数学物理方法_第1章 数学物理定解问题
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T T
' MM 在u方向弧段 的受力总和为
T sin T sin gds, 其中 gds
' '
是弧段的重力。小弧段在时刻t沿u方向的
2u x, t 加速度近似为 t 2 , 小弧段的质量 ds ，
则由牛顿第二定律，有
u x, t T sin T sin gds ds 2 t
Az Ay i z y
Ay Ax Ax Az j k x y z x
相联立，其中 是介质的介电常数， 是 导磁率， 为导电率，我们假定介质是均 匀而且是各向同性的，此时 , , 均为常 数。 方程（1.1.11）与（1.1.12）都同时包 含有 E 与 H , 从中消去一个变量，就可 以得到关于另一个变量的微分方程。例如 先消去 H ，在方程（1.1.11）两端求旋度 （假定， E 和 H 都是二次连续可微的） 并利用方程（1.1.15）与（1.1.17）得
2 2u x, t u x, t 2 a f ( x, t )（1.1.4） 2 2 t x
1
式（1.1.4）称为弦的强迫振动方程。 方程（1.1.3）和(1.1.4)的差别在于其 （1.1.4）的右端多了一个与未知函数u无 关的项f（x，t），这个项称为自由项。包 括有非零自由项的方程称为非齐次方程。 自由项恒等于零的方程称为齐次方程。方 程（1.1.3）为一维齐次波动方程，方程 （1.1.4）为一维非齐次波动方程。
t
由此可得
I V C GV x t
（1.1.8）
将方程（1.1.7)与（1.1.8）合并，即得I 和V 应满足如下方程组 V I C GV 0, x t V I L RI 0. t x
从这个方程组消去V (或I), 即可得到I (或V)所满足的方程。例如，为了消去V， 我们将方程（1.1.8）对微分（假定V与I 对都是二次连续可微的），同时在方程 （1.1.7）两端乘以C后再对微分，并把两 个结果相减，即得
2 2 u x , t u x, t g T x 2 t 2
或
一般说来，张力较大时弦振动的速度变化 2 很快，即 u x, t 要比g大很多，所以又可
t 2
以把g略去。这样，经过逐步略去一些次 要的量，抓住主要的量，在u（x，t）
关于x和t都是二次连续可微的前提下，最 后得出u(x ,t)应近似地满足方程
其中 J 为传导电流的面密度， 为电荷 的体密度。 这组方程还必须与下述场的物质方程 （1.1.15） D E （1.1.16） B H
J E
（1.1.17）
算符 i j k Hamilton算符， x y z
它是矢量微分算符，具有矢量和微分双重性质
H E E t 将方程（1.1.12）与（1.1.16）代入上式得 2 H H H 2 t t 1 2 而 H ( H ) H , 且 H B 0, 所以最后得到 H 所满足的方程为
从物理学我们知道，电磁场的特性可以 用电场强度 E 与磁场强度 H 以及电感应 强度 D 与磁感应强度 B 来描述。联系这 些量的麦克斯韦（Maxwell）方程组为
D H J t
（1.1.11） （1.1.12）
B E t
B 0 D
(1.1.13) （1.1.14）
2 ' '
（2.1.2）
又因为当 0, 0时，有 u x, t tan sin tan , 2 x 1 tan
'
u x dx, t sin tan , x
' ' 2
u x, t ds 1 dx dx. x
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处 张力的方向总是沿着弦在该点的切线方 向。现在考虑弧段 MM ' 在t时刻的受力 和运动情况。根据牛顿第二定律，作用 于弧段上任一方向上力的总和等于这段 弧的质量乘以该方向上的运动加速度。 在x方向弧段 MM ' 的受力总和为 ' ' T cos T cos 由于弦只作横向运动，所以 ' ' T cos T cos 0 （2.1.1）
I V I I G LC 2 RC 0 2 x x t t
2 2
V 将方程（1.1.7）中的 x 代入上式，得 2 2 I I I LC 2 ( RC GL) GRI 2 x t t
这就是电流I满足的微分方程。采用类似的 方法从方程（1.1.7）与（1.1.8）中消去I可 得电压V满足的方程 2 2 V V V LC 2 ( RC GL) GRV 2 x t t 方程（1.1.9）、（1.1.10）称为传输线方程.
u u u gradu u i j k x y z
divA A i j k Ax i Ay j Az k y z x Ax Ay Az x y z
rotA A
A.弦的横振动 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程 2 2 s x 弦的原长 现长 s' (x) (u) x 弦长的变化产生回到原位置的张力
u ( x) u u
u ( x)
T1
T2
C
2
B
1
A
0
x
x x
x
设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置 为M，位移NM记为u，显然，在振动过程中 位移u是变量x和t的函数，即u=u（x，t）。 现在来建立位移u满足的方程。采用微元法， 我们把弦上点的运动先看成小弧段的运动， 然后再考虑小弧段趋于零的极限情况。在弦 上任取一弧段 MM ' ，其长为ds，设 是弦的 ' T , T 线密度，弧段两端所受的张力依次记作 。
图1.1.3
今考虑一来一往的高频传输线，它被当作 具有分布参数的导体（图1.1.3），我们 来研究这种导体内电流流动的规律。在具 有分布参数的导体中，电流通过的情况， 可以用电流强度I与电压V来描述，此处I 与V都是 x, t 的函数,记作 I ( x, t ) 与 V ( x, t ) 。 以R, L, C, G分别表示下列参数： R—每一回路单位的串联电阻；L—每一 回路单位的串联电感；C—每单位长度的 分路电容；G—每单位长度的分路电导。
将上述关系代入（2.1.2），并注意 T T '
得到 2u x, t （2.1.3） u x dx, t u x, t T gdx dx
x x t 2
上式右端方括号的部分是由于x产生dx的 u x , t 的改变量，可以用微 变化引起的 分近似代替，即
x
u x dx, t u x, t u x, t 2u x, t dx dx 2 x x x x x
于是，式（2.1.3）成为
2u x, t 2u x, t g dx dx T 2 2 x t
采用微元法，根据基尔霍夫第二定律，在 长度为的传输线中，电压降应等于电动势 之和，即
I V (V V ) Rx I Lx t
ห้องสมุดไป่ตู้
由此可得
V I RI L x t
（1.1.7）
另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的 电流应等于流出该节点的电流，即 V I ( I I ) C x Gx V V
2 u x, t ' ' Fds T sin T sin gds ds t 2
T cos T cos 0
' '
重复上面的推导，可得有外力作用时弦的 振动方程 其中 f ( x, t ) F x, t 表示t时刻单位质量的弦 在x点所受的外力。
根据不同的具体情况，对参数R ,L, C, G作 不同的假定，就可以得到传输线方程的各 种特殊形式。例如，在高频传输的情况下， 电导与电阻所产生的效应可以忽略不计， 也就是说可令 G R 0 , 此时方程 （1.1.9）与（1.1.10 ）可简化为 2 2
I 1 I 2 2 t LC x
三、传输线方程
对于直流电或低频的交流电，基尔霍 夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中电 流相等。但对于较高频率的（指频率还没 有高到能显著地辐射电磁波的情况），电 路中的导线的自感和电容的效应不可忽略， 因而同一支路中电流未必相等。
i
v
x
i i
Rx
Lx
Cx
Gx
v v
X+△x
2V 1 2V 2 t LC x2
这两个方程称为高频传输线方程。
1 若令 a LC ，这两个方程与（1.1.3）完全
2
相同。由此可见，同一个方程可以用来描 述不同的物理现象。一维波动方程只是波 动方程中最简单的情况，在流体力学、声 学及电磁场理论中，还要研究高维的波动 方程。
四、电磁场方程
按照上述所做的弦作微小振动的假设，可 ' 知在振动过程中弦上M点与 M 点处切线 ' 的倾角都很小，即 0, 0 ，从而由
cos 1
2 4
2!
可知，当我们略去 和 一次方的各项时，就有
4!
'
的所有高于
cos 1,
cos 1
'
'
代入到式（2.1.1），便可近似得到
（2）规律法: 就是将物理规律（比如 Maxwell方程组）用（容易求解的）的数 学物理方程表示出来。 （3）统计法: 就是通过统计规律建立所 研究问题满足的（广义）数学物理方程， 常用于经济、社会科学等领域。希望读者 通过这一章的学习，在掌握所导出的数学 物理方程的同时，学到这种“翻译方法”。 下面我们通过实例来做这一工作。
2 2
u x, t 2 u x, t a （1.1.3） 2 2 t x 2 这里 a T . 式（1.1.3）称为弦振动方
程，也称一维波动方程。 如果在振动过程中，弦上还另受到一个 与弦的振动方向平行的外力，且假定在时 刻t弦上x点处的外力密度为F（x，t）， 显然式（1.1.1）和（1.1.2）分别为
一、均匀弦的微小横振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿 直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张 力及弦本身的重力外，不受其它外力的作 用。下面研究弦作微小横振动的规律。所 谓“横向”是指全部运动出现在一个平面 内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运 动（如图1.1.1）。所谓“微小”是指运 动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都 很小，以致它们的高于一次方的项可以忽 略不计。
§1.1 基本方程的建立
基本方程是一类或几类物理现象满足的 普遍规律的数学表达，这一节的工作就是 将物理规律“翻译”成数学语言，即列出 数学物理方程。建立这种描述物理现象的 数学方程通常有三种方法：
（1）微元法: 就是在整个系统中分出一 个小部分，分析邻近部分与这一小部分 的相互作用，根据物理学规律（比如牛 顿第二定律等），用数学表达式来表示 这个作用，通过对表达式的化简、整理， 即得到所研究问题满足的数学物理方程。
' MM 在u方向弧段 的受力总和为
T sin T sin gds, 其中 gds
' '
是弧段的重力。小弧段在时刻t沿u方向的
2u x, t 加速度近似为 t 2 , 小弧段的质量 ds ，
则由牛顿第二定律，有
u x, t T sin T sin gds ds 2 t
Az Ay i z y
Ay Ax Ax Az j k x y z x
相联立，其中 是介质的介电常数， 是 导磁率， 为导电率，我们假定介质是均 匀而且是各向同性的，此时 , , 均为常 数。 方程（1.1.11）与（1.1.12）都同时包 含有 E 与 H , 从中消去一个变量，就可 以得到关于另一个变量的微分方程。例如 先消去 H ，在方程（1.1.11）两端求旋度 （假定， E 和 H 都是二次连续可微的） 并利用方程（1.1.15）与（1.1.17）得
2 2u x, t u x, t 2 a f ( x, t )（1.1.4） 2 2 t x
1
式（1.1.4）称为弦的强迫振动方程。 方程（1.1.3）和(1.1.4)的差别在于其 （1.1.4）的右端多了一个与未知函数u无 关的项f（x，t），这个项称为自由项。包 括有非零自由项的方程称为非齐次方程。 自由项恒等于零的方程称为齐次方程。方 程（1.1.3）为一维齐次波动方程，方程 （1.1.4）为一维非齐次波动方程。
t
由此可得
I V C GV x t
（1.1.8）
将方程（1.1.7)与（1.1.8）合并，即得I 和V 应满足如下方程组 V I C GV 0, x t V I L RI 0. t x
从这个方程组消去V (或I), 即可得到I (或V)所满足的方程。例如，为了消去V， 我们将方程（1.1.8）对微分（假定V与I 对都是二次连续可微的），同时在方程 （1.1.7）两端乘以C后再对微分，并把两 个结果相减，即得
2 2 u x , t u x, t g T x 2 t 2
或
一般说来，张力较大时弦振动的速度变化 2 很快，即 u x, t 要比g大很多，所以又可
t 2
以把g略去。这样，经过逐步略去一些次 要的量，抓住主要的量，在u（x，t）
关于x和t都是二次连续可微的前提下，最 后得出u(x ,t)应近似地满足方程
其中 J 为传导电流的面密度， 为电荷 的体密度。 这组方程还必须与下述场的物质方程 （1.1.15） D E （1.1.16） B H
J E
（1.1.17）
算符 i j k Hamilton算符， x y z
它是矢量微分算符，具有矢量和微分双重性质
H E E t 将方程（1.1.12）与（1.1.16）代入上式得 2 H H H 2 t t 1 2 而 H ( H ) H , 且 H B 0, 所以最后得到 H 所满足的方程为
从物理学我们知道，电磁场的特性可以 用电场强度 E 与磁场强度 H 以及电感应 强度 D 与磁感应强度 B 来描述。联系这 些量的麦克斯韦（Maxwell）方程组为
D H J t
（1.1.11） （1.1.12）
B E t
B 0 D
(1.1.13) （1.1.14）
2 ' '
（2.1.2）
又因为当 0, 0时，有 u x, t tan sin tan , 2 x 1 tan
'
u x dx, t sin tan , x
' ' 2
u x, t ds 1 dx dx. x
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处 张力的方向总是沿着弦在该点的切线方 向。现在考虑弧段 MM ' 在t时刻的受力 和运动情况。根据牛顿第二定律，作用 于弧段上任一方向上力的总和等于这段 弧的质量乘以该方向上的运动加速度。 在x方向弧段 MM ' 的受力总和为 ' ' T cos T cos 由于弦只作横向运动，所以 ' ' T cos T cos 0 （2.1.1）
I V I I G LC 2 RC 0 2 x x t t
2 2
V 将方程（1.1.7）中的 x 代入上式，得 2 2 I I I LC 2 ( RC GL) GRI 2 x t t
这就是电流I满足的微分方程。采用类似的 方法从方程（1.1.7）与（1.1.8）中消去I可 得电压V满足的方程 2 2 V V V LC 2 ( RC GL) GRV 2 x t t 方程（1.1.9）、（1.1.10）称为传输线方程.
u u u gradu u i j k x y z
divA A i j k Ax i Ay j Az k y z x Ax Ay Az x y z
rotA A
A.弦的横振动 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程 2 2 s x 弦的原长 现长 s' (x) (u) x 弦长的变化产生回到原位置的张力
u ( x) u u
u ( x)
T1
T2
C
2
B
1
A
0
x
x x
x
设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置 为M，位移NM记为u，显然，在振动过程中 位移u是变量x和t的函数，即u=u（x，t）。 现在来建立位移u满足的方程。采用微元法， 我们把弦上点的运动先看成小弧段的运动， 然后再考虑小弧段趋于零的极限情况。在弦 上任取一弧段 MM ' ，其长为ds，设 是弦的 ' T , T 线密度，弧段两端所受的张力依次记作 。
图1.1.3
今考虑一来一往的高频传输线，它被当作 具有分布参数的导体（图1.1.3），我们 来研究这种导体内电流流动的规律。在具 有分布参数的导体中，电流通过的情况， 可以用电流强度I与电压V来描述，此处I 与V都是 x, t 的函数,记作 I ( x, t ) 与 V ( x, t ) 。 以R, L, C, G分别表示下列参数： R—每一回路单位的串联电阻；L—每一 回路单位的串联电感；C—每单位长度的 分路电容；G—每单位长度的分路电导。
将上述关系代入（2.1.2），并注意 T T '
得到 2u x, t （2.1.3） u x dx, t u x, t T gdx dx
x x t 2
上式右端方括号的部分是由于x产生dx的 u x , t 的改变量，可以用微 变化引起的 分近似代替，即
x
u x dx, t u x, t u x, t 2u x, t dx dx 2 x x x x x
于是，式（2.1.3）成为
2u x, t 2u x, t g dx dx T 2 2 x t
采用微元法，根据基尔霍夫第二定律，在 长度为的传输线中，电压降应等于电动势 之和，即
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ห้องสมุดไป่ตู้
由此可得
V I RI L x t
（1.1.7）
另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的 电流应等于流出该节点的电流，即 V I ( I I ) C x Gx V V
2 u x, t ' ' Fds T sin T sin gds ds t 2
T cos T cos 0
' '
重复上面的推导，可得有外力作用时弦的 振动方程 其中 f ( x, t ) F x, t 表示t时刻单位质量的弦 在x点所受的外力。
根据不同的具体情况，对参数R ,L, C, G作 不同的假定，就可以得到传输线方程的各 种特殊形式。例如，在高频传输的情况下， 电导与电阻所产生的效应可以忽略不计， 也就是说可令 G R 0 , 此时方程 （1.1.9）与（1.1.10 ）可简化为 2 2
I 1 I 2 2 t LC x
三、传输线方程
对于直流电或低频的交流电，基尔霍 夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中电 流相等。但对于较高频率的（指频率还没 有高到能显著地辐射电磁波的情况），电 路中的导线的自感和电容的效应不可忽略， 因而同一支路中电流未必相等。
i
v
x
i i
Rx
Lx
Cx
Gx
v v
X+△x
2V 1 2V 2 t LC x2
这两个方程称为高频传输线方程。
1 若令 a LC ，这两个方程与（1.1.3）完全
2
相同。由此可见，同一个方程可以用来描 述不同的物理现象。一维波动方程只是波 动方程中最简单的情况，在流体力学、声 学及电磁场理论中，还要研究高维的波动 方程。
四、电磁场方程
按照上述所做的弦作微小振动的假设，可 ' 知在振动过程中弦上M点与 M 点处切线 ' 的倾角都很小，即 0, 0 ，从而由
cos 1
2 4
2!
可知，当我们略去 和 一次方的各项时，就有
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'
的所有高于
cos 1,
cos 1
'
'
代入到式（2.1.1），便可近似得到
（2）规律法: 就是将物理规律（比如 Maxwell方程组）用（容易求解的）的数 学物理方程表示出来。 （3）统计法: 就是通过统计规律建立所 研究问题满足的（广义）数学物理方程， 常用于经济、社会科学等领域。希望读者 通过这一章的学习，在掌握所导出的数学 物理方程的同时，学到这种“翻译方法”。 下面我们通过实例来做这一工作。
2 2
u x, t 2 u x, t a （1.1.3） 2 2 t x 2 这里 a T . 式（1.1.3）称为弦振动方
程，也称一维波动方程。 如果在振动过程中，弦上还另受到一个 与弦的振动方向平行的外力，且假定在时 刻t弦上x点处的外力密度为F（x，t）， 显然式（1.1.1）和（1.1.2）分别为
一、均匀弦的微小横振动 设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿 直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张 力及弦本身的重力外，不受其它外力的作 用。下面研究弦作微小横振动的规律。所 谓“横向”是指全部运动出现在一个平面 内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运 动（如图1.1.1）。所谓“微小”是指运 动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都 很小，以致它们的高于一次方的项可以忽 略不计。
§1.1 基本方程的建立
基本方程是一类或几类物理现象满足的 普遍规律的数学表达，这一节的工作就是 将物理规律“翻译”成数学语言，即列出 数学物理方程。建立这种描述物理现象的 数学方程通常有三种方法：
（1）微元法: 就是在整个系统中分出一 个小部分，分析邻近部分与这一小部分 的相互作用，根据物理学规律（比如牛 顿第二定律等），用数学表达式来表示 这个作用，通过对表达式的化简、整理， 即得到所研究问题满足的数学物理方程。