上海市西南位育中学2019学年上学期高二数学期中考试试卷(简答)

西南位育中学高二期中数学卷

2019.11

一. 填空题

1.

10y -+=的倾斜角为

2. 直线l 过(3,1)A -，且l 的一个法向量(3,2)n =，则直线l 的点法向式方程为

3. 将代数式24b ac -表示成一个二阶行列式

4. 已知(1,2)a =，(4,6)b =，c 是b a -的单位向量，则c 的坐标为

5. 已知线性方程组的增广矩阵为122301c c -⎛⎫ ⎪⎝

⎭，若该方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 6. 行列式544

53202

k -中元素0的代数余子式的值为5，则k =

7. 已知直线l 的法向量(3,1)n =，若l 与直线10x ay -+=的夹角为6

π，则实数a = 8. 设椭圆的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，若2122BF F F ==，则该椭圆的标准方程为

9. 已知圆C ：22(1)(2)5x y m -++=-与直线34100x y ++=相切，则m =

10. 若||1a =，||2b =，且a 与b 的夹角为3

π，则|2|a b -= 11. 设不等式组062x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩

表示的平面区域为M ，若直线(2)y k x =+与区域M 有公共点，

则实数k 的取值范围是

12. 已知(,)P x y 为直线y x =上的动点，m =，则 m 的最小值为

13. 在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：2y x =在第一象限内的一个点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 相交于另一点D ，若0AB CD ⋅=，则A 点的横坐标为

14. 已知圆M ：22(1)1x y +-=，圆N ：22(1)1x y ++=，直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，P 是圆

2268240x y x y +--+=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为

二. 选择题

15. 已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，设1AB e =，向量2e 的起点和终点分别是A 、B 、C 、

D 中的两个点，若对平面内任意的非零向量a ，都可以唯一的表示为1e 和2e 的线性组合，下面几个选项中，不可以作为2e 的是（ ）

A. AC

B. CD

C. BC

D. BD

16. 己知ABC 的周长为12，(2,0)B ，(2,0)C -，则顶点A 的轨迹方程为（ ） A. 221(0)1216x y x +=≠ B. 22

1(0)1216

x y y +=≠ C. 221(0)1612x y x +=≠ D. 22

1(0)1612

x y y +=≠ 17. 已知向量a 、b 均为非零向量，且a 在b 方向上的投影是2，则下列说法正确的是（ ）

A. a 在2b -方向上的投影是4-

B. a 在2b -方向上的投影是2

C. a 在2b 方向上的投影是2

D. a 在2b 方向上的投影是4

18. 在直角坐标系xOy 中，异于坐标原点的点(,)P P P x y 和点(,)Q Q Q x y 满足Q P P Q P P x y x y y x =+⎧⎨

=-⎩， 按此规则由点P 得到点Q ，称为直角坐标平面的一个“点变换”，若||||

OQ m OP =及POQ θ∠=，其中O 为坐标原点，则m 与θ的值（ ）

A. m 不确定，4πθ=

B. m =，θ不确定

C. m =4πθ=

D. m 不确定，θ不确定

三. 解答题

19. 己知向量(1,1)OA =，(3,0)OB =，(3,5)OC =.

（1）求AB 与AC 的坐标；

（2）求ABC 的面积.

20. 已知曲线C ：2244()x ay a a +=∈R . （1）当(4,)a ∈+∞ 时，求曲线C 的焦点坐标（用a 表示）；

（2）当0a >时，讨论曲线C 的类型.

21. 已知关于,x y 的二元一次方程组(1)24a x y a x ay a

-+=⎧⎨

+=-⎩()a ∈R 讨论方程组解的情况， 并求解方程组.

22. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于(3,0)M ，AB 边所在直线的方程为

370x y --=，点(0,1)T 在AD 边所在直线上.

（1）求AD 边所在的直线方程；

（2）求矩形ABCD 外接圆的方程.

23. 2019年国庆，甲同学在10月1日看完阅兵式之后，10月2号启程前往某一著名沿海城 市O 地旅游，10月3号从天气预报上看到该沿海城市附近海面有一台风“米娜”，据监测，

当前台风中心位于城市O （看作一点）的西偏北θ2(cos )θ=角方向300km 的海面P 处， 并以20/km h 的速度向东南方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并 以10/km h 的速度不断增大. 问：

（1）10小时后，该台风是否开始侵袭城市O ，说明理由；

（2）城市O 受到该台风侵袭的持续时间为多久？

24. 如图，己知(6,63)A ，(0,0)B ，(12,0)C ，直线:(3)20l k x y k +--=.

（1）求直线l 经过的定点坐标；

（2）若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的方程；

（3）若(2,23)P ，点E 、F 分别在线段BC 和AC 上，

且APF BPE S

S =，求PE PF ⋅的取值范围.