感生电动势与感生电场
第33-34讲 感生电动势及感生电场
第九周学习内容第33讲感生电动势及感生电场第34讲感生电动势例题第35讲涡电流及电磁阻尼第36讲自感与互感第33讲 感生电动势及感生电场 第34讲 感生电 动势例题感生电动势：回路中单纯由磁场变化产生的感应电动势。
d ∂∂LSBEl St d ⋅=-⋅⎰⎰感生感LEli d ε=⋅⎰i SBSt t d d d Φε∂=-=-⋅∂⎰感生电场 ：产生感生电动势的非静电起源的作用力本质上是一种电场力。
感Ed d LSBE l St ⋅=-⋅⎰⎰感生∂∂d 0SE S ⋅=⎰感生感应电场为非保守场、无源场、涡旋场实际电场感生静电E E E +=d d LSBE l St ⋅=-⋅⎰⎰∂∂环路定理： d 0Sq E ε∑⋅=⎰内S 高斯定理：感生电场的计算：当磁场分布于圆柱形区域内且具有轴对称性时，可利用感生电场的环路定理计算出感生电场的空间分布。
d d LSBE l St ⋅=-⋅⎰⎰感生∂∂)(t B RLr d d 2r B E t=-感生当 r < R 时， d d 22R B E r t=-感生当 r > R 时，感生电场线为以对称轴为中心的同心圆环。
关于感生电场的方向和感生电场环路中负号的讨论。
d d LSBE l St ⋅=-⋅⎰⎰感生∂∂ 负号源自法拉第电磁感应定律，与感生电场的方向有关。
i d d d 感LE l tΦε=⋅=-⎰由楞次定律，负号可理解为感生电场及相应的感应电流的效果总是反抗或阻止引起它的原因。
由于电流激发磁场遵循右手螺旋定则，自然地，磁场变化的方向与其所激发感生电场的方向间就构成左手螺旋关系。
由于环路积分的方向与面积分中面元矢量的正法线方向满足右手螺旋定则，其中的负号当然就说明的方向与 的方向满足左手螺旋定则。
∂∂B t E 感生在感生电场中电磁感应定律可写成式中 为感应电场中的电场强度。
此式表明： (A) 闭合曲线 L 上处处相等。
(B) 感应电场是保守电场。
9-3 感生电动势 感生电场
b
Eicosqdl
a
=
b
ò
rcosq 2
¶ B dl ¶t
a
=
蝌b h
2
抖B 抖t
dl
=
h 2
a
Bb dl
t a
h B L B 1 L R2 L2
2 t t 2
4
I
→B
Ro
a
b
L
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二、电子感应加速器
电子感应加速器是利用感应电场来加速电子的
一种设备。
铁芯
线圈
电子束
环形真空 管道
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为了使电子在环形真空室中按一定的轨道运动，
电磁铁在真空室处的磁场的 B 值必须满足
R mv 常量 eB
对磁场设计的要求：
将上式两边对 t 进行微分
F0
Ei e
F
-eEi
d B 1 d (mv) d t eR d t
eEi
d dt
(mv)
在磁场中运动时，金属 交
体内也将产生感应电流。 流 这种电流的流线是闭合 电 的，所以称涡旋电流。 源
因为大块导体的电阻很
小，所以涡旋电流强度
很大。
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涡电流的利用：
由于大块金属电阻一般较小，导体中涡电流可 以很大，在导体中产生大量焦耳热，此即感应加热 原理。涡电流产生的焦耳热与外加电流的频率的平 方成正比。当交变电流频率高达几百甚至几十千赫 兹时，导体中的涡电流将产生大量焦耳热可利用。
d B Ei dt R
E 1 d i 2R2 dt
dB dt
1
2R2
d dt
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动生电动势感生电动势感生电场普遍环路定理
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感应加热
感应加热器利用动生电动势对金属进 行加热。当金属在变化的磁场中时， 会在金属内部产生动生电动势，从而 产生电流并加热金属。
02 感生电动势
定义与产生机制
定义
当磁场发生变化时，会在导体中产生电动势。这个电动势被 称为感生电动势。
产生机制
磁场的变化会在导体中激发出电场，这个电场驱动导体中的 自由电荷移动，从而产生感生电动势。
感生电场的应用实例
电磁感应
当线圈中的磁场发生变化时，会在线 圈中产生感生电动势，进而产生电流。
磁记录
利用感生电场可以记录磁场的变化， 从而实现信息的存储和读取。
04 普遍环路定理
定理的表述与证明
表述
在磁场中，如果闭合回路的磁通量发生变化，那么就会产生电动势。这个电动势的大小等于回路的磁通量变化率 与回路的长度成正比。
证明
根据法拉第电磁感应定律和安培环路定律，通过引入磁场线穿过闭合回路的磁通量概念，可以推导出普遍环路定 理。
普遍环路定理的应用场景
电机工程
普遍环路定理是电机设计中的重 要理论依据，用于计算和预测电 机在不同工作状态下的电动势和
电流。
电力系统
在电力系统中，普遍环路定理用于 分析和计算电力传输过程中的电压 和电流变化，以确保电力供应的稳 定性和可靠性。
感生电动势的计算公式
公式
E = -dΦB/dt，其中E是感生电动势，ΦB是磁通量。
解释
这个公式表示，当磁通量发生变化时，就会产生感生电动势。负号表示电动势的 方向与磁通量变化的方向相反。
感生电动势的应用实例
01
02
03
感应炉
第二十六讲：§感生电动势和感生电场
第二十六讲： §7.3感生电动势和感生电场一、感生电动势 涡旋电场1、感生电动势：由于dtm φd 所产生的感应电动势。
2、感生电场（涡旋电场）：变化的磁场所激发的电场为感生电场。
其特点：①感生电场是非保守场；②电场线是闭合的。
3、感生电场与静电场的比较①相同点：都是电场（物理场，物质性，具有能量，即对电荷有电场力的作用）。
②不同点：⑴激发方式不同，感生电场是由变化的磁场激发的；静电场是由相对观察者静止的带电体激发的。
⑵感生电场电场线是闭合的，静电场电场线是非闭合的。
⑶感生电场是非保守场，静电场是保守场。
因为静电力是保守力，故而静电场力沿闭合路径的积分等于零， 由0W =⋅=⋅=⎰⎰ d q d 静静 ⑴看出， ∵ 0≠q ∴ 0=⋅⇒⎰d 静 静电场为保守场。
由0≠-=⋅=⎰dt d d m i φε 涡看出， 当 0dtd ≠m φ为变化的磁场， 则 0≠⋅⇒⎰ d 涡 也可推出0≠⋅=⇒⎰ d q W 涡⑵比较⑴、⑵式可推出感生电场是非保守场。
4、感生电场与磁场的关系式d m ⋅=⎰φ ； d dtd dt d m ⋅=⎰φ ; d t d S i ⋅∂∂-=⋅=⎰⎰ 涡ε ☆ 5、与涡E 、()i i I ε方向的确定注意：与绕行方向满足右手螺旋法则 当0d dt B 时，0 dS dtdB S i ⎰-=⇒ε i ε与绕行方向相反； 当0d dt B 时，0 dS dtdB S i ⎰-=⇒ε i ε与绕行方向相同。
P264例题7-5已知：如图所示，R,=dt B d 正常数 求：⑴1涡；⑵2E 涡解： ⑴∵d td S i ⋅∂∂-=⋅=⎰⎰ 涡ε R r 21r 2r t B E ππ∂∂-=⋅⇒涡 tB E ∂∂=⇒2r -1涡 R r 22r 2R t B E ππ∂∂-=⋅⇒涡 tB r E ∂∂=⇒2R -22涡 涡电场线绕行方向相反，如上图所示。
P264例题7-6 已知：0d dtB ，L ab = ，h 求：ab ε解：解法一：利用法拉第电磁感应定律S d t dt d S m ⋅∂∂-=-=⎰B i φεtB hL S t B t B i ∂∂=⋅∂∂=⋅∂∂=⎰2ε∵Oa 和Ob 沿径向，而涡E 与径向垂直。
§8.3 感生电场与感生电动势
l h
a
o
r
b
其中 S 为 oabo 围成的面积。
Chapter 8. 电磁感应 作者：杨茂田§8. 3 感生电场与感生电动势
P. 12
例 半径为R的柱形磁场磁中放入一根导体棒，已知 h、L 及 dB/dt ，求 (1) 感生电场分布；(2) 棒两端的电势差。 解 作图示圆形回路 l ，设dB/dt > 0， 则 r < R：
Chapter 8. 电磁感应 作者：杨茂田§8. 3 感生电场与感生电动势
P. 4 /
一、感生电场及其性质
Ei1 0 , Ei 2 0 , 但 Ei 3 0
感生电场的电场线： 在只有感应电场存在的 空间，感应电场为无源
1 2
dB dt
o
3
场，则感生电场的电场
线为一系列不相交的闭
合曲线！
P. 13
d r > R： Ei Ei dl B dS l dt S
d dB 2 2 ( B R ) R Ei 2 r dt dt
dB R Ei dt 2r
2
dB dt
r
l h
a o
r
dB d 2 rB Ei 2 r ( r 2 ) dt dt
I (t )
Chapter 8. 电磁感应 作者：杨茂田§8. 3 感生电场与感生电动势
P. 3 /
演示实验：因磁场变化产生的感生电动势。 实验结论：推动外线圈中电
子运动的外力不是洛沦兹力
而应该是一种电场力！
Maxwell假设： 除了
电荷产生电场外，变化 的磁场也产生电场，即 感生电场！
I (t )
感生电场感生电动势
R
0r R B 与S 一致 作闭合环路L (L+,S+右旋) + t
A)
S+ L
B L E感 dl S dt dS B E感 2r SdS t
L
综合：
E感
B t
E感
{R
r B 2 t
2
(0 r R )
( R r )
B 2r t
B t
E感线
E感
B r R
B t
E感
E感
{ R B
2
r B 2 t
(0 r R )
( R r )
2r t
例2）在上例中的螺线管中的横载面内，放 置有一直导线，求导线中的感应电动势。 已知： , h, B 求： iMN L M
E0 S
B
R
1)证明不存在 轴向分量:
B (L ,S 右旋) E感 dl dS + + L S dt L E感 dl AB E0 dl BC Er dl E0 dl Er dl
o h
N
r
t 解1）用 i感 E感 dl 求 L E感 规定电动势的正方向
M N分割成许多 dl
r B h B dl d i E感 dl cos dl 2 t 2 t
i感
L
L
dl
E感 dl
inducedelectricfieldinducedemf感应电场的方向与成左手螺旋关系典型例题一长载流螺线管中电流随时间作线性变化didtconst其内部磁感应强度也作线性变化且dbdt为已知
感生电动势
感生电动势一、感生电动势当一个相对静止的导体闭合回路处于随时间变化的磁场中时，穿过导体闭合回路的磁通量也会发生变化，导体中产生感应电动势，称为感生电动势。
二、感生电场1、麦克斯韦假设相对静止的导体闭合回路因磁场变化能产生感生电动势，这说明回路中的电荷由于磁场的变化受到了某种力的作用。
电荷受力的作用分为两种，一种是静电场所施的库仑力，另一种是施于运动电荷的洛仑兹力。
然而，在产生感生电动势的过程中，即没有静电场也没有电荷的运动。
因此，感应电动势的非静既不是静电场的静电力，也不是洛仑兹力，我们用以前学过的知识已无法解释感生电动势的微观机制。
为了解释感生电动势非静电力的起源，英国科学家麦克斯韦提出一个假设：变化磁场在其周围空间会激发一种电场，这种电场称为感生电场或涡旋电场。
这种电场不管空间有无导体或导体回路，不管是介质还是真空它都存在。
这种感生电场对导体中电荷的作用力就是构成感应电动势的非静电力。
麦克斯韦的这一假设已被许多实验所证实。
2、感生电场的性质电场从起源上分为两种：一种是由电荷激发的静电场（库仑电场），用表示；另一种是由变化磁场激发的感生电场，用表示。
这两种电场有一个共同的特点，即对处于电场中的电荷有作用力。
但感生电场的电场力不同于库仑电场的电场力，它是一种非静电力。
如果在感生电场中放入导体，则导体中的在感生电场力的作用下将发生定向运动，在导体中形成电动势；如果导体构成闭合回路，就产生感应电流。
因此，感生电动势的非静电力就是感生电场力，它是形成感生电动势的起因和本质。
根据定义，感生电动势等于感生电场沿某一闭合曲线的线积分，即根据法拉第电磁感应定律，有其中是穿过闭合曲线所包围曲面上的磁通量，即则由于和静止不动，故上式右边对曲面的积分和对时间的积分次序可以互换，因而有感生电场沿的积分方向就是感生电动势是正方向，它与回路法线矢量构成右手螺旋关系。
一般情况下，空间可能既存在电荷，又存在变化的磁场，因而它们激发的两种电场也就可能同时存在。
13-3感生电动势和感生电场
变化的磁场在其周围空间激发感生电场或涡
旋电场，这种电场的存在与空间有无导体无关。
B
L Ei dl
A Ei dl
二、感生电场的性质 L Ei dl
B
dS
S t
S Ei dS 0
三、感生电动势的计算
第39页，共51页。
13.3 感生电动势和感生电场
第12页，共51页。
13.3 感生电动势和感生电场
总结：
存在两种不同起源的电场
静电场
•由静止电荷激发的电场
•对电荷有作用力
F qE
•环路定理
LE dl 0
•高斯定理
E dS S
1
0
qi
S内
感生电场
•由变化的磁场激发的电场
•对电荷有作用力
Fk qEi
•环路定理 L Ei dl
时针，该闭合路径围成的曲面的正
法线垂直屏幕出来
S
B t
dS
S
B t
eˆn
dS
B dS S t
dB πr 2 dt
2πrEi
dB dt
πr 2
r dB Ei 2 dt
(r R)
第28页，共51页。
13.3 感生电动势和感生电场
在螺线管外取一个r>R的沿逆时针 Ei 方向的同心圆周做积分回路
×××××
× × × ×O × × × R
××××××× ×××××××
×××××
MRN
第35页，共51页。
13.3 感生电动势和感生电场
导体棒ab向上平移，ab上的感生电动
势如何变化？
R
O
ab ab
a
b 当上移到过圆心位置时电动势为零
3感生电动势(大学物理 - 电磁感应部分)
的环路，分割导体
元 dl， 在 dl 上产生的感生
R o
h E感 r
dl
电动势为： d i E 感dl cos
i di E 感dl cos
由上题结果，圆形区 域内部的感生电场：
E感
R dB
2 dt
o
RrBiblioteka 例2：圆形均匀分布的磁场半径为 R，
磁场随时间均匀增 加，
dB k dt
在磁场中放置一长
为 L 的导体棒，求
棒中的感生电动势。
R
o B
L
E感 作用在导体棒上，
使导体棒上产生一个 向右的感生电动势，
感生电场 E感
由变化的磁场激发
电力线为闭合曲线 dB 0 dt
静电场为散场
E感
感生电场为有旋场
静电场E
感生电场E感
为保守场作功与路径无关 为非保守场作功与路径有关
电 场
E dl 0
的
性
静电场为有源场
质
E
dS
q
0
i
E感
dl
d m
dt
感生电场为无源场 E感 d S 0
d dt
s B
dS
如果回路面积不变则有：
i E感 d l sddBt d S
五、感生电场的计算与举例
1. 要求环路上各点的 E感大小相等，方向
与路径方向一致；
2.要求磁场均匀变化 dB 常量 , dt
且 d B // d S ; dt
克斯韦 感生电场和感应电动势的关系
克斯韦感能生电场和感应电动势的关系感生电场和感应电动势是电磁学中重要的概念，它们对于理解电磁现象和应用电磁原理具有重要意义。
克斯韦定律是描述感生电场和感应电动势之间关系的基本原理，本文将从理论和实际应用两个方面详细阐述克斯韦定律对感生电场和感应电动势的影响。
一、克斯韦定律的理论基础克斯韦定律是基于麦克斯韦方程组推导得出的，它描述了磁场的变化会在空间中感生电场，从而引起感应电动势。
具体而言，克斯韦定律可以表述为：当磁场穿过一个闭合线圈时，产生的感应电动势与磁场的变化率成正比。
这一关系可以用数学公式表示为：ɛ = -dΦB/dt，其中ɛ表示感应电动势，ΦB表示磁通量，t表示时间。
克斯韦定律的理论基础在于磁场的变化会导致电场的产生，这一原理是电磁学的基本原理之一，也是电磁感应现象的重要表现。
通过克斯韦定律，我们可以深入理解磁场和电场之间的耦合关系，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论依据。
二、克斯韦定律在应用中的意义克斯韦定律不仅在理论研究中具有重要意义，在实际应用中也具有广泛的应用价值。
克斯韦定律可以用来解释和分析感应电动势产生的机制，在发电机、变压器等电气设备中起着重要作用。
克斯韦定律也可以应用于感应加热、感应熔炼等热能转换技术中，实现能量的转换和利用。
克斯韦定律还可以用来探测地下矿藏、地壳构造等大地物理勘探领域，在石油、矿产勘探中具有重要作用。
克斯韦定律在实际应用中的意义主要体现在以下几个方面：1. 工程设计：在发电机、变压器、感应加热设备等电气设备中，克斯韦定律可以用来分析电磁感应现象，指导设备的设计和优化。
2. 能源转换：在能源转换领域，克斯韦定律可以应用于感应加热、感应熔炼等技术，实现能量的高效转换和利用。
3. 地球勘探：在地球物理勘探领域，克斯韦定律可以用来探测地下矿藏、地壳构造等地质信息，为资源勘探和开发提供重要依据。
三、克斯韦定律的局限性和发展虽然克斯韦定律在描述感生电场和感应电动势之间的关系方面有着重要的意义，但也存在一定的局限性。
感生电动势和感生电场解读
总 电 动 1 势 2： （ L1L22M ） d dIt
总 自 感 L系 L1数 L22： M
2023/9/21
34
例13-7* 如图所示,有两个圆形同轴导体,其半径分别为R1和R2, 通过它们们的电流均为I,但电流的方向相反.设在圆筒间充满 磁导率为的均匀磁介质.求其自感.
R1 Q R
I
I r
l
、
发散场 保守场
）
（无
源场 ） B
lE感dl 非s保t守ds场
9
一般：
El 合 E合Edl静 E感 （ s d空 dBt间 d存 s（在非 带保 电守 体力 和场 变， 化涡 磁）
E合ds
s
q内
0
（有源场）
2023/9/21
10
四. 感应电场的计算举例
已知：在半径为R的无限长螺线管内部的磁场B随时间作 线性变化（dB/dt=常量）时，求管内外的感生电场E
系,
E E
E
O
R
电子感应加速器 15
2023/9/21
16
涡电流 §6－4
eddy current
❖ 大块金属处于变化磁场中 或在磁场中运动时,其中 产生的感应电流呈涡旋 状——涡电流
❖ 大块金属电阻小,涡电流 大,释放大量热量
电磁冶炼：
应用：如工业中用的坩埚, 电磁炉 高频感应加热
2023/9/21
2. 思考：由什么提供此非静电力
1. 二 . 感生电场 （induced electric field）
1. 实验表明， 感与导体回路的材料无关。
1. 感生电
感 生 E 感生 dl
动势
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大学物理第三篇感生电动势感生电场解读
1 wm 2 B H
在电磁场中 w we wm 普遍适用
1 1 w DE BH
各种电场 磁
2
2
场
b
R
a
可利用这一特点较方便地求其他线段内的感生电动势
补上半径方向的线段构成回路利用法拉第电磁感应定律
例 求上图中 线段ab内的感生电动势
解：补上两个半径oa和bo与ab构成回路obao
i
ob
ba
ao
d
dt
ao 0 ob 0
ba
S
dB dt
又如磁力线限制在圆 柱体内, 空间均匀
dB c
dt
§3 感生电动势 感生电场
由于磁场的时间变化而产生的电场
B
Br, t
B dS
i
d
dt
i
S
B
dS
t
S
一.感生电场的性质
B
E感生 dl
L
S
t
dS
法拉第电磁感应定律 非保守场
L
S
E感生 dS 0
无源场 涡旋场
S
S是以L为边界的任意面积
二. 感生电场的计算
1. 原则
B
E感生 dl
演示 A B
K
线 i
圈
i
K合上 灯泡A先亮 B晚亮 K断开 B会突闪
由于自己线路中的电流的变化 而在自己的 线路中产生感应电流的现象－－自感现象 自感系数的定义
非铁磁质 I I LI
由法 拉第 电磁 感应
d dI
i
dt
L dt
L I
定律
L
i
dI
单位电流的变化对应 的感应电动势
第三节 感生电动势和感生电场
9
第三节 感生电动势和感生电场
由洛伦兹力和 牛顿第二定律，有
v evBR m R
2
环形真空室
………………………
……………………… O R 电子轨道
F ………………………
mv p R eBR eBR
B ………………………
v
其中，BR为电子轨道所在处的磁感强度.
10
第三节 感生电动势和感生电场
7
当r R 时
第三节 感生电动势和感生电场8Biblioteka 第三节 感生电动势和感生电场
三
电子感应加速器
环形真空室
××××× ×××××
····· ·····
………………………
……………………… O R 电子轨道
F ………………………
B
····· ·····
EK
××××× ×××××
B ………………………
v
L
L
L
6
第三节 感生电动势和感生电场
B B dS dS t t S S 当r R 时 B 2 E 2 r r t 1 B E r 2 t
B E 2 r R 2 t R 2 B E 2r t
——电磁感应定律的普遍形式
例 半径为 R 的圆柱形空间分布着均匀磁场， 其横截面如图所示．当磁感应强度 B 随时间以 恒定速率 dB dt 变化，试求感生电场的分布． B dS 解 E dl t R L S r o r E dl E 2 r
4
第三节 感生电动势和感生电场
感生电场和静电场的对比
感生电场
非保守场 dΦ L Ek dl dt 0 由变化的磁场产生
7. 3 感生电动势和感生电场 7. 4自感应 互感应 7. 5 磁场的能量
I
i I
LI
(7-18)
L自感(自感系数)。由回路形状、匝数 、磁介质决定，与 I 无关。 单位：亨利（H、mH、H）
一．自感和自感电动势 1．自感 L
LI
(7-18)
2．自感电动势 （感生电动势特例1） dI d L L (7-19) d t dt 自感电动势等于回路自感L与电流的时间变化率之积的负值。 说明：1）“﹣”表示自感电动势总是反抗电流的变化 2) L 为“电磁惯性”的量度。 L L L，I 变化慢
N1 Φ21 0 I1 r12 l
B1
I1
B2
I2
磁链
N1 N 2 I1 r12 Ψ21 N 2Φ21 0 M M 21 II 11 l
互感
反之，设N2通电 I2 ，
N2 2 Φ I r 穿过N1每匝线圈的磁通量 12 0 2 1 l N1 N 2 Ψ12 N 1Φ12 0 I 2 r12 M 磁链 M 12 II 22 l 理论和实验证明：M12=M21 =M
t
dI L IR dt dI I LI I 2R dt
I
①
R t I e L
1
电源作功 磁场能量
电源反抗自感 电动势作的功
I 0
消耗在电阻 上的焦耳热
W I Rdt
2
R
Wm
断开时
dI 1 2 LI d t LI (7-30) dt 2
( )2 R
Ψ21 MI 1 Ψ12 MI 2
的互感为0？即： 21=12=……=0
例1. 一密绕的螺绕环,单位长度的匝数为 n=2000m–1 ,环的截面积 为S=10cm2，另一个N=10匝的小线圈套绕在环上。求： (1) 两个线圈间的互感；
物理 电磁学 第33讲 感生电动势及感生电场
只有在第 1 个 1/4 四分之一周期内 ，电子才受到感生电场的加速， 并且洛仑兹力的方向指向圆心。
在第1个1/4周期内，电子已在圆 形轨道上经历了回旋数十万圈的 持续加速，从而获得了足够高的 能量，并在第1个1/4周期结束时 被引出加速器至靶室。
1940 年，第 1 台电子感 应加速器将电子加速到 2.3MeV； 1942年，20MeV电子感 应加速器； 1945 年 ， 100MeV 电 子 感应加速器，能使电子 速度加速到0.999986c 应用：核物理、工业探 伤及医学等领域
A 6 MeV betatron (1942)
B E感生 dl dS t S
E
S
感生
dS 0
感应电场为非保守场、无源场、涡旋场
感生电场是以法拉第电磁感应定律为基础的， 源于法拉第电磁感应定律又高于法拉第电磁感 应定律。 感生电场环路定理的实质是变化的磁场产生电 场。
实际电场的环路定理和高斯定理 实际电场 E E静电 E感生 环路定理：
作正园柱面， E感生 dS 0
S
Er 0
Ez 0
R ˆ
ˆ z
作矩形回路， E感生 dl
L S
B dS t
ˆ E感生 E
r
取以轴上一点为园心，做半径为 r 的圆周环路 L，
2
L
B E感生 dl dS t S
B(t )
实际电场感生静电随时间变化的磁场激发非保守场涡旋场无电势概念无散场感生电场线是无头无尾的闭合曲线由静止电荷激发保守场有电势概念有源场发散场静电场线起自正电荷止于负电荷静电场感生电场空间均匀的磁场被限制在圆柱体内磁感强度方向平行柱轴如长直螺线管内部的场磁场随时间变化则感生电场具有柱对称分布
感生电动势 感生电场
由 ao 0 ob 0
ba
SΔ
dB dt
在柱对称磁场外，如图
得
r
B(t)
o
b
a
r B (t )
O
阴影 部分
r B (t )
od
bc
a
8
a b ab
S扇形
dB dt
ab
(Sobc
S扇形ocd )
dB dt
第16章 电磁感应和电磁波
1、在涡旋场中，任意路径上的感应电动势与此路径 上有无导体无关，只要磁场变化就会有涡旋场，就有 感生电动势，只是有了导体后我们感知到了感生电动 势的存在。
2、涡旋场是非保守场，电力线是闭合曲线，即相同 起点和终点沿不同的路径积分结果不同。
3、涡旋场有广泛的应用，例如电子感应加速器、 “涡流”等应用。
磁场变化周围就会存在涡旋电场，磁 B
r
场对电荷的洛仑兹力使电荷控制在圆轨
道上运动，涡旋场对电荷施加电场力的 t
作用使其不断加速。
9
第16章 电磁感应和电磁波
dB dt
5
第16章 电磁感应和电磁波
讨论
E感生
r 2
dB dt
E感生
R2 2r
dB dt
若
dB 0 dt
则
i 0
电动势方向如图
若 dB 0 则 dt
电动势方向如图
i 0
L
r B
R
L r
r
——电子感应加速器的 基本原理。
1947年，世界第一台， 能量为70MeV。
6
第16章 电磁感应和电磁波
“势”的概念。 感生电场的通量
rr
ÑS E感生 dS 0
6.4 感生电动势和感生电场
变化的磁场 B 适用。 （2）由法拉第电磁感应定律计算 d 闭合回路： 感
dt
E 感 d l 0 就最好。
非闭合回路： 做辅助线，如果对辅助线有
三
螺线管磁场变化引起的感生电场
P236
P236 例1：无限长螺线管的电流随时间作线性变
dB 化，其内部的 B 也随时间作线性变化，已知 的
C E感（径向）
C
B
D
C
A
D
管外无限远处:
E感 0
D A
D
C
E 感 dl 0
C B
E感径向 dl
E感径向 dl
ABCDA
E感 dl
B
A
C
B
D
A
B
A
E 感轴向 d l 0
故 E 感 的轴向分量为零。
数值，求无限长螺线管内外空间 E 感 分布。（默认 E 感 在趋于无限远时趋于零）
dt
解：无限长螺线管内外空间的磁场 管内磁场均匀，方向平行于轴线，大小为
B内 0 n I 管外： B 0
磁场的附近空间产生 E 感。
螺线管中的电流变化，磁场也随之变化，必在
当I作线性变化时，
E感
r dB 2 dt
2 dt E 感 方 向 ： 与 B的 变 化 相 反
E感 大 小 ：
r dB
dB 若 B ， 0， E 感 0， 与 L同 向 ； dt
dB 若 B ， 0， E 感 0， 与 L 反 向 。 dt n (B) 即计算结果 E 感 0 ε感 时， E 感 与 L 同向，
电磁感应2
µI 给电缆通以电流I 解：给电缆通以电流I B = 2π r
dΦ = BdS = Bldr
R2
µI µ Il R2 ldr = ln Φ= ∫ R1 2π r 2π R1
I
r dr
l
dΦ µ l R2 L= = ln dI 2π R1
二、互感
一个载流回路中电流的变化引起邻近另一回 路中产生感生电动势的现象称为“互感现象” 路中产生感生电动势的现象称为“互感现象”， 互感电动势” 所产生的电动势称为 “互感电动势”。
dt
. × × × × × × × ×d ×
× ×
× × × × ×R ×
求长直导线感应电动势的大小和方向 解：方法一 利用法拉第电磁感应定律
εi
2
εi = −
BπR 作回路l如图所示 作回路 如图所示 Φ = BS = 2 dΦ 1 2
= − kπR dt 2
方向与l 方向与 方向相反
方法二、 方法二、
Φ = BS = Bπ r v v dΦ εi = − = ∫ Ek ⋅ dl L dt
选l如图所示
× × ×
v × Ek
× × × ×
× ×
v Ek
× r × p×
v × l
( )
×
B
v × Ek ×
（ b）
r > R时
v Ek
× × × × × × × × × × × × × × ×
v Ek
×
假想回路OBA,方向如图所示 方向如图所示 假想回路
εiOBA = εiOB + εiBA + εiAO
εi = ∫
L 0
×
v × Ek
× × ×
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2
a
（3）ab之间没有导线相连，那 么ab之间的电势差为多少？
b
a
无电势差
求感应电动势
eca
方法一、利用法拉第电磁感应定律
R a b
R c
（1）连接oa，ob
（2）由于oa，ob与感生电场垂直， 故不产生电动势，闭合回路oab所 产生的电动势与ab的电动势相等
O R a R
S 1D B 1 3 eba = = g R g Rk Dt 2 2
3R r= 2 cos q
3 E x = E cos q = kR 4
常量
3 2 eba = kR 4
对与bc段，可用等效法 相当于bc’的电动势
O a
P
q R
C’
R b
p ecb = kR 2 12
c
3 p 2 eca = eba + ecb = ( + )R g k 4 12
谢谢
b
c
（3）同理连接oc S 2D B 1 p ecb = = g R gR g k Dt 2 6
3 p 2 eca = eba + ecb = ( + )R g k 4 12
求感应电动势
eab
方法二、利用感生电场求电动势
O a
P
q R
R b
c
圆内P处的感生电场为： k pr 2 1 E = = kr 2p r 2
S 1D B e1 = Dt
S 2D B e2 = Dt
S 总D B e = e1 + e2 + ... = Dt
感生电动势与封闭曲线的形状无关
边长为a的正方形磁场外的 感生电场是圆形的吗？
P
不是
感生电场的方向与磁场 的边界有关
Q
其感生电动势是否是
a 2D B x= Dt
是
感生电动势的大小与磁场形状无关
（5）感生电场与感生电动势的关系
e=
ò
L
Edl
A B
A、B处的感生电场都沿曲 线的切线方向吗？ 不是 沿图中曲线一圈，感 生电动势为多少？
e=
Edl Ñ ò
a
B’
j
q
B
DB 1 EA = S D t 2prA
b
A
eAB = ELAB cos q
DB 1 = S LA B cos q D t 2prA
感生电动势与感生电场
曹海奇
（1）涡旋电场一定是圆形的吗？ （2）无限大的磁场，涡旋电场怎样？
DB 已知：S，D t
根据法拉第电磁感应定律
感生电动势： DF S DB e= = Dt Dt
实验表明：感生电动势 完全与导体的种类和性 质无关。
麦克斯韦敏锐地预感到即使导体不存在，在变化的磁 场周围会激发一种电场，叫做感应电场或涡旋电场。
a b
c
d
感生电场与外磁场有关 闭合回路的感生电动势 与外磁场的变化无关
b
O
a
b
1 1 E = pr k = kr 2p r 2 p e = Eg r 2
2
a
pr = k 4
2
（2）ab之间用跨过第2、3、4象限 并以O为圆心的圆弧导线相连，那么 ab之间的电势差为多少？
b
O
b
a
3p r k 4
涡旋电场力充当非静电力
你认为圆 形磁场的 涡旋电场 是什么样 的？
P
你认为圆 形磁场的 涡旋电场 是什么样 的？
（1）圆形磁场离中心r处感生电场强度：
e S DB 1 E = =（ ） 2p r 由电荷产生，而是由变 化的磁场产生，无源场 （3）感生电场是封闭的 （4）感生电场是非保守力场， 无电势的概念
eA B
eA B
DB 1 = S LA B ' = S D B j D t 2prA D t 2p
A
a
A、B处的感生电场都沿曲 线的切线方向吗？ 不是 沿图中曲线一圈，感 生电动势为多少？
B b
DF S DB x= = Dt Dt
感生电动势与封闭 曲线形状无关
S 1D B e1 = Dt
S 2D B e2 = Dt