理论力学(附答案)-谢传峰、王琪-动力学部分

v02l 2 x3
（负号说明滑块 A 的加速度向上）
取套筒 A 为研究对象，受力如图所示，根据质点矢量形式的运动微分方程有：
ma F FN mg
将该式在 x, y 轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程： mx mg F cos my F sin FN
解：设 B 点是绳子 AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以 vB R ，由于绳子
始终处于拉直状态，因此绳子上 A、B 两点的速度在 A、B 两点连线上的投影相等，即：
vB vA cos
因为
（a）
cos x2 R2 x
将上式代入（a）式得到 A 点速度的大小为：
（b）
ve1 sin 300 ve2 sin 300 vr2 cos300
由此解得：
vr2

tan 300 (ve2

ve1 )

OM
tan 300 (2
1)

bsin 300 cos2 300
(3
9)

0.4m /
s
ve2 OM2 0.2 3
vM va2 ve22 vr22 0.529m / s
mx F cos my F sin FN mg
其中：
yB
R O
F
FN
A


vA
x
mg
sin R , x
cos
x2 R2 , x
x


(x2
2R4x R2)2
,
y

0
3
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将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得
F

m 2R4 x2
(x2

R
2
)
5 2
,
FN

mg

m 2R5x
(x2

R
2
)
5 2
1－13 解：动点：套筒 A；
动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析： 绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理
va ve vr
va
ve
vr
有： va cos ve ，因为 AB 杆平动，所以 va v ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由此可得 v cos

ve
，OC
杆的角速度为

ve OA
， OA

l cos
，所以

v cos2 l

当 450 时，OC 杆上 C 点速度的大小为 v C
a
av cos 2 45 0 l

av 2l
1－15 解：动点：销子 M
动系 1：圆盘 动系 2：OA 杆 动系：机座； 运动分析： 绝对运动：曲线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动
x


(
x2
2R4x R2)2
(d)
由上式可知滑块 A 的加速度方向向左，其大小为
aA

2R4 x (x2 R2)2
取套筒 A 为研究对象，受力如图所示， 根据质点矢量形式的运动微分方程有：
ma F FN mg
将该式在 x, y 轴上投影可得直角坐标形式的
运动微分方程：
1－17 解：动点：圆盘上的 C 点；
动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析：绝对运动：圆周运动；
相对运动：直线运动（平行于 O1A 杆）； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理有
ve va
vr
va ve vr
（a）
将（a）式在垂直于 O1A 杆的轴上投影以及在 O1C 轴上投影得：
va cos 300 ve cos 300 ， va sin 300 ve sin 300
s v0 ， 2ss 2xx
由此解得： x sv0 x
（a）
vo
vo
F
y
FN
mg
(a)式可写成： xx v0 s ，将该式对时间求导得：
xx x 2 sv0 v02
(b)
将(a)式代入(b)式可得： ax
x
v02 x 2 x
cos3
9
1－6
证明：质点做曲线运动,所以 a at an ,
设质点的速度为 v ,由图可知:
cos vy an ，所以: a an v
va
vy
将vy

c ， an

v2
代入上式可得 a v3 c
v y v y a
an
x o
证毕
1－7
证明：因为

v2 an
ve
va

R
， va

vr

R
，1

ve O1 A

R 2R

0.5
根据加速度合成定理有
aa aet aen ar aC
（b）
将（b）式在垂直于 O1A 杆的轴上投影得
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《动力学 I》第一章 运动学部分习题参考解答
1－3 解：
运动方程： y l tan ，其中 kt 。
将运动方程对时间求导并将 300 代入得 v y l lk 4lk
cos2 cos2 3
a y 2lk 2 sin 8 3lk 2
， an
a sin

av v
所以： v3 av
证毕
y o
at a
an
x
1
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1－10
解：设初始时,绳索 AB 的长度为 L ,时刻 t 时的长度 为 s ,则有关系式：
s L v0t ，并且 s 2 l 2 x 2
将上面两式对时间求导得：
v vr1 e1
ve2
v r2
根据速度合成定理有
x
va1 ve1 vr1 ，
va2 ve2 vr2
由于动点 M 的绝对速度与动系的选取无关，即 va2 va1 ，由上两式可得：
ve1 vr1 ve2 vr2
(a)
4
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将（a）式在向在 x 轴投影,可得：
vA R
x x2 R2
（c）
由于 vA x ，（c）式可写成： x x2 R2 Rx ，将该式两边平方可得：
x2 (x2 R2 ) 2R2x2
将上式两边对时间求导可得：
2xx(x2 R2 ) 2xx3 2 2R2xx 将上式消去 2x 后，可求得：
其中： cos x ,sin l
x v02l 2 , y 0
x2 l2
x2 l2
x3
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得： F m(g v02l 2 ) 1 ( l )2
x3
x
1－11

O
A
x
vB
B

OR
A
x vA
2
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