣x）＝741，整理得：x2﹣60x+59＝0，解得：x1＝1，x2＝59．又∵20﹣x＞0，∴x＜20，∴x＝1．答：小道的宽为1米．【方法总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【随堂练习】1．解方程：（1）（x﹣1）2﹣＝0；（2）2x2+8x﹣1＝0．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣＝0，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝或x﹣1＝﹣，解得x1＝，x2＝﹣；（2）2x2+8x﹣1＝0，x2+4x＝，x2+4x+4＝+4，即（x+2）2＝，则x+2＝±，∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．2．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝k2+8，∵不论k取何实数，k2≥0，∴k2+8＞0，即b2﹣4ac＞0，∴不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为β，∴2β＝﹣2，∴β＝﹣1，∴另一个根为﹣1．3．惠友超市于今年年初以25元/件的进价购进一批商品．当商品售价为40元/件时，一月份销售了256件．二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了400件．（1）求二、三月份销售量的月平均增长率．（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价1元，销售量增加5件．当每件商品降价多少元时，商场获利4250元？【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，则256（1+x）2＝400，解得：x1＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去），答：二、三月份销售量的月平均增长率是25%；（2）设降价y元，（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，整理得：y2+65y﹣350＝0，解得：y1＝5，y2＝﹣70（不合题意，舍去），答：当商品降价5元时，商场当月获利4250元．4．如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．（1）这个无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm；（用含x的式子表示）（2）若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，求x的值．【解答】解：（1）∵纸板是长为20cm，宽为13cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm．故答案为：（20﹣2x）；（13﹣2x）．（2）依题意，得：（20﹣2x）（13﹣2x）＝144，整理，得：2x2﹣33x+58＝0，解得：x1＝2，x2＝14.5（不合题意，舍去）．答：x的值为2．知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1解方程：（1）＝﹣2．（2）＝．【解答】解：（1）＝﹣2，原方程化为：＝﹣2，方程两边都乘2（x﹣1），得2x＝3﹣4（x﹣1），解得：，检验：当时，2（x﹣1）≠0，所以x＝是原分式方程的根，即原分式方程的解是x＝；（2）＝，原方程化为：＝，方程两边都乘（2x+1）（2x﹣1），得2（2x+1）＝4，解得：，检验：当时，2x﹣1＝0，所以x＝是原方程的增根，即原方程无解．【方法总结】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．例2用换元法解方程(xx+1)2+5(x x+1)+6=0时，若设xx+1=t，则原方程可化为关于t的一元二次方程是t2+5t+6＝0．【解答】解：把xx+1=t代入方程(x x+1)2+5(x x+1)+6=0，得t2+5t+6＝0．故答案为：t2+5t+6＝0．【方法总结】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．例3定义一种新运算“⊗”，规则如下：a⊗b＝，（a≠b2），这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3＝＝﹣．求x⊗（﹣2）＝1中x的值．【解答】解：根据题中的新定义化简得：＝1，即＝1，去分母得：x﹣4＝1，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x﹣4≠0，∴分式方程的解为x＝5．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，弄清题中的新定义是解本题的关键．例4疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A 、B 两种型号机器人搬运原料．已知A 型机器人每小时搬运的原料比B 型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B 型机器人搬运2400千克所用时间与A 型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．【解答】解：设B 型机器人每小时搬运xkg 原料，则A 型机器人每小时搬运（12x +50）kg原料， 依题意，得：2400x=200012x+50， 解得：x ＝150，经检验，x ＝150是原方程的解，且符合题意， ∴12x +50＝125．答：A 型机器人每小时搬运125kg 原料，B 型机器人每小时搬运150kg 原料．【方法总结】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 例5 2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，由于新冠疫情加重，当地加强了防控措施，对外出进行限制，小伟有更多的时间待在家里，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？【解答】解：设小伟原计划每天做x 页数学寒假作业，则做作业的效率提高后每天做2x 页的数学寒假作业， 依题意，得：﹣（5+）＝6，解得：x ＝2，经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意． 答：小伟原计划每天做2页数学寒假作业．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 例6要在规定天数内修筑一段公路，若让甲队单独修筑，则正好在规定天数内按期完成；若让乙队单独修筑，则要比规定天数多8天才完成．现在由乙队单独修筑其中一小段，用去了规定时间的一半，然后甲队接着单独修筑2天，这段公路还有一半未修筑．若让两队共同再修筑2天，能否完成任务？【解答】解：设甲队x 天完成任务，则乙队（x +8）天完成任务， 由题意得：×+＝，解得：x ＝8，检验得：x ＝8是原方程的根，则2×（+）＝＜，答：若让两队再共同修筑2天，不能完成任务．【方法总结】此题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【随堂练习】1．用换元法解方程x−1x=3x x−1−2时，设x−1x=y ，换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为 y 2+2y ﹣3＝0 ． 【解答】解：x−1x=3x x−1−2时，设x−1x=y ，则原方程化为：y =3y −2， y 2＝3﹣2y ， y 2+2y ﹣3＝0，故答案为：y 2+2y ﹣3＝0． 2．解方程： （1）＝；（2）﹣3．【解答】解：（1）去分母得：x +2（x ﹣2）＝x +2，去括号得：x+2x﹣4＝x+2，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝3；（2）去分母得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），去括号得：1＝x﹣1﹣3x+6，解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，∴x＝2是增根，分式方程无解．3．若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．【解答】解：去分母，得：m+2（x﹣3）＝x+3，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0或x+3＝0，即x＝±3，把x＝3代入整式方程，可得：m＝6，把x＝﹣3代入整式方程，可得：m＝12，综上，可得：方程的增根是x＝±3，方程产生增根时m＝6或12．4．虎林西苑社区在扎实开展党史学习教育期间，开展“我为群众办实事”活动，为某小区铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．【解答】解：设原计划每天铺设管道x米．由题意，得：﹣＝2，解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的解．且符合题意．答：原计划每天铺设管道60米．5．某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动．已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天，求A、B两班每天各植树多少棵？【解答】解：设B班每天植树x棵，那么A班每天植树1.5x棵，依题意，得3001.5x =240x−2，解之得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解则当x＝20时，1.5x＝30．答：A班每天植树30棵，B班每天植树20棵．知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1下列方程中，是二元一次方程的是（）A．xy＝2B．3x＝4y C．x+1y=2D．x2+2y＝4【解答】解：A、是二元二次方程，故本选项不符合题意；B、是二元一次方程，故本选项符合题意；C、不是整式方程，故本选项不符合题意；D、是二元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【方法总结】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．例2解方程组：（1）；（2）．【解答】解：（1），①+②×2，得11x＝﹣11，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入②，得y＝2，故方程组的解为；（2）方程组整理，得，②×2﹣①，得5x＝10，解得x＝2，把x＝2代入②，得6﹣2y＝6，解得y＝0，故方程组的解为．【方法总结】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．例3已知方程组与有相同的解，求m和n值．【解答】解：由已知可得，解得，把代入剩下的两个方程组成的方程组，得，解得m＝﹣1，n＝﹣4．【方法总结】解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义，考查了学生对题意的理解能力． 例4糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？【解答】解：设竹签有x 根，山楂有y 个， 由题意得：{5x +4=y 8(x −7)=y ，解得：{x =20y =104，答：竹签有20根，山楂有104个．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．例5中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某种药材种植基地欲将一批150吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙两种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示：车型 甲 乙 运载量（吨/辆） 10 12 运费（元/辆）700720若全部中药材用甲、乙两种车型一次性运完，需支付运费9900元，问甲、乙两种车型各需多少辆？【解答】解：设甲种车型需x 辆，乙种车型需y 辆， 根据题意得：，解得：，答：甲种车型需9辆，乙种车型需5辆．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．【随堂练习】1．如果3x 3m﹣2n﹣4y n﹣m+12＝0是关于x 、y 的二元一次方程，那么m 、n 的值分别为（ ） A ．m ＝2，n ＝3 B ．m ＝2，n ＝1C ．m ＝﹣1，n ＝2D ．m ＝3，n ＝4【解答】解：∵3x 3m ﹣2n﹣4y n﹣m+12＝0是关于x 、y 的二元一次方程，∴{3m −2n =1n −m =1， 解得：{m =3n =4，故选：D ．2．如果方程组{ax −by =134x −5y =41与{ax +by =32x +3y =−7有相同的解，则a ，b 的值是（ ）A ．{a =2b =1B ．{a =2b =−3C ．{a =52b =1D ．{a =4b =−5【解答】解：由已知得方程组{4x −5y =412x +3y =−7，解得{x =4y =−5，代入{ax −by =13ax +by =3，得到{4a +5b =134a −5b =3，解得{a =2b =1．故选：A ．3．解方程组：．【解答】解：，①+②×2得：13x ＝26，即x ＝2， 把x ＝2代入②得：y ＝4， 则方程组的解为．4．列二元一次方程组解应用题：小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？【解答】解：设小颖上坡用了x 分钟，下坡用了y 分钟， 依题意得：{x +y =1680x +200y =1880，解得：{x =11y =5．答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟．5．某市要在A ，B 两景区安装爱心休闲椅，它有长条椅和弧形椅两种类型，其中每条长条椅可以同时供3人使用，每条弧形椅可以同时供5人使用．（列二元一次方程组解答） （1）市政府现在要为B 景区购买长条椅120条，弧形椅80条，若购买一条长条椅和一条弧形椅的价格共360元，为B 景区购买共花费了32800元，求长条椅和弧形椅的单价分别为多少元？（2）现决定从某公司为A 景区采购两种爱心休闲椅共400条，且正好可让1400名游客同时使用，求A 景区采购的长条椅和弧形椅分别为多少条？ 【解答】解：（1）设长条椅的单价为x 元，弧形椅的单价为y 元， 依题意得：，解得：．答：长条椅的单价为100元，弧形椅的单价为260元． （2）设A 景区采购长条椅m 条，弧形椅n 条， 依题意得：，解得：．答：A 景区采购长条椅300条，弧形椅100条．知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜； （2）若＞，＞0则＞ （或＞ ）； （3）若＞，＜0则 ＜ （或＜ ）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号 、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④a b a c c b +a b c ac bc c a c b a b c ac bc c a cbax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x。
第二单元 方程(组)与不等式(组)知识点汇总整理
第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程3.增根使分式方程中的分母为0的根即为增根. 例：若分式方程11x=-有增根，则增根为1.第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了。
初中数学方程与不等式知识点总结
初中数学方程与不等式知识点总结方程和不等式是初中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和数学运算中都有着广泛的应用。
接下来，让我们一起系统地梳理一下这部分的知识点。
一、方程（一）一元一次方程1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。
一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（＄a ＼neq 0$，＄a$，＄b$为常数）。
2、解法：（1）移项：把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。
（2）合并同类项：将同类项进行合并，化简方程。
（3）系数化为 1：方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。
例如：解方程$3x ＋ 5 ＝ 14$移项得：＄3x ＝ 14 5$合并同类项得：＄3x ＝ 9$系数化为 1 得：＄x ＝ 3$（二）二元一次方程组1、定义：由两个含有两个未知数，且未知数的次数都是 1 的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
2、解法：（1）代入消元法：将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。
例如：解方程组$＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼ x y ＝ 1\end{cases}＄由第一个方程得：＄x ＝ 5 y$，将其代入第二个方程得：＄5 y y ＝ 1$＄5 2y ＝ 1$＄－2y ＝－4$＄y ＝ 2$将$y ＝ 2$代入$x ＝ 5 y$得：＄x ＝ 3$所以方程组的解为$＼begin{cases}x ＝ 3 ＼＼ y ＝ 2\end{cases}＄（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。
方程与不等式的解法例题和知识点总结
方程与不等式的解法例题和知识点总结在数学的学习中，方程与不等式是非常重要的内容，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解方程与不等式的解法，并对相关知识点进行总结。
一、方程的解法方程是含有未知数的等式，求解方程的目的就是找出未知数的值，使得等式成立。
1、一元一次方程形如 ax ＋ b ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元一次方程。
例：解方程 3x ＋ 5 ＝ 14解：首先，将常数项移到等号右边：3x ＝ 14 5，即 3x ＝ 9然后，将系数化为 1：x ＝ 9 ÷ 3，解得 x ＝ 3知识点总结：解一元一次方程的一般步骤为：去分母（若有）、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。
2、二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。
例：解方程组x ＋ y ＝ 5 ①2x y ＝ 1 ②解：①＋②得：3x ＝ 6，解得 x ＝ 2将 x ＝ 2 代入①得：2 ＋ y ＝ 5，解得 y ＝ 3所以方程组的解为 x ＝ 2，y ＝ 3知识点总结：解二元一次方程组的基本思想是消元，常用方法有代入消元法和加减消元法。
3、一元二次方程形如 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元二次方程。
例：解方程 x² 4x ＋ 3 ＝ 0解：因式分解得：（x 1)（x 3) ＝ 0所以 x 1 ＝ 0 或 x 3 ＝ 0解得 x₁＝ 1，x₂＝ 3知识点总结：一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。
求根公式为 x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a）。
二、不等式的解法不等式是用不等号表示两个数或表达式之间关系的式子。
1、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式叫做一元一次不等式。
例：解不等式 2x 1 ＜ 5解：移项得：2x ＜ 5 ＋ 1，即 2x ＜ 6系数化为 1 得：x ＜ 3知识点总结：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。
初中数学方程与不等式知识点总结
初中数学方程与不等式知识点总结方程与不等式是初中数学中重要的内容，是学习数学的基础知识之一。
本文将总结方程与不等式的基本概念、解题方法和常见应用，以帮助初中生更好地掌握这些知识点。
一、方程的基本概念与解法1. 方程的定义：方程是由等号连接的两个代数式构成的等式。
方程中未知量的值称为方程的解。
2. 一元一次方程：形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数且a ≠ 0。
一元一次方程只有一个未知数。
3. 解一元一次方程的步骤：a) 将方程化简为形式ax = b；b) 通过等式两边的运算，将未知数的系数系数化为1；c) 通过等式两边的运算，求出未知数的值。
4. 一元二次方程：形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数且a ≠ 0。
一元二次方程有一个未知数的平方项。
5. 解一元二次方程的步骤：a) 通过因式分解、配方法或求根公式将方程简化为形式(x - p)(x - q) = 0；b) 令(x - p)(x - q) = 0，解得x = p或x = q；c) 通过解方程求得的解，验证原方程的等式是否成立。
二、不等式的基本概念与解法1. 不等式的定义：不等号连接的两个代数式构成的式子。
不等式的解是使不等式成立的值或数值范围。
2. 一元一次不等式：形如ax + b > 0或ax + b < 0的不等式，其中a和b是已知数且a ≠ 0。
3. 解一元一次不等式的步骤：a) 将不等式化简为形式ax > b或ax < b；b) 通过对不等式两边的运算，得到未知数的范围。
4. 一元二次不等式：形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是已知数且a ≠ 0。
5. 解一元二次不等式的步骤：a) 通过因式分解、配方法或求根公式将不等式简化为形式(ax - p)(ax - q) > 0或(ax - p)(ax - q) < 0；b) 列出不等式(ax - p)(ax - q) > 0或(ax - p)(ax - q) < 0的解集；c) 通过解不等式求得的解集，验证原不等式是否成立。
(完整版)方程与不等式的知识点梳理
方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。
也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
方程和不等式知识点总结
方程和不等式知识点总结一、一元一次方程和一元一次不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指未知数的次数为一次的方程，一般形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的常用方法有整理法、等价变形法和代入法。
整理法是指将方程中含有未知数的项移到一个方程的一侧，不含未知数的项移到另一侧，以此来简化方程的形式；等价变形法是指通过一些等价变形，使方程的解易于得到；代入法是指将一个变量表示成另一个变量的函数，然后将它代入方程中，从而解得未知数的值。
解得一元一次方程的解后，需要进行检验，以确保解是正确的。
2. 一元一次不等式一元一次不等式是指未知数的次数为一次的不等式，一般形式为ax+b>0或ax+b<0。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，但是要注意当不等式中含有乘法或除法时，对不等式两边的符号要进行取反。
二、一元二次方程和不等式1. 一元二次方程一元二次方程是指未知数的次数为二次的方程，一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解一元二次方程的常用方法有配方法、公式法和因式分解法。
配方法是指通过变形，使得方程左侧成为一个完全平方的形式，然后通过提取平方根的方法解得未知数的值；公式法是指利用求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，解得方程的根；因式分解法是指将方程右侧化成(product-sum)型的二项式，然后再通过整理方程的形式来解得未知数的值。
2. 一元二次不等式一元二次不等式是指未知数的次数为二次的不等式，一般形式为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。
解一元二次不等式的方法和解一元二次方程类似，但是要注意当不等式中含有乘法或除法时，对不等式两边的符号要进行取反。
三、二元一次方程和不等式1. 二元一次方程二元一次方程是指含有两个未知数的方程，一般形式为ax+by=c。
解二元一次方程的方法有代入消元法、加减消元法和等价变形法。
方程组与不等式组知识点总结
方程组与不等式组知识点总结一、方程组。
1. 二元一次方程组。
- 定义。
- 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
把两个含有相同未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程，一个一元一次方程）联立起来，组成的方程组叫做二元一次方程组。
例如x + y=5 2x - y = 1。
- 解法。
- 代入消元法。
- 步骤：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，如对于方程组y = 2x - 3 3x+2y = 8，由第一个方程y = 2x - 3，将y代入第二个方程得3x+2(2x - 3)=8，然后解这个一元一次方程求出x的值，再把x的值代入y = 2x - 3求出y的值。
- 加减消元法。
- 步骤：当方程组中两个方程的同一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相减或相加，消去这个未知数，得到一个一元一次方程。
例如对于方程组3x+2y = 11 5x - 2y = 13，将两个方程相加得(3x + 2y)+(5x - 2y)=11 + 13，即8x=24，解得x = 3，再把x = 3代入3x+2y = 11求出y的值。
2. 三元一次方程组。
- 定义。
- 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组成的方程组叫做三元一次方程组。
例如x + y+z = 6 2x - y+z = 3 3x + 2y - z=4。
- 解法。
- 思路是通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程求解。
例如先消去z，可以将第一个方程x + y+z = 6与第三个方程3x + 2y - z = 4相加得到4x+3y = 10，再将第一个方程x + y+z = 6与第二个方程2x - y+z = 3相减得到-x + 2y=3，这样就得到了一个二元一次方程组4x + 3y=10 -x+2y = 3，然后用二元一次方程组的解法求解。
高考数学复习知识点讲解教案第5讲 一元二次方程、不等式
[解析] 由 + 1 2 − ≥ 0,得 + 1)( − 2 ≤ 0,
故原不等式的解集为{| − 1 ≤ ≤ 2}.
2
若关于的不等式
6.
−∞, 1
+ 2 + 1 < 0有实数解，则的取值范围是___________.
[解析] 当 = 0时，不等式为2 + 1 < 0，有实数解，满足题意；
≤ 0,即 3 − 2 − 3 ≤ 0,且 − 3 ≠ 0,
2
3
≤<3 .
（2）
不等式组0 <
2
[−2, −1) ∪ (2,3]
− − 2 ≤ 4的解集为___________________.
［思路点拨］（2）解两个一元二次不等式0 <
2
−−
2
2和
− − 2 ≤ 4,
然后求交集.
例4
是(
对任意的 ∈ 1,4
D
A.[1, +∞)
2
，不等式
− 2 + 2 > 0恒成立，则实数的取值范围
)
B.
1
,1
2
［思路点拨］ 分离参数得 >
1,4 上的最大值即可.
1
C.[ , +∞)
2
2−2
对任意的
2
∈ 1,4
D.
1
, +∞
2
2−2
恒成立，则求出 2 在区间
[解析] ∵ 对任意的 ∈ 1,4
数进行分类讨论，若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论.
②若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版(带答案)
高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结归纳完整版单选题1、已知x,y,z都是正实数，若xyz=1，则(x+y)(y+z)(z+x)的最小值为（）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.由x>0,y>0,z>0可知x+y≥2√xy>0（当且仅当x=y时等号成立）y+z≥2√yz>0（当且仅当y=z时等号成立）x+z≥2√xz>0（当且仅当x=z时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得(x+y)(y+z)(z+x)≥8√x2y2z2=8（当且仅当x=y=z=1时等号成立）故选：D2、已知2<a<3，−2<b<−1，则2a−b的范围是（）A．(6,7)B．(5,8)C．(2,5)D．(6,8)答案：B分析：由不等式的性质求解即可.2<a<3,−2<b<−1，故4<2a<6，1<−b<2，得5<2a−b<8故选：B3、下列命题中，是真命题的是（）A．如果a>b，那么ac>bc B．如果a>b，那么ac2>bc2C．如果a>b，那么ac >bcD．如果a>b，c<d，那么a−c>b−d答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误； 对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误； 对于C ，如果c <0，那么ac <bc ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确. 故选：D.4、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x(x ≥1)，所以x +4x≥2√x ×4x=4，当且仅当x =4x即x =2时等号成立.所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4. 故选：C.5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合， 故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.6、已知x ∈R ，则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的（ ）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要 答案：C分析：先证充分性，由（x −2）(x −3）≤0 求出x 的取值范围，再根据x 的取值范围化简|x −2|+|x −3|即可，再证必要性，若|x −2|+|x −3|=1，即|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|，再根据绝对值的性质可知（x −2）(x −3）≤0．充分性：若（x −2）(x −3）≤0，则2≤x ≤3， ∴|x −2|+|x −3|=x −2+3−x =1，必要性：若|x −2|+|x −3|=1，又∵|（x −2）−（x −3）|=1， ∴|x −2|+|x −3|=|（x −2）−（x −3）|， 由绝对值的性质：若ab ≤0，则|a |+|b |=|a −b|， ∴（x −2）(x −3）≤0，所以“（x −2）(x −3）≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的充要条件， 故选：C ．7、若非零实数a ，b 满足a <b ，则下列不等式成立的是（ ） A ．ab <1B ．ba +ab >2C ．1ab 2<1a 2b D ．a 2+a <b 2+b 答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A ，B ，D ，对于C ，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C8、若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是（）A．a+c<b+c B．1a <1bC．ac>bc D．b−a>c答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b⇒ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b⇒b−a>0，c>0，所以无法判断b−a与c大小，D选项错误.多选题9、若−1<a<b<0，则（）A．a2+b2>2ab B．1a <1bC．a+b>2√ab D．a+1a>b+1b答案：AD分析：应用作差法判断B、D，根据重要不等式判断A，由不等式性质判断C.A：由重要不等式知：a2+b2≥2ab，而−1<a<b<0，故a2+b2>2ab，正确；B：由−1<a<b<0，则1a −1b=b−aab>0，故1a>1b，错误；C：由−1<a<b<0，则a+b<0<2√ab，错误；D ：(a +1a )−(b +1b )=a −b +1a −1b =a −b +b−a ab=(a −b)(ab−1ab)>0，故a +1a >b +1b ，正确.故选：AD10、设a >0，b >0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+1>a B ．a 2+9>6aC ．(a +b )(1a +1b )≥4D ．(a +1a )(b +1b )≥4 答案：ACD分析：选项A ，B 可用作差法比较大小；选项C ，D 可用基本不等式求范围. 由(a 2+1)−a =(a −12)2+34>0可得a 2+1>a ，故A 正确；由(a 2+9)−6a =(a −3)2≥0可得a 2+9≥6a ，故B 错误；由(a +b )(1a +1b )=2+ab +ba ≥2+2√ab ⋅ba =4，当且仅当a =b 时取等号，故C 正确； 由(a +1a )(b +1b )=(ab +1ab )+(ab +ba )≥2√ab ⋅1ab +2√ab ⋅ba =4， 当且仅当{ab =1ab a b =b a ，即a =b =1时取等号，故D 正确. 故选：ACD.11、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a 、b 、c ∈R ，则下列命题正确的是（ ）A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a +1b <b +1a C ．若a <b <c <0，则ba <b+ca+c D ．若a >0，b >0，则b 2a +a 2b≥a +b答案：BCD解析：取c =0可判断A 选项的正误；利用作差法可判断BCD 选项的正误. 对于A 选项，当c =0时，则ac 2=bc 2，A 选项错误；对于B 选项， (a +1b )−(b +1a )=(a −b )+(1b −1a )=(a −b )+a−b ab=(a −b )(1+1ab )，∵a <b <0，a −b <0，ab >0，∴1+1ab >0，则(a +1b )−(b +1a )<0，B 选项正确； 对于C 选项，ba −b+ca+c =b (a+c )−a (b+c )a (a+c )=c (b−a )a (a+c )，∵a <b <c <0，则b −a >0，a +c <0，则ba −b+ca+c <0，C 选项正确； 对于D 选项，(b 2a +a 2b)−(a +b )=b 2−a 2a+a 2−b 2b=(b 2−a 2)(1a −1b )=(b 2−a 2)(b−a )ab=(b+a )(b−a )2ab，∵a >0，b >0，则(b 2a +a 2b)−(a +b )=(b+a )(b−a )2ab≥0，D 选项正确.故选：BCD.小提示：判断不等式是否成立，主要利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简便． 填空题 12、不等式x 2+2x−3x+1≥0的解集为__________．答案：[−3,−1)∪[1,+∞) 分析：将x 2+2x−3x+1≥0等价转化为{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解不等式组可得答案.原不等式等价于{x 2+2x −3≥0x +1>0 或{x 2+2x −3≤0x +1<0，解得x ≥1 或−3≤x <−1 ， 所以答案是：[−3,−1)∪[1,+∞)13、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值. 设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12， 所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32， 因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.14、已知集合A={x|−5<−2x+3<7},B={x|x2−(3a−1)x+2a2−a<0} ,若B⊆A，则实数a的取值范围为______．答案：[−12,5 2 ]分析：分类讨论解不等式，再利用集合的包含关系列式求解作答.依题意，B={x|(x−a)(x−2a+1)<0}，当a<2a−1，即a>1时，B=(a,2a−1)，当a=2a−1，即a=1时，B=∅，当a>2a−1，即a<1时，B=(2a−1,a)，又A=(−2,4)，B⊆A，于是得{a>12a−1≤4，解得1<a≤52，或{a<12a−1≥−2，解得−12≤a<1，而∅⊆A，则a=1，综上得：−12≤a≤52，所以实数a的取值范围为[−12,52 ]．所以答案是：[−12,5 2 ]解答题15、实数a、b满足-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.(1)求实数a、b的取值范围；(2)求3a-2b的取值范围．答案：(1)a∈[-2,3]，b∈[-72,3 2 ](2)[-4,11]分析：（1）由a=12[(a+b)+(a-b)]，b=12[(a+b)-(a-b)]根据不等式的性质计算可得；（2）求出3a-2b=12(a+b)+52(a-b)，再利用不等式的性质得解.（1）解：由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，则a=12[(a+b)+(a-b)]，所以-4≤(a+b)+(a-b)≤6，所以-2≤12[(a+b)+(a-b)]≤3，即-2≤a≤3，即实数a的取值范围为[-2,3]．因为b=12[(a+b)-(a-b)]，由-1≤a-b≤4，所以-4≤b -a ≤1，所以-7≤(a +b )-(a -b)≤3， 所以-72≤12[(a +b )-(a -b)]≤32，∴-72≤b ≤32，即实数b 的取值范围为[-72,32]．（2）解：设3a -2b =m (a +b )+n(a -b)=(m +n )a +(m -n)b ， 则{m +n =3m -n =-2 ，解得{m =12n =52 ，∴3a -2b =12(a +b )+52(a -b )， ∵-3≤a +b ≤2，-1≤a -b ≤4． ∴-32≤12(a +b )≤1，-52≤52(a -b )≤10， ∴-4≤3a -2b ≤11，即3a -2b 的取值范围为[-4,11]．。
方程和不等式知识点总结
方程和不等式知识点总结方程的基本概念和解法方程的定义方程是含有一个或多个未知数的等式，利用方程可以表示数值关系，并求出未知数的值。
方程的解方程的解是使得方程等式两边相等的未知数的值。
方程的解可以分为实数解和复数解。
一元一次方程的解法一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程。
解一元一次方程可以使用如下步骤： 1. 将方程化为标准形式：ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。
2. 对方程两边施加逆运算，将未知数x从等式中解出。
3. 检验解是否满足原方程。
一元二次方程的解法一元二次方程是指含有一个未知数的二次方程。
解一元二次方程可以使用如下步骤： 1. 将方程化为标准形式：ax2+bx+c=0，其中a，b和c为已知数，x为未知数。
2. 判断方程的判别式D=b2−4ac的值。
- 如果D<0，方程无实数解。
-如果D=0，方程有唯一实数解$x = -\\frac{b}{2a}$。
- 如果D>0，方程有两个不等实数解。
不等式的基本概念和解法不等式的定义不等式是一个含有不等于符号的数学表达式，用于表示两个数之间的大小关系。
不等式的解不等式的解是使得不等式成立的数值范围。
不等式的解可以是实数解或整数解，也可以表示为不等式的区间。
一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。
解一元一次不等式可以使用如下步骤： 1. 将不等式化为标准形式：ax+b>0或ax+b<0，其中a和b为已知数，x为未知数。
2. 根据不等式的符号判定，找出使得不等式成立的数值范围。
一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。
解一元二次不等式可以使用如下步骤： 1. 将不等式化为标准形式：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b和c为已知数，x为未知数。
2. 判断不等式的判别式D=b2−4ac的值。
- 如果判别式D<0，不等式的解集为空集。
第2章+一元二次函数、方程和不等式知识点汇总
《人教A版必修一知识点汇总》第2章《一元二次函数、方程和不等式》知识点汇总2.1 等式性质与不等式性质1.实数的大小比较（1）方法一：数轴法（优点是形象生动）（2）方法二：作差法（优点是快捷方便，并且适合一切实数比较大小）当 a ∈ R ,b ∈ R 时a −b >0⟺ a > ba −b <0⟺ a < ba − b=0 ⟺ a = b作差法：比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为考察它们的差是正数、负数、或零，这种比较大小的方法称为作差比较法.（3）方法三：作商法（优点是快捷方便，并且只适合两个正数比较大小）当 a＞0 ,b ＞0 时a>1 ⟺ a >bba<1 ⟺ a <bba=1 ⟺ a =bb作商法：比较两个正数的大小，可以转化为考察它们的商是大于1、小于1、或等于1，这种比较大小的方法称为作商比较法.2.不等式的性质（1）性质1（可加性）如果a > b, 那么 a±c > b±c；（2）性质2（可乘性）① 如果 a > b，c＞0,那么 ac > bc 或ac >bc;②如果 a > b，c＜0,那么 ac ＜ bc 或ac <bc.（3）性质3 （传递性)如果 a ＞ b ,b ＞ c , 那么 a ＞ c；（4）性质4（对称性） a > b ⟺ b < a ；（5）性质5 （可移性） a+b > c ⇔ a > c − b ；（6）性质6（同向可加性）如果a＞b ,c＞d ,那么 a+c ＞b+d；（7）性质7（同向同正可乘性）如果 a > b >0,c > d >0 ，那么 ac > bd.（8）性质8（同向同正可乘方性）如果 a > b > 0,n ∈N∗ ,那么 a n>b n;（9）性质9（同正可开方性）如果 a > b > 0,n ∈N∗ , 那么√a n>√b n;（10）性质10（同号可倒性）如果 ab > 0,且 a > b , 那么1a <1b;2.2《基本不等式》1.基本不等式对于 ∀ a >0 ,b > 0 ，都有√a2+b22≥a+b2≥√ab≥21a+1b(当且仅当a=b 时等号成立）注1：a+b2叫正数 a 与 b 的算术平均数，√ab叫正数 a 与 b 的几何平均数；注2：基本不等式通常用于求解与两个正项相关的最值问题，且在实际运用中，通常变形为对于 ∀ a > 0,b > 0 ,都有a+b ≥2 √ab(当且仅当a=b 时等号成立）2.实例运用例1.已知x > 0 , 求x +1x的最小值.解：∵ 已知x > 0,∴ 1x>0∴ 据基本不等式可得x +1x ≥2√x ∙1x=2（当且仅当x =1x（即x=1）时等号成立）故x +1x的最小值为2例5.已知 x>0 ,y >0,且1x +9y=1,求 x+y 的最小值.解：∵ 已知1x +9y=1∴ x+y=（x+y) ( 1x +9y=1)=yx+9xy+10又∵ 已知x>0 ,y >0∴ yx >0，9xy>0∴ yx +9xy≥2√yx∙9xy=2√9=6y x +9xy+10≥6+10（可加性）即x+y≥16(当且仅当yx =9xy，即y=3x 时等号成立)故x+y 的最小值为16.2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式的概念像x2−7x+6>0这样，含有一个未知数，并且含有未知数项的最高次数为2的不等式，就称为一元二次不等式.其一般式为ax²+bx+c > 0 (a ≠ 0)注：上面一般式中的“＞”也可以换成“＜”，“≥”或“≤”.2.一元二次不等式的图解法三作图一 化二解 四答（1）典例讲解:解不等式 −x 2+2x >−3解:原一元二次不等式等价于x 2−2x −3 <0∵∆=b 2−4ac =(−2)2−4×1×(−3)=16>0解一元二次方程 x 2−2x −3 =0 可得x 1=−1,x 2=3又∵二次项系数a =1>0二次函数y =x 2−2x −3的图像如图所示由上图可知不等式 x 2−2x −3 <0的解集为 {x | −1< x < 3}即原不等式的解集为{x | −1< x < 3}（2）一元二次不等式的图解法小结①一化：将原不等式化成一般式，即ax²+bx +c > 0 (a ≠ 0)或ax²+bx +c < 0 (a ≠ 0)的形式，其中二次项系数a >0；②二解：判断∆=b 2−4ac 的符号，并利用配方法、公式法、因式分解法求出一元二次方程ax²+bx +c = 0 的实数根（x =−b±√b 2−4ac 2a）； ③三作图:根据二次函数y =ax²+bx +c (a > 0)的图像与x 轴的位置关系确定一元二次不等式ax²+bx +c > 0 (a ≠ 0)或ax²+bx +c < 0 (a ≠ 0)的解集.④四答:通常要将不等式的解集用数集或区间来表示.（3）实例运用例1 看图口答.①不等式x²−2x−3 >0的解集为{ x | x＜−1 或 x＞3 } ；②不等式x²−2x−3 ≤0的解集为{ x | −1≤x≤3 } ；③不等式x²−2x−3 >0的解集为{ x | x≤−1 或 x≥3 } ；例2 求不等式9x2−6x+1>0的解集.解：∵ 已知9x2−6x+1>0∴ a=9 ,b=−6 ,c=1又∵ ∆=b2−4ac=(−6)2−4×9×1=0∴解一元二次方程9x2−6x+1=0可得x=13又∵二次项系数 a=9>0，∴可得二次函数y=9x2−6x+1的图像如图所示：由图可知原一元二次不等式的解集为{ x | x≠1}3例3 求不等式−x2+2x−3>0的解集.解：原不等式−x2+2x−3>0可化为x2−2x+3< 0∴ a=1 ,b=−2 ,c=3又∵ ∆=b2−4ac=(−2)2−4×1×3=−8<0∴ 一元二次方程 x2−2x+3=0没有实数根又∵二次项系数 a=1>0，∴可得二次函数 y=x2−2x+3的图像如图所示：由图可知一元二次不等式 x2−2x+3< 0的解集为 ∅故原一元二次不等式−x2+2x−3>0的解集为∅。
解方程与不等式知识点总结
解方程与不等式知识点总结一、解一元一次方程1. 一元一次方程的定义：形如ax + b = 0的方程，其中a、b为已知数，x为未知数。
2. 解一元一次方程的步骤：a. 将方程中的常数项移到方程左边，得到ax = -b。
b. 如果a不等于0，将方程两边同时除以a，得到x = -b/a。
c. 如果a等于0，则无解或为恒等式，需要根据具体情况判断。
二、解一元二次方程1. 一元二次方程的定义：形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
2. 利用二次方程的求根公式解一元二次方程：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
a. 如果判别式(b^2 - 4ac)大于0，则方程有两个不相等的实根；b. 如果判别式等于0，则方程有两个相等的实根；c. 如果判别式小于0，则方程无实根，为复数解。
三、解简单的一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义：形如ax + b > 0或ax + b < 0的不等式，其中a、b为已知数，x为未知数。
2. 解一元一次不等式的步骤：a. 将不等式中的常数项移到不等式左边，得到ax > -b或ax < -b。
b. 如果系数a为正数，则不等号方向不变，解为x > -b/a或x < -b/a。
c. 如果系数a为负数，则不等号方向取反，解为x < -b/a或x > -b/a。
d. 如果不等式中有等号，则解为对应的不等号的等于情况。
四、解复合的一元一次不等式1. 复合的一元一次不等式：由多个一元一次不等式组成的不等式。
2. 解复合的一元一次不等式的步骤：a. 将复合不等式改写为多个简单的一元一次不等式；b. 分别解每个简单的一元一次不等式；c. 根据题目要求，将解的范围进行合并，得到最终的解集。
五、解一元高次不等式1. 一元高次不等式指数为大于等于2的不等式，如x^2 + 3x > 0。
方程和不等式总结
方程和不等式总结方程（Equation）方程是数学中的一个重要概念，描述了两个数、变量或表达式之间的相等关系。
方程可以分为一元方程和多元方程。
一元方程（Single-variable equation）一元方程是指只含有一个未知数的方程，通常用变量x表示。
一元方程的一般形式为：ax + b = 0，其中a和b是已知常数，且a ≠ 0。
求解一元方程的基本方法是通过逆运算将方程转化为x = 解的形式。
常用的逆运算有加减法、乘除法、开方等。
二元方程（Two-variable equation）二元方程是指含有两个未知数的方程，通常用两个变量x和y表示。
二元方程的一般形式为：f(x, y) = 0，其中f表示某个函数。
求解二元方程需要使用二元方程组的方法，通过联立两个方程，消元求解出未知数的取值。
不等式（Inequality）不等式是描述数之间大小关系的数学工具。
不等式可以分为一元不等式和多元不等式。
一元不等式（Single-variable inequality）一元不等式是指只含有一个未知数的不等式，通常用变量x表示。
一元不等式的一般形式为：ax + b > c，其中a、b和c是已知常数，且a ≠ 0。
求解一元不等式的基本方法是找到所有使得不等式成立的x的取值范围。
根据不等式的符号可以采用不同的求解策略，如加减法、乘除法、绝对值等。
二元不等式（Two-variable inequality）二元不等式是指含有两个未知数的不等式，通常用两个变量x和y表示。
二元不等式的一般形式为：f(x, y) > 0，其中f表示某个函数。
求解二元不等式需要使用二元不等式组的方法，通过联立两个不等式，找到使不等式组成立的变量取值范围。
方程和不等式的应用方程和不等式在数学中有着广泛的应用，也是其他学科的基础和工具。
以下列举一些常见的应用场景：物理学中的运动问题在物理学中，经常需要通过方程来描述物体的运动状态。
(word完整版)中考方程(组)与不等式(组)知识点汇总,推荐文档
1、方程含有未知数的等式叫做方程。
2、等式的性质性质（1）若a=b，则a________＝ｂ________。
性质（2）若a=b，则a________＝ｂ________；a________＝ｂ________。
３、一元一次方程满足一元一次方程的条件①_____________________________②____________________________ ③____________________________。
解一元一次方程的步骤：①_________________②____________________③__________________ ④______________________⑤___________________。
４、二元一次方程组1、二元一次方程满足二元一次方程的条件①_____________________________②____________________________③____________________________。
2、二元一次方程组的解法①_____________________________②____________________________不等式的概念1、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
考试题型：一元一次不等式1、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
最新届中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结及经典考题选编
中考数学方程(组)与不等式（组）复习知识点总结一、方程【知识梳理】1、知识结构方程分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式，根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程2、知识扫描(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。
(2)含有2个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1次，这样的方程叫二元一次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.(4)二元一次方程组的解法有法和法.(5)只含有1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为)0(02a cbx ax。
(6)解一元二次方程的方法有：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法例：（1）042x（2）0342x x（3）4722x x （4）0232x x(7)一元二次方程的根的判别式：ac b42叫做一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程)0(02a cbx ax当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根；反之也成立。
(8)一元二次方程的根与系数的关系：如果)0(02acbx ax的两个根是21,x x 那么ab x x 21，ac x x 21(9)一元二次方程)0(02a cbx ax的求根公式：)04(2422ac baacb bx(10)分母中含有未知数的方程叫分式方程.(11)解分式方程的基本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程.◆解分式方程的步骤◆1、去分母，化分式方程为整式方程；◆2、解这个整式方程；◆3、验根。
注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．(2)因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验，检验是解分式方程必要的步骤．二、不等式【知识梳理】1、知识结构解法性质概念不等式2、知识扫描(1) 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0 的不等式，叫做一元一次不等式。
方程式不等式组知识点总结
方程式不等式组知识点总结一、方程式与不等式组的基本概念1. 方程式的定义：方程式是含有未知数的等式，通常用来表示未知数之间的关系。
一般形式为a1x1+a2x2+...+anxn=b，其中a1,a2,...,an,b为已知数，x1,x2,...,xn为未知数。
2. 不等式组的定义：不等式组是含有未知数的不等式组合，通常用来表示多个不等式之间的关系。
一般形式为a1x1+a2x2+...+anxn≤b，a1x1+a2x2+...+anxn≥b，其中a1,a2,...,an,b为已知数，x1,x2,...,xn为未知数。
3. 方程式与不等式组的联系：方程式和不等式组都涉及未知数和已知数之间的关系，但方程式要求两边相等，而不等式组要求两边的关系为大于等于、小于等于或不等于。
二、方程式与不等式组的解法1. 方程式的解法：常见的方程式的解法包括：分解因式法、配方法、移项化简法、等价变形法、代数法等。
对于一元二次方程，还可以利用求根公式或配方法进行求解。
2. 不等式组的解法：常见的不等式组的解法包括：图解法、试位法、化简法、换元法、代数法等。
具体的解法选择取决于不等式组的具体形式和条件。
三、方程式与不等式组的性质1. 方程式的性质：方程式有唯一解、无解、无穷多解等性质。
一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac的正负表明了方程的解的性质。
2. 不等式组的性质：不等式组的解空间通常为一条直线、一个平面或一个空间。
不等式组的解也可以是唯一解、无解或无穷多解。
四、方程式与不等式组在实际问题中的应用方程式与不等式组在实际问题中有着广泛的应用，比如在物理学、化学、经济学、工程学等领域都有着重要的作用。
例如，用方程式和不等式组可以求解最优化问题、求解最短路径问题、求解加速度、速度等物理问题、求解投资策略、生产策略等经济问题。
五、方程式与不等式组的求解技巧和注意事项1. 求解技巧：在求解方程式和不等式组时，需要熟练掌握各种解法，并根据题目的具体条件和形式选择合适的解法。
方程组与不等式组知识点
第二章方程〔组〕与不等式(组)方程与方程组解法总结一元一次方程等式两边同时加上或减去或乘以或除以〔不为0〕一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程的解法(1〕配方法(2)分解因式法(3)公式法解一元二次方程的步骤：〔1〕配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法〔这里指的是分解因式中的公式法〕或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4〕韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之与=-a b ，二根之积=a c也可以表示为1x +2x =-a b ,21x x =ac 。
利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用5〕一元一次方程根的情况利用根的判别式I 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II 当△=0时，一元二次方程有2个一样的实数根；III 当△<0时，一元二次方程没有实数根〔在这里，学到高中就会知道，这里有2个虚数根〕难点提示: 1.一元二次方程的根的判别式：△=b 2+4ac ，当△>0 方程有两个不相等的实数根；当△=0 时 方程有两个相等的实数根；当△<0 方程没有实数根。
2.根与系数的关系：假设一元二次方程2ax +bx+c=0〔a≠0〕的两根为12,x x ，那么1x +2x =- a b ，1x 2x ·= ac 。
反过来，以12,x x 为根的一元二次方程是(x-1x )(x-2x )=0，展开代入两根与与两根积，仍得到方程 2ax +bx+c=0〔a≠0〕。
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方程与不等式组知识点总结方程与不等式组知识点总结方程与方程组一、一元一次方程的概念1、方程含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，( ) 叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b 是常数项。
二、一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式 ( )它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中( )叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c 叫做常数项。
三、一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如( )的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，( )是b的平方根，当( )时，( ) ，( )，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式( )，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有( )。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程( )( )的求根公式：( )4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
四、一元二次方程根的判别式根的判别式一元二次方程( )中，( ) 叫做一元二次方程 ( )的根的判别式，通常用“( )”来表示，即( )五、一元二次方程根与系数的关系如果方程( )的两个实数根是( )( )，，那么( )，( )。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
六、分式方程1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
七、二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（）2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
3、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法6、三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。
7、三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。
不等式（组）一、不等式的概念1、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法二、不等式基本性质）1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x 项的系数化为1四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
方程（组）与不等式（组）单元检测一、填空题深邃1．若代数式13x x +-的值等于13，则x ＝ ． 2．方程x x 21)32(2-=-与方程)1(28+=-x a x （a 是常数）有相同的解，则a 的值是 ．3．已知二元一次方程组 23,32x y x y +=-=的解满足21x my -=-，则m 的值为 ．4．满足不等式)1(3x -≤)9(2+x 的负整数解是 ．5．已知3=x 是方程122-=--x a x 的解，那么不等式31)52(＜x a -的解集是 .6．若二次三项式5)1(222+++-k x k x 是一个完全平方式，则k ＝ .7．已知方程0242=--k x x 的一个根为α，比另一根β小4，则βα、、k 的值分别为 ．8．若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，那么方程04)(2=+++c x b a cx 的根的情况是 ．9．某种商品经过两次降价，使价格降低了19％，则平均每次降价的百分数为 ．10．若代数式224x x +的值为4，则x 的取值是 ． 11．已知菱形ABCD 的边长是5，两条对角线交于O ，且AO 、BO 的长分别是关于x 的方03)12(22=++-+m x m x 的两根，则m 等于 ． 12．某市收取水费按以下规定：若每月每户用水不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过的部分每立方米按2元收费． 如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米1.5元，那么这户居民这个月共用了 立方米的水．二、选择题1．与方程232x x +=-有相同解的方程是（ ）A ．2311x +=B ．321x -+=C ．213x -=D ．211233x x +=-2．若2,1x y =-⎧⎨=⎩是方程组1,7ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则))((b a b a -+的值为（ ）A ．335-B ．335C ．16-D ．163．如果关于x 的方程5432b x a x +=+的解不是负值，则a 、b 的关系是（ ）A ．a ＞b 53B ．b ≥a 35C ．5a ≥3bD ．5a =3b4．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程066172=+-x x 的根，则第三边的长为（ ）A ．6B ．11C ．6或11D ．75．关于x 的方程20x mx n ++=的一个根为0，一个根不为0，则m ，n 满足（ ）A ．0,0m n ==B ．0,0m n ≠≠C ．0,0m n ≠=D ．0,0m n =≠6．以1- ）A ．2220x x --=B ．2320x x +-=C ．2220y y -+=D ．2320y y -+=7．关于方程21233x x x -=---的解，下列判断正确的是（ ）A ．有无数个解B ．有两个解C ．有唯一解D ．无解8．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法为（ ）A ．4种B ．6种C ．8种D ．10种9．一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，则这种服装每件成本价是（ ）A ．120元B ．125元C ．135元D ．140元10．某村有一块面积为58公顷的土地，现计划将其中的41土地开辟为茶园，其余的土地种粮食和蔬菜.已知种粮食的土地面积是种蔬菜的土地面积的4倍，若设种粮食x公顷，种蔬菜y公顷，则下列方程中正确的是（）A．4,1584x yx y=⎧⎪⎨+=-⎪⎩B．4,1584x yx y=⎧⎪⎨+=-⎪⎩C．4,3584x yx y=⎧⎪⎨+=⨯⎪⎩D．4,3584x yx y=⎧⎪⎨+=⨯⎪⎩。