周期势场和Bloch定理

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第七部分能带——总结与习题指导

第七部分能带
——总结与习题指导
内容提要
1．布洛赫(Bloch)定理
周期势场中，单电子哈密顿量 H = − 2∇2 / 2m +U (r) (对布喇菲点阵的所有 R，有
U (r) = U (r + R) )的本征因数可以这样选取，使得和每个ψ 相联系的有一个波矢 k ，对
于布喇菲点阵的所有 R 有
ψ (r + R) = eik⋅Rψ (r)
2
)2 + |UG
|2 ]1/2
(7.17′)
3
用式(7.17′)可以求解一级近似下单个布喇格平面附近的电U 有线性关系，和非简并情况相比较，我们看
到，只有近简并能级才受到弱周期势最强烈的影响。也就是说，弱周期势的主要影响
只表现在对那些波矢靠近布喇格平面的自由电子能级上。
∑ ∑ ∑ ε ε ε (
- εk0-Gi
)Ck -Gi
=
U C G j -Gi k -G j
i =1
+
m
( U − U )C j=1 G≠G1 ...Gm
G -Gi G j -G 0 k -G
k -G j
+ O(U 3)
(7.14)
于是求解 U 的二级近似下 m 个简并能级的能量修正问题化为求解 m 个 Ck-Gi 的联立方
K
= UGCK -G
⎫⎪ ⎬
(ε
-
ε
0 K
-G
)CK
-G
= U -GCK
=
U
* G
CK
⎪⎭
(7.16) (7.17)
ε0 K -G
≈
ε
0 K
,
|
ε

固体物理chapter 5 固体能带论

VheiGhx VheiGh xa
h
h
倒格矢Gh
2
a
h
, eiGha 1
i 2 hx
V x V0 Vhe a
h0
其中
a
Vh
1 a
2
V
-a
x
i 2 hx
e a dx
2
a
V0
1 a
2
V
-a
x
dx
0
2
V x傅立展式 V x
i 2 hx
Vhe a
h0
2、处于周期性势场中的电子
波函数为
选择原点，
1
1 e ikx L
1 e ikx L
1
i h x
ea
L
1
i h x
e a
L
2
1 e ikx L
1 e ikx i L
2 sin h x
La
2 cos h x
La
三、近自由电子能量的讨论
E
自由电子 E ~ K 关系
E 2 k 2
2m
近自由电子 E ~ K 关系讨论
2 aa
a
（小量变量）
a
aa
a
k h h h 1
aa
a
令Th
2 2m
h
a
2
Ek0
2 2m
h
a
1
2
Th 1
2
Ek0
2 2m
h
a
1
2
Th 1
2
代入（2）式得
[ ] [ ] E (k)
1 2
E
0
k
Ek0
1 2

固体物理学：4-1 布洛赫定理

§4-1 布洛赫定理
一. 布洛赫定理
一个在周期场中运动的电子的波函数应具有哪些基本特点？
在量子力学建立以后，布洛赫（F.Bloch）和布里渊（Brillouin）等人就致力于研究周期场中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子的能带理论奠定了基础。
布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子波函数的特点。
4 根据周期性边界条件求本征值周期性边界条件
对于对于对于
—— 整数
—— 引入矢量满足
—— 倒格子基矢
平移算符的本征值
5 Bloch 定理的证明平移算符的本征值
将
作用于电子波函数
电子的波函数满足布洛赫定理
—— 布洛赫定理 —— 布洛赫函数 —— 晶格周期性函数
三、平移算符本征值的物理意义
注：由于德布洛意关系
P h
，即
P
k
，
所以 k 空间也称为动量空间。
kx
2
L
nx
(nx 0,1,2,)
上式告诉我们，沿 k 空间的每个坐标轴方向，
电子的相邻两个状态点之间的距离都是因此，k 空间中每个状态点所占的体积为
2
L
2 L
图 3 表示二维 k 空间每个点所占的面积是
ky
2
。
3
1、一维情况的布洛赫定理
在一维情形下，周期场中运动的电子能量E(k)
和波函数 k ( x) 必须满足定态薛定谔方程
2 2m
d2 dx 2
V ( x)
k(x) E(k)k(x)
(1)
k -------表示电子状态的角波数 V( x ) ----周期性的势能函数，它满足
V( x ) = V( x + n a ) a ---- 晶格常数 n -----任意整数

布洛赫定理

布洛赫定理（一） Bloch 定理：势场()U r →具有晶格周期性时，即()U r →=()n U r R →→+ （1）电子的波函数满足薛定谔方程的解具有以下性质：()n r R ψ→→+=ni k R e→→·()r ψ→（2）根据()n r R ψ→→+=ni k R e→→·()r ψ→，电子的波函数()r ψ→满足：()r ψ→=ni k R e→→·()u r →其中，()u r →为与势能同周期的周期性函数，()u r →=()n u r R →→+n R →为势场的周期（二）Bloch 定理的证明：（1）证明H ∧具有周期性。

（2）引入平移对称算符()n T R ∧→，证明平移对称算符与哈密顿算符H ∧对易，两者具有相同的本证函数。

（3）由平移对称的本征值方程导出··ni k R n r R e r ψψ→→→→→⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据证明（2）知r ψ→⎛⎫ ⎪⎝⎭也是哈密顿算符H ∧的本征函数，综合上述要点便可证明Bloch 定理的第一条性质。

证明：（1）H r ∧→⎛⎫ ⎪⎝⎭=—22()2r m →∇ +()U r → 在直角坐标系中：2()r →∇=222222x y z ∂∂∂++∂∂∂=222222112233()()()x n a y n a z n a →→→∂∂∂++∂+∂+∂+ =2()n r R →→∇+其中112233n R n a n a n a →→→→=++为势能的一个周期或者若干个周期。

∴()n H r R ∧→→+=—22()2n r R m →→∇+ +()n U r R →→+=—22()2r m→∇ +()U r → ∴()n H r R ∧→→+=()H r ∧→引入平移对称算符（简称平移算符）()n T R ∧→：()n T R ∧→·()f r →=()n f r R →→+()f r →为任意函数2()n T R ∧→·()f r →=()n T R ∧→·()n f r R →→+=(2)n f r R →→+ ()ln T R ∧→·()f r →=()n f r l R →→+=()n T lR ∧→·()f r →由上式知：()ln T R ∧→=()n T lR ∧→将平移算符作用到定态薛定谔方程中：()n T R ∧→·()H r ∧→·()r ψ→=()n H r R ∧→→+·()n r R ψ→→+=()H r ∧→·()n T R ∧→·()r ψ→∴()n T R ∧→·()H r ∧→=()H r ∧→·()n T R ∧→∴平移算符与哈密顿算符是对易的。

固体物理基础2-3P-K模型及能带论基础-bai底

i(-k)A- i(a+k)B+ (ik-)C+(ik+)D = 0
与 i(-k)ei(-k)cA-i(+k)e-i(k+)cB-(-ik)e(ik-)bC+(+ik) e-i(k+)bD = 0
电子的波函数不能恒等于零，因此，具有物理意义的波函数必需是非零解，即上面的4个积分常数A、B、C、D不能同时为零。因而，关于A、B、C、D的4个线性方程的系数行列式必需等于零。经过整理得：
能量的这种特征，我们将考虑周期势场的影响获得的固体中电子
运动状态的理论称为能带理论。
4. 电子的能量E与波矢k的关系通过式 P sina cosa coska 可以计算出能带中电子的能量E
a
与波矢k之间的对应关系。
右图中自由电子的能量与波矢之间关系(虚线)与潘纳－克龙尼克周期性方势垒中电子的能量E(k) 的对比。在波矢k等于p/a整倍数位置上相重合。
不同的P值下的曲f(a)线及相应的能带结构的变化。
带颜色段之间的a值对应
于各P值的禁带。
从图看到，随着势场强度变化增强，即势垒高度增增大，P值增大
能带变窄、而禁带加宽
两种极端情况 (1) 势垒参量P→的情况
E = 2( αa )2 / 2m0a2
P sina cosa coska
a
上式只有当a=np （n为自然数）时才成立，即能带缩小成一个能级，其数值为
E 2k2 2m0
(2) 势垒参量P=0(又称空势垒)的情况 cos(a)=cos(ka)， a=ka2np（n为整数），所有a值都允许。故禁带宽度减小到零，能带之间相互连接起来
E 2k2 2m0
与自由电子理论的结果相同，但

布洛赫定理

2 2 2m U r r E r
其中，U(r) = U(r +Rl)为周期性势场， Rl=l1a1+l2a2+l3a3为格矢，方程的解应具有下列形式：
k r eikruk r
—— Bloch函数（Bloch wave function）
2 2 2m U r r E r 其中： U (r Rn ) U (r )
这个方程是整个能带论研究的出发点。求解这个运动方程，讨论其解的物理意义，确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。
从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：
当我开始思考这个问题时，感觉到问题的关键是解释电子将如何“偷偷地潜行”于金属中的所有离子之间。……. 经过简明而直观的傅立叶分析，令我高兴地发现，这种不同于自由电子平面波的波仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。
——F Bloch 一. Bloch定理 • 能带理论的基础 • 针对周期性结构
的解可以表示为： k (r) f (r)uk (r) 其中 uk (r Rn ) uk (r ) 势场的周期性也使与电子相关的所有可测量，包括电子几率
(r)
2
也必定是周期性的，这就给未知函数 f ( r ) 附加了下述
条件：对于所有
f ( r Rn ) f ( r )
2
2
• 描写晶体（周期性势场）中的单电子运动考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型称为周期场模型。

复旦固体物理讲义-16空晶格模型—_能带概念

10.107.0.68/~jgche/
空晶格模型能带概念
4
1、空晶格模型
• 假定
V (r R ) V (r )
• 即仍然具有周期性势，但
V 0
• 思考：与自由电子气有无关系、异同？
2 n (k , r ) En k n (k , r ), 仍用原子单位
——方程的解是否相同？ ——边界条件是否相同？
10.107.0.68/~jgche/
空晶格模型能带概念
m k a
7
广延区图
E (k ) k
2
空晶格布里渊区？
4
3
2 1

a
2
3
4

10.107.0.68/~jgche/ 空晶格模型能带概念

a
8
4
4
2 k m k a
2 En k E m k a
* 简并打开 * 打开的宽度，定量计算（微扰法）

a
13
4
3
2 1

10.107.0.68/~jgche/ 空晶格模型能带概念

a
微扰法能隙
• 空晶格零级近似能带
* 微扰
芯区外电子受 Z d 到势 ~ r
• 回顾Sommerfeld模型
* 把价电子处理成自由电子气，如何处理离子实？正电背景：均匀分布保持电中性
2 2
动能
24
10.107.0.68/~jgche/
空晶格模型能带概念
令 0
E Tn V ( n )
n k E Tn V ( n ) a n k' E Tn V ( n ) a

高二物理竞赛课件：布洛赫定理

个相因子
eik Rn
在一维情况下被称为Floquet定理，因为Floquet首先证明了一维情况。
布洛赫定理
一、Bloch 定理（证明）
H
(r)
(r )
E
(r )
H (r Rn ) (r Rn ) E (r Rn )
V (r ) V (r Rn )
H (r ) H (r Rn )
H (r ) (r Rn ) E (r Rn )
(r
Rn
)
Rn
(r
)
布洛赫定理
一、Bloch 定理（证明）
2
由归一性： 1 Rn
exp i
Rn
Rn
• 根据关系：
Rn Rm
Rn
Rm
选取线性关系：
(r
Rn Rn )
K Rn
eik Rn
(r )
布洛赫定理
布洛赫定理
Next:怎样求解周期场中的Schordinger 方程
布洛赫定理
一、Bloch 定理（1）
• 在周期性势场中运动的电子的波函数可写成布洛赫波的形式：
(r )
eik r
u(r )
u是晶格的周期函数：
u(r
Rn
)
u(r )
布洛赫波是平面波与周期函数的乘积，或：振幅受周期性调制的平面波。
(
x)
~
k
0
0 k
(
x)*
~
k 0
正交归一性
左矢右矢
Na
0
0 k'
(
x)
*
0 k
(
x)dx
~
k' k
0 kk'

布洛赫定理知识点

布洛赫定理知识点布洛赫定理是固体物理学中的一个重要概念，它描述了晶体中电子的行为和能量分布。

通过理解和掌握布洛赫定理，可以深入了解固体物理学的许多基本原理和现象。

本文将主要介绍布洛赫定理的概念、应用以及相关知识点。

一、布洛赫定理的概念布洛赫定理是由瑞士物理学家布洛赫（Bloch）于1928年提出的。

它是描述周期性势场中粒子（如电子）行为的一种数学模型。

根据布洛赫定理，晶体中的物理特性可以由一个周期函数和平面波函数的乘积来描述。

具体而言，布洛赫定理给出了如下形式的波函数表示：ψ(r) = u(r)* exp(ik•r)其中，ψ(r)表示晶体中的波函数，u(r)是一个周期函数，k是布拉格波矢，r是晶格中的位置矢量。

根据布洛赫定理，晶体中的波函数具有周期性，即在晶体中的任意位置矢量r上，波函数的模长和相位都具有相同的周期性。

这种周期性使得我们能够用一个有限大小的晶胞作为模型来描述整个晶体的物理特性。

二、布洛赫定理的应用布洛赫定理在固体物理学中有广泛的应用。

下面将介绍一些常见的应用。

1. 能带理论布洛赫定理为解释固体中能带结构提供了重要工具。

能带结构是指能量与波矢之间的关系。

根据布洛赫定理，电子的波函数可以表示为周期函数和平面波函数的乘积，从而可以得到电子的能量本征值和能带结构。

2. 色散关系布洛赫定理可以用来描述晶体中的电子色散关系。

色散关系是能量与波矢之间的关系，描述了晶体中电子的传输性质。

布洛赫定理给出了电子波函数的表示形式，可以通过对波函数进行求解，得到电子能量与波矢的关系。

3. 赝势方法布洛赫定理在赝势方法中也有重要应用。

赝势方法是一种计算固体物理性质的近似方法，通过引入赝势将全电子问题简化为少电子问题。

布洛赫定理提供了计算周期势场中电子行为的数学模型，使得赝势方法在实际计算中得到了广泛应用。

三、布洛赫定理的相关知识点除了上述介绍的应用外，布洛赫定理还涉及一些其他重要的知识点。

1. 布洛赫矢量布洛赫矢量是用来描述布洛赫定理中波函数的平移对称性的参数。

固体能带论

求和遍取所有允许的倒格矢
(k G , x )＝ C ( K G Gn )e
' n ' n Gn
' i ( K Gn Gn ) x
令G‘n －Gn=Gn’’,则
＝ C ( K G )e
'' n G ''n
'' i ( K Gn ) x
(k , x )
（∵ 求和也是遍取所有允许的倒格矢）即相差任意倒格矢的状态等价。
价电子共有化（Na晶体中的势能曲线和电子云）
与这种共有化的运动状态相对应，电子的能谱由孤立原子的能级分裂成晶体中的能带。这时电子不属于某一个原子而是在晶体中做共有化运动，分裂的每一个能带都称为允带，允带之间有禁带。
因此原子之间靠近而产生的相互作
用使原子能级的简并消除，是固体中出现能带的关键。
Байду номын сангаас
V (r ) V (r Rn )
V (r n1a1 n2 a2 n2 a2 )
（一）布洛赫定理
晶体中的电子波函数是按照晶格周期性进行的调幅平面波. 即（以一维为例）（k ,x）＝u（k，x）eikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na）晶体中的电子波又称为Bloch波。
u( K , x na)
于是布洛赫定理得证。
（三）布洛赫定理的一些重要推论
1、K态和K＋Gh态是相同的状态，这就是说：（A）（K＋Gh,r）＝（K，r）（B）E（K＋Gh）＝E(K)
下面分别证明之。 i ( K Gn )x ∵ （k ,x）＝ C( K Gn )e

Gn
问题的关键：V(r)＝？

固体物理的思考题

固体物理的思考题1.解理⾯是⾯指数低的晶⾯还是⾯指数⾼的晶⾯，为什么？答：解理⾯是指⾯与⾯之间的相互作⽤⼒⽐较弱，容易解离的⾯，若⾯间距⽐较⼤，则容易形成解理，晶⾯指数越⼤，⾯间距越⼩，晶⾯指数越⼩，⾯间距越⼤，所以是⾯指数低的晶⾯容易解离。

2.⾼指数的晶⾯族与低指数的晶⾯族相⽐，对于同级衍射，那⼀晶⾯族衍射光弱？为什么？答：由布拉格衍射公式，其中θ为⼊射x射线的掠射⾓，⾼指数的晶⾯族晶⾯间距d⽐较⼩，对于同级衍射，d越⼤，则越⼩，光的透射能⼒就越弱，此时形成的衍射光就⽐较弱。

也可以从另⼀⽅⾯考虑，晶⾯指数越⼤，晶⾯间距越⼩，原⼦密度也越⼩，此时对⼊射光的反射作⽤就⽐较弱，所以⾼指数晶⾯组的衍射光弱。

3.对于x射线衍射，可否将⼊射光改为可见光？答：不可以，主要由于原⼦的间距在?的数量级，根据布拉格衍射公式，可知⼊射光波的波长也应在?的数量级，然⽽可见光的波长⼀般为⼏百nm所以不可以改为可见光⼊射，常⽤的⼊射光⼀般为Cu的线1.54?。

4.在⼀般的单式格⼦中是否存在强烈的红外吸收，为什么？答：在离⼦晶体中的长光学⽀格波有特别重要的作⽤，因为不同离⼦间的相对振动产⽣电偶极矩，从⽽可以和电磁波相互作⽤，长光学波与红外光波的共振，引起对⼊射波的强烈吸收，但是对于单式格⼦（简单晶格）⽽⾔，由于是只包含单个原⼦，并不存在光学⽀格波，所以不会引起对红外光波的强烈吸收。

5.⾊散曲线中，能否判断哪知格波的模式密度⽐较⼤，是光学⽀格波还是声学⽀格波？答：在⾊散曲线中，光学⽀格波的⾊散曲线⽐较平缓，⽽声学⽀的⾊散曲线⽐较陡峭，模式密度表⽰在频率ω附近单位频率间隔内的格波数，由于光学⽀格波⾊散曲线变化平缓，对应⼩的ω区间就具有了较⼤的波⽮q的变化，所以光学⽀格波的模式密度⽐较⼤。

6.拉曼散射中光⼦会不会产⽣倒逆散射？答：拉曼散射是长光学波声⼦与光⼦（红外光）的相互作⽤，长光学波声⼦的波⽮很⼩，响应的动量⼩，产⽣倒逆散射的条件要求波长⼩，波⽮⼤，散射⾓⼤，拉曼散射不满⾜条件所以不会产⽣倒逆散射。

布洛赫定理及它的指导意义

JISHOU UNIVERSITY《固体物理》期末考核报告布洛赫定理及它的指导意义布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯·布洛赫（Felix Bloch ）而得名。

布洛赫波由一个平面波和一个周期函数u （r ）（布洛赫波包）相乘得到。

其中u （r ）与势场具有相同周期性。

布洛赫波的具体形式为：式中k 为波矢。

上式表达的波函数称为布洛赫函数。

当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：这一结论称为布洛赫定理（Bloch's theorem ），其中为晶格周期矢量。

可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。

平面波波矢k（又称“布洛赫波矢”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵矢量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波矢。

对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n以区别。

这些能带的能量在k的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。

在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。

在单电子近似的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。

上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波矢k是一个守恒量（以倒易点阵矢量为模），即电子波的群速度为守恒量。

换言之，在完整晶体中，电子运动可以不被格点散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似），晶态导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷。

从薛定谔方程出发可以证明，哈密顿算符（Hamiltonian）与平移算符（translation）的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式。

更广义地说，本征函数满足的算符作用对称关系是群论中表示理论的一个特例。

布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov，1892年）等独立地提出。

材料设计—19-布洛赫定理

但经验理论不能说明金属电阻与温度的关系；以及为什么在如此密集的离子实中运动的电子却具有十分长的自由程。
经典的自由电子气模型也不能解释为什么这些自由电子对比热容的贡献却微乎其微。如果电子有充分的自由度来运载电流，那么这些自由度同样对比热容有贡献。有N个离子和n个电子的系统，高温下除了有3NkB的晶格比热容外，还应该有3nkB/2的额外比热容。但实际上并没有如此大的额外比热容。这是自由电子论的困难所在。
这就是布洛赫定理。当平移晶格矢量R时，同一能量本征值的波函数只增加一个相位因子。
注意：不是R的周期函数！
布洛赫定理的另一种表达形式。
周期势场中的单电子波函数可以写成一个调幅的平面波（布洛赫波函数）：
其中调幅因子u满足R的周期性：
很显然，该函数必然满足布洛赫定理
与自由电子波函数相比，周期场的作用只是用一个调幅平面波取代了平面波，称为布洛赫波。它是一个无衰减的在晶体中传播的波，不再受到晶格势场的散射。
平移算符
晶体最重要的特征是平移对称性，定义三个基本的平移算符：
对任一函数：
它们是可对易的：
同时，平移算符也是可对易的：
与哈密顿
即这四个算符具有相同的本征函数，可以用它们所对应的本征值的量子数来标志周期中的单电子态。
平移算符的本征值及其量子数
设H和T的共同本征函数是
En是H的本征值，n为主量子数，λ是T的本征值，由于
能带论
引言
固体能带论是布洛赫(Bloch)为了解决金属的电导问题，于1928年创立的。
20世纪初，量子力学建立，首先在原子物理领域取得巨大成功，之后一个方向就是研究更微小的原子核和基本粒子，另一个方向就是研究分子和固体等大量粒子的系统。

半导体物理学简明教程 (2)[111页]

《半导体物理学简明教程》孟庆巨等编著.电子工业出版社
40
2.4.2 能带图及其画法
图2.7在简约区能带图的右边画出了使用方便的简化能带图，其纵坐标为电子能量，横坐标通常是没有意义的。这种表示方法简单，直观性强，是经常使用的一种能带图。例如在讨论半导体表面问题和半导体接触现象时，用的都是这种图，并使横坐标也有明确的含义。图中Eg 表示两个能带之间的带隙宽度即禁带宽度。
《半导体物理学简明教程》孟庆巨等编著.电子工业出版社
38
2.4.2 能带图及其画法
（2）重复区形式：把每一个能带都按照式 (2.4-3)周期性地重复，在每一个布里渊区中表示出所有的能带。这时E是k的多值函数。
《半导体物理学简明教程》孟庆巨等编著.电子工业出版社
39
2.4.2 能带图及其画法
（3）简约区形式：在第一布里渊区中表示出所有能带。这时E是k的多值函数，与每个k值对应的不同能量属于不同的能带，如图2.6所示。在用图形表示晶体的能带结构时经常使用的就是这种形式。
V (r + Rm ) = V (r )
《半导体物理学简明教程》孟庆巨等编著.电子工业出版社
3
2.1 周期性势场
上图给出一维周期性势场的示意图。周期性势场可以看做是各个孤立原子的势场的叠加。V1, V2, V3, …分别代表原子1, 2, 3, …的势场，V代表叠加后的晶体势场。
《半导体物理学简明教程》孟庆巨等编著.电子工业出版社
11
波矢量k和波矢量 k’= k+Kn标志的两个状态
( n1, n2, n3为任意整数) 为倒格矢。晶格平移矢量 Rm 和倒格矢 Kn 之间满足如下关系 K n Rm 2 ( μ为任意整数) (1.3-5) 所以 iK n Rm (2.2-6) e 1 式(2.2-6)即为式(1.3-4)。利用式(2.2-6)，有

第六章能带理论

2 2 (0) k (2) k
(0) k
2
k

(1) k

(0) k
H kk (0) (0) (0) k E E k k k k
2mU n exp i 2 nx / a 1 ikx e 1 2 2 2 2 L n 0 k k 2 n / a
ik r r k Ae
r Cu r
在晶体中运动电子的波函数介于自由电子与孤立原子之间，是两者的组合。如果晶体中电子的运动完全自由， uk r A const.
ik r e C const. 若电子完全被束缚在某个原子周围，
k 2 n k 2m 2m a
2 2 2
2
2 2 k k n k Gn a
2
2
在布里渊区边界上:
n k a
2n n k k a a
k态和k’态为简并态。必须用简并微扰来处理。

(0) k
周期性势场中能带结构特点：（1）电子能量的允许值由若干不连续区域（能带）组成，相邻能带之间的区域称为禁带。能带的分界点出现在 ka =±nπ n=1,2,… 处。（2）E是K的偶函数（3）能量较高的能带较宽，能量较低的能带较窄。（4）E(k+Kh) = E(k)；所以，在-π到π之间可画出所有能带，因此必须指明能带序号n，写成 En(k)。
2k 2 2k 2 U0 2m 2m
令U 0 0
一级微扰方程： H 0 k(1) H k(0) Ek(0) k(1) Ek(1) k(0) 电子的能量：
电子波函数：

固体物理学复习总结

第一章晶体结构1.晶体：组成固体的原子（或离子）在微观上的排列具有长程周期性结构；eg ：单晶硅。

晶体具有的典型物理性质：均匀性、各向异性、自发的形成多面体外形、有明显确定的熔点、有特定的对称性、使X 射线产生衍射。

非晶体：组成固体的粒子只有短程序，但无长程周期性；eg ：非晶硅、玻璃准晶：有长程的取向序，沿取向序的对称轴方向有准周期性，但无长程周期性，不具备晶体的平移对称性；eg ：快速冷却的铝锰合金2.三维晶体中存在7种晶系14种布拉菲格子；对于简单格子晶胞里有几个原子就有几个原胞，复式格子中包含两个或更多的格子。

3.典型格子特点：sc bcc fcc hcp Diamond 晶胞体积3a 3a 3a 32a 3a 每晶胞包含的格点数1 2 4 6 8 原胞体积3a 321a 341a 332a 341a 最近邻数（配位数）6 8 12 12 4 填充因子0.524 0.68 0.74 0.74 0.34 典型晶体 NaCl CaO Li K Cu Au Zn Mg Si Ge4.sc 正格子基矢：k a a j a a i a a ===321,,；sc 倒格子基矢：k ab j a i a πππ2,2b ,2b 321===； fcc 正格子基矢：)2),2),2321j i a a k i a a k j a a +=+=+=（（（； fcc 倒格子基矢：)2),2),2b 321k j i ab k j i a b k j i a -+=+-=++-=（（（πππ； bcc 正格子基矢： )2),2),2321k j i a a k j i a a k j i a a -+=+-=++-=（（（； bcc 倒格子基矢：)2),2),2b 321j i a b k i a b k j a +=+=+=（（（πππ；倒格子原胞基V a a )(2b 321⨯=π，V a a )(2b 132⨯=π，Va a )(2b 213⨯=π 正格子和倒格子的基矢关系为ij a πδ2b j i =⋅；设正格子原胞体积为V,倒格子原胞体积为Vc ，则3)2(V c V π=⨯。

布洛赫波

和一个周期函数（布洛赫波包）相乘得到。

其中与势），其中为晶格周期平面波波矢（又称在的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波矢是一个守恒量（以倒∙黄昆原著，韩汝琦改编，《固体物理学》，高等教育出版社，北京，1988，ISBN 7-04-001025-9∙Charles Kittel, Introduction to Solid State Physics (Wiley: New York, 1996).∙Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: Orlando, 1976).∙Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z.Physik52, 555-600 (1928).∙George William Hill, "On the part of the motion of the lunar perigee which isa function of the mean motions of the sun and moon," Acta. Math.8, 1-36 (1886).（本文初版于1877年，后曾被私下传阅）。

∙Gaston Floquet, "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients p ériodiques," Ann. École Norm. Sup.12, 47-88 (1883).∙Alexander Mikhailovich Lyapunov, The General Problem of the Stability of Motion (London: Taylor and Francis, 1992).（李雅普洛夫的博士论文，1892年完稿，稳定性理论的奠基之作）个人工具∙登录／创建账户名字空间∙条目∙讨论大陆简体变换∙大陆简体∙港澳繁體∙马新简体∙台灣正體查看∙阅读∙编辑∙查看历史导航∙首页∙分類索引∙特色内容∙新闻动态∙最近更改∙随机条目帮助∙帮助∙社区入口∙方针与指引∙互助客栈∙询问处∙字词转换∙IRC即时聊天∙联系我们∙关于维基百科∙资助维基百科工具∙链入页面∙链出更改∙上传文件∙特殊页面∙打印页面∙永久链接∙引用此文其他语言∙Deutsch∙English∙یسراف∙Français∙תירבע∙Magyar∙Italiano∙日本語∙한국어∙Polski∙Русский∙Українська∙本页面最后修订于2010年7月1日 (星期四) 15:43。

第14讲Bloch定理和能带概念

第14讲、Bloch定理和能带概念（教学时间2课时）本讲要点• Bloch定理：描写周期性势场中单电子的性质* Bloch波，Bloch电子* 周期性结构中的波都具有Bloch波的形式• 电子共有化运动* 平面波部分描写整个晶体的共有运动* 调幅部分描写原胞内的运动——限制在原胞内* K+k与k等价，K是倒格矢——限制在第一布里渊区• 能带概念* 能量与波矢之间的关系* 一些能带性质概念要点• Bloch波• Bloch电子• 能带主要内容1. Bloch定理所要解决的问题* 确定在周期性势场下单电子的运动性质* 由Bloch定理规定了它的波函数所必须具有的形式2. 平移算符的本征值* 非简并情况* 简并情况3. Bloch定理的推论* 推论一* 推论二4. Bloch定理带来的新概念——能带1、Bloch定理所要解决的问题• Bloch定理——固体物理学的基础* 1928年由年仅23岁的F. Bloch证明• Bloch思考的问题* 由自由电子气体知道，充满离子实的金属内部对电子运动来说，竟然好象是空的！难以想象！* 离子既然能够束缚住芯电子不得动弹，但为何惟独对价电子视而不见呢？谁动了我的离子实？• Sommerfeld也思考过类似的问题* 曾经因引入费米分布概念而成功解释了电子气的比热问题，还局限在这一思路上# 真是成也费米分布，败也费米分布• Bloch摘到了果子——周期性势场中电子运动周期性势场• Bloch定理的适用范围（三个近似）①、绝热近似；②、单电子近似；③、周期性势场近似（周期性为Bloch定理所必需，其他已在Schroedinger方程中，但如前两个中的任何一个不成立，周期性势场也不会成立）•晶体周期性结构周期势场下单电子波函数性质的猜想• 设问：既然周期性势场，我们自然要推测：* 周期性势场中的薛定谔方程的解是否也有同样的平移周期性？• 这看上去是很自然的，因为既然V(r+R)=V(r)，似乎应该有• 两个哈密顿相等，它们的解是否也应该相等？（错）• 除了一个相因子外，两者相同！• 因此并非一无是处！差那么一点！换个对象看相因子• 设问：对自由电子，是不是满足周期性势场？* 即，V(r+R)=V(r)是否成立？• 当然成立，V=0！对任何平移变换都不变！• 那么它的解即平面波经平移变换应为很有意思！仅仅相差一个e i k*Rl的相因子！• 就按这个思路，看F. Bloch如何演绎Bloch定理，Bloch定理只能得出这个结论Bloch定理• 单电子受这样的周期性势场约束* 单电子同时意味着：它所受的离子势场和其他电子的平均势场同时具有同样的周期性* 单电子波函数的形式受到一定的限制运动性质• Bloch定理* 周期性势场中运动的单电子，当平移一个格矢R l时，其同一能量本征值的波函数只增加一个相因子e ik.R，即在每个格点上的波函数除了一个与格矢有关的相因子外都相同• Bloch定理就是：当对单电子波函数进行一个R的平移变换，除了相因子e ik.R，其他不变• 因此下面具体考察这个平移操作——平移算符2、平移算符的本征值非简并情况• 既然如此，除了一个相因子外，两者应该相同• 评论：* 该方程是平移算符的本征值方程* 本征值与格矢有关• 格矢满足• 平移算符也满足• 作用在波函数上，就有• 它们表示的是相因子，因此，可以写成• 这样就有• 即• 这说明，只有当相位因子α与格矢R满足线性关系时，平移算符的本征值才满足这样的关系• 因此，可将αl改写成对所有α相同的常矢量k和R l的乘积(如果一维，很容易理解，三维→矢量)• 注意：这里α必须是实数，所以k是实数！* 否则，模不等于1• 注意：矢量k现在还只是一常矢量因子，还未与波矢相联系* 后面会看到，它就是波矢，一个描写状态的物理量• 于是简并情况• 如果是f n度简并的，即有f n个相互正交的本征函数属于同一本征值，可以写成它们的线性组合• 平移算符可通过上式用一个λ的矩阵表示• λ矩阵也构成一个群，可由f n个相互正交的本征函数的线性组合产生新的基函数。

第四章能带理论

真空中一维自由电子ikxae1d3dbloch定理r与rr处差一个相位因子bloch波是晶体具有平移周期性的结果定义平移算符一维情况归一化条件晶体总长晶体两边的物理特性一样所以有bloch定理推广到3维knanambnamnaikikxikxikzikxikaika故当k改变一个倒格失intnaiknambk倒空间中一点表相位差当k在一定的取值范围内取值时一一对应其他区域的k重复该区的结果
对于εi有N个简并的能态
(r Rn ) e ikR (r )
n
am i (r Rm n ) e ikRn am i (r Rm )
m m
1 ik Rm am e N
i ( r Rm ); i (r Rm ) j (r Rm ) ij
i n m 2 N
m n
; 1
n m N
n 1
2
1, ei
n为整数
n e
i 2m
n N
Tn本征值, 表相位差
ˆ (k, r na) Tn (k, r) n (k, r)
2m n 2m na m b mb na kna k ; m int . N Na N N ikna n e
let z x a, a x z
( x) eika ( x a)
e e ( z ) u1 ( z )e
ikx ikz ikx
u ( k , x )e
ikx
u (k , x) e ik ( x a ) ( x a) u (k , x a) e
均匀分布间隔为b/N 的N个k点。
L1
L2 b2 b1

固体物理第四章(1)Bloch定理

i

ˆ H i i r i Ei i r i

（4-9）
所有电子都满足薛定谔方程，可略去下标。只要解得 i r i , Ei ，便可得
到晶体电子体系的电子状态和能量，使一个多电子体系的问题简化成一个单电子问题，所以上述近似也称为单电子近似。

周期势场假设
而并不考虑其它电子的具体运动情况
单电子近似并非所研究的系统只有一个电子。系统可以有多个电子，但是波函数十单电子的波函数，多个单电子方程。但所有单电子都满足同样的方程，因此这个单电子方程的解对所有电子都适用，是所有电子的解。如果该近似用到不满足这个近似的体系——强关联体系，会出现反常现象。
4.2 能带理论的基本假设
假设在体积V=L3中有N个带正电荷Ze的离子实，相应地有NZ个价电子，那么该系统的哈密顿量为：
2 2 1 / e2 ˆ H i 2 i , j 4 0 r i r j i 1 2m
NZ NZ N 2 2 1 ( Ne) 2 Ze 2 / n 2 i , j 4 0 R n R m i 1 n 1 4 0 r i R n i 1 2 M ˆ ˆ Te U ee r i r j Tn U nm R n R m U en r i R n N

（4-12）
的本征函数是按布拉菲格子周期性调幅的平面波，即
k
且

ik r r e uk r

（4-13）
在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅不再
uk r R n uk r

周期势场和Bloch定理

第七部分能带——总结与习题指导

固体物理chapter 5 固体能带论

固体物理学：4-1 布洛赫定理

布洛赫定理

固体物理基础2-3P-K模型及能带论基础-bai底

布洛赫定理

复旦固体物理讲义-16空晶格模型—_能带概念

高二物理竞赛课件：布洛赫定理

布洛赫定理知识点

固体能带论

固体物理的思考题

布洛赫定理及它的指导意义

材料设计—19-布洛赫定理

半导体物理学简明教程 (2)[111页]

第六章 能带理论

固体物理学复习总结

布洛赫波

第14讲Bloch定理和能带概念

第四章 能带理论

固体物理 第四章(1)Bloch定理

第六章能带理论

第四章能带理论

固体物理第四章(1)Bloch定理