第3讲 函数与方程、函数的实际应用

第3讲 函数与方程、函数的实际应用

考点一 作函数的图象

【例1】 分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|x 2－4x ＋3|；(2)y ＝2x ＋1x ＋1

；(3)y ＝10|lg x |．

规律方法 (1)熟知一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象，再掌握图象变换的规律作图．(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．

考点二 函数图象的变换

【例2】 函数()()()13

31log 1x x f x x x ⎧ ≤⎪=⎨ >⎪⎩，则y ＝f (1－x )的图象是________．

规律方法 作图象平移时，要注意不要弄错平移的方向，必要时，取特殊点进行验证；平移变换只改变图象的位置，不改变图象的形状．

考点三 函数图象的应用

【例3】 (1)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 2

，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个．

(2)直线y ＝1与曲线y ＝x 2

－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．

规律方法 (1)曲线交点、函数零点、方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数．利用此法也可由解的个数求参数值或范围．(2)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值；从图象的对称性分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性等都是函数图象的基本应用．

考点四 利用数形结合思想求参数的范围

【例4】 已知不等式x 2－log a x ＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．

规律方法 (1)“以形助数”是已知两图象交点问题求参数范围常用到的方法，解决此类问题的关键在于准确作出不含参数的函数的图象，并标清一些关键点，对于含参数的函数图象要注意结合条件去作出符合题意的图形． (2)当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．

考点五 函数零点的求解与判断

【例5】 (1)函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在区间是________．

①⎝⎛⎭⎫14，12；②⎝⎛⎭

⎫12，1；③(1，2)；④(2，3)．

(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧

ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．

规律方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

考点六根据函数零点的存在情况，求参数的值

【例6】已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2

(x>0)．

x

(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

规律方法函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．

考点七与二次函数有关的零点分布

【例7】是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1，3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．