数学物理方法_第1章 数学物理定解问题
数学物理方法第一章
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin
z (cos i sin )
z e
i
指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
数学物理方法复习整理
数学物理方法复习整理数学物理方法一、本课程的教学内容第1章典型数学物理方程及定解问题第2章分离变量法第3章积分变换法第4章行波法和降维法（达朗贝尔法）第5章数理方程差分法第6章格林函数法第7章bessel方程与函数二、章节重点第一章典型的数学和物理方程及定解问题1。
术语解释：(1)定解条件、定解问题、定解问题的适定性；(2).dirichlet、neumann定解问题；（3）傅立叶热传导定律和胡克弹性定律；（4）演化方程，势方程，拉普拉斯方程，泊松方程；2.简述二阶线性偏微分方程的分类方法。
3.推导一维波和热传导方程。
4.写出二阶偏微分方程的特征方程及其特征曲线。
5.书1.4习题：1，3，4，7，8，96.书中示例1.1.1、1.1.3、1.1.6和1.2.1第二章分离变量方法1。
名词解释：(1)特征值、特征函数、sturm-liouville问题；(2)驻波、腹点、节点、基频、固有频率；(3)三角函数系正交性；(4)fourier级数；（5）矩形和圆形区域上的拉普拉斯问题；2．简述采用分离变量法求解齐次边界条件的齐次线性偏微分方程定解问题的步骤。
3.第2.7册练习：1,4,6,8,15,16（p65-67）。
4.书籍示例：2.1.1、2.1.2、2.2.1。
第三章积分变换方法1。
术语解释：(1)fourier变换；(2)laplace变换；（3）傅里叶变换，线性性质，位移性质；（4）拉普拉斯变换，线性性质，平移性质，微分性质；2.简述用积分变换法求解偏微分方程定解问题的基本步骤。
3.写出傅里叶变换和拉普拉斯变换的存在条件。
4.用傅里叶变换方法导出了无限弦振动的达朗贝尔公式。
5.第3.6册练习：1（1）（2）、6、9（1）（2）、12、13（p93-94）。
6.书籍示例：3.1.1；3.1.2； 3.3.1、2、3、4、6；例3.4.1、3.4.2、3.4.3解的像函数。
第四章行波法与降维法(d’alembert法)1．名词解释：（1）无限长弦自由振动的达朗贝尔公式；（2）行波速度；(3)特征变换，特征线；(4)球对称性，降维法；2.简要描述达朗贝尔公式的物理意义。
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
sin ' tan ' u(x dx,t)
x
则
T T'
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
T
u(
x dx, x
t)
u ( x, x
t
)
gds
ma
T
u(x dx,t) x
u ( x, x
t)
gds
ma
m ds
其中：
a 2u(x,t) t 2
ds dx
T
u(x dx,t) x
微小： 振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
u
M'
ds
T'
'
M
gds
T
x
x dx x
牛顿运动定律：
横向：T cos T 'cos ' 0
纵向：T sin T 'sin ' gds ma 其中： cos 1 2 4 1
2! 4!
cos ' 1
sin tan u(x,t)
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学与物理的关系
数理不分家
☆ 数学物理方程： 用数学方程来描述一定的物理现象
数学物理方程（简称数理方程）是指自然科学和工程技术的各门 分支学科中出现的一些偏微分方程(有时也包括积分方程、微分方程等)， 它们反映了物理量关于时间的导数和关于空间变量的导数 之间的制约关系。例如声学、流体力学、电磁学、量子力学等等 方面的基本方程都属于数学物理方程的研究对象。
• 如图，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长 方向的各截面均用平行位置x标记；在任一 时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u( x, t )
数学物理方法中无界区域的定解问题
无界区域的定解问题前言：对于定义在整个空间或半空间的偏微分方程的定解问题，原则上可以用分离变量法求解，另外还有一些专门的方法来解决这类问题，本章就讨论这些解法。
含两个自变量x 和y 的二阶线性偏微分方程的一般形式为：),(22122222122211y x f cu y ub x u b yu a y x u a x u a =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂其中11a ，12a ，22a ，1b ，2b 和c 都只是x 和y 的函数。
根据判别式2211212a a a -=∆符号的不同可如下来划分偏微分方程的类型⎪⎩⎪⎨⎧<-=∆=-=∆>-=∆椭圆型，抛物型，双曲型，000221121222112122211212a a a a a a a a a 定解问题： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∞<<-∞=∂∂==∂∂-∂∂==)0,0,(,)(),(),(),(00022222a t x x t x u t x t x u x u a t u t t ψϕ由于111=a ，012=a ，222a a -=，则0)(222211212>=-->-=∆a a a a a 。
令at x t x +=),(ζ，at x t x -=),(η，),(),(ηζv t x u =，可化为：02=∂∂∂ηζv通解为：)()(),(21ηζηζf f v +=，其中)(1ζf ，)(2ηf 为任意函数。
通解为：)()(),(21at x f at x f t x u -++= 代入初始条件可得：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-⇒='-'⇒=∂∂=+⇒=⎰==)()()(1)()()()()()(),()()()()(),(0201212102100x f x f d a x f x f x x f a x f a x t x u tx x f x f x t x u x x t t ζζψψψϕϕ由上式可推出：⎪⎩⎪⎨⎧---=-++=⎰⎰)]()([21)(21)(21)()]()([21)(21)(21)(020*******00x f x f d a x x f x f x f d a x x f x x x x ζζψϕζζψϕ 特解： ⎰+-+-++=atx at x d aat x at x t x u ζζψϕϕ)(21)]()([21),(达朗贝尔公式的物理意义： 初位移)(x ϕ分成两半，各为2)(x ϕ，经过时间t 分别向左移动at 变成2)(at x +ϕ，向右移动at 变成2)(at x -ϕ，移动的速度均为a ，弦的总位移),(t x u 为2)(at x +ϕ和2)(at x -ϕ的叠加。
求定解问题数学物理方法例题
求定解问题数学物理方法例题1. 一辆汽车从A点出发，经过2小时行驶到B点，然后再经过3小时回到A点。
假设这两段行驶均在同一条直线上，求这辆车的平均速度。
答：假设AB之间的距离为d，时间 t1=2 小时，时间 t2=3 小时。
根据平均速度的定义，平均速度 = 总路程 / 总时间。
总路程 = 2d （从A到B）+ 2d （从B到A）。
总时间 = t1 + t2 = 5小时。
所以平均速度 = 总路程 / 总时间 = (2d + 2d) / 5 = 4d / 5。
2. 一个投掷物从地面上以速度 v0 垂直向上抛出，忽略空气阻力。
求物体到达最高点的时间和最大高度。
答：假设加速度 g = 9.8 m/s²是重力加速度，v0 是初始速度。
根据运动学公式，物体到达最高点时，垂直速度为 0，所以 v = v0 - gt = 0。
解出时间 t = v0 / g。
最大高度为 h = v0 * t - 1/2 * g * t² = v0² / (2g)。
3. 一个弹簧常数为 k 的弹簧，两端有各自质量为 m1 和 m2 的物体。
当这两个物体振动时，求两个物体的共同频率。
答：假设物体1的振动频率为 f1，物体2的振动频率为 f2。
根据振动的基本原理，弹簧的劲度系数k = m1 * (2πf1)² = m2 * (2πf2)²。
解方程组可以得到f1 = sqrt(k / (4π²m1))，f2 = sqrt(k /(4π²m2))。
所以两个物体的共同频率为sqrt(k / (4π²m1)) = sqrt(k / (4π²m2))。
希望以上例题能对您有帮助！请注意，这些例题仅供参考，并不代表所有数学和物理的定解问题。
数理方法资料1
课程介绍数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。
该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。
故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。
如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。
本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。
其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。
第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。
《数学物理方法》是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。
所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。
对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。
因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。
本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。
近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。
数学物理方法习题解答完整
数学物理方法习题解答一、复变函数局部习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，那么上式中**1z zz z∆∆==∆∆】 3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，那么()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。
但33332200()(0)()lim lim ()()z z f z f x y i x y zx y x iy →→--++=++。
令y 沿y kx =趋于0，那么依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。
4、假设复变函数()z f 在区域D 上解析并满足以下条件之一，证明其在区域D 上必为常数。
〔1〕()z f 在区域D 上为实函数； 〔2〕()*z f 在区域D 上解析； 〔3〕()Re z f 在区域D 上是常数。
证明：〔1〕令()(,)(,)f z u x y iv x y =+。
由于()z f 在区域D 上为实函数，所以在区域D 上(,)0v x y =。
数学物理方法习题解答
第一章 复变函数1.1 复数与复数运算【1】下列式子在复数平面上各具有怎样的意义？ 5，arg ,Re ,z a z b αβ<<<<（,,a αβ和b 为实常数）解：射线ϕα=与ϕβ=，直线x a =与x b =所围成的梯形。
7，111z z -≤+解：11111z z z z -≤⇒-≤++，令z x iy =+，则11z z -≤+即()()2222110x y x y x -+≤++⇒≥。
即复数平面的右半平面0x ≥。
【2】将下列复数用代数式，三角式和指数式几种形式表示出来。
3，1+解：代数式即：1z =+；2ρ=，且z 的辐角主值arg 3z π=，因此三角式：2cos2sin33z i ππ=+；指数式：232i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
7，1i 1i-+解：21i (1i)2i i 1i(1i)(1i)2---===-++-，因此，其代数式：i z =-，三角式：33cos sin22z i ππ=+；指数式：322i k i z e eππϕρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，k ∈ 。
【3】计算下列数值。
（a ，b 和ϕ为实常数）2，解：将被开方的i 用指数式表示：22ei k i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，k ∈ 。
那么2322eexp 63i k k i ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k ∈ 。
7，cos cos 2cos 3cos n ϕϕϕϕ++++ 解：因为，cos R e (1)ik k e k n ϕϕ=≤≤，因此()[]2323cos cos 2cos 3cos R e R e R e R e (1)R e R e 1cos cos(1)sin sin(1)R e 1cos sin 222sin sin cos 222R e 2sin sin 2i i i in i in i i i in i n e eeee e eeeee n i n i n n n i ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++=++++⎡⎤-=++++=⎢⎥-⎣⎦⎧⎫-++-+⎪⎪=⎨⎬--⎪⎪⎩⎭++⎛⎫- ⎪⎝⎭= 222(1)2sin 2R e sin cos 2221(1)sin sin sin sin cos 22222R e sin sin2sin222n i i n i n e i e n n n n e ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫++- ⎪⎝⎭===1.2 复变函数【2】计算下列数值。
梁昆淼-数学物理方法
xat
2d
2
2a xat
cos x cos at 2t
( x)
u0
x1
x2
x1 x2
2
u(x,t) t0 (x)
例：求定解问题
utt a2uxx 0
ut (x,t) t0 0
2u0
x x1 x2 x1
x1
x
x1
2
x2
2u0
x2 x x2 x1
x1
x2 2
x
x2
0
x x1, x x2
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
2
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
2
u0
x1
x2
t 0
t t1 t t2
（二）、端点反射
utt a2uxx 0
u(x,t) t0 (x) ut (x,t) t0 (x)
Hu0
0 2
例2：一根导热杆由两段构成，两段热传导系数、比热、密
度分别为kI, cI, I, kII, cII, II, 初始温度为u0, 然后保持两端
温度为零，写出热传导问题的定解方程。
解：
第一段
ut I
kI
cI I
uxx I
0
x1
x
x2
x3
uI t0 u0
at)
1 2
(x
at)
1 2a
xat
(
)d
C
x0
2
u 1 [(x at) (x at)] 1
万义顿 数学物理方法讲义
万义顿数学物理方法讲义第一章引言数学物理方法是研究物理问题的一种重要工具，它结合了数学和物理的知识，为解决实际问题提供了有力的支持。
本讲义主要介绍了万义顿数学物理方法的基本概念和应用，旨在帮助读者掌握这一领域的核心知识。
第二章矢量分析矢量分析是数学物理方法中的重要内容，它用于描述和分析具有方向和大小的物理量。
本章介绍了矢量的基本概念、运算法则以及常见的坐标系，通过具体的例子帮助读者理解并掌握矢量分析的基本方法。
第三章微分方程微分方程是数学物理方法中的核心内容，它用于描述物理系统的演化规律。
本章介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和高阶微分方程的求解方法，以及常见的物理应用。
第四章偏微分方程偏微分方程是数学物理方法中的重要内容，它用于描述空间变量和时间变量同时存在的物理问题。
本章介绍了常见的偏微分方程，包括热传导方程、波动方程和亥姆霍兹方程，以及它们的解法和物理应用。
第五章线性代数线性代数是数学物理方法中的基础知识，它用于描述和求解线性方程组。
本章介绍了向量空间、矩阵和线性变换的基本概念，以及线性方程组的解法和矩阵特征值与特征向量的计算方法。
第六章复变函数复变函数是数学物理方法中的重要工具，它用于描述具有复数自变量和复数因变量的函数。
本章介绍了复数的基本概念、复变函数的导数和积分，以及复变函数的级数展开和留数定理的应用。
第七章特殊函数特殊函数是数学物理方法中的特殊解析函数，它们在物理问题的求解中起着重要作用。
本章介绍了常见的特殊函数，包括贝塞尔函数、勒让德多项式和超几何函数等，以及它们的性质和应用。
第八章变分法变分法是数学物理方法中的一种优化方法，它用于求解变分问题和极值问题。
本章介绍了变分法的基本概念和应用，包括欧拉-拉格朗日方程、哈密顿原理和变分问题的求解方法。
第九章概率论与统计概率论与统计是数学物理方法中的一种数学工具，它用于描述和分析随机现象。
本章介绍了概率论的基本概念和统计学的基本方法，包括概率分布、随机变量和参数估计等。
数学物理方法习题
第一章 分离变量法1、求解定解问题：200000000,(01),||0,,(0),|(),(),|0,(0).tt xx x x l t t u a u x u u n h l x x l n u h l l x x l l n l n u x l ====-=<<==⎧≤≤⎪⎪⎪=⎨-≤≤⎪-⎪⎪⎩=≤≤（P-223） 2、长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在距一端为0x 的一点以力0F 把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。
[提示：定解问题为200000000,(0),(0,)(,)0,,(0),(,0)(),(),|0.tt xx t t u a u x l u t u l t F l x x x x T l u x F x l x x x l T lu =-=<<==-⎧<<⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩= ] (P-227)3、求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布20|()/t u bx l x l ==-。
[定解问题为 220200,()(0),||0,|()/.t xx x x l t k u a u a x l C u u u bx l x l ρ===⎧-==≤≤⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩] (P-230) 4、求解定解问题2220,0,0220,0.03sin ,0.00u u a x l t t x u u x x l x u u A t l t t π⎧∂∂⎪-=<<>⎪∂∂⎪==⎨==⎪∂⎪===⎪∂=⎩4、长为l 的均匀杆，两端受压从而长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求解杆的这一振动。
[提示：定解问题为20000,(0),||0,2|2(),|0.tt xx x x x x l t t t u a u x l u u u x l u ε====⎧-=<<⎪==⎪⎪⎨=-⎪⎪=⎪⎩] (P-236) 5、长为l 的杆，一端固定，另一端受力0F 而伸长，求解杆在放手后的振动。
数理方法-第一讲-定解问题
（3）描绘稳定过程或状态的Poisson方程：
u h
(f和h—与源有关的已知函数) 1-3
其中
2 x2
2 y2
2 z2
, utt
2u t 2
,ut
u t
,u
u(x, y,z, t)
2、用数理方程研究物理问题的步骤
1. 导出或写出定解问题，包括数理方 程和定解条件两部分。
du dx
u t x ux
x
对微元应用物理定律：
设杆材料的杨氏模量Y x x dx
两端应力分别为：
x
u
F1 YS x
YSux
x
u
F1 udx
x
F1
u F2du
F2
F2 YS x
YSux
xdx
xdx
应用牛顿定律：YSux xdx YSux
x
(1) 牛顿第二定律: F=ma
(2)傅立叶实验定律（热传导定律）
当物体内存在温差时，会产生热量的流动。热流 强度q,与温度的下降率成正比：q ku
k为热传导系数，负号表示温度下降的方向。
分量形式为： qx
k
u x
,qy
k
u y
,qz
k
u z
(3)牛顿冷却定律 物体冷却时放出的热量-k u与物体与外界的温
2. 求解已导出或写出的定解问题。
3. 对求得的解答讨论其适用性（即是否 存在唯一且稳定的解）并作适当的物 理解释。
3、求解数理方程的方法
行分 波离 法变
量 法
积 Green 保 复 变
数学物理方法1-1数学物理方程及其定解条件资料讲解
9
教学基本要求
掌握波动方程、热传导方程、Laplace方程的 物理背景及其定解问题的提法；
熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量 法，行波法、积分变换法等；
ds
M
gds
在弦上任取一弧段 M M ，' 其长度为ds， T
弧段两端所受张力为 T 和 T '
N
N'
O
x
x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
14
现在考虑弧段 M M ' 在t时刻的受力和运动情况。
根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的
由
cos12
4
2! 4!
略去 和 ' 的所有高于一次方的项时，就有
cos1, cos' 1 u
T'
代入式 T c o s T 'c o s' 0
便可近似得到： T T '
M'
'
ds
M
gds
T
在u方向弧段 M M ' 受力总和为
N
N'
O
x
x dx
x
TsinT'sin'g d s,
其中， gds 是 M M ' 的重力。
第四章 Bessel函数的性质及其应用 §4.1 Bessel方程的引出 §4.2 Bessel函数的性质 §4.3 Bessel函数的应用 *§4.4 修正Bessel函数 *§4.5 可化为Bessel方程的方程
数学物理方法课后答案
数学物理方法课后答案【篇一：数学物理方法习题】1、求解定解问题：utt?a2uxx?0,(0?x?1),u|x?0?u|x?l?0,l?n0hx,(0?x?),?ln0?（p-223） ?u|t?0??hl(l?x),(?x?l),?ln0?l???n0u|t?0?0,(0?x?l).2、长为l的弦，两端固定，弦中张力为t，在距一端为x0的一点以力f0把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。
[提示：定解问题为 utt?a2uxx?0,(0?x?l),u(0,t)?u(l,t)?0,?f0l?x0x,(0?x?x0), ??tlu(x,0)???f0x0(l?x),(x?x?l),0??tlut|t?0?0.] (p-227)3、求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布u|t?0?bx(l?x)/l2。
[定解问题为k?22u?au?0,(a?)(0?x?l),xx?tc???] (p-230)u|x?0?u|x?l?0,??u|t?0?bx(l?x)/l2.???4、求解定解问题??2u?2u2??a?0,0?x?l,t?022??t?x?ux?0?0,ux?l?0. ??3?x?u?u ?asin,?0.?t?0l?tt?0?4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l(1?2?)，放手后自由振动，求解杆的这一振动。
[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?ux|x?0?ux|x?l?0,??](p-236) ?2u|?2?(?x),t?0?l?ut|t?0?0.??5、长为l的杆，一端固定，另一端受力f0而伸长，求解杆在放手后的振动。
[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?u|x?0?0,ux|x?l?0,??] (p-238)x?uxf?0?u(x,0)??0dx??0,?xys?ut|t?0?0.??6、长为l的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为v0时突然停止，求解杆的振动。
数学物理方法chapter-1
不妨让引用科学家柯朗在《数学物理方法》一书
（德文版 序言）中的一段话加以描述，柯朗写道：
“从17世纪以来，物理的直观，对于数学问题和方法
是富有生命力的根源，然而近年来的趋向和时尚，已
将数学与物理间的联系减弱了，数学家离开了数学的 直观根源，而集中推理精致和着重于数学的公设方面,
甚至有时忽视数学与物理学以及其他科学领域的整体 性.而且在许多情况下,物理学家也不再体会数学家的 观点,这种分裂,无疑地对于整个科学界是一个严重的 威胁,科学发展的洪流, 可能逐渐分裂成为细小而又细 小的溪渠,以至于干涸,因此,有必要引导我们的努力转
z r(cos i sin )
称为复数的三角表示式. 即为
z r cos ir sin r(cos isin) z cosArgz isinArgz
定义 1.2.6 复数的指数表示 利用欧拉(Euler) 公式
ei cos i sin 我们可以把任意非零复数 z x iy r cos i sin 表示
第一章 复数与复变函数
要求掌握：
1. 复数：复数运算和复数的各种表示方法； 模与幅角； 2. 曲线和区域的判断：简单曲线、简单闭曲 线；单、复（或多）连通区域；有、无界区 域；区域（开、闭区域）；映射的概念； 3. 复变函数的极限和连续； 4. 复球面与无穷远点概念；
重点：复数的运算和各种表示法； 复变函数极限的概念；
《数学物理方法》
参考资料：
第一部分 复变函数论 （含积分变换）
第二部分 数学物理方程 第三部分 特殊函数
参考资料（教材）
第四部分 计算机仿真
数学物理思想
数学思想是人类创造性思维最具活力的体现
爱因斯坦相对论的建立便是最有力的佐证。将数学思 想方法应用于现代高科技各专业技术领域，并构建成典 型的（物理）模型和解决问题的方法是数学思维和现代 专业技术领域的结晶，从而形成科学研究中实用性很强 的数学物理方法。它既利用精妙的数学思想，又联系具 体的研究任务和研究目标, 建立数学物理模型，给出解决 方法，是思维和研究任务、数学和物理模型有机结合的 方法，是统一数学思想和物理模型的系统化理论。脱离 了数学思维，具体研究任务失去了理论指导方法；脱离 了所研究的物理模型，作为最具生命力根源的数学思维 没有发挥其解决实际问题的巨大潜能。既非数学思想， 也非物理模型本身能达到尽善尽美，只有两者的有机结 合才能形成推动人类科学技术赖以发展的最有成效的动 力之源。
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根据不同的具体情况，对参数R ,L, C, G作 不同的假定，就可以得到传输线方程的各 种特殊形式。例如，在高频传输的情况下， 电导与电阻所产生的效应可以忽略不计， 也就是说可令 G R 0 , 此时方程 （1.1.9）与（1.1.10 ）可简化为 2 2
I 1 I 2 2 t LC x
2 2 u x , t u x, t g T x 2 t 2
或
一般说来，张力较大时弦振动的速度变化 2 很快，即 u x, t 要比g大很多，所以又可
t 2
以把g略去。这样，经过逐步略去一些次 要的量，抓住主要的量，在u（x，t）
关于x和t都是二次连续可微的前提下，最 后得出u(x ,t)应近似地满足方程
Az Ay i z y
Ay Ax Ax Az j k x y z x
相联立，其中 是介质的介电常数， 是 导磁率， 为导电率，我们假定介质是均 匀而且是各向同性的，此时 , , 均为常 数。 方程（1.1.11）与（1.1.12）都同时包 含有 E 与 H , 从中消去一个变量，就可 以得到关于另一个变量的微分方程。例如 先消去 H ，在方程（1.1.11）两端求旋度 （假定， E 和 H 都是二次连续可微的） 并利用方程（1.1.15）与（1.1.17）得
图1.1.3
今考虑一来一往的高频传输线，它被当作 具有分布参数的导体（图1.1.3），我们 来研究这种导体内电流流动的规律。在具 有分布参数的导体中，电流通过的情况， 可以用电流强度I与电压V来描述，此处I 与V都是 x, t 的函数,记作 I ( x, t ) 与 V ( x, t ) 。 以R, L, C, G分别表示下列参数： R—每一回路单位的串联电阻；L—每一 回路单位的串联电感；C—每单位长度的 分路电容；G—每单位长度的分路电导。
其中 J 为传导电流的面密度， 为电荷 的体密度。 这组方程还必须与下述场的物质方程 （1.1.15） D E （1.1.16） B H
J E
（1.1.17）
算符 i j k Hamilton算符， x y z
它是矢量微分算符，具有矢量和微分双重性质
u u u gradu u i j k x y z
divA A i j k Ax i Ay j Az k y z x Ax Ay Az x y z
rotA A
t
由此可得
I V C GV x t
（1.1.8）
将方程（1.1.7)与（1.1.8）合并，即得I 和V 应满足如下方程组 V I C GV 0, x t V I L RI 0. t x
从这个方程组消去V (或I), 即可得到I (或V)所满足的方程。例如，为了消去V， 我们将方程（1.1.8）对微分（假定V与I 对都是二次连续可微的），同时在方程 （1.1.7）两端乘以C后再对微分，并把两 个结果相减，即得
I V I I G LC 2 RC 0 2 x x t t
2 2
V 将方程（1.1.7）中的 x 代入上式，得 2 2 I I I LC 2 ( RC GL) GRI 2 x t t
这就是电流I满足的微分方程。采用类似的 方法从方程（1.1.7）与（1.1.8）中消去I可 得电压V满足的方程 2 2 V V V LC 2 ( RC GL) GRV 2 x t t 方程（1.1.9）、（1.1.10）称为传输线方程.
将上述关系代入（2.1.2），并注意 T T '
得到 2u x, t （2.1.3） u x dx, t u x, t T gdx dx
x x t 2
上式右端方括号的部分是由于x产生dx的 u x , t 的改变量，可以用微 变化引起的 分近似代替，即
采用微元法，根据基尔霍夫第二定律，在 长度为的传输线中，电压降应等于电动势 之和，即
I V (V V ) Rx I Lx t
由此可得
V I RI L x t
（1.1.7）
另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的 电流应等于流出该节点的电流，即 V I ( I I ) C x Gx V V
2V 1 2V 2 t LC x2
这两个方程称为高频传输线方程。
1 若令 a LC ，这两个方程与（1.1.3）完全
2
相同。由此可见，同一个方程可以用来描 述不同的物理现象。一维波动方程只是波 动方程中最简单的情况，在流体力学、声 学及电磁场理论中，还要研究高维的波动 方程。
四、电磁场方程
A.弦的横振动 B.无穷小的一段弦 B C.受力分析和运动方程 2 2 s x 弦的原长 现长 s' (x) (u) x 弦长的变化产生回到原位置的张力
u ( x) u u
u ( x)
T1
T2
C
2BLeabharlann 1A0x
x x
x
设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置 为M，位移NM记为u，显然，在振动过程中 位移u是变量x和t的函数，即u=u（x，t）。 现在来建立位移u满足的方程。采用微元法， 我们把弦上点的运动先看成小弧段的运动， 然后再考虑小弧段趋于零的极限情况。在弦 上任取一弧段 MM ' ，其长为ds，设 是弦的 ' T , T 线密度，弧段两端所受的张力依次记作 。
H E E t 将方程（1.1.12）与（1.1.16）代入上式得 2 H H H 2 t t 1 2 而 H ( H ) H , 且 H B 0, 所以最后得到 H 所满足的方程为
三、传输线方程
对于直流电或低频的交流电，基尔霍 夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中电 流相等。但对于较高频率的（指频率还没 有高到能显著地辐射电磁波的情况），电 路中的导线的自感和电容的效应不可忽略， 因而同一支路中电流未必相等。
i
v
x
i i
Rx
Lx
Cx
Gx
v v
X+△x
2 2u x, t u x, t 2 a f ( x, t )（1.1.4） 2 2 t x
1
式（1.1.4）称为弦的强迫振动方程。 方程（1.1.3）和(1.1.4)的差别在于其 （1.1.4）的右端多了一个与未知函数u无 关的项f（x，t），这个项称为自由项。包 括有非零自由项的方程称为非齐次方程。 自由项恒等于零的方程称为齐次方程。方 程（1.1.3）为一维齐次波动方程，方程 （1.1.4）为一维非齐次波动方程。
按照上述所做的弦作微小振动的假设，可 ' 知在振动过程中弦上M点与 M 点处切线 ' 的倾角都很小，即 0, 0 ，从而由
cos 1
2 4
2!
可知，当我们略去 和 一次方的各项时，就有
4!
'
的所有高于
cos 1,
cos 1
'
'
代入到式（2.1.1），便可近似得到
T T
' MM 在u方向弧段 的受力总和为
T sin T sin gds, 其中 gds
' '
是弧段的重力。小弧段在时刻t沿u方向的
2u x, t 加速度近似为 t 2 , 小弧段的质量 ds ，
则由牛顿第二定律，有
u x, t T sin T sin gds ds 2 t
（2）规律法: 就是将物理规律（比如 Maxwell方程组）用（容易求解的）的数 学物理方程表示出来。 （3）统计法: 就是通过统计规律建立所 研究问题满足的（广义）数学物理方程， 常用于经济、社会科学等领域。希望读者 通过这一章的学习，在掌握所导出的数学 物理方程的同时，学到这种“翻译方法”。 下面我们通过实例来做这一工作。
2 ' '
（2.1.2）
又因为当 0, 0时，有 u x, t tan sin tan , 2 x 1 tan
'
u x dx, t sin tan , x
' ' 2
u x, t ds 1 dx dx. x
从物理学我们知道，电磁场的特性可以 用电场强度 E 与磁场强度 H 以及电感应 强度 D 与磁感应强度 B 来描述。联系这 些量的麦克斯韦（Maxwell）方程组为
D H J t
（1.1.11） （1.1.12）
B E t
B 0 D
(1.1.13) （1.1.14）
2 2
u x, t 2 u x, t a （1.1.3） 2 2 t x 2 这里 a T . 式（1.1.3）称为弦振动方
程，也称一维波动方程。 如果在振动过程中，弦上还另受到一个 与弦的振动方向平行的外力，且假定在时 刻t弦上x点处的外力密度为F（x，t）， 显然式（1.1.1）和（1.1.2）分别为
x
u x dx, t u x, t u x, t 2u x, t dx dx 2 x x x x x
于是，式（2.1.3）成为
2u x, t 2u x, t g dx dx T 2 2 x t
§1.1 基本方程的建立
基本方程是一类或几类物理现象满足的 普遍规律的数学表达，这一节的工作就是 将物理规律“翻译”成数学语言，即列出 数学物理方程。建立这种描述物理现象的 数学方程通常有三种方法：