线性系统理论大作业2

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线性系统设计大作业

第一章背景１．1自相关函数自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，对于离散信号r 长度为N ，记为{r(k),k=0,1,2,…,N-1}。

该信号的自相关函数为101R()[()()]N i r i i N ττ-==+∑()()r i r i N ττ+=+-伪随机信号在每个采样点k 信号值为-a 或a ，其自相关函数为自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号()x t τ+乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。

自相关函数具有如下主要性质：（1）自相关函数为偶函数，xy R ()τ=xy R ()τ-，其图形对称于纵轴。

因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。

（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。

自相关函数的典型应用包括：检测淹没在随机噪声中的周期信号。

由于周期信号的自相关函数仍是周期性的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。

因此在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。

1.2互相关函数互相关函数，表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。

随机信号x(t)和y(t)的互相关函数xy R ()τ定义为xy R ()[()()]n m x n m y n +∞=-∞=-∑系统脉冲响应的测定。

在随机激励试验中，假如以随机白噪声作为试验信号输入被测系统，则输入信号与输出信号的互相关函数R() 就是被测系统的脉冲xy响应。

这种测量方法的优点可以在系统正常工作过程中测量。

测量时，其他信号都与试验信号无关，因而对互相关函数没有影响，不影响脉冲响应的测量。

第二章基于Hankel 阵的实现2.1 Markov 系数概述对于严格真有理分式111111...()...n n nnn n nb s b s b G s s a s a s a ----+++=+++ 用多项式除法按指数级数展开12()(0)+(1)(2)...g s h h s h s --=++∵传递函数是严格真有理分式 ∴(0)=0hG(s)按Markov 矩阵展开成1(1)(1)1G(s)=C[SI-A]()()i i i i i B CA s G s h i s ∞--+=∞-+==⇒=∑∑我们把{(1),(2),(3)...}h h h 称为Markov 系数。

线性系统理论大作业2

摘要：本文主要讨论线性系统解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。

这一关系从两个方面来说明，第一部分讲述系统解集几何结构与特征值和特征向量之间的关系，通过Matlab 仿真例子说明这一关系；第二部分分别讲述特征值和特征向量与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系，并讲述了能观性，能控性以及稳定性的定义和判据，通过以约旦标准型为例来讲述相同特征值和不同特征值情况下的能观性，能控性，最后在Simulink中仿真一定特征值条件下系统的稳定性。

从以上两个方面来说明解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。

>1. 零输入响应解集与特征值和特征向量之间的关系线性定常系统状态方程x Ax Buy Cx Du=+⎧⎨=+⎩，0(0),0x x t =≥的解为()00()(),0t At A t x t e x e Bu d t τττ-=+≥⎰。

为了研究线性定常系统状态方程解集的几何结构与线性系统的特征之间的关系，将系统简化，只考虑系统为零输入的状态响应，即x Axy Cx=⎧⎨=⎩，0(0),0x x t =≥的解为0()At x t e x =。

所有的零输入状态响应组成了一个线性空间，且该线性空间中有n 个独立的元素，它们的线性组合决定了所有零输入响应。

所以可以通过选择一组线性独立的初始条件得到一组零输入响应集中的基底。

下面先考虑最简单的零输入状态响应集的基底。

若12,,...n λλλ是A 的两两互异的特征值，且12,,...n v v v 是相应的单位特征向量，即,1,2,...i i i Av v i n λ==。

选0,1,2,...i x v i n ==，则0()(...)......i At At i2233i 2233i i i i 2233i i i i i i i t i x t e x e v 11I +At +A t +A t +v 2!3!11v Av t A v t A v t 2!3!11v v t v t v t 2!3!e v λλλλ====++++=++++=-所以取01122...n n x v v v ααα=+++时，相应的零输入响应为121122()...n t t t n nx t e v e v e v λλλααα=+++由此可以看出线性定常系统的零输入响应解集的几何结构可以由系统矩阵A 的特征值和特征向量来表征。

第二次大作业(终)

关键词：伪随机序列
Markov 系数
Hankel 阵
奇异值分解
频率特性
《线性系统》课程论文
目第一章第二章
录
绪论 ....................................................................................................................... 1 伪随机信号 ............................................................................................................ 2
5.1 模型降阶方法简介 ................................................................................................ 20 5.1.1 Pade 降阶算法 .............................................................................................. 20 5.1.2 基于 Schur 均衡实现模型的降阶算法 ........................................................ 20 5.1.3 最优 Hankel 范数的降阶模型 ...................................................................... 20 5.1.4 均衡实现模型的降阶算法 ........................................................................... 21 5.1.5 经验法降阶 ................................................................................................... 21 5.2 实际设计分析 ........................................................................................................ 22 5.2.1 Pade 降阶 ...................................................................................................... 22 5.2.2 基于 Schur 均衡实现模型的降阶 ................................................................ 24 5.2.3 最优 Hankel 范数的降阶 ............................................................................. 24 5.2.4 均衡实现模型的降阶................................................................................... 25 5.2.5 经验法降阶 ................................................................................................... 26 5.2.6 最简 3 阶模型的比对 .................................................................................. 28 第六章总结 ..................................................................................................................... 31

华电线性系统理论大作业

而前文已经得出导轨的动能 Tw ，因此两式相加得系统的动能 T 为：
2 2 2 2 1 x T Tb Tw m x x2 a Ib I w a 2 R
是导轨相对于水平线的倾斜角。
图 1.球杆系统简图
2.2 拉格朗日法建模
为了对球杆系统进行研究，我们先对其进行建模，一般来说，这种球杆系统，运用拉格朗日方程建立其数学模型比较方便，拉格朗日方程如下：
d T T V R U t dt q q ' q ' q
v v' w r
其中 v ' 是小球相对于导轨的线速度，其数值等于 x ，负号是指方向与规定的正方向相反，指的是导轨的角速度，即 a ，r 是小球的质心在坐标系中的位置向量，计算式如下：

R x 0 x x a v 0 0 R xa a 0 0 0
其中 T 为系统的动能，包括小球的转动的动能，导轨转动的动能等，V 为系统的势能，包括重力势能弹性势能等等，能量耗散函数为 R ，q
q1 , q2 ....qk
T
1
为广义坐标向量，其中 k 代表系统的自由度，即完全描述系统运动特性需要的坐标数目，关于自由度在下文会具体分析， u 为作用于系统的外力。以下为各个变量所表示的物理意义，M：导轨的质量，g：重力加速度 r：小球的半径 I b ：球的惯性力矩， I w ：杆的惯性力矩，x：球的相对横坐标，y：球的相对纵坐标，：小球相对于导轨的转角，a：导轨与水平线的夹角，球杆系统受力分析如下：

线性系统理论课后答案

6 XI 给定图P2.12)和＜b)所示两个电路，试列写出其状态方S 和输出方程。

其中, 分别指定：⑹状态变组廿二叱•勺输入变M « = ef(r):输出支量尹=/(b)状态变宣组X 严气，输入变S“y(O；输出变量丿■“CP2 1解本题A 于由物理系统養立状态令问描述的基本题，意在训练正磧和熟塚运用电路定律列写岀电路的状态方程和输出方程•(1)列写P2・l(a)电路的状态方程和输山方程。

首先.考虎到电容C 和电感E 为给定电路中仅有的两个储能元件•电容端电压弋和流经电感电流了构成此电路的线性无关极人变*组，从而透取状态变*组州=%:和巧=i 符合定义要求。

基此，利用电路元件关系式和回路基尔《夫定律，定出电路方程为C 虬r dr L —+= e再由上述电路方程导出状态变量陀和i 的导》项，可得到状态变査方程规范形式，血C I •—=—(tU C d/ 1 心 1 d/L c L L表%=3山和dW/dn 并将上述方程组表为向量方程，就得到此电路的状态方程:继而.按约定输出y = A 可直接得到此电路的输出方程:(b)列写P2.i(b)电路的状态方程和«ta 方程•类似地.考虑到电容C ］和C2为给定电路中仅有的两个储能元件，电容端电压乜和七构成此电路的线性无关极大变fi 组，选取状态变量组二叱和可二叱2符合定义要求，基此，利用电路元件关系式和回路基尔霍夫定定出电路方程为dur GRpM 叱+叱之71RZ,皿6再由上述电路方程导出状态变量叱和叱的导数项，可得到状态变量方程规范形式: % 1 I 1少GR q GR 5 C,Kdr 表M 也C| /曲和 MqI方程：继而，按约定输出y =坯，可由电路导出：尸叱=%+七将其表为向*方程，就得萸i 此电路的皴出方程，八不叱~孫"6 +丽e并将上述方程组表为向量方程，就得封此电路的状态K2.6求出下列^输入输出描述的一个状态空同描述： (i) 施)二 2^2 十 18$+40u(s)『+ 6“ +11S+6 (ii) 型十妙⑴_u(j) (g + 3)2(zl)解本®属于由传递函数型输入输出描述导出狀态空间描述的基本fi 。

线性系统理论试题

x&1 x&2
=
−7
0
x&3 0
0 −5 0
0 x1 0
0
x2
+
4
−1 x3 7
0
0 5
u1 u2
解：由于对角规范型中 B 包含元素全为零的行，故系统不完全能控。
3．（约当规范形判据的应用）判断下面系统的能控性和能观性
1 1 0 0 0 1
x&
=
0 0
1 0
0 1
u = e(t)，输出变量 y = uc。
解：
e
=
uc
+
R
⋅C
duc dt
, x& = − 1 x + 1 u RC RC
, y=x
2．(由输入输出描述建立状态空间描述)系统的传递函数如下，求系统的状态空间描述
G(s)
=
s3
s2 + s + 5 + 6 s2 + 12 s
+
4
0 解：可控标准形， x& = 0
s −1 0 1 det(sI − A) = 0 s −1 0 = (s −1)2 (s − 2) = 0
0 0 s−2
则系统特征值为 λ1 = 1（ λ1 的代数重数 σ1 = 2 ）， λ2 = 2 （ λ2 的代数重数 σ 2 = 1 ）。（2）有重特征值，判断是否可以化为对角规范形
对于 2 重特征值 λ1 = 1，它所对应的特征矩阵
1 0
υ11
= 1,υ22
= 1 ，得到
2
个属于二重特征值 λ1
= 1的特征向量υ1
=
0

线性系统理论大作业

线性系统理论大作业(总11页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除目录题目一 ............................................. 错误!未指定书签。

（一）状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计 ....... 错误!未指定书签。

(1)建立被控对象的状态空间模型，并判断系统性质 ...... 错误!未指定书签。

(2)状态反馈增益矩阵和积分增益常数的设计 ............ 错误!未指定书签。

(3)全维观测器设计 .................................. 错误!未指定书签。

(4)如何在闭环调速系统中增加限流环节 ................ 错误!未指定书签。

（二）二次型最优全状态反馈控制和按负载扰动前馈补偿的复合控制系统设计错误!未指定书签。

(1)线性二次型最优全状态反馈设计 .................... 错误!未指定书签。

(2)降维观测器设计 .................................. 错误!未指定书签。

题目二 ............................................. 错误!未指定书签。

(1)判断系统是否存在最优控制律 ...................... 错误!未指定书签。

(2)非零给定点的最优控制设计和仿真分析 .............................. 错误!未指定书签。

(3)权矩阵的各权值对动态性能影响分析 .................................. 错误!未指定书签。

题目一（一）状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计 (1)建立被控对象的状态空间模型，并判断系统性质 1)画出与题目对应的模拟结构图，如图1所示：图1 原始系统结构图取状态变量为1x =n ，2x =d I ，3x =d u ，控制输入u=c u将已知参数代人并设输出y=n=1x ，得被控对象的状态空间表达式为其中，237500039.768011=-3.696-17.85727.05600-588.235100T ela lala s C GD CA RT T RT T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，000=023529.41s s B K T ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2375-30.4880=000GD E ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，[]100C = 2)检查被控系统的结构性质判断系统能控性、能观性、稳定性程序如下：A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235]; B=[0;0;23529.41];C=[1 0 0]; Qc=ctrb(A,B); Qo=obsv(A,C); L=length(A); if rank(Qc)==Ldisp('系统是状态完全能控'); elsedisp('系统是状态不完全能控'); endif rank(Qo)==Ldisp('系统是状态完全能观'); elsedisp('系统是状态不完全能观'); enddisp(eig(A))%利用A 的特征值判断系统稳定性运行结果：系统是状态完全能控系统是状态完全能观 1.0e+02 *-0.0893 + 0.0820i -0.0893 - 0.0820i -5.8823 + 0.0000i由于矩阵A 全部特征值均具有负实部，因此系统渐近稳定。

江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第2章

0 1 0 A 0 0 1 0 0 0
t e 0 0 0 0 te e
(t; t0 , x0 , u) (t ; t0 , x0 , 0) (t ;t0 , 0,u )
线性系统的一个基本属性是满足叠加定理。基于叠加定理，可将线性系统的全响应可看成初始状态 x0 和输入u(t)共同作用下的系统状态运动 x(t )，分解为由初始 x0 和输入u(t)分别单独作用所产生的响应的叠加。状态
e A1t
e2t
n t e
Al t e
典型2 若矩阵A为对角线分块矩阵，则 e 为：
A2
At
e
At
e A2t
第2章线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
典型3 若矩阵A具有如下形式，应用e At 的定义式，可得 e At
性质9 e 的相似变换如果矩阵A的特征值互不相同，并且存在非奇异变换矩阵P，使得 A PAP 1，由 e At定义可得到：
At
e At Pe At P 1
第2章线性系统的运动分析
At e 三. 几种典型的矩阵指数函数
江苏大学电气学院
由于矩阵指数函数 e At在计算线性系统的响应起着十分
第2章线性系统的运动分析
江苏大学电气学院
三. 零输入响应和零状态响应及全响应
1. 零输入响应线性系统的零输入响应是指只有初始状态作用即 x0 0 ，而无输入作用即 u(t ) 0 时的系统的状态响应。此时，系统的状态方程为
A(t )x , x(t0 ) x0 , t t0 , t x
显然，e At 和矩阵A一样，也是一个方阵。

线性系统理论多年考题和答案

2008级综合大题[]400102110010112x x u y x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦=1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？3 求方程的传递函数；4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！）5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由；6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。

参考解答： 1.判断能控性：能控矩阵21416124,() 2.000M BABA B rank M ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦系统不完全可控，不能任意配置极点。

2按可控规范型分解取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成1140120001P -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求得1203311066001P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦进行变换[]1120831112,0,22260001A PAP B PB c cP --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以系统不可简约实现为[]08112022x x u y x ⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩3.12(1)(1)2(1)()()(4)(2)(1)(4)(2)s s s G s c sI A B s s s s s --+-=-==-++-+4.det()(4)(2)(1)sI A s s s -=-++，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。

12(1)()()(4)(2)s G s c sI A B s s --=-=-+，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不是BIBO 稳定。

系统发散，不是李氏稳定。

5.可以。

令11228,12Tk k k k A Bk k +⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则特征方程[]2112()det ()(2)28f s sI A Bk s k s k k =-+=-++--期望特征方程*2()(2)(3)56f s s s s s =++=++比较上两式求得：728Tk -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦6.可以。

线性系统理论习题答案

《线性系统理论》作业参考答案1-1 证明：由矩阵úúúúúúûùêêêêêêëé----=--121000001000010a a a a A n n nL M O M M M L L L则A 的特征多项式为nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a A I +++==+--++--=--++--=+--=--------+-----L L L M O MM ML LL L M O M M M L L L L M O MMM L L L112114322111321121)1()1(00001001)1()1(000010001000010001l l l l l l ll l l l l l l l l ll 若i l 是A 的特征值，则00001000010001)(1112121=úúúúúúûùêêêêêêëé+++=úúúúúúûùêêêêêêëéúúúúúúûùêêêêêêëé+--=-----n n i n i n i i i in n ni i i i i a a a a a a A I L M M L M O M M M L L L l l l l l l l l l u l 这表明[]Tn ii i121-l l l L 是i l 所对应的特征向量。

华电线性系统理论大作业

分数: ___________任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业学年学期：2014-2015学年第一学期课程名称：线性系统理论学生姓名：学号：提交时间：2014年11月27日目录1.绪论 (1)2.球杆系统分析与建模 (1)2.1球杆模型简介 (1)2.2拉格朗日法建模 (1)2.3拉格朗日模型线性化及状态空间表达式求取 (4)3. 系统稳定性分析 (5)3.1有初始状态下求取系统响应曲线 (6)3.3稳定性判断并求取零极点分布图 (7)4.系统能控性判别 (8)4.1代数判据 (8)4.2模态判据 (8)4.3可控性与可稳定性 (10)5.系统极点配置 (10)5.1极点配置方法 (10)5.1.1状态反馈原理 (11)5.1.2输出反馈原理 (11)5.1.3PID配置极点原理 (12)5.1.4三种反馈对比 (12)5.2.用状态反馈进行极点配置 (12)6.可观性分析及带状态反馈的状态观测器的设计 (16)6.1能观性分析 (16)6.1.1代数判据 (16)6.1.2模态判据 (16)6.3全维观测器原理 (17)6.4全维状态观测器结构 (17)6.5全维状态观测器设计 (18)6.6全维状态观测器Simulink仿真 (18)6.7全维状态观测器在干扰下的性能研究 (20)7.总结 (22)1.绪论球杆系统是控制理论中很经典的一个模型，通常用来检验控制策略的效果，并且很多实际系统都可以近似抽象为球杆模型，因此，对球杆系统的研究很有意义，本文从球杆模型的拉格朗日法建模入手，对球杆系统稳定性，能控能观性等控制特性进行分析。

2.球杆系统分析与建模2.1球杆模型简介球杆系统由底座，直流伺服电机，光滑导轨，小球等组成，导轨在伺服电机的带动下转动，小球在自身重力的作用下沿着光滑的金属导轨自由滚动，球杆系统简图如下，其中x 是小球在导轨上相对于导轨中心的位移量，以导轨左侧为正，α是导轨相对于水平线的倾斜角。

线性系统理论综述

线性系统理论课程大作业论文线性系统理论综述及其应用这学期学习的线性系统理论属于系统控制理论的一个最为基本和成熟发展的分支，主要包括以下内容：介绍采用系统理论解决工程问题的一般步骤，明确建模、分析、综合在解决实际问题中的作用，并重点介绍线性系统模型的特征和分析方法；介绍系统的状态空间描述，结余状态空间方法的分析和系统结构特征和结构的规范分解以及状态反馈及其性质等。

一．线性系统理论研究内容综述系统是系统控制理论所要研究的对象，从系统控制理论的角度，通常将系统定义为由相互关联和相互制约的若干部分组成的具有特定功能的整体。

动态系统是运动规律按照确定规律或者确定的统计的规律岁时间演化的一类系统，动态系统的行为由各类变量间的关系来表征，系统的变量可以分为三种形式，一类是反映外部对系统的影响或者作用的输入变量组，如控制、投入、扰动等；二是表征系统状态行为的内部状态变量组；三是反映系统外部作用或影响的输入变量组如响应，产出。

表征系统动态的过程的数学描述具有两类基本形式，一是系统的内部描述，另一组是输入变量对状态变量的组的动态影响。

从机制的角度来看，动态系统可被分类为连续系统变量动态系统和离散事件动态系统；从特征的角度，动态系统可分别分类为线性系统和非线性系统，参数集成系统和分布参数系统；从作用时间类型角度，动态系统可被称为连续时间系统和离散时间系统。

线性系统理论是系统控制理论最为成熟和最为基础的分支。

他是现代控制理论的一个重要组成部分，也是对经典控制理论的延申。

现代控制理论主要是着重研究现性状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法。

线性系统的理论和方法是建立在建模的基础上。

在建模的基础上，可以进一步把线性系统的理论进一步区分为“分析理论”和“综合理论”。

分析理论分为定量分析和定性分析，定量分析是着重于研究对系统性能和控制具有重要意义的结构特性。

系统综合理论是建立在分析的基础上，系统综合目的是使系统的性能达到期望的指标或实现最优化。

线性系统理论大作业

《线性系统理论》大作业报告引言：研究线性定常连续系统状态方程的解时，求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础，是进行定量分析的主要方法。

而线性定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成。

第一个部分是由初始状态所引起的自由运动，即状态的零输入响；第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动,其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积，即状态的零状态响应。

由于这两部分中都包含有状态转移矩阵，因此状态转移矩阵的计算是线性定常连续系统状态方程求解的关键。

本文先总结了的计算方法，并运用matlab命令求解证明各方法的正确性及给出相应的零输入响应仿真结果。

然后推导了脉冲响应的公式，希望通过飞机模型的例子来研究其系统的脉冲响应。

最后推广研究了任意输入的零状态响应。

第一部分的计算方法及零输入响应的仿真证明一．的计算方法1.根据的定义直接计算定义式是一个无穷级数，故在计算中必须考虑级数的收敛条件和计算收敛速度问题。

类似于标量指数函数，对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说，矩阵指数函数这个无穷级数都是收敛的。

显然用此方法计算一般不能写成封闭的解析形式，只能得到数值计算的结果。

2.变换A为约旦标准型因为任何都可经线性变换成为对角矩阵或约旦矩阵，因此下面将利用对角矩阵和约旦矩阵的矩阵指数函数计算的简便性质，通过线性变换将一般形式的系统矩阵变换成对角矩阵或约旦矩阵计算其矩阵指数函数。

对于矩阵A，若经过非奇异变换（相似变换）矩阵Ｐ作变换后，有则3. 利用拉氏反变换求已知齐次方程两边取拉氏变换即对上式两边取拉氏反变换得齐次微分方程的解：而由定义法求得的齐次微分方程的解为比较两式得4. 应用凯莱—哈密顿定理求（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A 满足其自身的特征方程，即()1110 0n n n fA A a A a A a I--=++++=故121210...n n n n n A a A a A a A a I ----=-----它是的线性组合。

线性系统理论结课作业

分数: ___________任课教师签字：___________研究生结课作业学年学期：课程名称：线性系统理论学生姓名：学号：提交时间：目录1 前言 (1)2.1状态反馈控制 (1)2.2数学模型 (3)3 直流电动机调速系统的设计与仿真 (5)3.1系统的能控性能观性分析 (5)3.1.1能控性定义 (5)3.1.2能控性判据 (5)3.1.3能观性定义 (7)3.1.4能观性判据 (7)3.1.5判断系统的能观性能观性 (8)3.2系统的稳定性分析 (9)3.3 LQR最优调节器的设计与仿真 (10)3.4通过状态反馈实现系统的极点配置 (12)3.4.1状态反馈的基本原理 (12)3.4.2 状态反馈的matlab实现 (13)4 状态观测器的设计 (15)4.1状态观测器的基本原理 (15)4.2状态观测器的matlab实现 (16)5 利用离散化方法研究系统的特性 (20)5.1连续线性系统离散化的概念 (20)5.2采样周期和仿真时间的选择 (21)5.3控制系统的离散化 (21)5.3.1 零阶保持器 (22)5.3.2双线性变换法离散化 (25)5.3.3采用一阶保持器离散化 (28)参考文献 (32)直流电动机调速系统的建模与控制系统的设计1 前言直流电机，是指输出或输入为直流电能的旋转电机，它是能实现直流电能和机械能互相转换的电机。

当它作电动机运行时是直流电动机，将电能转换为机械能；作发电机运行时是直流发电机，将机械能转换为电能。

直流电机由定子（由机座、主磁极、换向磁极、前后端盖和刷架等部件组成）和转子（由电枢、换向器（又称整流子）和转轴等部件构成）两部分组成，其间有一定的气隙。

电能够实现直流电能这机械能相互转化的电机，当它作电动机运行时是直流电动机，将直流转换为机械能；作发电机运行时是直流发电机，将机械能转化为直流电能。

电动机作为最主要的机电能量转换装置，其应用范围已遍及国民经济的各个领域和人们的日常生活。

兰州理工大学线性系统理论期末MATLAB大作业

1、在造纸流程中，投料箱应该把纸浆流变成2cm 的射流，并均匀喷洒在网状传送带上。

为此，要精确控制喷射速度和传送速度之间的比例关系。

投料箱内的压力是需要控制的主要变量，它决定了纸浆的喷射速度。

投料箱内的总压力是纸浆液压和另外灌注的气压之和。

由压力控制的投料箱是个耦合系统，因此，我们很难用手工方法保证纸张的质量。

在特定的工作点上，将投料箱线性化，可以得到下面的状态空间模型：ẋ = [−0.8+0.02−0.020] x+[0.0510.0010] u y =[x 1 , x 2]其中，系统的状态变量x1=液面高度，x2=压力，系统的控制变量u1=纸浆流量u2=气压阀门的开启量。

在上述条件下，试设计合适的状态变量反馈控制器，使系统具有实特征根，且有一个根大于5解：下面是对此设计的MATLAB 程序实现：>> A=[-0.8 0.02;-0.02 0];>> B=[0.05 1;0.001,0];>> r=rank(ctrb(A,B))r =2>> C=[1 1];>> P=[1 6];>> K=place(A,B,P)K =1.0e+003 *-0.0200 -6.0000-0.0008 0.30002、描述恒速制导导弹的运动方程为：ẋ = [ 01000−0.1−0.50000.500000 010000.51000]x + [ 01000] uy =[ 0 0 0 1 0 ] x(a) 运用ctrb 函数计算系统的能控型矩阵，并验证系统是不可控的；(b) 计算从u 到Y 的传递函数，并消去传递函数中的分子和分母公因式，由此可以得到能控的状态空间模型。

在消去了公因子之后，请用tf2ss 函数确定新的状态变量模型；(c) 证明(b)中得到的状态变量模型是能控的；(d) 说明恒速制导导弹是否稳定？(e) 讨论状态变量模型的能控性和复杂性的关系（假设用状态变量的数目来度量复杂性）解程序如下:clearA=input('请输入系统矩阵:');B=input('请输入输入矩阵:');C=input('请输入输出矩阵:');Qc1=ctrb(A,B)N1=size(A);n1=N1(1) %判断状态方程维数rc1=rank(Qc1)if rc1==n1disp('系统可控')elseif rc1<n1disp('系统不可控')endsyms sI=eye(n1);Q=inv(s*I-A);sys=collect(C*Q*B) %求解原状态方程的频域传递函数并化简num=[500 250 50];den=[1 0 0];[A1 B1 C1 D1]=tf2ss(num,den)Qc2=ctrb(A1,B1)N2=size(A1);n2=N2(1) %判断状态方程维数rc2=rank(Qc2)if rc2==n2disp('系统可控')elseif rc2<n2disp('系统不可控')endd1=eig(A)'d2=eig(A1)'flag1=0;flag2=0;for i=1:n1if real(d1(i))>0flag1=1;endendif flag1==1disp('原系统不稳定')elsedisp('原系统稳定')endfor j=1:n2if real(d2(j))>0flag2=1;endendif flag2==1disp('新系统不稳定')elsedisp('新系统稳定')end运行结果：请输入系统矩阵:[0 1 0 0 0;-0.1 -0.5 0 0 0;0.5 0 0 0 0;0 0 10 0 0;0.5 1 0 0 0]请输入输入矩阵:[0;1;0;0;0]请输入输出矩阵:[0 0 0 1 0]Qc1 =0 1.0000 -0.5000 0.1500 -0.02501.0000 -0.5000 0.1500 -0.0250 -0.00250 0 0.5000 -0.2500 0.07500 0 0 5.0000 -2.50000 1.0000 0 -0.1000 0.0500n1 =5rc1 =4系统不可控sys =50/s^2/(10*s^2+5*s+1)A1 =0 01 0B1 =1C1 =250 50D1 =500Qc2 =1 00 1n2 =2rc2 =2系统可控d1 =0 0 0 -0.2500 - 0.1936i -0.2500 + 0.1936id2 =0 0原系统稳定新系统稳定分析：由上述分析结果可知原系统和新系统均稳定，而实际上由系统的极点可知，原系统是稳定的，新系统实际上处于临界稳定状态也可认为是不稳定的；若以状态变量的数目来度量复杂性，可知系统的完全可控性与复杂性存在类似反比的关系，及复杂性越高系统完全可控的难度越大，复杂性越低系统完全可控的难度越低。

研究生线性系统理论题

1.为什么要对连续系统进行离散化?离散化有哪些方法?它们各自的特点是什么?因为连续系统在电脑上无法实现,只能把连续系统离散化,而离散华是将连续变化的模拟量信号，转换成数字量（脉冲）信号，但是这里的离散化是非常密集的,在误差允许的范围内,可以非常的逼近原函数.这样就能用数字电子计算机（电脑）进行计算或处理。

1.前向差分法S平面左半平面得极点可能映射到Z平面单位圆外，这种方式所得到得离散滤波器可能不稳定2.后向差分法变换计算简单；S平面得左半平面映射到Z平面得单位圆内部一个小圆内因此如果D（s）稳定则变换后的D（z）也稳定；离散滤波器得过程特性及频率特性同原连续滤波器比较有一定得失真，需要较小得采样周期T。

3.双线性变换法如果D（s）稳定，则相应得D（z）也稳定；D(s)不稳定，则相应的D(z)也不稳定；所得D（z）的频率响应应在低频段与D（s）得频率响应相近，而在高频段相对于D(S)得频率响应有严重畸变。

4.脉冲响应不变法D(z)和D(s)有相同得单位脉冲响应序列；若D(z)稳定，则D（s）也稳定；D(z)存在着频率失真。

该法特别适用于频率特性为锐截止型的连续滤波器的离散化。

主要应用于连续控制器D（s）具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构，以及D（s）具有陡衰减特性，且为有限带宽得场合。

这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D（z）得频率特性接近原连续控制器D（s）。

5.阶跃响应不变法若D（s）稳定，则相应的D（z）也稳定；D(z)和D（s）得阶跃响应序列相同；6.零极点匹配法需要先求出连续传递函数得全部零极点，计算复杂；能够保持变换前后特征频率处得增益不变；不改变系统得稳定区域，变换前后G（z）和G（s）的稳定特性不变2.多输入/多输出系统能控性和能观测性与系统传递函数矩阵的关系如何?在单输入单输出系统中，能控且能观测得充分必要条件是传递矩阵G （s ）的分母与分子之间不发生因子相消。

【理论】北航线性系统理论完整版答案

【关键字】理论1-1 证明：由矩阵可知A的特征多项式为若是A的特征值，则所以是属于的特征向量。

1-7 解：由于，可知当时，，所以系统不具有因果性。

又由于，所以系统是时不变的。

1-8 解：容易验证该系统满足齐次性与可加性，所以此系统是线性的。

由于而，故，所以系统是时变的。

又因为而，故，所以系统具有因果性。

1-11 解：由题设可知，随变化的图如下所示。

随变化的图如下所示。

从上述两图及所描述的系统，分析如下：当，且即时，有；当时，；当时，有；当时，有；当时，有；综上所示，该松弛系统在上述输入而激励的输出为：1-15 解：由上述齐次方程，可得两线性无关的解向量为：，所以即其基本矩阵为；状态转移矩阵为：1-17 证明：由题设我们可知故，得证。

1-19 证明：由题设可知：由上式可推出又由及习题1-17的结论可推出由以上两个结论，我们可得到所以得证。

即得证。

1-20 解：设其等价变换为，则可知: 由于P 是非奇异矩阵，所以。

1-24 解：易知，其中为严格真有理函数矩阵，进行下列计算：，则所以因此，可得一个实现如下：其模拟图如下所示。

1-25 证明：由题设知同理可知若要使得两系统零状态等价，则要满足，即满足，得证。

2-2 解： a,由题设可知：[]315 1 7- 1 1 1-7- 1 1 1- 1 0 1 1- 10 0 1 B A AB B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=rank rank ，所以系统可控； 30 2 2 8- 14- 8-1- 3- 2-4 4 2 1 2 1 1- 10 2=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡rank CA CA C rank ，所以系统可观。

b,[]x c c c y u x x 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•由题设可知：[]30 1 0 1 1 0 1 0 1 1 01 A B 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==rank B rank rankB ，所以系统可控；（1）若0321===c c c ，则系统不可观；（2）若321c c c ，，中至少有一个不等于零，则3 2 CA CA C 321132113212≠⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c c c c c c c c c c rank rank ，所以系统不可观；总之，该系统不可观。

【系统】线性系统理论大作业小组报告汽车机器人建模

【关键字】系统审定成绩：重庆邮电大学硕士研究生课程设计报告（《线性系统理论》）设计题目：汽车机器人建模学院名称：自动化学院学生姓名：专业：控制科学与工程仪器科学与技术班级：自动化1班、2班指导教师：蔡林沁填表时间：2017年12月重庆邮电大学汽车被广泛的应用于城市交通中,它的方便、快速、高效给人们带来了很大便利,这大大改变了人们的生活. 研制出一种结构简单、控制有效、行驶安全的城市用无人智能驾驶车辆,将驾驶员解放出来,是大大降低交通事故的有效方法之一,应用现代控制理论设计出很多控制算法,对汽车进行控制是非常必要的，本文以汽车机器人为研究对象，对其进行建模和仿真，研究了其模型的能控能观性、稳定性，并通过极点配置和状态观测器对其进行控制，达到了一定的性能要求。

这些研究为以后研究汽车的自动驾驶和路径导航，打下了一定的基础。

关键字:建模、能控性、能观性、稳定性、极点配置、状态观测器第一章绪论第一节概述进入20世纪,汽车被广泛的应用于城市交通中,它的方便、快速、高效给人们带来了很大便利,这大大改变了人们的生活. 但是随着汽车数量的增加,交通事故的数量每年也不断增长,这严重威胁了人们的生命、财产安全,究其主要原因是由于驾驶员的疲劳驾驶造成的. 研制出一种结构简单、控制有效、行驶安全的城市用无人智能驾驶车辆,将驾驶员解放出来,是大大降低交通事故的有效方法之一,也是国内外研究的热点之一。

汽车机器人,其模型可简化成两轮的自行车模型,国内的学者在这方面作了很多深入的研究,应用现代控制理论设计出很多控制算法,取得很多成绩,但其中绝大多数应用环境是在室内,被跟踪轨迹已知,并且其控制方法是将车体的横向位移、纵向位移、纵向速度和转动的角速度等作为被控量,这在应用环境异常复杂城市交通系统中是难实现的。

城市环境下的无人驾驶车由于速度较慢,因此比较安全可靠,它有广阔的应用前景,短期内,可作为城市大容量公共交通(如地铁等) 的一种补充,解决城市区域交通问题,因此,城市环境下的无人驾驶车辆系统的研究已经成为目前的研究热点,但是,由于城市环境非常复杂,对感知和控制算法提出了很高的要求.第二节任务分工本设计由4位同学分工完成，每位同学的任务分工如表1-1所示：表1-1任务分工表第二章系统建模2 系统建模汽车机器人是一种非线性、多变量、强耦合、参数不确定的复杂系统，是检验各种控制方法的一个理想装置，受到广大研究人员的重视，成为具有挑战性的课题之一。