范德蒙德行列式的证明
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
范德蒙德（Vandermonde ）行列式
·定义：行列式1
13
12112
2
3
2221321......
..................1...111----=n n
n n n n n
a a a a a a a a a a a a d 称为n 级范德蒙德（Vandermonde ）行列式。
·性质：对任意的n （n ≥2），n 级范德蒙德行列式等于a 1a 2a 3...a n 这n 个数的所有可能的差
a i -a j (1≤j ＜i ≤n)的乘积。即
)
(......
(1)
...1
1111
1312112
2
3
2221321j i n i j n n
n n n n n
a a a a a a a a a a a a a a d -∏==≤<≤----
范德蒙德行列式为零的充分必要条件是a 1，a 2，...，a n 这n 个数种至少两个相等。
·证明：（#数学归纳法）
（i ）当n=2时，
122
11
1a a a a -=，结论成立。
)
(......
..................1 (111)
1
12
1
2322212
123222
1
1
3211j i n i j n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a d -∏==-≤<≤--------
（ii ）设对于n-1级范德蒙德行列式结论成立，即
则
||
....................................................).........()
())...()((......
...
......
...1...11)
)...()(( 0
...
............
...0
...01 (11112113122)
2
3
2
2
32113122
11
2
311
3
2
2
11
2
12
3
12
32
12
211312j i n
i j j i n
i j n n n
n n n n n n
n n
n n n n n
n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a d -∏=-∏⨯---=---=---------=≤<≤≤<≤---------