高三文科向量的数量积学案

学案29：平面向量的数量积及其应用

命题人：褚艳秋 复核人：刘丽娟 2013、11、19

【考纲要求】

1、掌握平面向量的数量积及其性质和运算律；

2、掌握两向量夹角及两向量垂直的充要条件和向量数量积的简单运用．

3．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；会用向量方法解决某些简单的物理问题和实际问题；能利用向量解决一些与长度、角度和垂直相关的问题。

【课前预习案】

一、 自主梳理 构建网络

1．平面向量数量积的定义；

2．平面向量数量积的性质：(1)

(2) ；(3) ；

(4) ；(5) 。

3．向量垂直的充要条件

4. 向量a 在轴ｌ上的正射影

向量在轴ｌ上的正射影的数量

5. 平面向量数量积的运算律

(1) ；(2)

(3)

6. 平面向量数量积的坐标运算及度量公式

(1) ； (2) ；

(3) ； (4) ；

(5) 。

二、自我检测 查找问题

1.下列命题中是正确的有 ①设向量a 与b 不共线，若()()0a b a b +⋅-= ，则||||a b = ； ②||||||a b a b ⋅=⋅ ； ③a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ； ④若()a b c ⊥- ，则a b a c ⋅=⋅ 2．已知向量(3,4),

(2,1)a b ==- ，如果向量a xb + 与b 垂直，则x 的值为 （ ）

()A 323 ()B 233 ()C 2 ()D 25

-

3．平面向量,a b 中，已知(4,3),||1a b =-= ，且5a b ⋅= ，则向量b = ___ __

4．已知||=||=2，与的夹角为600，则+在上的正射影的数量为 5．设向量,a b 满足||||1,|32|3a b a b ==-= ，则|3|a b +=

6、已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ,则向量AB 在CD 方向上的正射

影的数量为（ ） A B C ．D ． 【课堂思维展示】

例1． 已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，2）

（1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；

（2）若|b |=,2

5且b a 2+与-2垂直，求a 与b 的夹角θ.

变式1、设两个向量1e 、2e ，满足2||1=e ，1||2=e ，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e e t +与向量21e t e

+的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.

例2：已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),2222x x a x x b ==- 且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

． ⑴求a b ⋅ 及a b + ； ⑵若()2f x a b a b λ=⋅-+ 的最小值是32

-，求λ的值．

变式2. 已知向量33(cos ,sin )22a x x = ， (cos ,sin )22x x b =- ， （1）当]2

,0[π∈x ，求,||a b a b ⋅+ ； （2）若||2)(b a m b a x f +-⋅=≥2

3-对一切实数x 都成立，求实数m 的范围。

例3．如图，在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问与的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值。

变式3：设,A B 为圆22

1x y +=上两点，O 为坐标原点（,,A O B 不共线） ⑴求证：OA OB + 与OA OB - 垂直． ⑵当,,,444xOA xOB πππθθ⎛⎫∠=∠=∈- ⎪⎝⎭且35OA OB ⋅= 时，求sin θ的值．

三、当堂检测 诊断反馈

1．已知向量)sin ,(cos θθ=a

,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值，最小值分（ ） ()A 0,24 ()B 24,4 ()C 16，0 ()D 4，0

2．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ，)3,1(-B ，若点C 满足 βα+=，其中R ∈βα,，且1=+βα，则点C 的轨迹方程为： （ ）

()A 01123=--y x ()B 5)2()1(22=-+-y x

()C 02=-y x ()D 052=-+y x

3．在ABC ∆中，0<⋅AC AB ，ABC ∆的面积是4

15，若3||=AB ，5||=AC ，则BAC ∠=( )

()A 6

π ()B 32π ()C 43π ()D 65π 4．已知O 为原点，点,A B 的坐标分别为)0,(a A ，),0(a B ，

其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且有t =)10(≤≤t ，则⋅的最大值为 （ ）

()A a ()B a 2 ()C a 3 ()D 2a

5．在ABC ∆中，若,,,BC a CA b AB c === 且a b b c c a ⋅=⋅=⋅ ，则ABC ∆的形状

是（ ）

A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰非等边三角形

D ．三边均不相等的三角形

【课后巩固拓展】

1．若对n 个向量n a a a ,,21存在n 个不全为零的实数n k k k ,,,21 ，使得2211=+++n n a k a k a k 成立，则称向量n a a a ,,21为“线性相关”．依此规定， 能说明1(1,0)a = ，2(1,1)a =- ，3(2,2)a = “线性相关”的实数321,,k k k 依次可以取 ；（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．

2．在ABC ∆中，3AB BC ⋅= ，ABC ∆的面积32S ⎤∈⎥⎢⎦

⎣，则AB 与BC 夹角的取

值范围是（ ） A ．,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣

⎦ 3、（2013年高考湖南（文））已知a,b 是单位向量,a·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,

则|c|的最大值为（ ）A 1- B C 1 D 2+