第七章 线段与角的画法(基础过关)(解析版)

第七章线段与角的画法（基础过关）考试时间：90分钟注意事项：本试卷满分100分，考试时间90分钟，试题共25题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题（共6小题）1.如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．点动成线B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．两点之间，线段最短【答案】B【分析】根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论．【解答】解：∵经过两点有且只有一条直线，∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线．故选：B．【知识点】点、线、面、体、线段的性质：两点之间线段最短、垂线段最短、直线的性质：两点确定一条直线2.如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，如果∠AOD＝104°，那么∠BOM等于（）A．38°B．104°C．140°D．142°【答案】D【分析】根据邻补角互补求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．【解答】解：∵∠AOD＝104°，∴∠AOC＝76°，∵射线OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠AOC＝×76°＝38°，∴∠BOM＝180°﹣∠AOM＝180°﹣38°＝142°．故选：D．【知识点】角平分线的定义、对顶角、邻补角3.一个角的度数为51°14'36″，则这个角的余角为（）A．38°45′24″B．39°45'24″C．38°46′24″D．39°46′24″【答案】A【分析】依据余角的定义求解即可．【解答】解：这个角的余角＝90°﹣51°14'36″＝89°60′﹣51°14'36″＝38°45′24″．故选：A．【知识点】度分秒的换算、余角和补角4.如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，∠α与∠β一定相等的图形个数共有（）个．A．4B．3C．2D．1【答案】C【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．【解答】解：第1个图，∠α+∠β＝180°﹣90°，互余；第2个图，根据同角的余角相等，∠α＝∠β；第3个图，∠α+∠β＝180°，互补．第4个图，根据等角的补角相等∠α＝∠β；综上所述，∠α与∠β一定相等的图形个数共有2个，故选：C．【知识点】余角和补角5.点A、B、C是同一直线上的三个点，点M，N分别是AB，AC的中点，若AB＝10cm，AC＝8cm，则MN长为（）A．6cm B．9cm C．1cm或9cm D．6cm或3cm【答案】C【分析】分类讨论点C在AB上，点C在AB的反向延长线上，根据线段的中点的性质，可得AM、AN的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：（1）点C在线段AB上，如：∵点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点，∴MA＝AB＝5，AN＝CB＝4，∴MN＝MA﹣AN＝5﹣4＝1（cm）；（2）点C在线段AB的反向延长线上，如：∵点M是线段AB的中点，点N是线段AC的中点，∴MA＝AB＝5，AN＝CB＝4，∴MN＝MA+AN＝5+4＝9（cm）．故选：C．【知识点】两点间的距离6.下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】根据线段、点到直线的距离，垂线的概念或性质逐项分析即可．【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法错误．故选：B．【知识点】垂线、点到直线的距离、线段的性质：两点之间线段最短、垂线段最短二、填空题（共12小题）7.计算：42°11′37″+51°49′23″＝．【答案】94°1′【分析】根据度分秒的运算法则运算即可．【解答】解：42°11′37″+51°49′23″＝93°60′60″＝94°1′．故答案为：94°1′．【知识点】度分秒的换算8.如图，点C、D在线段AB上．AC＝8cm，CD＝5cm，AB＝16cm，则图中所有线段的和是cm．【答案】53【分析】根据线段的和差，可得（AC+DB）的长，根据拆项法，可得（AC+CD），（CD+DB），根据交换律、结合律，可得答案．【解答】解：图中线段有AC、AD、AB、CD、CB、DB，共六条线段．其中AC＝8cm，∴AD＝AC+CD＝8+5＝13（cm），∴AB＝16cm，CD＝5cm，∴CB＝AB﹣AC＝16﹣8＝8（cm），∴DB＝AB﹣AC﹣CD＝16﹣8﹣5＝3（cm），故图中所有线段的和为53cm，故答案为：53．【知识点】两点间的距离9.若∠α＝54°，则∠α的余角为°．【答案】36【分析】根据余角的定义即可得到结论．【解答】解：根据余角的定义得：∠α的余角＝90°﹣∠α＝90°﹣54°＝36°．故答案为：36．【知识点】余角和补角10.如图，OC平分∠AOB，若∠BOC＝29°，则∠AOB＝°．【答案】58【分析】从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线．根据定义求得即可．【解答】解：因为OC平分∠AOB，∠BOC＝29°，所以∠AOB＝2∠BOC＝2×29°＝58°．故答案为：58．【知识点】角平分线的定义11.一个锐角的补角比这个角的余角大，且大的度数为度．【答案】90【分析】根据余角和补角的定义求解即可，余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．【解答】解：设这个锐角为α，则180°﹣α﹣（90°﹣α）＝90°，所以一个锐角的补角比这个角的余角大90°，故答案为：90．【知识点】余角和补角12.如图，∠1＝20°14′25″，∠AOB＝90°，点C，O，D在同一条直线上，则∠2等于．【答案】110°14′25″【分析】先根据∠1＝20°14′25″，∠AOB＝90°，求出∠BOC的度数，再利用平角求出∠2的度数，即可解答．【解答】解：∵∠1＝20°14′25″，∠AOB＝90°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠1＝90°﹣20°14′25″＝69°45′35″，∴∠2＝180°﹣∠BOC＝180°﹣69°45′35″＝110°14′25″．故答案为：110°14′25″．【知识点】度分秒的换算、角的概念13.如图，∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，若∠BOD＝30°，∠COE＝40°，那么∠AOF＝．【答案】20°【分析】根据余角的定义即可得到结论．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝∠EOF＝90°，∠BOD＝30°，∠COE＝40°，∴∠AOD＝90°﹣∠BOD＝60°，∠COF＝90°﹣∠COE＝50°，∴∠AOF＝∠COF+∠AOD﹣90°＝60°+50°﹣90°＝20°，故答案为：20°，【知识点】余角和补角14.如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于O，若∠AOD＝78°，则∠AOF等于．【答案】51°【分析】由已知条件和观察图形，利用对顶角相等、角平分线的性质和垂直的定义，再结合平角为180度，就可求出角的度数．【解答】解：∵∠BOC＝∠AOD＝78°，OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝39°．∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°．∴∠AOF＝180°﹣∠EOF﹣∠BOE＝180°﹣90°﹣39°＝51°．故答案为：51°．【知识点】角平分线的定义、垂线、对顶角、邻补角15.已知一个角的补角是它的余角的4倍，那么这个角的度数是．【答案】60°【分析】根据互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°，表示出余角和补角，然后列方程求解即可．【解答】解：设这个角为x，则补角为（180°﹣x），余角为（90°﹣x），由题意得，4（90°﹣x）＝180°﹣x，解得：x＝60，即这个角为60°．故答案为：60°．【知识点】余角和补角16.如图，AB＝12，C为AB的中点，点D在线段AC上，且AD：CB＝1：3，则DB的长度为．【答案】10【分析】直接利用AB＝12，C为AB的中点，得出BC的长，进而得出DC的长，进而得出答案．【解答】解：∵AB＝12，C为AB的中点，∴AC＝BC＝6，∵AD：CB＝1：3，∴AD＝2，∴DC＝6﹣2＝4，∴BD＝DC+BC＝4+6＝10．故答案为：10．【知识点】两点间的距离17.如图，∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，OD平分∠AOC，则∠AOD等于度．【答案】30【分析】先求出∠AOC，根据角平分线定义求出∠AOD即可．【解答】解：∵∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC＝30°，故答案为：30．【知识点】角平分线的定义、角的计算18.如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；（2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t（s），当t＝s时，Q为A，P的“巧点”．【分析】（1）根据“巧点”的定义即可求解；（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，分①Q为AP中点；②AQ＝2PQ；③PQ＝2AQ；进行讨论求解即可．【解答】解：（1）若线段中点为C点，AB＝2AC，所以中点是这条线段“巧点”（2）设A点为数轴原点，作数轴，设运动时间为t秒；t最大＝7.5，A：0，P：0+2t＝2t，Q：15﹣t，①Q为AP中点，，∴t＝7.5；②AQ＝2PQ，AQ＝15﹣t﹣0＝15﹣t，PQ＝2t﹣（15﹣t）＝3t﹣15，∵AQ＝2PQ，∴15﹣t＝2（3t﹣15），∴；③PQ＝2AQ，得3t﹣15＝2（15﹣t），∴t＝9＞7.5（舍去）．综上所述：t＝7.5或．故答案为：是；7.5或．【知识点】两点间的距离、一元一次方程的应用三、解答题（共7小题）19.如图∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB．完成下列问题．（1）求∠AOC和∠BOC的度数．（2）过点O引一条射线OD，使OD与∠AOB的一边垂直，请直接写出∠COD的度数．（小于平角）【分析】（1）直接根据角平分线的定义求解即可；（2）分OD⊥OA和OD⊥OB讨论求解即可．【解答】解：（1）∵∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝＝60°；（2）如图，当OD⊥OA时，∠COD＝90°﹣∠AOC＝30°或∠COD＝90°+∠AOC＝150°；同理，当OD⊥OB时，∠COD＝90°﹣∠BOC＝30°或∠COD＝90°+∠BOC＝150°；故∠COD的度数为30°或150°．【知识点】垂线、角的计算、角的概念、角平分线的定义20.已知如图，点C在线段AB上，线段AC、CB的长满足|AC﹣8|+（CB﹣6）2＝0，点M、N分别是线段AC、BC的中点，求线段MN的长．【分析】根据线段中点的性质，可得MC、CN，再根据线段的和差，可得答案．【解答】解：∵|AC﹣8|+（CB﹣6）2＝0，∴AC＝8，BC＝6，∵点M、N分别是线段AC、BC的中点，∴CM＝AC＝8＝4，CN＝CB＝6＝3，∴MN＝CN+CN＝4+3＝7．【知识点】两点间的距离、非负数的性质：绝对值、非负数的性质：偶次方21.如图，已知在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，∠A＝60°，∠BDC＝80°，求∠DBC的度数．【分析】利用三角形的外角性质可求出∠ABD的度数，再结合角平分线的定义可得出∠DBC的度数．【解答】解：∵∠A＝60°，∠BDC＝80°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝80°﹣60°＝20°．又∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝20°．【知识点】角平分线的定义、三角形的外角性质22.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝120°，OE平分∠BOC．（1）求∠BOE的度数；（2）若OF把∠AOE分成两个角，且∠AOF：∠EOF＝2：3，判断OA是否平分∠DOF？并说明理由．【分析】（1）根据邻补角的概念求出∠BOC，根据角平分线的定义计算，得到答案；（2）求出∠AOE，根据题意分别求出∠AOF、∠EOF，该解角平分线的定义证明即可．【解答】解：（1）∵∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠BOC＝×60°＝30°；（2）OA平分∠DOF，理由如下：∵∠BOE＝30°，∴∠AOE＝180°﹣30°＝150°，∵∠AOF：∠EOF＝2：3，∴∠AOF＝60°，∠EOF＝90°，∵∠AOD＝∠BOC＝60°，∴∠AOD＝∠AOF，∴OA平分∠DOF．【知识点】对顶角、邻补角、角平分线的定义23.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．（1）如图1，若∠BOD＝25°，则∠AOC＝°；若∠AOC＝125°，则∠BOD＝°；（2）如图2，若∠BOD＝50°，则∠AOC＝°；若∠AOC＝140°，则∠BOD＝°；（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系：；并结合图（1）说明理由．【答案】【第1空】155【第2空】55【第3空】130【第4空】40【第5空】∠AOC与∠BOD互补【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；（2）根据∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD计算可得；（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC可知两角互补．【解答】解：（1）若∠BOD＝25°，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣25°＝155°，若∠AOC＝125°，则∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90°+90°﹣125°＝55°；故答案为：155，55．（2）若∠BOD＝50°，∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣50°＝130°，若∠AOC＝140°，则∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD＝40°；故答案为：130，40．（3）∠AOC与∠BOD互补．∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°，∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°，即∠AOC与∠BOD互补．【知识点】余角和补角、角的大小比较24.如图，将直角三角尺OCD的直角顶点O放在直线AB上，并且∠AOC的度数是∠BOD的度数的2倍．（1）求∠BOD的度数；（2）若OE，OF分别平分∠BOD，∠BOC，求∠EOF的度数．【分析】（1）根据补角的定义得到∠AOC+∠BOD＝90°，根据题意列式计算求出∠BOD；（2）根据角平分线的定义分别求出∠BOF、∠BOE，结合图形计算，得到答案．【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠AOC+∠COD+∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOC的度数是∠BOD的度数的2倍，∴∠AOC＝2∠BOD，∴2∠BOD+∠BOD＝90°，∴∠BOD＝30°；（2）由题意得，∠BOC＝∠BOD+∠COD＝30°+90°＝120°，∵OE，OF分别平分∠BOD，∠BOC，∴∠BOF＝∠BOC＝60°，∠BOE＝∠BOD＝15°，∴∠EOF＝∠BOF﹣∠BOE＝45°．【知识点】角平分线的定义、余角和补角25.已知O为直线AB上一点，射线OD、OC、OE位于直线AB上方，OD在OE的左侧，∠AOC＝120°，∠DOE＝α．（1）如图1，α＝70°，当OD平分∠AOC时，求∠EOB的度数．（2）如图2，若∠DOC＝2∠AOD，且α＜80°，求∠EOB的度数（用含α的代数式表示）；（3）若α＝90°，点F在射线OB上，若射线OF绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180），∠FOA ＝2∠AOD，OH平分∠EOC，当∠FOH＝∠AOC时，求n的值．【分析】（1）根据角平分线的定义即可得到结论；（2）根据角的和差即可得到结论；（3）①当∠DOE在∠AOC内部，当∠DOE在射线OC的两侧，根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∵∠DOE＝70°，∴∠COE＝10°，∴∠EOB＝180°﹣120°﹣10°＝50°；（2）∵∠DOC＝2∠COE，∴∠DOC＝80°，∴∠EOC＝80°﹣α，∵∠COB＝60°，∴∠EOB＝140°﹣α；（3）①当∠DOE在∠AOC内部，令∠AOD＝x°，则∠AOF＝2x°，∠EOC＝120﹣x°﹣90°＝30°﹣x°，∠EOH＝（30°﹣x），∴∠HOF＝（30°﹣x）+90°+x°+2 x°＝120°，解得：x＝6，则∠BOF＝180°﹣2x＝168°；②当∠DOE在射线OC的两侧，令∠AOD＝x°，则∠AOF＝2x°，∠COD＝120﹣x°，∠EOC＝90°﹣（120﹣x°）＝x°﹣30°，∠EOH＝（x°﹣30°），∠EOB＝90°﹣x°，∠BOF＝180°﹣2x，∴∠HOF＝（x°﹣30°）+90°﹣x+180°﹣2x＝120°，解得：x＝54，则∠BOF＝180°﹣2x＝72°，综上所述得：OF旋转的角度为72°或者168°．【知识点】角平分线的定义、角的计算。