椭圆离心率的解法
离心率公式椭圆的abc
离心率公式椭圆的abc椭圆是一种经典的数学几何图形，它具有许多有趣的性质和特征。
其中一个重要的特征就是离心率，它可以用来描述椭圆的形状。
让我们来了解一下离心率的定义。
离心率是一个无单位的数值，表示椭圆形状的偏心程度。
它的取值范围在0到1之间，其中0表示圆形，1表示无限长的直线。
在椭圆中心到焦点的距离与椭圆中心到顶点的距离之比定义了离心率。
离心率的计算公式如下：离心率（e）等于焦距（f）与椭圆长轴（2a）的比值，即e=f/2a。
这个公式告诉我们，离心率与焦点到顶点的距离有关，同时也与椭圆的长轴有关。
在椭圆的三个主要参数中，长轴（2a）是椭圆中心到两个顶点的距离，短轴（2b）是椭圆中心到两个较短的边的距离，焦距（2f）是椭圆中心到两个焦点的距离。
根据离心率的定义，我们可以得出椭圆的另一个重要性质：离心率小于1时，椭圆的焦点在椭圆内部；离心率等于1时，焦点位于椭圆的边上；离心率大于1时，椭圆的焦点在椭圆外部。
现在让我们来看一些具体的例子来理解离心率的概念。
假设我们有两个椭圆，一个长轴为6，短轴为4，另一个长轴为8，短轴为4。
根据离心率的计算公式，我们可以得出这两个椭圆的离心率分别为2/3和1/2。
这意味着第一个椭圆的焦点到顶点的距离比第二个椭圆的近，所以第一个椭圆更加扁平。
除了形状上的差异，离心率还可以用来描述椭圆在数学和科学中的应用。
例如，在天文学中，行星的轨道被认为是椭圆，离心率可以告诉我们行星轨道的形状以及行星离太阳的距离。
在工程学中，椭圆的离心率可以用来设计机械零件的形状和结构。
在地理学中，椭圆的离心率可以帮助我们理解地球的形状和地球坐标系统。
离心率是描述椭圆形状的重要参数，它可以告诉我们椭圆的偏心程度。
通过离心率，我们可以了解到椭圆的形状特征，以及它在数学、科学和工程学等领域的应用。
对于学习和理解椭圆的人来说，离心率是一个必须要了解和掌握的概念。
希望通过本文的介绍，读者对离心率有了更深入的理解和认识。
椭圆性质的离心率计算公式
椭圆性质的离心率计算公式椭圆是数学中非常重要的一种曲线，它具有许多独特的性质和特点。
其中，离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它可以帮助我们更好地理解和分析椭圆的形态和结构。
在本文中，我们将介绍椭圆性质的离心率计算公式，以及离心率在椭圆研究中的应用。
首先，让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。
椭圆是一个平面上的闭合曲线，其所有点到两个给定点（焦点）的距离之和是一个常数。
这两个给定点称为焦点，而这个常数称为椭圆的半长轴长度。
椭圆还有一个重要的参数叫做离心率，它可以用来描述椭圆的形状和偏心程度。
离心率的计算公式如下：e = c/a。
其中，e表示椭圆的离心率，c表示椭圆的焦点之间的距离，a表示椭圆的半长轴长度。
通过这个公式，我们可以很容易地计算出椭圆的离心率，从而更好地理解椭圆的形状和结构。
离心率的计算公式为什么是这样的呢？这涉及到椭圆的几何性质。
在椭圆中，焦点之间的距离c与半长轴长度a之间的关系是很特殊的。
事实上，根据椭圆的定义，焦点之间的距离c与半长轴长度a之间的关系是固定的。
这个关系就是椭圆的离心率。
通过这个关系，我们可以将椭圆的形状和结构用一个参数来描述，这就是离心率。
因此，离心率的计算公式e=c/a就是根据这个几何性质得到的。
离心率在椭圆研究中有着重要的应用。
首先，离心率可以用来描述椭圆的形状和偏心程度。
当离心率接近于0时，椭圆的形状接近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆的形状趋向于长条形。
因此，通过离心率，我们可以直观地了解椭圆的形状特点。
其次，离心率还可以用来计算椭圆的面积和周长。
椭圆的面积和周长与离心率之间有着特定的数学关系，通过离心率的计算，我们可以更方便地计算出椭圆的面积和周长。
此外，离心率还可以用来分析椭圆的运动轨迹和力学特性，在天文学、航天学等领域有着广泛的应用。
除了椭圆，离心率的概念还可以推广到其他几何图形中。
例如，在圆锥曲线、双曲线等曲线中，离心率也是一个重要的参数，它可以用来描述这些曲线的形状和特性。
求解椭圆离心率的常见方法
ʏ河南省郑州市第二高级中学 韦道田椭圆的离心率是椭圆的重要几何性质之一,下面就求解椭圆的离心率(或取值范围)给出几种重要方法,供同学们参考㊂一㊁利用椭圆离心率的定义求解例1 (1)在平面直角坐标系中,椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的焦距为2,以O 为圆心,a 为半径的圆,过点P a2c ,0作圆的两条切线且互相垂直,则离心率e =㊂(2)设M 为椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上一点,F 1,F 2为两个焦点,过M 作M F 1ʅx 轴,且øF 1M F 2=60ʎ,则椭圆的离心率为( )㊂A.12 B .22 C .33 D .32图1解析:(1)如图1,切线互相垂直,又半径O A ʅP A ,所以әO A P 是等腰直角三角形㊂因为2c=2,即c =1,所以a 2c=a 2,|O P |=2|O A |,a 2=2a ,则a =2㊂所以e =c a =22㊂(2)设|M F 1|=d ,因为øF 1M F 2=60ʎ,所以|M F 2|=2d ,|F 1F 2|=3d ㊂因此e =2c 2a =|F 1F 2||M F 1|+|M F 2|=3d d +2d =33,选C ㊂点评:e =2c2a =|F 1F 2||P F 1|+|P F 2|,其中F 1,F 2为椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点㊂二㊁利用圆锥曲线的统一定义求解依据e =|M F |d ,其中|M F |表示椭圆上的点M 到焦点F 的距离,d 表示椭圆上的点M 到焦点F 相应准线l 的距离㊂例2 在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )㊂A.2 B .22 C .12 D .24解析:设过焦点F 1且垂直于长轴的弦为A B ,则|A B |=2㊂焦点F 1到准线l 的距离为1,则点A 到l 的距离也为1㊂由圆锥曲线的统一定义得离心率e =|A F 1|1=22,选B ㊂点评:利用圆锥曲线的统一定义,可以较快地求出圆锥曲线的离心率㊂三㊁构造离心率的方程(不等式)求解例3 (1)已知A ,B 为椭圆x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的长轴与短轴端点,F 为一个焦点,若A B ʅB F ,则该椭圆的离心率为( )㊂A.-1+52 B .1-22C .2-1D .22(2)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.左㊁右焦点分别为F 1(-c ,0)㊁F 2(c ,0),若椭圆上存在点P ,使a s i n øP F 1F 2=cs i n øP F 2F 1,则该椭圆离心率的取值范围为㊂解析:(1)在R tәA B F 中,|A F |2=|A B |2+|B F |2,即(a +c )2=(a 2+b 2)+(b 2+c 2)㊂因为e =c a,所以整理得e 2+e -1=0,e =-1+52,选A ㊂(2)由已知条件及正弦定理求得|P F 1|=ca|P F 2|㊂又|P F 1|+|P F 2|=2a ,则|P F 2|=2a 2c +a ㊂由|P F 2|<a +c ,得2a2c +a<a +c ,即e 2+2e -1>0㊂结合0<e <1,解得2-1<e <1㊂点评:如果直接求解椭圆离心率的值(或取值范围)有困难,那么可以通过构造离心率的方程(或不等式)求解㊂四㊁利用数形结合思想求解例4 ʌ第12届希望杯 试题ɔ设F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点P ,使øF 1P F 2=120ʎ,则椭圆离心率e 的取值范围是㊂图2解析:如图2,当点P 与短轴端点B 重合时,øF 1P F 2最大㊂于是得øF 1P F 2ȡ120ʎ,故t a n øF 1P O ȡt a n 60ʎ=3,即cbȡ3㊂所以e =c a =cb 2+c 2=1bc2+1ȡ113+1=32㊂又0<e <1,所以32ɤe <1㊂点评:利用数形结合思想求椭圆的离心率e ,可回避繁杂的推理与计算过程㊂五㊁利用椭圆的光学性质求解例5 ʌ第一届 希望杯 高二试题ɔ椭圆的两个焦点是F 1(3,-6),F 2(6,3),一条切线方程为4x =3y ,这个椭圆的离心率是㊂解析:设切点为P ,切线为l ,作F 1㊁F 2关于l 的对称点F 1'㊁F 2',则由椭圆的光学性质知点P 是等腰梯形F 1F 2F 2'F 1'对角线的交点,对角线的长应等于椭圆长轴的长㊂由点到直线的距离公式,得F 1㊁F 2到直线l 的距离分别为6㊁3,可见梯形上㊁下底长分别为6㊁12㊂该等腰梯形的腰长即椭圆的焦距310㊂利用6,12,310,求出梯形的对角线长为92,从而得到椭圆的离心率e =31092=53㊂练一练:1.若椭圆的两个焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,则椭圆的离心率是( )㊂A.12 B .32 C .34 D .642.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且B F ʅx 轴,直线A B 交y 轴于点P ㊂若A Pң=2P B ң,则椭圆的离心率是( )㊂A.32 B .22 C .13 D .123.已知F 1㊁F 2是椭圆的两个焦点,满足M F 1ң㊃M F 2ң=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )㊂A.(0,1) B .0,12C .0,22D .22,14.过椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 且倾斜角为60ʎ的直线交椭圆于A ,B 两点,若|F A |=2|F B |,则椭圆的离心率等于( )㊂A.33 B .22 C .12 D .23参考答案:1.A2.D3.C4.D(责任编辑 徐利杰)52解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
例析椭圆、双曲线离心率的求法
例析椭圆、双曲线离心率的求法
椭圆和双曲线都是非常重要的数学曲线，从古代就有了历史。
它们的运用十分
广泛，比如天文学、力学等多种领域。
此外，椭圆和双曲线的离心率也是一个重要的概念，因此了解它们求法也是十分重要的。
首先，椭圆的离心率求法。
根据弦长定理，椭圆的离心率ε可表示为：ε＝c
／a，其中a为椭圆长轴，c为短轴，由此乘以ε即可求出离心率。
其次，双曲线的离心率求法。
根据常见的双曲线方程：x2/a2-y2/b2＝1，其中
a为椭圆长轴，b为短轴，把中间的数学符号μ代入公式：μ＝a2/b2;由此乘以
μ即可求出离心率。
另外，椭圆和双曲线的离心率也可以通过数学计算的方式进行求解，比如把它
们的方程式代入特殊函数求解，或者调用计算器进行计算，这些都有很多种方法。
为了解椭圆和双曲线的离心率，我们可以利用尺规、直角三角形等工具求解；
也可以通过计算机程序解出精确的实际结果。
有时候，采用抽象的思维能够获得更准确的结果。
但无论哪种方法，了解椭圆和双曲线的离心率都有它自身的优劣之处，希望大家可以按自己的意愿选择合适的方法。
专题：椭圆的离心率解法大全
专题：椭圆的离心率2，利用定义求椭圆的离心率(e C 或e 21 b )aa综上m 或333,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是X y6,设椭圆 — 亍=1 (a > b >0)的右焦点为F 1，右准线为11,若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点ab 1 距离，则椭圆的离心率是 一。
2，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率1,在 Rt ABC 中，A 90 ,AB AC 1 ,如果一个椭圆过 A B 两点, 它的一个焦点为 C,另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 2,如图所示,椭圆中心在原点 则椭圆的离心率为 ［解析］b ( b ) c 3,以椭圆的右焦点 ,F 是左焦点，直线 AB 1与BF 交于D,且BDB 1M.5 1 2 2a c ac e ----------- 2 F 2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于1,已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率 e2,椭圆—1的离心率为-，则m m 2［解析］当焦点在x 轴上时，4 m -2 2m 3 ；当焦点在y 轴上时,16 m -， 34，已知m,n,m+n 成等差数列,m n , mn 成等比数列，则椭圆2—1的离心率为 ________________n2n 2m n［解析］由2n2m n m 22 2椭圆Xy1的离心率为2n 4m n2mn 01 5，已知一 21(m 0.n0) 则当 2xmn 取得取小值时，椭圆 22 y_ 21的的离心率为」m nmn22 2F 1到l 1的MF 与圆相切，则椭圆的离心率是,3 1解：TI F 1F 2 I =2c I BF 1 I =c I BF 2 I = 3c c+2 2X y变式(1):椭圆 君 + ~b^=1(a>b >0)的两焦点为 F 1、 寸3c=2a --e= aF 2，点P 在椭圆上，使厶OPF 为正三角形，求椭圆离心率?22X y相似题：椭圆 —+ —=1(a>b >0) , A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，/a b 解：I AO I =a I OF I =c I BF I =a I AB | = a 2+b 2点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧高中数学中，离心率是一个重要的概念，涉及到椭圆、双曲线等几何图形的性质和参数。
掌握离心率的相关知识和解题技巧，能够有效地解决与离心率有关的各类题型。
以下是关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧。
一、椭圆离心率题型解法技巧1. 椭圆的离心率定义为焦距之差与主轴长度的比值。
在解题过程中，可以利用该定义进行计算。
2. 根据椭圆的性质，离心率的取值范围为0到1之间。
当离心率等于0时，椭圆退化为一个圆；当离心率等于1时，椭圆退化为一个抛物线。
3. 在解题过程中，常常需要利用椭圆的焦点坐标和长轴、短轴长度等已知条件，结合离心率的定义进行求解。
4. 对于已知椭圆方程的离心率题型，可以根据方程中离心率的特点进行推导和变形，从而得到所求的答案。
5. 利用椭圆的离心率特点，可以解决与焦点、直径、坐标轴的关系有关的题目。
比如利用离心率的定义，可以求解椭圆上的点到焦点的距离。
1. 对于已知双曲线方程的离心率题型，可以利用离心率的定义，结合方程中的已知条件进行推导和变形。
常见的已知条件有焦点坐标、直角双曲线的方程等。
2. 双曲线的离心率大于1，可以利用该特点解决相关题目。
4. 在解题过程中，可以利用双曲线的渐近线特点和离心率的性质，解决与渐近线、离心率和焦点坐标有关的问题。
五、需要注意的问题1. 离心率的定义是椭圆、双曲线等几何图形的重要参数，在解题过程中要对其有清晰的概念。
3. 充分利用已知信息，对问题进行分析和推导，可以采取代数方法或几何方法进行求解。
4. 对于复杂或较难的题目，可以根据已知条件进行建立方程，并进行逐步推导和化简，在最后得到所求的答案。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧离心率是描述椭圆或者双曲线形状的一个重要参数，在高中数学中是一个常见的题型。
解决离心率题型需要掌握一些有效的解决技巧，以下是一些常用的解题方法：1. 确定椭圆或双曲线的方程类型：首先要根据题目中的给定信息确定椭圆或双曲线的方程类型，例如椭圆的方程一般形式为\dfrac{x^2}{a^2}+ \dfrac{y^2}{b^2} = 1，双曲线的方程一般形式为\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1。
2. 求取离心率：当已知椭圆或双曲线的方程时，可以利用离心率的定义求取离心率。
椭圆的离心率为e = \sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}}，双曲线的离心率为e =\sqrt{\dfrac{b^2}{a^2} + 1}。
3. 利用离心率性质解题：离心率有许多有用的性质可以用来解决题目。
椭圆的离心率e满足0 < e < 1，即离心率是大于0小于1的实数。
双曲线的离心率e满足e > 1，即离心率是大于1的实数。
4. 求取椭圆或双曲线的焦点：椭圆的焦点可以通过离心率来求取，焦点的坐标为(\pm ae, 0)。
双曲线的焦点的坐标为(\pm ae, 0)和(0, \pm b)。
5. 利用焦点和离心率的性质求取题目所需要的信息：有时候题目会给出椭圆或双曲线的焦点和离心率，需要求取其他相关信息。
可以根据离心率和焦点的坐标来求取椭圆的长轴、短轴长度，以及双曲线的极限。
6. 综合运用多种方法解题：有些题目可能需要综合运用离心率的性质、椭圆、双曲线的方程以及焦点、长轴、短轴等信息来解决。
在解决离心率题型时，需要熟练掌握椭圆和双曲线的基本概念和公式，同时运用离心率的性质来推导和求解。
多做一些题目，加深对离心率和椭圆、双曲线的理解，掌握常见的解决技巧，就能够更有效地解决高中数学离心率题型。
圆锥曲线离心率的求解举例——椭圆(附详解解答)
圆锥曲线离心率的求解举例——椭圆的离心率椭圆离心率的定义：我们把椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，记做aca c e e ==22,则，(0<e<1).下面举例说明其求法.如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e.证明（并记忆）：①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜1．以O 为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一个点M ，满足|1MF |＝2|MO →|＝2|2MF |，则该椭圆的离心率为( )A ．33B ．23C ．63D ．255[答案] C[解析] 过M 作x 轴的垂线，交x 轴于N 点，则N 点坐标为(2c ，0)，并设|1MF |＝2||＝2|2MF |＝2t ，根据勾股定理可知， |1|2－|1|2＝|2MF |2－|2NF |2， 解得到c ＝62t ，而a ＝3t 2，则e ＝c a ＝63.故选C ．2．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当21PF F ∠＝60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( ) A ．33 B ．22C ．32D ．21[答案] A[解析] 设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111e e ca a c =⇒=；双曲线的实半轴长为a ，双曲线的离心率为e ，e ＝e ca a c =⇒，a ＝c e .设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，(x>y>0)，则由余弦定理得4c 2＝x 2＋y 2－2xycos60°＝x 2＋y 2－xy ，当点P 看做是椭圆上的点时，有4c 2＝(x ＋y)2－3xy ＝421a －3xy ， 当点P 看做是双曲线上的点时，有 4c2＝(x －y)2＋xy ＝42a ＋xy ， 两式联立消去xy 得4c 2＝21a ＋32a ，即4c 2＝(1c e )2＋3(c e )2，所以(1e1)2＋3(1e )2＝4，又因为1e 1＝e ，所以e 2＋2e 3＝4，整理得e 4－4e 2＋3＝0，解得e 2＝3，所以e ＝3，即331=e ，亦即椭圆的离心率为33.选A ．3．如图，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆22a x ＋22by ＝1(a >b >0)的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ， 则该椭圆的离心率为________．[答案] 2－1[解析] 如图，设F ′为椭圆的左焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为A ，连接AF ′，所以|FF ′|＝2c ＝p ，因为|AF|＝p ，所以|AF ′|＝2p.因为|AF ′|＋|AF|＝2a ，所以2a ＝2p ＋p ，所以e ＝ac＝2－1.4.椭圆（a >b >0）的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是________． [答案]21-5 [解析] 一条边所在直线的方程是ab ay bx =+，由条件可知，圆心到该直线的距离和半径等于c,也就是：c b a ab =+-+22|00|222111c b a =+⇒22244224)215(452625301303-=-=-=⇒=+-⇒=+-⇒e e e a c a c⇒215-=e5.已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率为________．12222=+by a x 21F F 、 75,151221=∠=∠F PF F PF[答案]36 [解析] 易得02190PF F =∠，又a PF PF 2||||21=+，c c PF 242615sin 2||01⨯-==，c c PF 242675sin 2||02⨯+==，所以，3626=⇒=e a c6.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为________. [答案]22 [解析] 易知222==⇒=⇒=a c e c a c b (注意：在椭圆中，，)7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于________． [答案]23 [解析] 由椭圆的性质及对应有2222243(42b a c a a b a =⇒-=⇒=）， 所以，离心率23=e8.已知矩形ABCD ，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为________．)0(,12222>>=+b a by a x P 21PF PF ⊥a c e =22222221ab a b a ac a c e -=-===[答案] 21[解析] 依题意可知22=⇒=c AB c ，又CA ＝5,所以，8352=+=+=CB CA a 从而，4=a ，所以这个椭圆的离心率为219.P 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点，是椭圆的左右焦点，已知椭圆的离心率为________．[答案] 13—[解析] 根据三角形内角和定理可得030=α,从而有02190=∠PF F ， 在21PF F Rt ∆中，c PF c PF c F F 3,,21221===， 由椭圆的定义可知1313223-=+==⇒=+a c e a c c10．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是________．[答案] 53[解析] 依据题设条件有c a b +=2,又222c b a +=,从而有5303250325222=⇒=-+⇒=-+e e e c ac c （构造a ，c 的齐次式，解出e ）11．设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2[答案] 12—[解析] 由椭圆的性质可知，△F 1PF 2为等腰直角三角形，则有22a x 22b y 21F F 、,2,1221αα=∠=∠F PF F PF ,321α=∠PF F 11201222||||2222221-=⇒=-+⇒-=⇒=⇒=e e e c a ac ab c PF F F12．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________． [答案]33 [解析] 由椭圆的性质可知，△2ABF 是正三角形（等边三角形），则有330323)(322232||23||222221=⇒=-+⇒-=⇒⨯=⇒=e e e c a ac a b c AB F F13．如图，正六边形ABCDEF 的顶点A 、D 为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B 、C 、E 、F[答案]33 [解析] 依据平面几何中正六边形的性质有c AD F F 2||||21==所以，有c AE c c c c c AE 3||3120cos 2||20222=⇒=⋅⋅-+=依据椭圆的定义有a c c a AE ED 232||||=+⇒=+所以，13132-=+==a c e。
求椭圆离心率常用的三种方法
椭圆的离心率是椭圆的一个重要性质，它是反映椭圆的扁平程度的量.求椭圆的离心率问题比较常见.这类问题常与平面几何、三角函数、平面向量等知识相结合，侧重于考查同学们的逻辑推理和数学运算能力.那么,求椭圆的离心率有哪些方法呢？下面结合实例进行探讨.一、公式法我们知道，圆锥曲线的离心率公式为e=ca.因此要求椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率，只需求出椭圆方程中的参数a、c的值或c与a的比值即可.例1.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，则E的离心率为_______.解：因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以2a=4b，所以ba=12，可得e=ca本题较为简单，由题意可以很容易确定椭圆中参数a、b之间的关系，直接根据椭圆方程中参数a、b、c之间的关系a2=b2+c2，即可求得c与a的比值，从而求得椭圆的离心率.例2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1()a>b>0的右焦点为F()2,0，P为椭圆的左顶点，且||PF=5，则椭圆C的离心率为（）.A.23B.12C.25D.13解：因为椭圆的右焦点为F()2,0，所以c=2，因为P为椭圆的左顶点，所以||PF=a+c=a+2=5，解得a=3，所以椭圆C的离心率为e=ca=23.故选A.我们首先根据题意可以确定c的值；然后根据P点的位置，确定a的值，即可根据椭圆离心率的公式求得问题的答案.二、几何性质法几何性质法是指利用平面几何图形的性质解题.在求椭圆的离心率时，我们可以根据题意画出几何图形，将椭圆参数方程中的a视为长半轴长、b视为短半轴长、c视为焦半径，根据椭圆、三角形、平行四边形、梯形的性质来求得椭圆的长半轴长、短半轴长、焦半径，或建立三者之间的关系式.例3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1()a>b>0的左右焦点分别为F1，F2，点M是椭圆C上第一象限的点，若||MF1=||F1F2，直线F1M与y轴交于点A，且F2A是∠MF2F1的角平分线，则椭圆C的离心率为_______.解：由题意得||MF1=||F1F2=2c，由椭圆的定义得||MF2=2a-2c，记∠MF1F2=θ，则∠AF2F1=∠MF2A=θ，∠F1F2M=∠F1MF2=∠MAF2=2θ，则||AF2=||AF1=2a-2c，所以||AM=4c-2a，故ΔMF1F2∽ΔMF2A，则||MF2||F1F2=||AM||MF2，则2a-2c2c=4c-2a2a-2c，可得e2+e-1=0，解得e=5-12或e=-5-12（舍）.解答本题，需运用相似三角形的性质建立关于||MF1、||F1F2||AM、||MF2的关系式，并根据椭圆的定义，即在平面内到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹，确定||MF1、||F1F2||AM、||MF2与a、c之间的关系，从而使问题获解.例4.如图1，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点M()x0,y0()x0>c是C上的一点，点A是直线MF2与y轴的交点，ΔAMF1的内切圆与MF1相切于点N，若|MN|=2||F1F2，则椭圆C的离心率e=______．解：设内切圆与AM切于Q，与AF1切于P，所以||MN=||MQ=2||F1F2=22c，||F1N=||F1P，||AP=||AQ，图141由圆的对称性知||AF 1=||AF 2，所以||PF 1=||QF 2，即||NF 1=||QF 2，所以2a=||MF 2+||MF 1=()||MQ -||QF 2+()||MN +||NF 1=||MQ +||MN =42所以e =c a =242我们先结合图形明确点、圆、椭圆之间的位置关系；然后根据椭圆的定义将问题转化为线段问题，即可根据圆的对称性、圆与切线的位置关系建立线段||MF 2、||MF 1、||MQ 、||QF 2、||MN 、||NF 1之间的关系，得到关于a 、c 的关系式，进而求出椭圆的离心率.用几何性质法解题的计算量较小，有利于提升解题的效率.三、构造齐次式在求椭圆的离心率时，若不易求出a 、c 的值或比值，则可考虑根据题目中的条件与椭圆的方程，建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，即可根据离心率公式e =ca，得到关于e 的二次方程，进而通过解方程求得离心率e 的值.例5.如图2，已知椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0，过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，点P 在x 轴上，其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交椭圆于点Q .若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，求椭圆的离心率.解：设M ()x 1,y 1，Q ()x 2,y 2，则N ()-x 1,-y 1，P ()3x 1,0，设直线MN 、QM 、NP 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1=y 1x 1，k 2=y 2-y 1x 2-x 1，k 3=0+y 13x 1-()-x 1=y 14x 1=14k 1，因为直线QM 是圆的切线，所以QM ⊥MN ，k 1k 2=-1，所以k 2k 3=-14，又Q 在直线NP 上，所以k 3=y 2+y 1x 2+x 1，因为M 、Q 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1()a >b >0上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，将上述两式相减得x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0，整理得y 2+y 1x 2+x 1⋅y 2-y 1x 2-x 1=-b 2a 2，故k 2k 3=-b 2a 2=-14，即b 2a 2=14，可得a 2-c 2a 2=34，即a2-c 2a 2=1-e 2=14，解得e 我们先根据三条直线与圆、椭圆的位置关系建立关于a 、c 的二次齐次式a 2-c 2a 2=34；再根据离心率公式e=c a ，建立关于e 的方程，即可求得e 的值.在求得e 的值后，一定要注意检验所得的值是否在(0,1)内，以确保得到的答案是正确的.图2图3例6.如图3，已知AB 直线过椭圆x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0的左焦点F ()-2,0，且与椭圆交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若点C ，F 分别是线段AB 的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.解：因为点C 、F 是线段AB 的三等分点，由图3可知C 为AF 的中点，右焦点为F 2，所以AF 2//OC ，所以AF 2⊥x 轴，由椭圆的方程得A 点的坐标为()c ,b 2a ，C ()0,b 22a，因为C ,B 关于F 对称，所以B 点的坐标为()-2c ,-b 22a ，将其代入椭圆的方程x 2a 2+y 2b2=1()a >b >0中得：4c 2a 2+b 24a2=1,即16c 2+b 2=4a 2,得a 2=5c 2，所以离心率为e =c a 先由点C 、F 是线段AB 的三等分点可得AF 2//OC ；再根据线段的对称性可求得B 点的坐标；最后将其代入椭圆中，即可建立关于a 、b 、c 的二次齐次式，进而得到关于椭圆离心率e 的方程.无论采用哪种方法求椭圆的离心率，我们需明确解题的目的有两个：一是通过计算求得c 与a 的值；二是利用已知条件建立关于c 与a 的齐次式，进一步将其转化为关于ca的方程.（作者单位：四川省内江市威远中学校）42。
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧
关于高中数学离心率题型解法的有效解决技巧高中数学中，离心率是一个常见的题型，解题时需要掌握一些有效的解决技巧。
下面将介绍几种常见的离心率题型及解法。
一、求离心率的大小对于给定的椭圆方程或双曲线方程，要求其离心率的大小，可以通过以下步骤进行解题：1.找到椭圆（或双曲线）的焦点坐标（a，0）和（-a，0），及顶点的坐标（c，0）和（-c，0）。
2.根据离心率的定义，离心率e等于焦点到顶点的距离与长轴的一半的比值，即e=c/a。
3.计算离心率的大小。
二、已知离心率和焦点坐标求椭圆（或双曲线）方程对于给定的离心率e和焦点坐标（a，0）和（-a，0），要求方程的解，可以按照以下步骤进行：2.由于离心率与顶点的坐标有关，可以令顶点的坐标为（c，0）和（-c，0）。
3.根据顶点坐标和离心率的定义，可以得到方程的表达式。
4.化简方程，得到标准形式的方程。
2.根据标准形式可以得到椭圆（或双曲线）的中心坐标（h，k），椭圆（或双曲线）的焦点公式为（h ± ae，k），离心率为e。
四、已知椭圆（或双曲线）方程及一点求与该点相切的切线方程3.通过求导可得到椭圆（或双曲线）的斜率k1。
4.由于切线与椭圆（或双曲线）相切，切线的斜率与椭圆（或双曲线）的斜率k1相等。
5.利用点斜式得到切线方程。
五、已知圆心和两个点的坐标求圆方程1.根据圆的定义，圆的半径r等于圆心到任意一点的距离，即r=sqrt((x1-h)^2+(y1-k)^2)。
六、已知圆的方程求切线方程总结：在解决高中数学离心率题型时，需要熟悉椭圆和双曲线的基本概念和性质，掌握离心率的定义和求解方法。
通过对给定的条件进行分析和计算，可以得到离心率的大小、椭圆（或双曲线）的方程、焦点的坐标及离心率的大小、与给定点相切的切线方程等信息。
掌握了这些解题技巧，就能够快速、准确地解决高中数学离心率题型。
求离心率范围的六种方法
求解离心率范围六法在圆锥曲线的诸多性质中，离心率经常渗透在各类题型中。
离心率是描述圆锥曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要数据，在每年的高考中它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。
因此求离心率的取值范围，综合性强，是解析几何复习的一个难点。
笔者从事高中数学教学二十余载，积累了六种求解这类问题的通法，供同仁研讨。
一、利用椭圆上一点P (x ,y )坐标的取值范围，构造关于a ,b ,c 的不等式例1 若椭圆()012222 b a by a x =+上存在一点P ，使︒=∠900PA ，其中0为原点，A 为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e 的取值范围。
解：设()00,y x P 为椭圆上一点，则122220=+b y a x . ① 因为︒=∠900PA ，所以以O A 为直径的圆经过点P ，所以020020=+-y ax x . ②联立①、②消去0y 并整理得当a x =0时，P 与A 重合，不合题意，舍去。
所以2220ba ab x -=又a x 00，所以a ba ab 2220-， 即 ()22222c a b a -=得2122 ac ，即223e又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二、利用圆锥曲线的焦点和曲线上一点构成的“焦三角形”三边大小关系，构造关于a ,b ,c 不等式例2 已知双曲线()0,01x 2222 b a by a =-左、右焦点分别为F 1、F 2，左准线为p ,ι是双曲线左支上一点，并且221PF PF d =，由双曲线第二定义得ed =1PF ，所以12PF PF e =. ① 由又曲线第一定义得a PF 2PF 12=- ②由①-②得在21PF F ∆中，所以 c e ea e a 21212≥-+- ， 即e e e ≥-+11. 又1 e ，从而解得e 的取值范围是(]21,1+。
三、利用圆锥曲线的“焦三角形”+余弦定理+均值不等式例3 设椭圆()012222 b a by a x =+的两焦点为F 1、F 2，问当离心率E 在什么范围内取值时，椭圆上存在点P ，使21PF F ∆=120°.解：设椭圆的焦距为2c ，由椭圆的定义知a PF PF 221=+.在21PF F ∆中，由余弦定理得=212221PF PF PF PF ++ =（21221)PF PF PF PF -+所以22212122244a PF PF PF PF c a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤=- 所以23,4322≥≤a cc a 得. 又10 e ，故e 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 四、利用圆锥曲线的定义，结合完全平方数（式）非负的属性构造关于a ,b ,c 的不等式例4 如图1，已知椭圆长轴长为4，以y 轴为准线，且左顶点在抛物线1y 2-=x 上，求椭圆离心率e 的取值范围。
离心率的求解方法
离心率的求解方法离心率是描述椭圆轨道形状的一个重要参数，它决定了椭圆轨道的偏心程度。
在天体力学中，离心率是描述行星、卫星等天体绕着太阳或者其他天体运动的轨道形状的一个关键参数。
在本文中，将介绍离心率的定义、求解方法以及应用。
1.离心率的定义离心率是一个无量纲的参数，用e来表示。
它的物理意义是描述椭圆轨道形状的离心程度。
在圆形轨道中，离心率为0；在近似圆形轨道中，离心率接近于0；而在长轴方向明显大于短轴方向的椭圆轨道中，离心率接近12.离心率的计算方法离心率可以通过已知轨道参数的测量数据来计算。
以下是一种常用的求解离心率的方法：（1）通过测量两个不同时刻的星体位置和速度，可以得到星体在椭圆轨道上的轨道半长轴a和偏心率e的值。
（2）计算轨道能量E，其中E等于单位质量质点的总机械能。
轨道能量可以通过以下公式得到：E=-GM/2a其中，G为引力常数，M为太阳质量，a为椭圆轨道的半长轴。
（3）计算星体的轨道角动量h，其中h等于单位质量质点的角动量大小。
轨道角动量可以通过以下公式得到：h=r*v其中，r为星体位置向量的大小，v为星体的速度向量的大小。
（4）通过轨道能量和轨道角动量，可以得到离心率的公式：e = sqrt(1 + (2E*h^2) / (GM^2))3.离心率的应用离心率是天体运动中的重要参数，具有广泛的应用。
下面介绍一些离心率的常见应用：（1）行星轨道研究：离心率可以帮助我们了解行星轨道的形状和演化过程。
通过测量行星的离心率，可以推断行星的形成和演化历史。
（2）卫星轨道设计：离心率是设计和控制卫星轨道的重要参数。
通过选择合适的离心率，可以实现卫星的特定任务要求，例如地球观测、通信或者导航。
（3）表征彗星轨道：彗星是一种具有非常大离心率的天体，离心率可以帮助我们了解彗星的轨道形状和运动方式。
通过研究彗星轨道的离心率，可以揭示彗星的起源和演化。
（4）星际旅行轨道计算：在太空探索领域，离心率是计算星际飞行轨道的重要参数之一、通过选取合适的离心率，可以实现星际旅行的精确计划和导航。
圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧
圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线离心率题型归纳及解题技巧圆锥曲线，是指在圆锥平面中，通过一个固定点和一个固定直线的点集，主要包含了椭圆、双曲线和抛物线三种常见形态。
而关于圆锥曲线的离心率问题一直是考试中常出的内容，掌握好这方面的知识点和解题技巧，对于我们来说至关重要。
一、椭圆离心率题型及解题技巧：椭圆是圆锥曲线的一种，它的离心率为介于0和1之间的有理数，如0.1、0.3等。
我们在应对椭圆离心率题型时，可以有如下的解题技巧：1、当椭圆的长轴和短轴长度已知时：已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，求椭圆离心率。
解法：利用椭圆离心率的定义式，将长轴和短轴代入，去消掉e。
得e^2 = 1 - (b/a)^2e = √(1 - (b/a)^2)2、当已知椭圆的焦点和顶点时：已知椭圆的一焦点为F1，另一焦点为F2，顶点为P，求椭圆离心率。
解法：通过焦点和顶点P，可得到椭圆的长轴的长度2a，因为F1、F2与P在同一直线上，故PF2 = PF1 + 2a。
/e= F1P/F2P = PF2 - PF1 / PF2 + PF1=2a/2PF1，可求得e的值。
二、双曲线离心率题型及解题技巧：双曲线离心率大于1，如2、3等，我们在应对双曲线离心率题型时，可以有如下的解题技巧：1、已知双曲线的焦点和距离，求双曲线离心率。
已知双曲线的两焦点为F1,F2，且F1F2距离为d，求双曲线的离心率。
解法：当双曲线焦点间距为2c时，可以列出双曲线离心率e的计算公式：e=c/a，其中a为距离焦点最近的水平轴的长度，c为两焦点间的距离。
而d=2a*e，所以：e=d/(2a)。
2、已知双曲线与其对称轴，求双曲线离心率。
已知双曲线的对称轴为y=k，有关于x轴的对称，且两条渐近线的交点的坐标为(x0,0)。
解法：可以通过已知条件列出双曲线的标准方程：(x-x0)²/b² - y²/a² =1，其中a为双曲线与纵轴的交点的距离，b为双曲线的半焦距。
椭圆离心率的解法35386
思路：A 点在椭圆外，所以取AF ：的中点B.连接BF 「把条件放在椭圆内，构造△FiBF ：分析三角形的0边长及关系。
变形1：椭圆于+計，以F 厲为边作正三角形，假设椭圆恰好平分正三角形的两边，那么椭圆的离心率e? 椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范|期的处理，同学们很茫然，没有方向性。
题型变化很多，难以驾驭。
以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。
一、 运用几何图形中线段的几何意义。
根底题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B, P 、Q 在椭圆上，PD 丄L 于D, QF1AD 于F.设椭圆的离心率为c,那么6=需+②e二+斜③e 斗需十④e 二丁善一V I AO I =a, I BO I =••有③。
c题目］:椭圆” ^l(a>b >0)的两焦点为F,、F ：■ ■ X y变形2:椭圆丁 +g^l(a>b 》0)的两焦点为F,、AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF,丄X 轴，PF ： 〃AB,求椭圆离心率? 解「・TPF ，= IF 須丨汝 IOBl=b |0A|=aPF ： 〃ABJ 雷1叮又 •I a :=5c £点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的方程式，推导离心率。
二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆牛Wr=l(a>b >0), A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点.ZABF 二90° ,求e?V I AO I =a, I OF I =c, •••有⑤;a b解：I AO I =a I OF I =c I BF I =a I AB I 二阴+b： a2+b:+a: =(aT C)s =a=+2ac+c s a=-c:-ac=0 两边同除以 V e:+e-l=0变形得: ~2a-e sin F.PF ： 一“―二 sin(a+B) 解；根据上题浦论 e 二sin Ff ：P +sin PFF ：二sin (】+sinB c.a+B a+Ba B .a.B 2sin -§-cos —-— cos - cos —^—sin "T^sin —a+B a-B"" a 0 a p变形：椭圆+^1 (a>b >0),节A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求ZABF? 3 D Z点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦左理解决角的问题。
专题：椭圆的离心率解法大全
专题:椭圆的离心率b 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率£= 2 r 增2•椭圆—+ — = 1的离心率为三，则加=4 m 2［解析］当焦点在x 轴上时，迁疋= £=>加=3；当焦点在y 轴上时，也二£ = ］» = £2 2 yjtn 23 综上加=匹或3333, 已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是一54, ______________________________________________________________________________ 已知m, n, m+n 成等差数列，m, n, mn 成等比数列，则椭圆—+ —= 1的离心率为 ___________________________m n2n = 2/77 + n［解析］由< n 2=m 2nmn 工05, 已知- + - = l(W > 0.7? > 0)则当mn 取得最小值时，椭圆二+厶=1的的离心率为 —m n tir ir 2牙. y *6, 设椭圆—+ —=1(^> 6 >0)的右焦点为凡右准线为h 若过月且垂直于x 轴的弦的长等于点尺到的距cr Z?-离，则椭圆的离心率是丄。
2二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率£1 ,在&AABC 中，ZA = 9(r , AB=AC=1,如果一个椭圆过A 、B 两点，它的一个焦点为C,另一个焦点在AB 上，求这个椭圆的离心率 {e = yf6-yf3)2, 如图所示，椭圆中心在原点,F 是左焦点，直线与BF 交于D,且ZBDB 、=90\ 则椭圆的离心率为()［解析］ —• (--) = -1 => <72 - c 2 =ac=>e=—―-a c 23, 以椭圆的右焦点氏为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点,一，利用定义求椭圆的离心率& £ain = 2 =>n = 42 2椭圆—+ ^-=1的离心率为务 m n 2F】与圆相切，则椭圆的离心率是石-1变式(1)：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心0并且与椭圆交于爪N两点，如果I MF | = | M0 | ,则椭圆的离心率是—14,椭圆错误！-错误匸l(a>b >0)的两焦点为Fi、F2 ,以F：F：为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e?解:v |F1F 2 | =2c I BF1 I = c I BF2| = \r (,3)c c+\ r (, 3)c= 2 a A e =错误!二错误!T变式(1):椭圆错误！ +错误!二1 (a>b >0)的两焦点为冉.F?,点P在椭圆上，使AOPFi为正三角形，求椭圆离心率？解:连接PF：,则|0氏I =|OFj 二I OP I , ZF I PF2 =9 0 °图形如上图，e =©■刁-12变式(2)椭圆二亍 +错误匸l(a>b >0)的两焦点为F】.F： , AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点，且PFi a丄X轴，PF：〃AB,求椭圆离心率？解：二错误！I F： Fl | =2c |0B |=b |OA|=a PF? //AB二错误仁错误！又Tb二错误！A a 2= 5 c2己二错误！变式(3):将上题中的条件"PF2〃AB”变换为“PO〃43(O为坐标原点)” 相似题：椭圆\f(x2 , J ) -错误匸l(a>b >0), A 是左顶点,F是右焦点,B是短轴的一个顶点，ZABF二9 0° , 求e?解:I AO =a I OF I =c I BF I =a | A B | = \ r (, a ：+ b 2 )a 2+b ' +a" =(a+c )： =a J+2 a c+c‘ a" —c：-a c =0 两边同除以£e'+e —1=0 e 二错误！e 二错误！(舍去)变式⑴：椭圆错误！ +错误!= 1 (a>b >0),e=错误!，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求ZABF?点评:此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
离心率问题的7种题型15种方法
离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式题型一 椭圆离心率的求值方法一 定义法求离心率1. 已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（ ） A .31 B .21 C .22 D .322 【解析】 14222=+y a x ，∵ a 2−4=4⇒a =2√2 ，则 e =c a =2√2=√22 ，选C2. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【解析】由直角三角形的面积关系得bc =124⨯12c e a ==，选B3. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25D . 15【解析】设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2222.a c b +=⨯ 即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得：2225230,5230c ac a e e +-=+-=，选B4. 椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为【解析】椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，所以e=55方法二运用通径求离心率5.设椭圆C2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于【解析】不妨假设椭圆中的a=1，则F1（﹣c，0），F2（c，0），当x=c时，由2222x ya b+=1得y=ab2=b2，即A（c，b2），B（c，﹣b2），设D（0，m），∵F1，D，B三点共线，∴，得m=﹣2b2，即D（0，﹣2b2），∴若AD⊥F1B，在，即=﹣1，即3b4=4c2，则3b2=2c=3（1﹣c2）=2c，即3c2+2c﹣3=0，解得c==，则c=，∵a=1，∴离心率e=ac=336.从椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥O P(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是【解析】由题意知A(a,0)，B(0，b)，P2,bca⎛⎫-⎪⎝⎭∵AB∥O P，∴2b bac a-=-.∴b＝c；又∵a2＝b2＋c2，∴22212cea==.∴2e=7.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【解法一】设1(,0)F c-，2(,0)F c，由题意易知，21212,PF F F c PF===，1212212F Fcea PF PF∴====+【解法二】由题意易知，2122,PF FF c ==由通径得22=a b PF ，故22c=ab ，解得e 1方法三 运用e =e = 8. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为【解】 如图，，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF |=2|FD |，得，a 2=3c 2，解得e ==33，9. 经过椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B两点，若||||AF BF 112=，求椭圆的离心率。
15.11离心率的求法
破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使120=∠AQB ，求此椭圆离心率的最小值。
分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。
此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。
故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。
解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则ax y k a x y k BQ AQ -=+=,， 利用到角公式及0120=∠AQB 得：0120tan 1=-++--+a x y a x y a x ya x y （a x ±≠），又点A 在椭圆上，故22222y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b cab ≤2232 则42223)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 044324≥-+e e 解得136<≤e 。
故椭圆离心率的最小值为36。
（或222233()ab c a b ≤=-，得：303b a <≤，由21()b e a=-，故136<≤e ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。
常用椭圆上的点),(y x 表示成c b a ,,，并利用椭圆中y x ,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。
利用三角函数的有界性求范围例2：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。
本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。
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椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。
题型变化很多，难以驾驭。
以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。
一、 运用几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线L 交OA 于B ，P 、Q 在椭圆上，PD ⊥L 于D ，QF ⊥AD 于F,设椭圆的离心率为e ，则①e=｜PF ｜｜PD ｜②e=｜QF ｜｜BF ｜③e=｜AO ｜｜BO ｜④e=｜AF ｜｜BA ｜⑤e=｜FO ｜｜AO ｜评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。
∵｜AO ｜=a,｜OF ｜=c,∴有⑤；∵｜AO ｜=a,｜BO ｜= a 2c∴有③。
题目1：椭圆x 2a2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，以F1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e ？思路：A 点在椭圆外，找a 、b、c 的关系应借助椭圆，所以取AF 2 的中点B ，连接BF 1 ,把已知条件放在椭圆内，构造△F 1BF 2分析三角形的各边长及关系。
解：∵｜F 1F 2｜=2c ｜BF 1｜=c ｜BF 2｜=3cc+3c=2a ∴e= ca= 3-1变形1：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，点P 在椭圆上，使△OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？解：连接PF 2 ,则｜OF 2｜=｜OF 1｜=｜OP ｜,∠F 1PF 2 =90°图形如上图，e=3-1变形2: 椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 、F 2 ，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1 ⊥X 轴，PF 2 ∥AB,求椭圆离心率？解：∵｜PF 1｜= b 2a ｜F 2 F 1｜=2c ｜OB ｜=b ｜OA ｜=aPF 2 ∥AB ∴｜PF 1｜ ｜F 2 F 1｜= b a 又 ∵b= a 2-c 2∴a 2=5c 2e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与c 的 方程式，推导离心率。
二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆x 2a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)，A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?解：｜AO ｜=a ｜OF ｜=c ｜BF ｜=a ｜AB ｜=a 2+b 2a 2+b 2+a 2 =(a+c)2 =a 2+2ac+c 2 a 2-c 2-ac=0 两边同除以a 2 e 2+e-1=0 e=-1+ 5 2 e=-1-52(舍去)变形：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，e=-1+ 52, A 是左顶点，F 是右焦点，B 是短轴的一个顶点，求∠ABF ？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。
答案：90° 引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。
性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B 1 ,则ABFB 1 四点共圆。
3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。
总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。
题目3：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)，过左焦点F 1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB 两点，若｜F 1A ｜=2｜BF 1｜,求e?解：设｜BF 1｜=m 则｜AF 2｜=2a-2m ｜BF 2｜=2a-m在△AF 1F 2 及△BF 1F 2 中，由余弦定理得：⎩⎨⎧a 2–c 2=m(2a-c) 2(a 2-c 2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c =12 ⇒e=23题目4：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。
解：由正弦定理：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜sin F 1F 2P = ｜PF 2｜sin PF 1F 2根据和比性质：｜F 1F 2｜sin F 1PF 2 = ｜F 1P ｜+｜PF 2｜sinF 1F 2P+sin PF 1F 2变形得：｜F 1F 2｜ ｜PF 2｜+｜F 1P ｜ =sin F 1PF 2sin F 1F 2P +sin PF 1F 2==2c 2a=e ∠PF 1F 2 =75°∠PF 2F 1 =15° e=sin90° sin75°+sin15° =63点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e=sin F 1PF 2sin F 1F 2P +sin PF 1F 2变形1：椭圆x 2a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，求e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。
解：设∠F 1F 2P=α，则∠F 2F 1P=120°-α e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 = sin60°sin α+sin(120°-α) =1 2sin(α+30°)≥12 ∴12≤e<1变形2：已知椭圆x 24+ y 24t 2 =1 (t>0) F 1F 2 为椭圆两焦点，M 为椭圆上任意一点（M 不与长轴两端点重合）设∠PF 1F 2 =α,∠PF 2F 1 =β若13 <tan α 2< tan β2 <12 ,求e 的取值范围？ 分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。
解;根据上题结论e=sin F 1PF 2 sin F 1F 2P +sin PF 1F 2 =sin(α+β)sin α+sin β =2sin α+β 2 cos α+β 2 2sin α+β 2 cos α-β 2 = cos α 2cos β 2 -sin α 2 sin β2cos α 2cos β 2 +sin α 2 sin β2=1- tan α 2 tan β21- tan α 2 tan β2=e∵13<1-e 1+e <12 ∴13<e<12三、 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e 所符合的关系式.题目5：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，求e?法一：设A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2 y=x-c(a 2+b 2)x 2-2a 2cx+a 2c 2-a 2b 2=0 x 1+x 2=2a 2c a 2+b 2 y 1+y 2=2a 2c a 2+b 2-2c=-2b 2c a 2+b 2→OA +→OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)与（3，-1）共线，则 -（x 1+x 2）=3(y 1+y 2)既 a 2=3b 2e=63法二：设AB 的中点N ，则2→ON =→OA +→OB⎩⎪⎨⎪⎧x 12a 2+ y 12b 2 =1 ①x 22a 2+ y 22 b2=1 ② ① -② 得： y 1-y 2x 1-x 2 =- b 2a 2 x 1 +x 2 y 1+y 2 ∴1=-b 2a 2 (-3) 既a 2=3b 2e=63 四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。
题目6：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围？分析：∵→MF 1·→MF 2 =0∴以F 1F 2 为直径作圆，M 在圆O 上，与椭圆没有交点。
解：∴c<ba 2=b 2+c 2>2c 2∴0<e<22题目7：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2=1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的垂直平分线恰过F 2 点，求e 的取值范围？分析：思路1,如图F 1P 与 F 2M 垂直，根据向量垂直，找a 、b 、c 的不等关系。
思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e 解法一：F 1 （-c ，0） F 2 (c,0) P(a2c ,y 0 ) M( a 2c -c 2 ,y 0 2)既( b 22c , y 0 2 ) 则→PF 1 =-( a2c+c, y 0 )→MF 2 =-( b 22c -c, y 0 2) →PF 1·→MF 2 =0( a 2c +c, y 0 ) ·( b 22c -c, y 02 )=0( a 2c +c)·( b 22c -c)+ y 022 =0a 2-3c 2≤0 ∴33≤e<1解法2：｜F 1F 2｜=｜PF 2｜=2c｜PF 2｜≥a 2c -c 则2c ≥a 2c -c 3c ≥a2c3c 2≥a 2则33≤e<1总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。
所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。
离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。