计数原理2018版高中数学重要知识点总结

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高中数学：《计数原理》(理)知识点串讲

《计数原理》（理）知识点串讲一、基本计数原理1．分类加法计数原理做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的办法，在第二类办法中有2m 种不同的办法，…在第n 类办法中有n m 种不同的办法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的办法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同的方法，…，做第n 个步骤有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．说明：①分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成．②两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关，如果完成一件事情有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事情，可类比物理中的“并联”电路来理解；如果完成一件事情需要分成n 个步骤，各个步骤都是相依的、不可缺少的，一个步骤只能完成事情的一部分，必须依次完成所有的步骤，才能完成这件事情，可类比物理中的“串联”电路来理解．③运用两个基本原理解题时，应善于从语言的差异与变化中弄清面临怎样的“一件事”，弄清事件之间的关系是相依还是相斥，然后按照恰当的“对象”进行分类或分步，合理的设计相应的做事方式．分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”．这两个原理是解决排列组合问题的理论基础．二、排列与组合1．排列一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．说明：①排列的定义中包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排列”．②只有取出的元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列，元素不完全相同，或元素完全相同而顺序不同的排列属于不同排列．如1，2，3与2，3，4是不同排列；1，2，3与1，3，2也是不同排列．③排列中元素的有序性是判断一个具体问题是不是排列问题的标准，也是与组合问题的根本区别．例如：从1，2，3，5这四个数中每次任取两个数相加（或相乘），可得到多少个不同的和（积）？因为加法（乘法）满足交换律，它们的和（积）与顺序无关，如3+5=5+3，因此不是排列问题．如果从四个数中任取两个数相减（相除），一共有多少个不同的差（商）？因为减法（除法）不满足交换律，35355353⎛⎫-≠-≠ ⎪⎝⎭，取出的两个数就与顺序有关了，属于排列问题．2．排列数（1）定义：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的排列数，用符号mn A 表示．说明：排列和排列数是两个不同的概念：一个排列是取出的m 个元素按照一定顺序排成的一个具体的排列，是具体的“一件事”；排列数是一个数，是所有的具体排列的数目．如：从1、2、3中每次任取出两个元素，组成一个两位数．所有的排列有12，13，23，21，31，32．其中每一个数都是一个排列，而排列数是236card()A B ==，{}121323213132B ，，，，，．（2）排列数公式：!(1)(2)(1)()()!m n n A n n n n m n m m n n m =---+=∈N -，，≤．说明：规定0!1=；乘积形式多用于数字计算，阶乘形式多用于证明恒等式；排列数性质：11m m n n A nA --=；111m m m n n n A mA A ---=+．3．组合一般地，从n 个不同元素中，任意取出()m m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的组合．说明：如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合．组合的定义中包含两个基本内容：一是取出元素；二是并成一组，并成一组表示将元素合在一起与元素取出的顺序无关．取出的元素是否有顺序，是区分排列和组合的根本依据．4．组合数（1）定义：从n 个不同元素中，任意取出()m m n ≤个元素的所有的组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的组合数，用符号C m n 表示．（2）组合数公式(1)(1)C !m n n n n m m --+=，C m m n n m mA A =． 5．组合数的性质性质1：C C m n m n n -=；性质112:C C C m m m n n n -+=+．说明：性质1突出了从n 个不同元素中取出m 个元素与从n 个不同元素中取出n m -个元素是一一对应关系，当2n m <时，不计算C m n 而改为计算C n m n -．性质2中注意它的变形公式的应用，如1212(1)C C C (1)m m m n n n n n n m m m -----==-，11C C mm n n m n --=等．6．解排列组合问题的方法（1）先要判断是组合问题还是排列问题，按照元素的性质分类，按照事件的发生过程分步，不重不漏．借助树形图，框图等形的工具直观帮助解题．总体上有三种方法：直接法（先安排特殊元素和特殊位置），间接法（正难则反），分类讨论法．（2）排列组合问题的16字方针，12个技巧．方针是：分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合；技巧是：相邻问题捆绑法（莫忘松绑），不相邻问题插空法，多排问题直排法，定序问题可能法，定位问题优先法，有序分配问题先整体后局部分步法，多元问题分类法，构造模型处理法，至少、至多问题间接法，选排问题先选后排法，局部与整体问题排除法，复杂问题转化法．（3）分组问题的求法：设有m n 个元素，平均分成n 组，每组m 个，则有(1)(2)C C C C mm m mm n n m n m mnn A --种分法；平均分成n 组，再分配到n 个位置，有(1)(2)C C C C mm m m mn n m n m m--种分法．若不平均分组或不平均分组再分配，如：6个元素分成3组，一组1个，二组2个，三组3个，则有123653C C C ；若再将这3组分配给3个位置，则有12336533C C C A 种分法．三、二项式定理1．二项展开式在011222()C C C C C n n n n r n r r n n n n n n na b a a b a b a b b ---+=++++++中，右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，其中各项的系数C (012)r n r n =，，，，叫做二项式系数．式中的C r n r r n a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项；1r n r r r n T C a b -+=（0r n ≤≤，r ∈N ，n +∈N ），此公式称为二项展开式的通项公式．说明：①其右端展开式共有1n +项．②通项公式1(0)r n r r r n T C a b r n r n -++=∈∈N N ，，≤≤表示的是第1(0)r r n +≤≤项．③a 与b 的位置不能互换，对于任意实数a 与b ，上面的等式恒成立．④二项式系数指01r n n n n n C C C C ，，，，，，二项展开式的系数与a b ，前面的系数有关．2．杨辉三角杨辉三角是我国古代数学的研究成果，它给我们提供了一种研究问题的数学模型，从不同的角度观察研究模型，就可以得到二项式系数的性质：一是对称性，结合公式m n m n n C C -=理解；二是增减性与最大值，如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，最大为2nnC ；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n n n C C -+=；三是各项的二项式系数的和等于2n ，即012r n n n n n n C C C C +++++=，它表明集合S 含有n 个元素，那么它的所有的子集（包括空集）的个数为2n 个．另外，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即1350242n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．3．二项展开式的应用（1）利用通项公式1(0)r n r r r n T C a b r n r n -++=∈∈N N ，，≤≤求指定项、特征项（常数项，有理项等）或特征项的系数．（2）近似计算，当a 与1相比较很小且n 不大时，常用近似公式(1)1n a na ±≈±，使用公式时要注意a 的条件以及对计算精确度的要求．（3）整除性问题与求余数问题，对被除式进行合理的变形，把它写成恰当的二项式的形式，使其展开后的每一项含有除式的因式或只有一、二项不能整除．（4）求展开式的各项的系数和，对形如()n ax b +，2()()n ax bx c a b c ++∈R ，，的式子求其展开式的各项的系数和常用赋值法，即只需令1x =即可，奇数项的系数和为(1)(1)2f f +-，偶数项的系数和为(1)(1)2f f --．（5）最大系数与系数最大项的求法，如求()()nax b a b +∈R ，，展开式的系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式的各项系数分别为121n A A A +，，，，设第r 项的系数最大，应有11r r r r A A A A -+⎧⎨⎩，，≥≥，由此解出r 即可．。

高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结

⾼中数学选修2-3计数原理概率知识点总结选修2-3定理概念及公式总结第⼀章基数原理1.分类计数原理：做⼀件事情，完成它可以有n类办法，在第⼀类办法中有种不同的⽅法，在第⼆类办法中有种不同的⽅法，……，在第n类办法中有种不同的⽅法那么完成这件事共有N=m1+m2+……+m n种不同的⽅法2.分步计数原理：做⼀件事情，完成它需要分成n个步骤，做第⼀步有m1种不同的⽅法，做第⼆步有m2种不同的⽅法，……，做第n步有m n种不同的⽅法，那么完成这件事有N=m1×m2×……m n种不同的⽅法分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整”3.两个计数原理的区别:如果完成⼀件事，有n类办法，不论哪⼀类办法中的哪⼀种⽅法，都能独⽴完成这件事,⽤分类计数原理，如果完成⼀件事需要分成⼏个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,⽤分步计数原理.4.排列:从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素并按⼀定的顺序排成⼀列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的⼀个排列.（1）排列数: 从n个不同的元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列的个数.⽤符号表⽰（2）排列数公式:⽤于计算，或⽤于证明。

===n(n-1)! 规定0！=15.组合：⼀般地，从个不同元素中取出个元素并成⼀组，叫做从个不同元素中取出个元素的⼀个组合（1）组合数: 从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，⽤表⽰（2）组合数公式: ⽤于计算，或⽤于证明。

（3）组合数的性质：①．规定：；②＝+ .③④6.⼆项式定理及其特例：（1）⼆项式定理展开式共有n+1项，其中各项的系数叫做⼆项式系数。

（2）特例：.7.⼆项展开式的通项公式：（为展开式的第r+1项）8．⼆项式系数的性质：（1）对称性：在展开式中，与⾸末两端“等距”的两个⼆项式系数相等,即，直线是图象的对称轴．（2）增减性与最⼤值：当时，⼆项式系数逐渐增⼤，由对称性知它的后半部分是逐渐减⼩的，且在中间取得最⼤值。

计数原理知识点总结高中

计数原理知识点总结高中一、基本原理计数原理的基本原理包括加法原理和乘法原理。

1. 加法原理加法原理是指当一个事件可以分解为几个不相容的部分时，这个事件的总数等于各部分的事件数之和。

加法原理可以用于求解排列组合等问题。

举例: 一个班上有男生20人、女生25人，那么班上的学生总数为20+25=45人。

2. 乘法原理乘法原理是指当一个事件要发生的步骤可以划分为若干个子事件时，这个事件发生的总次数等于各子事件发生次数的乘积。

举例: 要在4x4的格子中按照某种规则走，从左上角到右下角，每一步只能向右或者向下移动，那么一共有6步，每一步有两种选择，那么总共有2^6=64种不同的走法。

二、排列组合排列和组合是计数原理中的两个重要概念，它们是用来计算不同元素的排列和组合的方法。

1. 排列在数学中，排列的定义是指从若干不同的元素中取出一部分进行排列，排列的顺序是有意义的。

对于n个元素中取出m个元素进行排列，共有n(n-1)(n-2)...(n-m+1)种排列，记作A(n,m)。

2. 组合组合是指从若干不同的元素中取出一部分进行组合，组合的顺序是没有意义的。

对于n个元素中取出m个元素进行组合，共有C(n,m) = n!/((n-m)!m!)种组合。

排列和组合在实际问题中有着广泛的应用，比如在组合学、密码学等领域，都会涉及到排列和组合的计算。

因此，掌握排列和组合的相关知识是非常重要的。

三、分配原理分配原理是指把若干个不同的物体分给若干个相异的盒子的方法，它与排列和组合有着密切的联系。

分配原理也是计数原理中的重要内容之一，可以在实际问题中得到广泛的应用。

举例: 有10个苹果和3个盒子，要求将这10个苹果分给这3个盒子，每个盒子至少有一个苹果，求分法的总数。

按照分配原理，将10个苹果放入3个盒子，总共有${{10-1}\choose{3-1}}=36$种不同的分法。

分配原理在实际问题中也有着广泛的应用，比如在计算机科学中的任务调度、网络流量控制等方面都会用到分配原理的相关知识。

高中数学知识点总结(第十一章计数原理与概率、随机变量及其分布分类加法计数原理与分步乘法计数原理)

第十一章计数原理与概率、随机变量及其分布第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理两个计数原理(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事.(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事.(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.二、常用结论1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法.2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法.考点一分类加法计数原理1.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________.解析：按十位数字分类，十位可为1,2,3,4,5,6,7,8，共分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，则共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个两位数.答案：362.如图，从A 到O 有________种不同的走法(不重复过一点).解析：分3类：第一类，直接由A 到O ，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A →B →O 和A →C →O 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A →B →C →O 和A →C →B →O 2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法.答案：53.若椭圆x 2m ＋y 2n＝1的焦点在y 轴上，且m ∈{1,2,3,4,5}，n ∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________.解析：当m ＝1时，n ＝2,3,4,5,6,7，共6个；当m ＝2时，n ＝3,4,5,6,7，共5个；当m ＝3时，n ＝4,5,6,7，共4个；当m ＝4时，n ＝5,6,7，共3个；当m ＝5时，n ＝6,7，共2个.故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆.答案：204.如果一个三位正整数如“a 1a 2a 3”满足a 1＜a 2且a 2＞a 3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________.解析：若a 2＝2，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个.若a 2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个).若a 2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a 2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个).所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个).答案：240考点二分步乘法计数原理[典例精析](1)已知集合M ＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P (a ，b )(a ，b ∈M )表示平面上的点，则P 可表示坐标平面上第二象限的点的个数为( )A.6B.12C.24D.36(2)有6名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法.[解析] (1)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0，所以有3种方法；第二步确定b，由于b＞0，所以有2种方法.由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.(2)每项限报一个，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种).[答案](1)A(2)120[解题技法]利用分步乘法计数原理解决问题的策略(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.[题组训练]1.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通.现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________种.解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26－1＝63种可能情况.答案：632.从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答).解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数.若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数.答案：186考点三两个计数原理的综合应用[典例精析](1)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A.24B.48C.72D.96(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36(3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A.60B.48C.36D.24[解析](1)分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D各有1种，有4×3×2＝24种涂法.②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48种涂法.故共有24＋48＝72种涂色方法.(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).(3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.[答案](1)C(2)D(3)B[解题技法]1.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么.(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类.(3)弄清分步、分类的标准是什么.(4)利用两个计数原理求解.2.涂色、种植问题的解题关注点和关键(1)关注点：首先分清元素的数目，其次分清在不相邻的区域内是否可以使用同类元素.(2)关键：是对每个区域逐一进行，选择下手点，分步处理.[题组训练]1.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.解析：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有24＋24×2＝72(种).答案：722.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个).答案：40[课时跟踪检测]A级1.集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A.9B.14C.15D.21解析：选B当x＝2时，x≠y，点的个数为1×7＝7.当x≠2时，∵P⊆Q，∴x＝y.∴x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7＋7＝14(个).2.某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A.504B.210C.336D.120解析：选A分三步，先插第一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法.故共有7×8×9＝504种不同的插法.3.已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A.40B.16C.13D.10解析：选C分两类情况讨论：第1类，直线a 分别与直线b 上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b 分别与直线a 上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面.4.从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )A.32个B.34个C.36个D.38个解析：选A 将和等于11的放在一组：1和10,2和9,3和8,4和7,5和6.从每一小组中取一个，有C 12＝2(种).共有2×2×2×2×2＝32(个)子集.5.从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )A.3B.4C.6D.8解析：选D 当公比为2时，等比数列可为1,2,4或2,4,8；当公比为3时，等比数列可为1,3,9；当公比为32时，等比数列可为4,6,9.同理，公比为12，13，23时，也有4个.故共有8个等比数列.6.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为( )A.6种B.12种C.18种D.24种解析：选A 根据数字的大小关系可知，1,2,9的位置是固定的，如图所示，则剩余5,6,7,8这4个数字，而8只能放在A 或B 处，若8放在B 处，则可以从5,6,7这3个数字中选一个放在C 处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A 处，也有3种方法，所以共有6种方法.7.(2019·郴州模拟)用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A.4 320种B.2 880种C.1 440种D.720种解析：选A 分步进行：1区域有6种不同的涂色方法，2区域有5种不同的涂色方法，3区域有4种不同的涂色方法，4区域有3种不同的涂色方法，6区域有4种不同的涂色方法，5区域有3种不同的涂色方法.根据分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×3×3×4＝4 320(种)不同的涂色方法.3 4 12 D 34 A C B 98.(2019·惠州调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A.18个B.15个C.12个D.9个解析：选B由题意知，这个四位数的百位数，十位数，个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共有3＋6＋3＋3＝15(个).9.在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种.解析：分两步安排这8名运动员.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2＝24(种).第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种).故安排这8人的方式共有24×120＝2 880(种).答案：2 88010.有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑.从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答).解析：由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人分别去操作这三种型号的电脑，只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法.根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法.答案：8B级1.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()A.24种B.4种C.43种D.34种解析：选C第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法.只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种投法.2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个解析：选B由题意可知，符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时，个位数字从0,2中任选一个，共有2×4×3×2＝48个偶数；当万位数字为5时，个位数字从0,2,4中任选一个，共有3×4×3×2＝72个偶数.故符合条件的偶数共有48＋72＝120(个).3.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方法有()A.24种B.72种C.84种D.120种解析：选C如图，设四个直角三角形顺次为A，B，C，D，按A―→B―→C―→D顺序涂色，下面分两种情况：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的2种颜色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48种不同的涂法.(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不与A，C同色，所以D可以从剩余的3种颜色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36种不同的涂法.故共有48＋36＝84种不同的涂色方法.4.(2018·湖南十二校联考)若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3 802＝3 936)，则称(m，n)为“简单的”有序对，而m＋n称为有序对(m，n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是________.解析：第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式.根据分步乘法计数原理，值为1 942的“简单的”有序对的个数是2×10×5×3＝300.答案：300－3，－2，－1，0，1，2，若a，b，c∈M，则：5.已知集合M＝{}(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数；(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示5×6×6＝180个不同的二次函数.(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b，c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72个图象开口向上的二次函数.。

高中数学知识点总结计数原理

高中数学知识点总结计数原理一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理．2．两个计数原理的区别与联系123,,,,{}n a a a a 的子集有2n 个，真子集有21n -个．二、排列1．排列的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 特别提醒确定一个具体问题是否为排列问题的方法：(1)首先要保证元素的无重复性，即是从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个不同的元素，否则不是排列问题．(2)其次要保证元素的有序性，即安排这m 个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．2．解决排列应用问题的步骤：(1)分清问题是否与元素的顺序有关，若与顺序有关则是排列问题．(2)注意对元素或位置有无特殊要求．(3)借助排列数公式计算．特别提醒当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．3．排列数、排列数公式从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示.特别提醒排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.三、组合1．组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.特别提醒解答排列、组合综合问题的一般思路和注意点：（1）一般思路：“先选后排”，也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．（2）注意点：①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，元素无序是组合问题，元素有序是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合的综合问题的一般方法．3．组合数的性质性质1：C C m n m n n-=. 性质1表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合，与剩下的n m -个元素的组合是一一对应关系.性质2：11C C C m m m n n n-+=+. 性质2表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可，有C mn 个组合；第2类，取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m -个后再取出元素a 即可，有1C m n-个组合.四、二项式定理1．二项式定理 011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n na b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式，共有n +1项，其中各项的系数C ({0,1,2,,})kn k n ∈L 叫做二项式系数.二项展开式中的C k n k k n a b -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第1k +项：1C k n k k k nT a b -+=. 2．二项式系数的性质（4）奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即2131C C C C 2n n n n n -++=++=L L . 特别提醒求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k,再将k 的值代回通项求解,注意k的取值范围（0,1,2,,L）.k n（1）第m项：：此时k+1=m,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程.（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.。

2018年高考数学考试大纲解读专题14 计数原理理

专题14 计数原理（二十）计数原理1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.2．排列与组合（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.（3）能解决简单的实际问题.3．二项式定理（1）能用计数原理证明二项式定理.（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.计数原理作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“一小（选择题或填空题）”的格局呈现. 预计2018年高考对排列、组合问题的考查，仍以实际生活为命题背景，难度中等；二项式定理主要考查利用二项展开式中特定项的系数，已知特定项的系数求参数的值等.考向一两个计数原理的综合应用样题1 某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，则不同的选法有A．8种B．12种C．16种D．20种【答案】D【解析】由题意知，在艺术小组9人中，有且仅有1人既会钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人．按“多面手”的选法分为两类： (1)“多面手”入选，则有6＋2=8(种)选法； (2)“多面手”不入选，则有6×2=12(种)选法．因此选法共有8＋12=20(种)．考向二排列与组合样题2（2017新课标全国II 理科）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A ．12种 B ．18种C ．24种D ．36种【答案】D样题3某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法 A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】利用间接法求解．从六科中选考三科的选法有36C 种，其中包括了没选物理、化学、生物中任意一科与没选政治、历史、地理中任意一科，而这两种选法均有33C 种，因此考生共有3363C 2C 18-=种．- 3 -考向三二项式定理样题4 （2017新课标全国Ⅰ理科）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35【答案】C样题5 二项式展开式的常数项为A ．B ．C ．80D ．16【答案】C【解析】510252155C (C (2)()r r rr r rr T x x --+==-,当时，4445C (2)80T =-=.故选C ．样题6 设0(sin cos )d a x x x π=+⎰，且21nx ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是 A ．1B ．1256C ．64D ．164【答案】D百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

第六章计数原理(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)

第六章计数原理（公式、定理、结论图表）一、计数原理1.分类加法计数原理概念：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法（也称加法原理）特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏”2.分步乘法计数原理概念：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么，完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法（也称乘法原理）特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整”3.两个原理的联系与区别⑴.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.⑵区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n 类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n 个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复4、计数原理的解题步骤(1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n 类”还是“分n 步”；(2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数；(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；(4)作答。

5、从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数n m m m m =⋅⋅⋅⋅。

2018年秋高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第1课时排列与排列数公式学

第1课时排列与排列数公式学习目标：1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列. （重点）2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明. （难点）［自主预习•探新知］1. 排列的概念从n个不同元素中取出mmc n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2. 相同排列的两个条件（1）元素相同.（2）顺序相同.思考：如何理解排列的定义？［提示］可从两个方面理解：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素相同，②元素的排列顺序也相同.3. 排列数与排列数公式［提示］“一个排列”是指：从n个不同的元素中任取n）个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出n）个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列.［基础自测］1.判断（正确的打“V”，错误的打“x”）（1）两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列.（）（2）从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题.(3) 有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题. (4) 从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幕属于排列问题. (5) 从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题. ［解析］(1) X因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同.(2) V 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题. (3) X 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题.(4) V 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同•结果与顺序有关，故属于排列问题.(5) V 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题.［答案］⑴X ⑵V⑶X ⑷V (5) V2.甲、乙、丙三名冋学排成一排，不冋的排列方法有()A . 3种B . 4种C . 6种D .12种C ［由排列定义得，共有 A = 6种排列方法. ]3. 90 X 91 X 92X-X 100 可以表示为( )A . 10A 1oo B.血。

2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十章计数原理10.3含解析

1．二项式定理二项式定理 (a ＋b ）n ＝C 错误!a n ＋C 错误!a n －1b 1＋…＋C 错误!a n －k b k ＋…＋C 错误!b n (n ∈N *)二项展开式的通项公式T k ＋1＝C 错误!a n －k b k ，它表示第k ＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数C 错误!(k ∈｛0，1，2，…，n ｝）2.二项式系数的性质（1）C 错误!＝1,C 错误!＝1. C 错误!＝C 错误!＋C 错误!. （2)C 错误!＝C 错误!。

(3）n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；n 是奇数时，12+n T 与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)C 错误!＋C 错误!＋C 错误!＋…＋C 错误!＝2n 。

【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1）项数为n＋1.(2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起，次数由零逐项增1直到n。

（4）二项式的系数从C错误!，C错误!，一直到C错误!,C错误!.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1)C错误!a n－k b k是二项展开式的第k项．( ×）（2）二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项．( ×）（3）（a＋b）n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √）(4）在（1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( ×）（5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128。

( ×)1．(教材改编）(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( ）A．C错误!B．C错误!C．C错误!D．(－1）m－1C错误!答案D解析(x－y)n展开式中第m项的系数为C错误!（－1）m－1。

2018版高中数学第一章计数原理第3课时排列及排列数公式课件新人教B版选修2-3

变式训练 4 8 种不同的菜种，任选 4 种种在不同的土地上，有__________种不同的种法．
解析：选取的 4 种菜种，与 4 块不同的地对应，与顺序有关，是排列问题，故有 A48＝8×7×6×5＝1 680 种不同的种法．
答案：1 680
点评判定是不是排列问题，要抓住排列的本质特征，第一取出的元素无重复性，第二选出的元素必须与顺序有关才是排列问题．元素相同且排列顺序相同才是相同的排列．元素有序还是无序是判定是否是排列的关键.
变式训练1 判断下列问题是否为排列问题． (1)从五名同学中选两人分别担任正、副组长； (2)从1,2,3三个数中取两个数相乘，求积的个数； (3)从1,2,3三个数中取两个数作商，求商的个数； (4)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)．
点评在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列.
变式训练 3 将 A、B、C、D 四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且 A 不排在第一，B 不排在第二，C 不排在第三， D 不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法．
变式训练 2 计算： (1)AA7774； (2)2AA8588＋－7AA59 48；
(3)求 3A3x＝2Ax2＋1＋6A2x中的 x.
解析：(1)AA7774＝7×6×7×5×6×4×5×3×4 2×1＝6. (2)2AA8588＋－7AA59 48＝8×27××86××75××64××53××42＋×71×－89××78××67××56×5 ＝1. (3)由排列数公式得 3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)． ∵x≥3 且 x∈N*， ∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，

【高中数学】计数原理总结

【高中数学】计数原理总结知识梳理：1. 分类加法计数原理和分布乘法计数原理(1)如果完成一件事有n 类不同的方案，在第一类中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，…，在第n 类中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。

(2)如果完成一件事需要n 个不同的步骤，在第一步中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的方法，…，在第n 步中有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有N=_________种不同的方法。

(3)分类和分布的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是___________；必须要连续若干步才能完成则是 _____________。

分类要用分类计数原理将种数_________，分步要用分步计数原理将种数_________。

2. 排列与组合(1)排列(1)(2)(1)()(1)321(1)(2)(1)()(1)321!()!mn n n n n m n m n m A n n n n m n m n m n n m ---+---∙∙=---+=---∙∙=- (1)(2)(!()!m n A n n n nn n m =--=-(2)组合 ①组合数公式(1)(2)(1)!()(1)321()!!mn n n n n m n C n m n m n m m ---+==---∙∙-①组合数的两个性质_______ _ ____、。

③区别排列与组合3. 常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略 (2)合理分类和准确分布的策略 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略 (5)相邻问题捆绑的策略(6)不相邻问题插空处理的策略 (7)定序问题除法处理的策略(8)分排问题直排处理的策略 (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略(10)构造模型的策略。

4. 二项式定理(1)二项式定理：)()(1110*--∈+++++=+N n b C b a C b a C a C b a nn n r r n r n n n n n n(2)通项：展开式的第1+r 项，即),,1,0(1n r b a C T r r n r n r ==-+(3)二项式系数的性质：①对称性：在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等。

2018高考数学(理科)知识点总结(精辟)

（1）求角C；
（（1）由已知式得：1 cosA B 2 cos2 C 1 1
（2）由正弦定理及a 2 b2 1 c2 得： 2
33. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。
反正弦：
arcsin
x

2
，
2
，x
1，1
反余弦： arccos x 0，，x 1，1
一个三
6
28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
（1）点P（x，y）
a (h，k) 平移至
P'
（x'
，y'
x' ），则y'

x y

h k

（2）曲线f (x，y) 0沿向量 a (h，k)平移后的方程为f (x h，y k) 0

k
k
Z
y

tan x的增区间为 k
2
，k
2
k
Z
26. 正弦型函数y = Asinx + 的图象和性质要熟记。或y A cosx
（1）振幅|A|，周期T 2 ||
若f x0 A，则x x0为对称轴。
值是（） A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
由已知f (x)在[1， )上为增函数，则 a 1，即a 3 3
∴a 的最大值为 3）
16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）
若f (x) f (x)总成立 f (x)为奇函数函数图象关于原点对称

高中高考数学计数原理学习知识汇总

计数原理课表要求1、会用两个数原理剖析解决的；2、理解摆列观点，会推摆列数公式并能用；3、理解合观点，会推合数公式并能解决；4、合用摆列合知解决的；5、会用二式定理解决与二睁开式有关的；6、会用二式定理求某的二式系数或睁开式系数，会用法求系数之和。

打破方法1．加基知的复，深刻理解分数原理、分步数原理、摆列合等基本观点，坚固掌握二式定理、二睁开式的通、二式系数的性。

2．加数学方法的掌握和用，特是解决摆列合用性，着重方法的取。

比方：直接法、接法等；几何、涂色、数字、其余等；掌握每种方法使用特色及使用范等。

3．重数学思的，着重数学思想的用，在解程中着重化与化思想的用，将不一样背景的同一个数学模型求解；着重数形合、分思想、整体思想等，使化易。

知识点1、分加法数原理达成一件事，有 n 不一样方案，在第 1 方案中有种不一样的方法，在第2 法中有种不一样的方法，⋯⋯在第n 法中有种不一样的方法。

那么完成件事共有： N= + +⋯⋯ +种不一样的方法。

注意：（1 ）分加法数原理的使用关是分，分必明确准，要求每一种方法必属于某一方法，不一样的随意两种方法是不一样的方法，分中所要求的“不重复” 、“不漏”。

（2）达成一件事的 n 法是相互独立的。

从会合角度看，达成一件事分A、 B 两法， A B= ,A B= I （I 表示全集）。

（3）明确目中所指的“达成一件事”是指什么事，达成件事能够有哪些法，怎才算是达成件事。

2、分步乘法数原理达成一件事，需要 n 个步，做第 1 步有种不一样的方法，做第2步有种不一样的方法，⋯⋯做第n 步有种不一样的方法，那么达成件事共有：N=··⋯⋯·种不一样的方法。

注意：（1）明确目中所指的“做一件事”是什么事，独用中所的某种方法能否是能达成件事，能否是要几个步才能达成件事。

（2）达成件事需要分红若干个步，只有每个步都达成了，才算达成件事，缺乏哪一步，件事都不行能达成。

高中选修2-3第一章计数原理知识点总结与训练

第一章：计数原理一、两个计数原理1. 分类加法计数原理：完成一件事°有n 类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有巾2 种不同的方法在第n 类办法审有叫种不同的方法.那么完咸这件事共有“二叫+叫+…+ %种不同的方法.2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需妾分成口个步骤「做第1步有叫种不同的方法，做第2步有叫种不同的方法做第n 步有叫种不同的方法.那么完成这件事共有N = " x 炉x …x 叫种不同的方法.1、排列:一般地，从n 个不同元素中取出m(mc n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

3、两个计数原理的区别分类计数原理完成一件事，兵有n 类办法，关键词肆分类詹每董办法都能独佥地主成这件事情，它是独至的.区别2 —次的窮且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。

区别3 各类办法是互相独立的.二、排列与组合分步计数原理完成一件事，共分n 个步骤，关键词分步狎每一步待到的只是中间结果，任何一步祢不能独立完成这件 >,缺少任何一步也不能完成这件爭、只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。

各步之间是互相关联的.2、排列数m从n个不同元素中取出m(mc n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。

用符号阳表示.3、排列数公式：A nn1n2 nm1n !n m !其中n, m N ,并且m n.4、组合:一般地，从n个不同元素中取出m(mc n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合。

5、组合数:从n个不同元素中取出m(mc n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。

用符号表示。

6、组合数公式:n n 1 n 2 n m 1m !n !m ! n m !N ,并且m n注意：判断一个具体问题是否为组合问题，关键是看取出的元素是否与顺序有关，有关就是排列，无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”7、性质:三、二项式定理1、二项定理：一般地，对于n 有（a + b）n = C：o” + C：aF + C：af2 +…十C：m+…+ C；Q通项公式T+二cyrr如果在二项式定理中，设a=1,b=x，则可以得到公式：（1 + x）n=1+C；x + C^2+--・ + c；F +-- + c；x n2、性质：一般地，（Q+b）"展开式的二项式系数CC，..・c;;有如下性质；：=q；m（对称性）（1）©⑵ eye.（3）当n为偶数时最大—] “ +1当n为奇数时，「丁二C亍且最大（4）Q + U+…+雷=2"奇数项二项式系数和偶数项二项式系数和: C0 C2 c： HI C C C2n1注意事项：1.对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；（的某些元素要求分离（即不能相邻）；N基本的解题方法：（1）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常足先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；特殊元素，特殊位置优先安排策略（2）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为马K 绑法3相邻问题捆绑处理的策略C 3 ）某些元素不相邻排列时.可以先排其他元素’再将这些不相邻元素插入空挡.这种方法称为黨插空法S不相邻问题插空处理的笫略相邻问题，常用“捆绑法”不相邻问题，常用“插空法”巩固训练：1、有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；2、某城新建的一条道路上有12 只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有( )3、(1) 今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份 4 件, 有多少种分法(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法4、从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人, 这样有几种选法5、将8 个学生干部的培训指标分配给 5 个不同的班级，每班至少分到1 个名额，共有多少种不同的分配方法6、对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品，一一进行测试, 至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现则这样的测试方法有种可能7、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有多少种8如图，要给地图A B、C D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种9、求值与化简:化简：（尤+ 1）“ -4（工+ 厅+6任+ 1），-4（兀+ 1）+ 1（1 ）求值：1 C 5 2 2C 5 2 4C 5 2 6 C 54 2 8 C 5510。

第六章高考数学计数原理知识总结

第六章计数原理()()1212_...__...._.12.n n n N m m m n N m m m ⎧⎧⇒⎪⎨=+++⎩⎪⎪⎧⎪⇒⎨⎪=⨯⨯⨯⎫⎪⎩⇒⎬⎨⎭⎪⎪⇒⎪⎪⎪⎪⎩⇒定义：完成一件事有类不同方案分类加法计算原理公式：定义：完成一件事需要个步骤分步乘法计数原理公式：分类加法计算原理与分步乘法计算原理区别：一个分类，一个分步两个计算原理的关系及综合应用综合应用明确是先分类还是先分步；确定分类标准和分步程序排列排列计数原理排列与组合11(1)(2)...(1)______.:______.,:mn mmn n m m m n m m m m n n n n nA n n n n m A C A C C C C C --+⎧⎪=---+⎪⎨⎪⎪⎩⎧=⎪⎪⎪==+⎨⎪⎪⎪⎩的定义：按一定的顺序排成一列排列数及其公式：排烈应用题：元素分析法、位置分析法、捆绑法、插空法、整体法组合的定义合成一组组合数及其公式：组合组合数的性质：组合应用题：直接法、间接法、隔板法排列、组合综合应用题先分组后012..""2m n mn n n n n n n n C C C C C C -⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎧⇒⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪+++⋅⋅⋅+=⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩排列二项式定理的内容：二项式定理二项展开式的通项对称性；二项式定理增减性与最大值；杨辉三角形与二项式系数的性质各二项式系数的和；知识点一、计数原理1.分类加法计数原理概念：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法（也称加法原理）特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏”2.分步乘法计数原理概念：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么，完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法（也称乘法原理）特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整”知识点二、排列1.排列：一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列2.排列数：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号mn A 表示 3.排列数公式：()()()()!121!mn n A n n n n m n m =--⋅⋅⋅-+=-（*,m n N ∈，且m n ≤）知识点三、组合1.组合：一般地，从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2.组合数：从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示3.组合数公式：()()()()121!!!!mmn nm n n n n n m A n C A m m n m --⋅⋅⋅-+===-（*,m n N ∈，且m n ≤）4.组合数的性质：（1）m n m n n C C -=；（2）11m m m n n n C C C -+=+知识点四、二项式定理1.二项式定理概念：一般地，对于任意的正整数n ，都有()()01102*nnn n k n k k n nn n n n n a b C a C aC a b C a b C b n N ---+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+∈. 这个公式称为二项式定理，等号右边的式子称为()n a b +的二项展开式，()na b +的二项展开式共有1n +项，其中各项的系数{}()0,1,2,,kn C k n ∈⋅⋅⋅叫做二项式系数，k n k k n C a b -称为二项展开式的第1k +项，又称为二项展开式的通项 2.二项展开式的特征：（1）二项展开式共有1n +项；（2）二项式系数依次为组合数012,,,,,,knn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅；（3）各项次数都等于二项式的幂指数n ；（4）字母a 的指数由n 开始按降幂排列到0，b 的指数由0开始按升幂排列到n 3.二项式系数与项的系数的区别：二项式系数为项的系数指该项中除字母外的部分 4.二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等增减性：当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的最大值：当n 是偶数时，中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数1122,n n nnCC-+相等，且同时取得最大值5.二项式系数和：（1）二项展开式中各二项式系数之和为2n；（2）在二项展开式中奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和相等且都等于12n -.类型一：两个基本计数原理的实际应用问题例1 在某种信息传输过程中，4个数字组成的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同的排列表示不同的信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有2个对位置上的数字相同的信息个数为（）A ．10B ．11C ．12D ．15解析:方法1:分有0个时应位置上的数字相同、1个对应位显上的数字相同、2个时应位五上的数字相同讨论：（1）若有0个对应位五上的数字相同．则信息为1001，共有1个．（2）若有1个叶应位丑上的数字相同1101，1011，1000．共有4个．（3）若有2个时应位置上的数字相同，又分为以下情况①若位笠一与二对应相同，则信息为0101； ②若位五一与三时应相同，则信息为0011； ③若位五一与四对应相同，则信忽为0000； ④若位且二与三对应相同，则信息为1111； ⑤若位里二与四时应相同，则信忠为1100；⑥若位置三与四时应相同、则信．息为1010．共有6个．故与信息0110至多有2个对应位置上的数字相同的信息个数为14611.++= 方法2：若有0个对应位置上的数字相同．共有1个；若有1个对应位置上的数字相同。

2018版高考数学浙江,文理通用大一轮复习讲义教师版文

分类加法计数原理与分步乘法计数原理【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( × )(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( √ )(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．( √ )(4)如果完成一件事情有n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i (i ＝1,2,3，…，n )，那么完成这件事共有m 1m 2m 3…m n 种方法．( √ )(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( √ )1．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243B．252C．261D．279答案 B解析由分步乘法计数原理知，用0,1，…，9十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252.故选B.2．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A．14B．13C．12D．10答案 B解析当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)．综上，满足要求的有序数对共有13个，故选B.3．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．6答案 B解析分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有3×2×2＝12(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3×2×1＝6(个)奇数．根据分类加法计数原理，知共有12＋6＝18(个)奇数．4．(教材改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种．答案32解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法计数原理，知总的报名方法共2×2×2×2×2＝32(种)．题型一分类加法计数原理的应用例1高三一班有学生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，其中男生35人，女生20人．(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解(1)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法．根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)不同的选法．(2)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．根据分类加法计数原理，共有30＋30＋20＝80(种)不同的选法．思维升华分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．(2016·全国丙卷)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有()A．18个B．16个C．14个D．12个答案 C解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A24个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C34个，共2＋8＋4＝14(个)．题型二分步乘法计数原理的应用例2(1)(2016·全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有________种不同的报名方法．答案(1)B(2)120解析(1)从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18(种)，故选B.(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120(种)．引申探究1．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729(种)．2．本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216(种)．思维升华(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．(1)(教材改编)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是()A．12B．8C．6D．4(2)(2016·石家庄模拟)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种．答案(1)C(2)4554解析(1)分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6个，故选C.(2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性．题型三两个计数原理的综合应用例3(1)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．答案(1)260(2)36解析(1)区域A有5处涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260(种)涂色方法．(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面均成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．(3)弄清分步、分类的标准是什么．(4)利用两个计数原理求解．(2016·济南质检)如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________．答案96解析按区域1与3是否同色分类：(1)区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3涂同色，共有4A33＝24(种)方法．(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A24×2×1×3＝72(种)方法．故由分类加法计数原理，不同的涂色种数为24＋72＝96.2．利用两个基本原理解决计数问题典例(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()A．24种B．4种C．43种D．34种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4次，轮船有3次，问此人的走法可有________种．错解展示解析(1)因为每个信箱有三种投信方法，共4个信箱，所以共有3×3×3×3＝34(种)投法．(2)乘火车有4种方法，坐轮船有3种方法，共有3×4＝12(种)方法．答案(1)D(2)12解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法．(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有4＋3＝7(种)．答案(1)C(2)7纠错心得(1)应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步．(2)把握完成一件事情的标准，如典例(1)没有考虑每封信只能投在一个信箱中，导致错误．1．(2016·镇海中学模拟)有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有()A．8种B．9种C．10种D．11种答案 B解析设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法．2．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，则不同的摆法有()A．4种B．5种C．6种D．9种答案 B解析记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212,21212121两种；有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种，共5种摆法，故选B.3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有()A．12种B．10种C．9种D．8种解析第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C12＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，有C24＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理，不同的选派方案共有2×6＝12(种)．4．(2015·四川)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有() A．144个B．120个C．96个D．72个答案 B解析由题意知，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A34＝72(个)；若万位是4，则有2×A34＝48(个)，故比40000大的偶数共有72＋48＝120(个)．故选B.5．将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，则不同的涂色方案有()A．1种B．3种C．6种D．9种答案 C解析因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色．故有3×2×1＝6(种)涂色方案．6．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种答案 A解析先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A33种不同排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有一种排法．因此共有A33·2·1＝12(种)不同的排列方法．7．(2016·大连模拟)将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有________种．答案9解析编号为1的方格内填数字2，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字3，共有3种不同填法；编号为1的方格内填数字4，共有3种不同填法．于是由分类加法计数原理，得共有3＋3＋3＝9(种)不同的填法．8．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．答案13解析四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1,4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共3种可能．故不通的情况有24－3＝13(种)可能．9．(2016·日照模拟)从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为________．答案17解析当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数不含有1时，可得到A25＝20(个)对数，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，综上可知，共有20＋1－4＝17(个)不同的对数值．10．(2016·天津模拟)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．答案(1)90(2)9×10n解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计9×10＝90(种)填法，即4位回文数有90个．(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．结合分步乘法计数原理，知有9×10n种填法．11．有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？(3)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同选法？解(1)只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为3＋6＋8＝17.(2)分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6＋8＝14(种)选法，由分步乘法计数原理知，总方法数为3×14＝42.(3)教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种．由分步乘法计数原理知总方法数为3×6×8＝144(种)．12．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．解方法一设想染色按S－A－B－C－D的顺序进行，对S，A，B染色，有5×4×3＝60(种)染色方法．由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)，S不同色，有3种选择；C与A 不同色时，C有2种可选择的颜色，D也有2种颜色可供选择．从而对C、D染色有1×3＋2×2＝7(种)染色方法．由分步乘法计数原理，不同的染色方法种数为60×7＝420.方法二根据所用颜色种数分类，可分三类．第一类：用3种颜色，此时A与C，B与D分别同色，问题相当于从5种颜色中选3种涂三个点，共A35＝60(种)涂法；第二类：用4种颜色，此时A与C，B与D中有且只有一组同色，涂法种数为2A45＝240(种)；第三类：用5种颜色，涂法种数共A55＝120(种)．综上可知，满足题意的染色方法种数为60＋240＋120＝420.*13.已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若a，b，c∈M，则：(1)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个不同的二次函数？其中偶函数有多少个？(2)y＝ax2＋bx＋c可以表示多少个图象开口向上的二次函数？解(1)a的取值有5种情况，b的取值6种情况，c的取值有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c 可以表示5×6×6＝180(个)不同的二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，故有5×6＝30(个)．(2)y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此y＝ax2＋bx＋c可以表示2×6×6＝72(个)图象开口向上的二次函数．。

2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十章计数原理10.1含解析

分类加法计数原理与分步乘法计数原理原理异同点分类加法计数原理分步乘法计数原理定义完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法区别各种方法相互独立，用其中任何一种方各个步骤中的方法互相依存,只有各个法都可以完成这件事步骤都完成才能做完这件事【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×")（1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．（×)(2）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．（√)（3)在分步乘法计数原理中,事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．（√）（4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法m i（i＝1，2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…m n 种方法．( √）(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( √）1．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（)A．243 B．252 C．261 D．279答案B解析由分步乘法计数原理知,用0，1，…，9十个数字组成三位数(可用重复数字）的个数为9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为9×9×8＝648，则组成有重复数字的三位数的个数为900－648＝252。

故选B。

2．（教材改编）已知集合M＝｛1,－2,3｝，N＝｛－4，5,6，－7}，从M,N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是( ）A．12 B．8 C．6 D．4答案C解析分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2＝6，故选C。

2018版高考数学理一轮复习文档：第十章计数原理 10-3

1．二项式定理2.二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n＋C m n . (2)C m n ＝C n－mn.(3)n 是偶数时，12nT +项的二项式系数最大；n 是奇数时，12+n T 与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .【知识拓展】二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．(×)(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.(×)1．(教材改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是()A．C m n B．C m＋1nC．C m－1n D．(－1)m－1C m－1n答案 D解析(x－y)n展开式中第m项的系数为C m－1n(－1)m－1. 2．(2016·四川)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为() A．－15x4B．15x4C．－20i x4D．20i x4答案 A解析由题意可知，含x4的项为C26x4i2＝－15x4.故选A.3．(2016·云南部分名校1月统一考试)已知6e11d=⎰n xx，那么⎝⎛⎭⎫x－3xn展开式中含x2项的系数为()A．130 B．135 C．121 D．139 答案 B解析根据题意，66ee111d ln|6,===⎰n x xx则⎝⎛⎭⎫x－3x6中，由二项式定理得通项公式为Tk＋1＝C k6(－3)k x6－2k，令6－2k＝2，得k＝2，所以系数为C26×9＝135.4．在(x2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．答案7解析由题意知n2＋1＝5，解得n ＝8，(x 2－13x )8的展开式的通项T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k (－13x )k ＝48838(1)2C ---k kk kx，令8－4k3＝0，得k ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C 68＝7.题型一二项展开式命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1 (1)(2016·全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是______________．(用数字填写答案)(2)(2015·课标全国Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60答案 (1)10 (2)C解析 (1)(2x ＋x )5展开式的通项公式5552551C (2)C 2,---+==k kk kk kk x xTk ∈{0,1,2,3,4,5}，令5－k2＝3，解得k ＝4，得454543255C 210,--==xx T ∴x 3的系数是10.(2)方法一利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.方法二利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23＝30.故选C.命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数例2 (1)(2015·课标全国Ⅱ)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________.(2)(2016·山东)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数为－80，则实数a ＝________.答案 (1)3 (2)－2解析 (1)设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. (2)510,2552551C ()C ---+==k kkk k kk ax a x T∴10－52k ＝5，解得k ＝2，∴a 3C 25＝－80，解得a ＝－2. 思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．(1)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________.(用数字填写答案) 答案 (1)－20 (2)12解析 (1)x 2y 7＝x ·(xy 7)，其系数为C 78， x 2y 7＝y ·(x 2y 6)，其系数为－C 68，∴x 2y 7的系数为C 78－C 68＝8－28＝－20. (2)设通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k ，令10－k ＝7， ∴k ＝3，∴x 7的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例3 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和．解设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数的和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29，偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102；x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.(1)(2016·北京海淀区模拟)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 B解析由题意得a ＝C m 2m ，b ＝C m ＋12m ＋1，∴13C m 2m ＝7C m ＋12m ＋1，∴13·(2m )！m ！·m ！＝7·(2m ＋1)！m ！·(m ＋1)！， ∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6，经检验符合题意，故选B.(2)若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的结果是多少？解当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1. 题型三二项式定理的应用例4 (1)设a ∈Z 且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a 等于( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12(2)1.028的近似值是________．(精确到小数点后三位) 答案 (1)D (2)1.172解析 (1)512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ，∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12. (2)1.028＝(1＋0.02)8≈C 08＋C 18·0.02＋C 28·0.022＋C 38·0.023≈1.172. 思维升华 (1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．(1)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.(2)已知2n ＋2·3n ＋5n －a 能被25整除，求正整数a 的最小值．解原式＝4·6n ＋5n －a ＝4(5＋1)n ＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52＋C n －1n 5＋C n n )＋5n －a＝4(C 0n 5n ＋C 1n 5n －1＋…＋C n －2n 52)＋25n ＋4－a ，显然正整数a 的最小值为4.15．二项展开式的系数与二项式系数典例 (1)(2016·河北武邑中学期末)若(x －3x )n 展开式的各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中含x 项的系数为________．(2)(2016·河北邯郸一中调研)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7的展开式中x 4的系数是－35，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________. 错解展示解析 (1)(x ＋3x)n 展开式中，令x ＝1可得4n ＝1 024，∴n ＝5，∴(x －3x)n 展开式的通项T k ＋1＝(－3)k ·C k5·532k x ，令5－3k 2＝1，得k ＝1.故展开式中含x 项的系数为C 15＝5.(2)a 1＋a 2＋…＋a 7＝C 17＋C 27＋…＋C 77＝27－1.答案 (1)5 (2)27－1 现场纠错解析 (1)在(x ＋3x)n 的展开式中，令x ＝1，可得(x －3x)n 展开式的各项系数绝对值之和为4n ＝22n ＝1 024＝210，∴n ＝5.故(x －3x)5展开式的通项为T k ＋1＝(－3)k ·C k 5·532k x -，令5－3k 2＝1，得k ＝1，故展开式中含x 项的系数为－15. (2)∵(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令x ＝0，∴a 0＝(－m )7.又∵展开式中x 4的系数是－35，∴C 37·(－m )3＝－35， ∴m ＝1.∴a 0＝(－m )7＝－1.在(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7中，令x ＝1，得0＝－1＋a 1＋a 2＋…＋a 7，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝1. 答案 (1)－15 (2)1纠错心得和二项展开式有关的问题，要分清所求的是展开式中项的系数还是二项式系数，是系数和还是二项式系数的和.1．在x 2(1＋x )6的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 答案 C解析因为(1＋x )6的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 6x k ，x 2(1＋x )6的展开式中含x 4的项为C 26x 4＝15x 4，所以系数为15.2．(2015·湖南)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 ⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式通项52522551C (1)(1)C ,k kk kk kk kk k x a xa x T ---+=-⋅=-令52－k ＝32，则k ＝1，31252C ,a x T ∴=-∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.3．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20答案 C解析设展开式中的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k ·(－2－x )k ＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx·2－kx＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx，∵12x －3kx ＝0恒成立，∴k ＝4， ∴T 5＝C 46·(－1)4＝15. 4．(2015·湖北)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212 答案 A解析由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 5．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4的系数为15，则a 的值为( ) A ．－4 B.52 C ．4 D.72答案 C解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4的系数为4a －1＝15，∴a ＝4. 6．若(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a n (1－x )n ，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n 等于( ) A.34(3n －1) B.34(3n －2) C.32(3n －2) D.32(3n －1) 答案 D解析在展开式中，令x ＝2，得3＋32＋33＋…＋3n ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)n a n ，即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋(－1)na n ＝3(1－3n )1－3＝32(3n －1)． 7．若(x ＋a )2(1x －1)5的展开式中常数项为－1，则a 的值为( )A ．1B ．9C ．－1或－9D ．1或9答案 D解析由于(x ＋a )2＝x 2＋2ax ＋a 2，而(1x －1)5的展开式通项为T k ＋1＝(－1)k C k 5·x k －5，其中k ＝0,1,2，…，5.于是(1x －1)5的展开式中x －2的系数为(－1)3C 35＝－10，x －1项的系数为(－1)4C 45＝5，常数项为－1，因此(x ＋a )2(1x －1)5的展开式中常数项为1×(－10)＋2a ×5＋a 2×(－1)＝－a 2＋10a －10，依题意－a 2＋10a －10＝－1，解得a 2－10a ＋9＝0，即a ＝1或a ＝9. 8．(2016·北京)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答) 答案 60解析展开式的通项T k ＋1＝C k 6·16－k ·(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k .令k ＝2，得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.9．(2016·天津)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) 答案－56解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的通项T k ＋1＝C k 8(x 2)8－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k C k 8x 16－3k ，当16－3k ＝7时，k ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.10．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________. 答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k·(－1)k ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.11．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________．答案 168解析 ∵(1＋x )8的通项为C k 8x k ，(1＋y )4的通项为C t 4y t ，∴(1＋x )8(1＋y )4的通项为C k 8C t 4x k y t ，令k ＝2，t ＝2，得x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.12．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094. (3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093. (4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|，即(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.13．求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除．证明 ∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数， ∴原式能被31整除．*14.若(x ＋124x)n 展开式中前三项的系数成等差数列，求： (1)展开式中所有x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项．解 (1)易求得展开式前三项的系数为1，12C 1n ，14C 2n . 据题意得2×12C 1n ＝1＋14C 2n ⇒n ＝8. 设展开式中的有理项为T k ＋1，163848811C ()C ,2k k k kk k k x T --+==由∴k 为4的倍数，又0≤k ≤8，∴k ＝0,4,8. 故有理项为16300044811()C ,2x x T -⨯== 163444485135()C ,28x x T -⨯==163888482911()C .2256x x T -⨯== (2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧ (12)k C k 8≥(12)k ＋1C k ＋18，(12)k C k 8≥(12)k －1C k －18⇒k ＝2或k ＝3.故展开式中系数最大的项为163252242831()C 7,2x x T -⨯==163373344841()C 7.2x x T -⨯==。

2018版高考数学(理)一轮复习文档：第十章计数原理10.2含解析

1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2。

排列数与组合数(1)排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A错误!表示．（2）组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C错误!表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式（1）A错误!＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1) ＝错误!(2)C m n＝错误!＝错误!＝错误!性质(1)0！＝1;A错误!＝n！（2）C错误!＝C错误!;C错误!＝C错误!＋C错误!【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1）所有元素完全相同的两个排列为相同排列．（×)(2）一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(×)（3）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．（√)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.（√)(5）A m n＝n A错误!。

（√)(6）k C错误!＝n C错误!。

(√)1．(2016·四川)用数字1,2，3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A．24 B．48C．60 D．72答案 D解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3,5;分为两步：先从1，3,5三个数中选一个作为个位数有C错误!种情况，再将剩下的4个数字排列得到A错误!种情况，则满足条件的五位数有C错误!·A错误!＝72(个）．故选D。

2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24答案 D解析“插空法”,先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A错误!＝4×3×2＝24。