非周期信号的傅立叶变换分析
信号与系统-第5章
第5 章非周期信号实频域分析本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换非周期信号f(T F(jω)∫+∞∞−−=tet f F td )()j (j ωωωωπωd )j (21)(j teF t f ∫+∞=傅里叶反变换=说明：F∫∞−2122d sin )(d cos )()(⎥⎤⎢⎡⎟⎞⎜⎛+⎟⎞⎜⎛=∫∫∞∞t t t f t t t f j F ωωω所以：∫∫∞∞−∞∞−−=tt t f t t t f d sin )(j d cos )(ωωπ2∫∞−π2∞−∫∫∞∞−+=ωωϕωωπd)](cos[)j(21tFωωϕωωd)](sin[)j(j∫∞++tF典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号单边指数信号双边指数信号直流信号单位冲激信号符号信号矩形脉冲信号02τ−τ2τE矩形脉冲信号（续）F)(ωj单边指数信号0t单边指数信号（续）1双边指数信号0t双边指数信号（续）直流信号有些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，ε(t ) 等，但傅里叶变换却存在。
2202lim )j (ωααωα+=→F )0()0(≠=ωω因此，直流信号的频谱函数可能为一冲激函数，下面求其大小。
π2=1)(=t f )(∞<<−∞t 不满足绝对可积条件ωωααd 222∫∞∞−+)(d )(122αωαω∫∞∞−+=∞∞−=αωarctan 2直接用定义式不好求解，可用间接的方法。
如：直流信号的频谱函数可看作双边指数信号频谱在α→0时的极限:⎩⎨⎧∞+=0直流信号（续）所以，直流信号的频谱是：单位冲激信号=t fδ)(t)(t符号函数⎩⎨⎧<−>==0101)sgn()(t t t t f 构造函数：[=t11−0可积条件符号函数（续）[] F傅里叶变换对eαjω+本章内容傅里叶变换傅里叶变换的概念典型非周期信号的频谱傅里叶变换的性质线性性质，时移性质，频移性质，尺度变换性质，对称性，卷积定理，时域微分积分特性，频域微分积分特性，调制特性非周期信号作用下的系统分析傅里叶变换的性质线性性质时移性质频移性质尺度变换性质对称性卷积定理时域微分积分特性频域微分积分特性调制特性线性性质== [[解：22‖例：已知f(t), 求F(jω)‖-解： f (t) = f1(t) –g2(t)f1(t) = 1 ↔2πδ(ω)可知：g2(t) ↔2Sa(ω)∴F( jω) = 2πδ(ω) -2Sa(ω)由gτ(t) ↔τSa(ωτ/2)时移性质=[解：‖例求F (j ω)。
实验四非周期信号频域分析
实验四 非周期信号频域分析1 实验目的(1) 掌握傅里叶变换的分析方法及其物理意义。
(2) 掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质。
(3) 学习掌握利用MA TLAB 语言编写计算CTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 的若干重要性质。
2 实验原理及方法2.1连续时间信号傅里叶变换——CTFT傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。
傅里叶变换和其逆变换定义如下：⎰∞∞--=dt e t x j X t j ωω)()( 4-1 ⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 4-2连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，它可以被看作是由无穷多个不同频率(这些频率都是非常的接近)的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。
X(j ω)通常为关于ω的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω)其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱， ∠X(j ω)称为x(t)的相位谱。
给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱是连续且非周期的。
对于连续时间周期信号，也可以用傅里叶变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换是由冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。
2.2 用MA TLAB 实现CTFT 及其逆变换2.2.1 用MATLAB 实现CTFT 的计算MA TLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算，本实验采用数值计算的方法。
严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号，也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。
2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质
能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
第七3章 非周期信号的傅里叶变换
则
G( ) g (t )e jt dt 2 Ee jt dt
2
13
7-5典型信号的傅立叶变换
E sin 2 E Sa ( ) 2 2
表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。 n ( n 1, 2, ) Sa ( )0 。 当 时， 2 2 2 n 1 G ( ) 取 ， 的第一个零点的频率为 c ， 定义 0 ~ c （或者 0 ~ fc ）之间的频率范围称为信号宽度。
这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件， 因为有些不满足绝对可积条件的信号，但当引入了冲激函 数 ( ) 之后，就可以大大地扩展傅立叶变换的范围。
12
7-5典型信号的傅立叶变换
1 单个门函数 g (t )
g(t)
E
2
0
2
t
单个门函数
其幅度为E，宽度为
， F[ g (t )] G( )，
• 原来的离散量 n1 演变成连续量 。
• 离散求和 运算 变成连续积分
运算
，即
（ 1）
（2 ）
F ( )
1 f (t ) 2
f (t )e jt dt
F ( )e jt d
式（1）（2）是一对傅立叶变换对，式（2）称为非周 期信号 f (t ) 的傅立叶正变换或称为频谱密度函数.
2 ，用指数形式傅立 T 为周期，脉宽为 ，基频为 1 T 叶级数展开可得
1 T Fn 2T fT (t )e jn1t dt T 2
1 2 E jn1t Ee dt T 2 T
3.5-7 典型非周期信号的傅里叶变换
X ( jω ) 称 为 x ( t )的 频 谱
ω +a
2
2
;
X ( jω ) = − tan ( ) a
2a ω 2 + a2
= EτSa(
ω
u (t ) ← X ( jω ) = →
( t ≤ τ2 ) ( t > τ2 )
← F( jω) →
ωτ
2
)=
sin(
ωτ
2
)
ωτ
2
补充:
1, sin Bt x(t ) = ← X ( jω ) → πt 0, | ω |< B | ω |> B
F( jω)
δ (t )
t
1
jω 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说， 单位冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱” 范围内频谱是均匀的。这种频谱常常被叫做“均匀谱”或 白色频谱” “白色频谱”。 矩形方波演变成冲激函数.exe 单位冲激函数可矩形脉冲取极限 单位冲激函数.exe 其傅立叶变换也可类似推得. 得到 其傅立叶变换也可类似推得
∞
− jωt
dω = ∫−∞ F ( x)e
∞
− jxt
dx
2πf (−ω) = ∫−∞ F( x)e− jxω dx
∞ ∞ − jωt
x ⇒t
= ∫−∞ F(t )e dt ↔ F(t )
若f (t)为偶函数，则f (−ω) = f (ω)
所以有： 所以有：若
f (t ) ↔ F(ω)
则 F(t ) ↔2π f (ω)
为偶函数， 若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称。 为偶函数 则时域和频域完全对称。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子。
非周期信号的傅里叶变换
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
2.一般周期信号的傅立叶变换
x( t )
k
C
jk 0 t
k
e
jk 0 t
e
F [ x( t )]
j0t
2( 0 )
k
k
C
jk 0 t
F [e
] 2
k
c ( k
k
0
)
k
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
常数
试求 X ( w ) ( w ) 的傅立叶反变换
1 x( t ) 2 1 ( w )e dw 2
jwt
1
2
(w)
1 2 ( w ) A 2A ( w )
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
4.8 傅立叶级数与傅立叶变换的关系
x(t ) dt
1 2
X ( w )e jwt1 dw x( t1 )
jwt 2
若x(t)在t2点不连续,则: 1
2
X ( w )e
1 dw [ x( t 2 ) x( t 2 )] 2
第4章 连续时间信号的傅立叶变换
三、常用信号的傅立叶变换 单边指数信号 信号表达式
X ( w )w0 lim C k lim T0 T0 2
X ( w )w0 jkw t 代入(1)式,得: x( t ) lim e T 2 k ~ x ( t ) x( t ) T0 时 0 d , k 0
0 0
1 x( t ) 2
§3-(3-4 )非周期信号的频谱分析 典型非周期信号的傅里叶变换
0
脉冲趋于幅度无穷大、宽度无穷小的信号。强度其为
10
d
2
2
d( 1 (
)
arctg (
)
2
) |
也即，当α→0，前一项是强度为π的冲激。所以，单位阶 X ( j ) 跃信号的傅里叶变换
( )
ℱ u ( t ) ( )
jk 1 t
dt
取T→∞的极限
T 2
lim
T Ak
T
lim
T
T 2
x (t )e
jk 1 t
dt
x (t )e
j t
dt X ( j )
应该是一确定的函数。
2
对应的傅里叶级数展开式
x (t )
k
Ak e
jk 1 t
0
t
t
u ( t )]
0
于是
X ( j ) lim
0
( )
2
2 j
2 2
j
2
0
2 j
18
2
这个结果也可以通过符号函数的另一种表示得到。因
为 所以
x ( t ) sgn( t ) 2 u ( t ) 1
X ( j ) 2 [ ( )
e
jt
dt 2()
17
x (t )
七、符号函数信号
x ( t ) sgn( t )
非周期信号的傅里叶变换
非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换前面已讨论了周期非正弦信号的傅里叶级数展开，下面来分析非周期信号的傅里叶变换。
当周期信号的重复周期t无限增大时，周期信号就转化为非周期信号（单个不重复信号），如对于周期矩形脉冲波，当周期t趋于无穷大时，周期信号就转化为单个非周期脉冲。
从例6-1-2的结果可知，此时信号频谱间隔趋于零，即谱线从离散转向连续，而其振幅值则趋于零，信号中各分量都变为无穷小。
尽管各频率分量从绝对值来看都趋于无穷小，但其相对大小却是不相同的。
为区别这种相对大小，在周期t趋于无穷大时，求的音速，并定义此极限值为非周期函数的频谱函数，即离散的频谱转为连续频谱，上式可改为：（6-4-1）对于一个非周期信号，可以由上式算出其频谱函数，同理若未知非周期信号频谱函数，则也可求出其时域表达式。
其计算式为：（6-4-2）式（6-4-1）与式（6-4-2）是一对傅里叶积分变换式，式6-4-1把时域信号切换为频域的频谱函数信号，称作傅里叶正转换。
而式6-4-2就是把频域信号变换为时域信号，称为傅里叶逆变换。
进行傅里叶变换的函数需满足狄里赫里条件和绝对可积条件。
基准6-4-1 求图6-4-1a右图的单个矩形波的频谱函数，并作振幅频谱与相位频谱图。
图6-4-1解：单个矩形波的频谱函数为：它的幅度频谱与增益频谱例如图6-4-1b、c右图。
从振幅频谱图上可见，矩形脉冲信号所包含的频率分量随频率增大而很快减小，信号主要成份集中于之间，即为频率宽度为。
如果脉冲宽度变窄，即值变小，则信号主要频率分量所占的频率范围就变大。
反之当脉冲变宽，值变大，则其主要频率分量范围就变小。
对于一个较窄的脉冲信号，如果电路要使它通过，则电路的特性必须能使较大频率范围的所有信号都能通过。
傅里叶变换在信号分析与处理中有重要意义。
非周期信号的频谱——傅里叶变换
(3.2-2)
•
式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数， 简
称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数， 简
称相位谱。 一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫
做傅里叶变换对， 其中式(3.2-1)为傅里
叶变换， 式(3.2-2)为傅里叶反变换。 傅
里叶变换对关系也常用下述符号表示
F( j) F[ f (t)]
信号与系统
非周期信号的频谱——傅里叶变换
• 1.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
•
若将非周期信号看作是周期信号
T→∞的极限情况， 非周期信号就可以表
示为
lim
T
fT (t)
f
(t)
• 以周期矩形脉冲为例， 当T→∞时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信 号。 随着T的增大， 离散谱线间隔ω0就 变窄； 当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时， 离 散谱就变成了连续谱。 虽然|Fn|→0， 但 其频谱分布规律依然存在， 它们之间的 相对值仍有差别。 为了表明这种振幅、 相位随频率变化的相对关系， 我们引入 频谱密度函数。
fT (t)
n
1 T
f
T
(
t
)e
jn0t
dt
e
jn
0t
fT (t)
n
0 2
fT (t)e jn0tdte jn0t
f (t)
1
2
fT (t)e j tdt e j td
f (t) 1 F ( j )e j td
2
(3.2-1)
F ( j ) F ( ) e j ( )
• 已知周期函数的傅里叶级
数为
fT (t)
信号分析与处理-傅里叶变换
第三章傅里叶变换本章提要：◆傅里叶级数（Fourier Series）◆非周期信号的傅里叶变换◆傅里叶变换的性质◆周期信号的傅里叶变换◆采样信号和采样定理J.B.J. 傅里叶（Fourier）◆1768年生于法国◆1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”，但其数学证明不很完善。
◆拉普拉斯赞成，但拉格朗日反对发表◆1822年首次发表在《热的分析理论》◆1829年狄里赫利第一个给出收敛条件周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示傅里叶分析方法的应用：（1）泊松（Possion）、高斯（Gauss）等将其应用于电学中；（2）在电力系统中，三角函数、指数函数及傅里叶分析等数学工具得到广泛的应用。
（3）20世纪以后，在通信与控制系统的理论研究与实际应用中开辟了广阔的前景。
（4）力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等得到广泛而普遍的应用。
§ 3.1 周期信号的傅立叶级数◆三角函数形式的傅里叶级数◆复指数形式的傅里叶级数◆几种典型周期信号的频谱◆吉伯斯现象一、三角函数形式的傅里叶级数∞Tianjin University Tianjin University二、复指数形式的傅里叶级数周期信号的复数频谱图三、几种典型周期信号的频谱+-1T t tjn ωTianjin UniversityTianjin University∞n A τωτ思考题：KHz T f T 100101011 26=⨯===-，πω2. 奇函数：f (t )= -f (-t)1tω只含正弦项n F =3.奇谐函数T四、吉伯斯现象)(t f有限项的N越大，误差越小例如: N=11§ 3.2 非周期信号的傅立叶变换∞从物理意义来讨论傅立叶变换(FT)Tianjin University Tianjin UniversityTianjin UniversityTianjin University )0>arctg -=)(t f时域中信号变化愈尖锐，其频域所包含的高频分量就愈丰富；反之，信号在时域中变化愈缓慢，其频域所包含的低频分量就愈多。
傅里叶变换(周期和非周期信号)
T
(t)
n
F e jn1t n
n
1 e jn1t T
1
e jn1t
T n
1
2 T
傅里叶变换的几个重要性质
1. 线性性质
若 f1(t) F 1()f,2(t) F 2() 则 a 1f(t)a 2f(t) a 1F 1()a 2F 2()
式中，a1 、a2为任意常数。
例：求符号函数sgn(t)的频谱函数F(W)。
以下 图 2 为 或 例 f1
信号的持续时间愈长，其有效频带愈窄； 信号脉冲愈窄，其有效频带愈宽。
6
4
2
Fn
A
F0 T
图 中 T14
1 2 1
2
4
6
n1
信号的周期、持续时间与频谱的关系
1. τ不变，T增大，则频谱的幅度将减小，同时谱线变密。 但包络过零点坐标并不改变。
2. T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度 保持不变，但包络过零点的间隔将增大。
bn an2 bn2
sin0t
a0 cn(cosn cosn0t sinn sinn0t)
n1
c0 cn cos(n0t n)
n1
f(t)c 0 cncon s0t(n) n1
式中，
c0
a0
1 T
T
2 -T
2
f (t)dt
cn an2bn2,narctaban nn
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
(1)包络线形状：Sa(x)曲线，频谱只取曲线上离散的点； (2)频谱包络线过零点的横坐标是：
n1 2k (k1,2,3...)
每条谱线只出现在 n1 处
图 中 T14
非周期信号的傅里叶变换
0
a j a j a2 2
ℱ[sgn(t)]
2 j 2
2
j
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
4．阶跃函数
u(t) 1 1 sgn(t) 22
ℱ[u(t)] 1 2 1 2 1
2
2 j
j
F()
0
• u(t)含有直流分量，频谱中 含有冲激函数 • u(t)不是纯直流信号，频谱 中还出现其它频率分量
✓奇异信号的傅立叶变换 冲激信号、阶跃信号……
作业: 3-16(b)(c)，3-19
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
E
2 [cos(
)t cos(
)t]dt
0
0
sin( ) sin( )
E
2 E
2
cos
E[
2
cos
2
2 cos
]
E
(
)2
2
2
2E
cos
1
2
(
)
2
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信号与系统—signals and systems
[例2]：求下列Bf
频谱第一个零点对应的频率
1
te jt
2
(
1
)2 e jt
2
2
e jt
j
0 j
0 j
1 j
1 j
Sa
2
(
)e
j
2
2
ii) B 2 , Bf 1
平移不会改变信号的频带宽度
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信号与系统—signals and systems
§3.3 非周期信号的频谱---傅立叶变换
信号与系统
2. 周期信号的平均功率和功率谱 T
周期信号的平均功率为 P 1 2 f (t) 2 dt
T T
T2
T
根据傅立叶级数展开有 P
1 T
2 T
f 2 (t)dt
1 T
2 T
f
(t) Fne jnt0 dt
n
2
2
T
n
F n
1 T
2 T
f (t)e-jn0tdt
F nF n
根据前面的傅立叶系数公式知道：
an 是 n 的偶函数， bn 是 n 的奇函数。
An 是 n 的偶函数， n 是 n 的奇函数。
信号与系统
周期信号 f (t) ，周期为T
，角频率
0
2f
0
2
T
该信号可以展开为下式复指数形式的傅立叶级数。
f (t) Fne jnt0
n
T
其中
1
Fn T
2
f (t)e -jnt0 dt,
dt
2(w
w
)0
信号与系统
（6）常数函数（直流信号） f (t) = A
直流信号不满足绝对可积条件，可采用取极限的方法导出其傅立叶变换
。当矩形脉冲宽度 τ →∞ 时，矩形脉冲便趋于直流信号，因此直流信号的
傅立叶变换为矩形脉冲信号在 τ→∞ 时的傅立叶变换。
而矩形脉冲的傅立叶变换为
sin( )
F () A
变换的物理含义。对信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分
析具有同样含义，所谓求信号的频谱和求信号的傅立叶变换是
一回事。
信号与系统
非周期信号的频谱
F ( ) 一般为复函数，可以写为 F () F()e j() F () ~ 曲线称为非周期信号的幅度频谱
信号分析基础(非周期信号频域分析)
非周期信号的频谱 2.傅立叶逆变换
浙江工业大学
X
(
j
)
lim
T0
Cn
T0
lim f 0
Cn f
→
Cn
lim
T0
X ( j)
T0
lim
T0
X(
j) 0 2
x(t) Cne jn0t
n 0,1,2,
n
x(t) lim X ( j) 0 e jn0t
3 23
0 0
(a) T=3
3 23
t t
2 (a) T=3 2
WR (t)
k=3 WR (t) 1
1
0 0
-1 -1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1t0
n T0
2
✓ 当T0→∞时，ω0=2π/T0→0 ， ① ω0=dω，②离 散频率nω0→连续变量ω。③求和Σ→积分。则：
x(t) 1 X ( j) e jtd
2
x(t)为X(jω)的傅立叶逆变换（反变换）
非周期信号的频谱 3.傅立叶变换对
X ( j) x(t)e jt dt
Af0
x( f ) A
10 1 f0 f0
t
f0
0
f0 f
2
2
浙江工业大学
非周期信号的频谱
浙江工业大学
(3).尺度特性 若x(t) ↔ X(jƒ)，则
傅里叶变换(周期和非周期信号)
f (t) Fne jn0t n
n1
e e jn0t jn0t
e e jn0t jn0t
a0 (an
n1
2
bn
2j
)
a0
n1
( an
- jbn 2
e
jn0t
an
2
jbn
e
jn0t
)
*
F0 Fne jn0t F en jn0t
n1
n1
*
F0 a0 是实数，Fn与 F n 是一对共轭复数
n1
c0 a0
cn an2 bn2
a0
1 T
T
2 -T
f (t) dt
2
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cosn0t dt
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0t dt
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
或
f (t) c0 cn cos(n0t n ) n1
谐波形式
ω0是基谐波角频率,简称基波频率。
例1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。
f (t) 1
2
c
os0t
c
os(20t
5
4
)
2
s in 0t
1 2
sin
30t
解 ： 将f(t)整理为标准形式
f
(t)
1 2 cos(0t
4
f (t) a0 (an cos0t bn sin0t)
n1
a0
3.5 典型非周期信号的傅里叶变换
2
或B f
1
四、钟形脉冲信号
t
2
f (t) Ee
其傅里叶变换为：
F ()
e E
,
2
2
F
()
() 0
（正实函数）
e E
2
2
e f (t) E
t
2
E
e e j 2
j 2
.
2 2 j
E
sin
2
2
E Sa
2
幅度频谱： F E Sa 2
相位频谱：
0
4n
22n
22n 1
1 22n
2
j
符号函数的频谱图
sgnt
2
j2
2
j
e2
j
F
2 2
2
F 是偶函数
tg 1
2
0
/ 2, / 2,
0 0
F ( )
2
OFra bibliotek 2
O
2
是奇函数
2 2
0,
,
F E
F 0
相位频谱： tg1
0,
0
,
2
4.5非周期信号的连续时间傅里叶变换
R( ) R( ) X ( ) X ( )
是ω的偶函数 是ω的奇函数
F ( j) F ( j) e j ( )
| F ( j) |= R2 () + X 2 ()
R( ) = F ( j ) cos ( ) X ( ) = F ( j ) sin ( )
f (t) 为偶函数， 相位频谱为：
F ( j ) 为
且为
的实函数，
( ) 0
的偶函数。
4.4 连续时间信号傅里叶变换 例：利用双边指数信号求直流信号的傅立叶变换
f (t ) e
1 lim e
0
t
(a>0)
t
FT [1] lim F ( j )
0
2 lim 2 0 2
0
0 0
lim
2[
2 ( )
2 d( )
2
2 lim d 0 2 2
0
1 ( )2
( 2 )]
lim 2 arctan( ) 0
dt
e e
t
0
j t
dt e
0
t
e
j t
dt
1 j
1 j
2 2 2
4.4 连续时间信号傅里叶变换 双边指数信号一
f (t ) e
t
(a>0)
2 F ( j ) 2 2
其振幅频谱为：
2 F ( j ) 2 2
t0 t0
t0 t0
f (t ) sgn(t )
非周期信号的频谱分析傅里叶变换.
X( )
1
a j
a2
a
2
j a2 2
Re( )
lim
a0
a2
a
2
0
( 0)
Re( )
lim
a0
a2
a
2
( = 0)
lim
a0
Re( )d lim
a0
d( / a) 1 ( / a)2
lim arctan
a0
a
14
Im( )
lim
a0
a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
1
Re() = δ()
Im() = –1/
X() = Re() + jIm()
= δ() – j1/
= δ() +1/ e j – /2
阶跃信号的频谱在存在一个冲激，因为含有直流分量， 此外，它不是纯直流信号，在t = 0处有跳变，所以频谱 中还出现其它高频分量。
15
2.3.3 傅里叶变换的性质 １、奇偶性
若x(t)为实函数，则有幅频|X()|为偶函数，相频()
零。 由于频谱幅度趋于0，因此仍采用原来的幅度频谱的
概念将产生困难。事实上，由于频谱已转变为连续谱， 因此说明频谱上某一点频率上的幅度有多少是不行的。
研究频谱密度的变化，即单位频带上频谱幅度的大小，
以X(n1) /1来表示，也是的函数，且与原来幅度谱具
有相似的图形。
T1 ，1 0，X(n1) 0，但X(n1) /1却相对 稳定，将趋于稳定的极限值，这个 的函数称为频谱密
T1增大频谱的谱线变密，谱线变短。
1
x(t) E
0
T1
t
x(t)
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信号与系统
非周期信号的傅立叶变换分析
一、实验目的 ：
(1)熟悉连续非周期信号频谱特点及其分析方法；
(2)掌握用MATLAB 实现傅立叶变换，作出其频谱图（幅度频谱和相位频谱）；
(3)了解常用的傅里叶变换的性质的MATLAB 实现方法；
二、实验原理：
当周期信号的周期T →∞时，周期信号就变成了非周期信号，由此可以利用周期信号的频谱推出非周期信号的频谱。
与周期信号相似，非周期信号可以分解为无数个频率为ω，复振幅为[()/2]F j d ωπω的虚指数信号j t e ω的线性组合，即
1()()2j t f t F j e d ωωωπ∞
-∞=⎰ （1） 其中 00()n n F j C T ωωω== （2）
（2）称为Fourier 正变换，（1）称为Fourier 反变换。
不同的非周期信号都可以表示为上述形式，所不同的只是虚指数信号j t e ω前面的加权系数()F j ω不同。
()F j ω是随频率变化的函数，与周期信号的频谱相似也成为信号频谱函数，它是反映非周期信号特征的重要参数。
非周期信号的频谱与周期信号的频谱物理概念相似，但却有区别：
（1）周期信号的频谱为离散频谱，非周期信号的频谱为连续频谱。
（2）周期信号的频谱为n C 的分布，表示每个谐波分量的复振幅；而非周期信号的频谱为()F j ω的分布，[()/2]F j d ωπω表示合成谐波分量的复振幅，所以也将()F j ω称为频谱密度函数。
离散频谱和连续频谱两者关系为
00()lim n T F j T C ω→∞
= 0
0()n n F j C T ωωω==
三、实验内容： (1) 通过以上原理求时域信号f(t)=e (-t+1) u(t-1/2)的频谱函数 结果为F （jw ）= （1/1+jw ）*e 1/2(1-jw)
(2)利用MATLAB作出其幅度频谱和相位频谱以下为图和代码function y=sf2(t,w);
y=(t>=1/2).*exp(-t+1).*exp(-j*w*t);
w=linspace(-20,20,500);
N=length(w);F=zeros(1,N);
for k=1:N
F(k)=quadl('sf2',1/2,100000000,[],[],w(k)); end
figure(1);
plot(w,abs(F));
xlabel('\omega');
ylabel('|F(j\omega)|');
figure(2);
plot(w,angle(F));
xlabel('\omega');
ylabel('F£¨Ïà룩');
-20-15-10-505101520
00.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
ω|F (j ω)|
F （jw ）的幅度频谱
-20-15-10-505101520
-4-3
-2
-1
01
2
3
4
F （相位）
F(jw)的相位频谱
四、实验结论：
(1) 非周期信号的频谱为连续的，且当f(t)为实信号时，其幅度频谱关于w 偶对称，而相位频谱关于w 奇对称
(2) 信号在时域中持续时间无限，则在频域其频谱有限
五、实验感想：
通过本次试验，我学会使用MATLAB 实现连续时间信号的傅里叶变换，经比较，计算结果与仿真结果一致，非周期信号经傅里叶后，信号图形是连续的，在实验过程中，由于不细心经常会出现一些错误，导致实验无法进行，在以后的仿真实验中一定要仔细检查，注意细节。