高考数学极限及其运算
上海高考数学知识点极限
上海高考数学知识点极限数学是高考考试中一门重要的科目，尤其是在上海地区，数学考试的难度系数往往较高。
在高考数学中，极限是一个重要的概念和知识点。
下面我将从数列极限、函数极限、极限运算法则等几个方面来探讨上海高考数学知识点极限。
一、数列极限数列极限是指当数列中的数值随着项数的增加趋于一个确定的数时，这个确定的数就是该数列的极限。
数列极限的概念在高考数学中是非常重要的。
在考试中，常常会涉及到数列的极限计算和性质运用。
例如，求数列${{a}_{n}}$的极限，可以利用数列极限的定义来进行求解。
假设数列${{a}_{n}}$的极限为$a$，那么对于充分大的$n$，数列中的元素${{a}_{n}}$都会无限接近$a$。
通过运用数列极限的定义，可以利用数学方法进行具体的极限计算，并得到数列极限的结果。
二、函数极限函数极限是指当自变量趋向于某个数或无穷大时，函数的值也趋于一个确定的数，称为函数极限。
函数极限在高考数学中也是一个重要的知识点。
在函数极限的计算中，常用的方法有极限的性质、夹逼定理、洛必达法则等。
这些方法可以用来求解各种不同类型的函数极限，从而解决高考数学中的相关问题。
例如，计算函数${{f(x)}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$在$x\to+\infty$时的极限。
可以利用洛必达法则来解决这个问题。
按照洛必达法则的步骤，可以将函数的导数和极限进行运算，然后再进行计算，得到最后的结果。
三、极限运算法则极限运算法则是指当已知多个函数的极限时，可以利用这些极限的性质来计算复合函数的极限。
极限运算法则在高考数学中也是一个非常重要的知识点。
常用的极限运算法则有四则运算法则、复合函数运算法则、乘方函数极限法则等。
这些法则可以帮助我们快速计算复杂的极限，并得到准确的结果。
例如，计算复合函数极限${{f(g(x))}}$在$x\to a$时的极限。
可以先求得函数$g(x)$在$x\to a$时的极限，再将这个极限代入到函数$f(x)$中，从而得到复合函数的极限。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
高考数学中的极限问题解析
高考数学中的极限问题解析高考数学中，极限问题是一个相对来说比较难的题型，但它是数字运算的基础，也是整个数学学科的核心概念之一。
因此，掌握高考数学中的极限问题非常重要。
一、极限的概念极限的概念是指数列或函数随着自变量趋近于某一值时所达到的极限值。
数列和函数都有自变量，当自变量变化时，因变量也会相应地发生变化。
极限的概念就是通过探究因变量的变化规律，来确定自变量趋近于某个值时因变量的取值。
二、极限的性质极限有很多性质，以下主要介绍常用的几个。
1. 唯一性对于某个数列或函数，它的极限只有可能有一个，即不存在多个不同的极限值。
2. 保号性如果极限值为正数，则必然存在一个与其小但大于0的正数；如果极限值为负数，则必然存在一个与其小但小于0的负数；如果极限值为0，则必定存在一个与其小的正数和负数。
3. 夹逼定理如果某个数列或函数，对于一个自变量趋近于某个值的区间，存在两个数列或函数，一个递增且趋近于某个限值，另一个递减且趋近于相同的限值，则该数列或函数的极限就是这个限值。
三、常见的极限计算方法1. 直接代入法这是最简单、最常用的一种求极限的方法。
当自变量趋近于某个数值的时候，可以直接将那个数值代入函数表达式中，看看函数是否有定义且取值有限，如果有，就代表它存在极限。
2. 替换法在求某个函数在某一点的极限时，一般可以用代数式子来替换函数式子，这样就可以直接用代数方式求值了。
这种方法的关键是，被替换的函数式子需要符合极限的定义。
3. 等价无穷小代换法当函数的极限无法直接求得时，可以用等价无穷小代换法来解决。
这种方法的核心是找到一个相对于极限值的无穷小量，以破除在求取某个函数极限时的不定性。
4. some other methods。
还有很多其他的求极限方法，这里就不一一列举了。
四、常见的极限问题类型1. 无穷大类型当函数的自变量趋近于某个数值时，函数取值越来越大，这种情况下就存在无穷大的情况。
即如果自变量增大，函数值也必须无限增大，反之，如果自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0。
高考数学冲刺复习极限考点速记手册
高考数学冲刺复习极限考点速记手册在高考数学的复习征程中，极限这一考点犹如一座必须攀登的山峰，它不仅是数学知识体系中的重要组成部分，也是高考中常常出现的关键知识点。
对于即将踏上高考战场的同学们来说，熟练掌握极限的相关概念、性质和计算方法，是取得优异成绩的重要保障。
接下来，让我们一同开启极限考点的速记之旅。
一、极限的定义极限是指变量在一定的变化过程中，逐渐趋近于某个确定的值。
通俗地说，就是当自变量无限接近某个特定值时，函数值无限接近的那个固定值。
比如，当 x 无限接近 2 时，函数 f(x) ＝ x ＋ 1 的值无限接近 3，我们就说 x 趋近于 2 时，f(x) 的极限是 3。
二、极限的计算方法1、代入法如果函数在极限点处连续，那么可以直接将极限点代入函数计算极限值。
例如，求lim(x→3) （x^2 9) ／（x 3) ，直接将 x ＝ 3 代入，分母为 0，所以不能直接代入。
2、因式分解法当分子分母有公因式时，先进行因式分解，然后约分，再代入计算。
就像上面的例子，（x^2 9) ／（x 3) ＝（x ＋ 3)（x 3) ／（x 3)＝ x ＋ 3 ，所以lim(x→3) （x^2 9) ／（x 3) ＝ 6 。
3、有理化法对于含有根式的式子，可以通过有理化来消除根式，然后计算极限。
比如，求lim(x→0) √（1 ＋ x) 1 ／ x ，分子分母同时乘以√（1 ＋x) ＋ 1 ，进行有理化后再计算。
4、利用重要极限两个重要极限：lim(x→0) sin x ／ x ＝ 1 ；lim(x→∞）（1 ＋ 1 ／ x)＾x ＝ e 。
在计算极限时，要善于将所给式子变形为这两个重要极限的形式。
三、极限的性质1、唯一性极限若存在，则必定唯一。
2、局部有界性如果函数在某一点的极限存在，那么在该点的某个邻域内，函数是有界的。
3、保号性如果函数在某一点的极限大于 0（或小于 0），那么在该点的某个邻域内，函数的值大于 0（或小于 0）。
高等数学-极限运算法则.ppt
解
例2
解
商的法则不能用
由无穷小与无穷大的关系,得
例3
解
(消去零因子法)
解：原式
又例 : 求
例4
解
(无穷小因子分出法)
例5
解
先变形再求极限.
分母 = 0 , 分子≠0 ,
但因
结论：
2.已知分式函数
若
则
若
求
去公因子再求
1.已知多项式则练习：求Fra bibliotek解: 原式
例6 . 求
解:
分子分母同除以
则
“ 抓大头”
原式
先用x3去除分子及分母 然后取极限
解:
例7
例8
解
所以
说明 : y = 0 是
的水平渐近线 .
二、极限运算法则
定理 3
推论 1 .
( C 为常数 )
推论 2 .
( n 为正整数 )
思考：
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 .
否则由
利用极限四则运算法则可知
存在 ,
矛盾.
问
是否一定不存在 ?
问
是否一定不存在 ?
问
1.
2.
3.
答: 不一定不存在 .
一、 无穷小运算法则
定理1. 两个无穷小的和还是无穷小 .
推广: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
无限个无穷小之和是否仍为无穷小???
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
例1. 求
解:
利用定理 2 可知
高中数学中的极限运算知识点总结
高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。
本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。
一、极限的概念1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。
即极限是函数在某一点附近的局部性质。
2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。
二、极限的性质1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。
2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。
3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。
4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。
三、极限的计算方法1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。
2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。
四、常用的极限运算知识点1. 常用极限：- sinx/x的极限lim(x→0) = 1；- a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。
2. 极限的四则运算：- 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）；- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积；- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。
3. 极限的复合运算：- 实数函数与数列的极限运算；- 函数的函数与数列的极限运算。
五、极限的实际应用极限在数学、物理、经济等学科中具有广泛的应用，常见应用包括：1. 利用极限的概念和性质，推导出数学中的重要定理和公式；2. 在物理学中，通过极限，可以计算出物体在某一瞬间的速度、加速度等相关信息；3. 在经济学中，通过极限，可以计算出市场需求、供应等相关指标。
高数极限运算法则讲解
高数极限运算法则讲解极限是数学中最重要的概念，它是用来描述一个函数d（x）在某个点a接近而不是等于某个值L时，对x的变化可以推导出一个结果。
也就是说，当x趋向于a时，d（x）会趋向于L，这时d（x）就称为以a为极限的函数。
实际应用中，很多复杂的数学问题都可以通过极限来解决。
极限也是高等数学的重点。
二、极限的运算法则（1）极限加法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的和也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)+g(x)]=lim_x→a f(x)+lim_x→a g(x)。
（2）极限减法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的差也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)-g(x)]=lim_x→a f(x)-lim_x→a g(x)。
（3）极限乘法：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，两函数的极限的积也存在，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)*g(x)]=lim_x→a f(x)*lim_x→a g(x)。
（4）极限除法：当函数f (x)和g (x)都有极限，且lim_x→a g(x)非零时，两函数的极限的商也存在，其极限关系式为：lim_x→a [f(x)/g(x)]=lim_x→a f(x)/lim_x→a g(x)。
（5）极限交换法则：当两个函数f (x)和g (x)的极限都存在的时候，函数的项可以进行交换，即lim_x→a[f(x)g(x)]=lim_x→a g(x)lim_x→a f(x)。
（6）极限重复法则：当函数f (x)有极限，当x趋向于a时，函数f (x)重复m次，其极限关系式为：lim_x→a[f(x)^m]=[lim_x →a f(x)]^m。
三、极限的应用（1）冯科普雷定理：当n≥3时，给定f（x）在区间[a,b]上有n次连续可导，且f（a）=f（b），就一定存在某一点c∈(a,b)，使得f′（c）=0。
高数极限的运算法则例题
极限的运算法则极限是一种概念，它表示在某一点附近，函数的值不断逼近某一特定值，但无论多少次迭代，都不会达到这个特定值。
极限的运算法则是指求解极限的一系列规则和公式，它们可以帮助我们更好地理解极限的概念，以及如何计算极限的值。
一、极限的定义极限的定义是：当x趋近于某个特定值p时，函数f(x)的值不断逼近某个特定值L，而无论x多次迭代，都不会达到L，那么L就是函数f(x)的极限，记为lim f(x)=L。
二、极限的运算法则（1）极限的运算法则一：加法法则若函数f(x)和g(x)的极限分别是L和M，那么两者的和的极限就是L+M。
例：计算lim (2x+3)/(x-1)解：lim (2x+3)/(x-1)=lim 2x/x-lim 3/x=2-3/x=2-0=2（2）极限的运算法则二：乘法法则若函数f(x)和g(x)的极限分别是L和M，那么两者的乘积的极限就是L*M。
例：计算lim (2x+3)*(x-1)解：lim (2x+3)*(x-1)=lim 2x*x-lim 3*x=2x2-3x=2x2-0=2x2（3）极限的运算法则三：除法法则若函数f(x)和g(x)的极限分别是L和M，且M不等于0，那么两者的商的极限就是L/M。
例：计算lim (2x+3)/(x2+2x+1)解：lim (2x+3)/(x2+2x+1)=lim 2x/x2+lim 3/x2=2/x+3/x2=2/x+0=2/x（4）极限的运算法则四：指数函数法则若函数f(x)的极限是L，那么函数f(x)的指数函数的极限就是L的指数函数。
例：计算lim (2x+3)^2解：lim (2x+3)^2=(lim 2x+3)^2=(2+0)^2=4（5）极限的运算法则五：幂函数法则若函数f(x)的极限是L，那么函数f(x)的幂函数的极限就是L的幂函数。
例：计算lim (2x+3)^(1/2)解：lim (2x+3)^(1/2)=(lim 2x+3)^(1/2)=(2+0)^(1/2)=2^(1/2)=√2三、极限的运算法则的应用极限的运算法则主要用于计算函数的极限，例如可以用它们计算函数的无穷大极限、无穷小极限等。
高中数学极限公式
高中数学极限公式高中数学中，极限是一个重要的概念。
它在各种数学分支中都有重要的应用，并且是理解和掌握高中数学的基础。
为帮助读者更好地理解和应用极限，下面将介绍一些常用的极限公式和性质。
1.基本极限公式：(1)极限的四则运算法则：a) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，那么$\lim_{x \rightarrow a} (f(x) \pm g(x)) = L \pm M$。
b) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，那么$\lim_{x \rightarrow a} (f(x)\cdot g(x)) = L \cdot M$。
c) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，且$M \neq 0$，那么$\lim_{x \rightarrow a} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{L}{M}$。
(2)常数极限公式：a) $\lim_{x \rightarrow a} k = k$（常数的极限等于它本身）。
b) $\lim_{x \rightarrow a} x = a$（自变量的极限等于它的取值点）。
c) $\lim_{x \rightarrow a} x^n = a^n$（幂函数的极限等于各次幂的极限）。
2.无穷大与无穷小：(1) 无穷大的定义：如果对于任意的正数$M$，都存在正数$\delta$，使得当$0 < ，x-a， < \delta$时，有$，f(x)， > M$，那么我们称函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时的极限为无穷大，记为$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty$。
高中数学函数求极限技巧分享
高中数学函数求极限技巧分享函数求极限是高中数学中的重要内容，也是许多学生感到困惑的地方。
在这篇文章中，我将分享一些函数求极限的技巧，帮助高中学生更好地理解和解决这类问题。
一、基本极限法则在解决函数求极限的问题时，我们可以利用一些基本的极限法则来简化计算过程。
这些基本法则包括：1. 极限的四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，当x趋向于某个数a时，我们有以下法则：- 极限的和差法则：lim(f(x) ± g(x)) = lim(f(x)) ± lim(g(x))- 极限的乘法法则：lim(f(x) × g(x)) = lim(f(x)) × lim(g(x))- 极限的除法法则：lim(f(x) / g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x)) (其中lim(g(x)) ≠ 0)2. 极限的乘方法则：当x趋向于某个数a时，我们有以下法则：- 极限的幂运算法则：lim(f(x)^n) = [lim(f(x))]^n (n为常数)通过运用这些基本极限法则，我们可以将复杂的函数极限问题简化为更容易计算的形式。
二、无穷小量与无穷大量在函数求极限的过程中，我们需要了解无穷小量和无穷大量的概念。
1. 无穷小量：当x趋向于某个数a时，如果函数f(x)的极限为0，那么f(x)就是x趋于a时的无穷小量。
常见的无穷小量有x、sinx、cosx等。
2. 无穷大量：当x趋向于某个数a时，如果函数f(x)的极限为正无穷大或负无穷大，那么f(x)就是x趋于a时的无穷大量。
常见的无穷大量有1/x、e^x、lnx等。
了解无穷小量和无穷大量的性质，可以帮助我们更好地理解函数的极限性质。
三、常见的函数极限类型在高中数学中，有一些常见的函数极限类型，我们可以通过分析其特点来求解。
1. 无穷小量与无穷大量的乘积：当两个函数f(x)和g(x)的极限分别为无穷小量和无穷大量时，我们可以通过分析它们的乘积来求解极限。
高考数学极限与导数知识点复习卷
高考数学极限与导数知识点复习卷一、极限（一）数列的极限1、定义：对于数列｛an}，如果当 n 无限增大时，数列的项 an 无限趋近于一个常数 A，那么就称 A 为数列｛an} 的极限，记作limn→∞ an ＝ A 。
2、运算法则：如果limn→∞ an ＝ A ，limn→∞ bn ＝ B ，那么（1）limn→∞ （an ± bn) ＝limn→∞ an ± limn→∞ bn ＝ A ± B ；（2）limn→∞ （an · bn) ＝limn→∞ an · limn→∞ bn ＝ A · B ；（3）limn→∞ （an ／ bn) ＝limn→∞ an ／limn→∞ bn ＝ A ／ B （B ≠ 0 ）。
（二）函数的极限1、当x → x0 时函数 f(x) 的极限（1）定义：当自变量 x 无限趋近于 x0 （但x ≠ x0 ）时，如果函数f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x) 的极限是 A，记作limx→x0 f(x) ＝ A 。
（2）左极限：当 x 从 x0 的左侧（即 x ＜ x0 ）无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说 A 是函数 f(x) 在点 x0 处的左极限，记作limx→x0- f(x) ＝ A 。
（3）右极限：当 x 从 x0 的右侧（即 x ＞ x0 ）无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说 A 是函数 f(x) 在点 x0 处的右极限，记作limx→x0+ f(x) ＝ A 。
函数 f(x) 在点 x0 处的极限存在的充要条件是左极限和右极限都存在且相等，即limx→x0 f(x) 存在⇔ limx→x0- f(x) ＝limx→x0+ f(x) 。
2、当x → ∞ 时函数 f(x) 的极限（1）定义：当自变量 x 无限增大时，如果函数 f(x) 无限趋近于一个常数 A，就说当 x 趋向于无穷大时，函数 f(x) 的极限是 A，记作limx→∞ f(x) ＝ A 。
高考数学极限及其运算
难点32 极限及其运算极限的概念及其渗透的思想；在数学中占有重要的地位；它是人们研究许多问题的工具.旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一.本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念；并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题.●难点磁场(★★★★)求1122lim +-∞→++n n n n n aa . ●案例探究［例1］已知lim ∞→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值.★★★★★级题目. 知识依托；解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理；这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法.错解分析；本题难点是式子的整理过程繁琐；稍不注意就有可能出错. 技巧与方法；有理化处理.解；bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在；则1－a 2=0, 当1－a 2=0时；1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 22222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a x b x xx b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a［例2］设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数；且b ≠－1.(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式；(3)当0＜b ＜1时；求极限lim ∞→n S n .命题意图；历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式；前n 项和S n 等有紧密的联系.有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限；或先求出前n 项和S n ★★★★★级题目.知识依托；解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系.错解分析；本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性.技巧与方法；抓住第一步的递推关系式；去寻找规律.解；(1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b =－b (a n －a n －1)+nb b)1(+ (n ≥2) 解得a n =11)1(1+-+++n n b ba b b (n ≥2) 代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b bb b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b ba b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nnn n n n n n n n n n n .1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时●锦囊妙计1.学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限.学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限. 2.运算法则中各个极限都应存在.都可推广到任意有限个极限的情况；不能推广到无限个.在商的运算法则中；要注意对式子的恒等变形；有些题目分母不能直接求极限.3.注意在平时学习中积累一些方法和技巧；如；)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110 ●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数；则)111(lim 21nn a a a +++∞→ 等于( )D.－12.(★★★★)若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列；则nn ca c a )(lim 22++∞→的值是( )二、填空题3.(★★★★) )(lim x x x x n -+++∞→ =_________.4.(★★★★)若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________.三、解答题5.(★★★★★)在数列{a n }中；已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列；数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n .6.(★★★★)设f (x )是x 的三次多项式；已知a x x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求ax x f n 3)(lim -∞→的值.(a 为非零常数).7.(★★★★)已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列；公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和；求1lim-∞→n nn S S 的值.8.(★★★★★)已知数列{a n }是公差为d 的等差数列；d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和；T n =nnb S (n ∈N *). (1)求{T n }的通项公式； (2)当d ＞0时；求lim ∞→n T n .参考答案难点磁场⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅=-+-=⋅-=++-=-++-=++-==⋅⋅=++==++=++<<-=++=++-<>-+--+-+-+---∞→+-∞→∞→+-∞→-∞→+-∞→)(232232222)(612322222)2(22)2(22,2;21623lim 22lim ,2;41)2(221)2(lim 22lim ,22;1)2()2(11lim 22lim ,22:11111111111211111111为偶数为奇数时当时当时当时或当解n n a a a a a a a a a a a a aa aa a a a a a n n n n n nn n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n nn 歼灭难点训练 一、1.解析；)111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==； 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n答案；A2.解析；⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得 答案；C二、3.解析；xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案；21 4.解析；原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a ∴a ·b =82 答案；82三、5.解；(1)由{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列；且a 1=53,a 2=10031, ∴a n +1－101a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(10031－53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1－21a n )}是公差为－1的等差数列；且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×53)=－2,∴其通项lg(a n +1－21a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=21a n +10－(n +1)②①②联立解得a n =25［(21)n +1－(101)n +1］(2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6.解；由于ax x f a x 2)(lim2-→=1；可知；f (2a )=0①同理f (4a )=0 ② 由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式；由于f (x )是x 的三次多项式；故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数；,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1③ 同理；由于ax x f a x 4)(lim4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a(x －2a )(x －4a )(x －3a ),21)(21)4)(2(21lim 3)(lim2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a aa x a x a a x x f a x a x1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列；知p ＞0,q ＞0.01)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim )1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a p p b q a p q p b q a p p b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8.解；(1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n－1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n －1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1--∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=--(2)当d ＞0时；2d ＞1。
高考数学极限运算方面精讲
高考数学极限运算方面精讲在高考数学中，极限运算是考察学生数学素养和逻辑思维的重要知识点之一。
在这篇文章中，将系统、全面地讲解高考数学中与极限运算相关的知识点，帮助学生更好地掌握这一难点。
一、极限的概念首先，我们需要了解什么是极限。
极限是指函数在自变量趋近于某个值时，相应的函数值也趋近于某个确定的值。
通俗地说，如果一个序列或者函数在某个点附近越来越接近一个确定的值，那么我们就称这个确定的值为这个序列或者函数的极限。
通常用符号“lim”表示。
例如：lim(x→1) (x²-1)/(x-1) = 2其中“x→1”表示x趋近于1的时候，函数值的极限是2。
在高中数学课程中，我们已经学习了一些基础的极限运算，包括无穷小量的定义、极限的四则运算、夹挤定理等等。
这里我们不再赘述。
二、常用的极限公式除了基本的极限运算，高中数学还有一些常用的极限公式，下面分别介绍。
1. 洛必达法则洛必达法则是求解不定式的极限时常用的一种方法。
它的核心思想是将极限转化为求导数的极限。
具体而言，如果一个不定式的极限为0/0或者±∞/±∞时，我们可以对这个不定式进行求导，再重新计算极限，如果新的极限存在，那么它就是原不定式的极限。
例如：lim(x→0) sinx/x这个不定式的极限为0/0型。
我们对它求导得到：lim(x→0) cosx/1 = cos0/1 = 1因此，原不定式的极限为1。
需要注意的是，洛必达法则是一种常用的方法，但并不是所有的不定式都可以用它来求解。
对于其他类型的不定式，我们需要采取不同的方法。
2. Π面积公式Π面积公式是一种计算极限的常用公式，它的核心思想是将面积转化为无穷小量的加和求解。
具体而言，如果一个曲线在自变量趋近于无穷大的时候，它的面积趋近于某个确定的值，那么我们就可以用Π面积公式计算这个确定的值。
例如：lim(n→∞) Σ(k=1→n) 1/n*[1+(k/n)]²这个极限表示一个从1到n，等差为1/n的序列。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在一些点无限接近一些值的情况。
极限的运算法则涉及到极限的四则运算、复合函数的极限、反函数的极限以及夹逼定理等内容。
下面将详细介绍极限的运算法则及计算方法。
1.极限的四则运算法则:（1）和差运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的和差的极限存在，并且有以下公式：lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x)（2）乘积运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，那么函数f(x)和g(x)的乘积的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)g(x) = lim f(x) · lim g(x)（3）商运算法则:设函数f(x)和g(x)在点x=a处极限存在，并且lim g(x)≠0，那么函数f(x)和g(x)的商的极限存在，并且有以下公式：lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x)2.复合函数的极限:（1）设函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=limf(x)处极限存在，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = lim g(u) (u→lim f(x)) = lim g(u) (u→a) = lim g(v) (v→a)（2）特别地，如果函数f(x)在点x=a处极限存在，并且函数g(x)在点x=lim f(x)处连续，那么复合函数g(f(x))在点x=a处极限存在，并且有以下公式：lim g(f(x)) = g(lim f(x)) = g(f(a))3.反函数的极限:（1）设函数y=f(x)在点x=a处具有反函数，并且在点x=a处极限存在，那么函数x=f^[-1](y)在点y=f(a)处极限存在，并且有以下公式：lim x→a f^[-1](y) = f^[-1](lim y→f(a))4.夹逼定理:假设函数g(x)≤f(x)≤h(x)在点x=a处成立，并且g(x)和h(x)在点x=a处极限都等于L，那么函数f(x)在点x=a处也存在极限，并且极限等于L，即有以下公式：lim f(x) = L以上就是极限的运算法则及计算方法的基本内容。
高数极限运算法则课件
极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。
数学高考函数的极限
数学高考函数的极限函数的极限在数学高考中是一个重要的考点。
它是研究函数变化趋势的有效方法，广泛应用于微积分、数学分析等领域。
本文将介绍函数的极限的概念、性质以及计算方法，并通过实例进行解析，帮助读者深入理解这一概念。
1. 概念函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化情况。
设函数为f(x)，x趋近于a时，若随着x的不断接近于a，f(x)的取值趋近于某个确定的常数L，即当x无限接近于a时，f(x)的极限为L。
用数学符号表示为：lim(x→a) f(x) = L其中lim表示极限，(x→a)表示x趋近于a，f(x)表示函数f在x处的取值，L表示极限值。
2. 性质函数极限具有以下性质：（1）唯一性：函数的极限值是唯一的，即当x趋近于a时，函数只有一个极限值。
（2）局部性：函数的极限与x的局部取值有关，与整体取值无关。
即函数极限的计算只需关注x趋近于a时的情况，不受其他点的影响。
（3）逼近性：函数的极限可以用于逼近某个特定的值。
当函数在某点附近的取值接近于某个值时，可以利用极限来计算该函数在该点处的取值。
（4）趋势性：函数极限可以用于判断函数的趋势。
当函数的极限为正无穷大或负无穷大时，可以得出函数增大或减小的结论。
3. 计算方法常用的函数极限计算方法主要包括以下几种：（1）代入法：将x的值代入函数中，计算得到函数在该点的取值。
（2）分式分解法：将函数进行分式分解，利用已知函数的极限性质进行计算。
（3）洛必达法则：对于函数极限计算困难的情况，可以利用洛必达法则进行简化。
洛必达法则是一个求极限的有效工具，可简化复杂的计算过程。
（4）级数展开法：对于一些特定的函数形式，可以通过级数展开的方法来计算函数的极限。
4. 实例分析为了更好地理解函数极限的概念和计算方法，下面通过几个实例进行具体分析。
实例1：计算函数极限lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)解析：将x的值代入函数中，得到函数在x=1处的取值。
高等数学求极限的17种常用方法（附例题和详解）
⾼等数学求极限的17种常⽤⽅法（附例题和详解）⾼等数学求极限的14种⽅法⼀、极限的定义1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。
2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限⼜分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。
要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有⼦数列均收敛于a 。
常⽤的是其推论，即“⼀个数列收敛于a 的充要条件是其奇⼦列和偶⼦列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→?=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。
极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当⼆．解决极限的⽅法如下：1.等价⽆穷⼩代换。
只能在乘除．．时候使⽤。
例题略。
2.洛必达（L’ho spital ）法则（⼤题⽬有时候会有暗⽰要你使⽤这个⽅法）它的使⽤有严格的使⽤前提。
⾸先必须是X 趋近，⽽不是N 趋近，所以⾯对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正⽆穷的，不可能是负⽆穷。
其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接⽤洛必达法则。
另外，必须是“0⽐0”或“⽆穷⼤⽐⽆穷⼤”,并且注意导数分母不能为0。
高中数学中的函数极限计算详细解析与计算
高中数学中的函数极限计算详细解析与计算函数极限在高中数学学习中占据非常重要的地位。
它不仅是理解数学概念的基础，还在应用数学和其他学科中起到重要的作用。
本文将详细解析和计算高中数学中的函数极限，帮助读者深入理解和掌握相关知识。
1. 极限的定义函数极限是指当自变量趋于某一值时，函数值的变化趋势。
根据定义，对于函数 f(x)，它的极限可以用以下方式表示：lim(x→a)f(x) = L其中，x→a表示x趋近于a，L表示函数f(x)在x趋近于a时的极限值。
2. 极限的性质函数极限具有以下基本性质：- 唯一性：函数在某一点的极限是唯一确定的。
- 有界性：如果函数在某一点的极限存在，则函数在该点附近有界。
- 保号性：如果函数在某一点的极限为正（负），则函数在该点的右邻域（左邻域）内的函数值也为正（负）。
3. 极限的计算方法在计算函数极限时，可以运用以下的计算方法：- 直接代入法：当函数在某一点连续时，可以直接将该点的值代入函数并计算函数值，得到极限值。
- 合并因子法：将复杂的函数分解为简单的因子，然后运用极限的性质进行化简和计算。
- 夹逼准则法：对于一个函数，如果它夹在两个极限已知的函数之间，那么它的极限也可以简单地确定。
- 等价无穷小代换法：当函数的极限形式无法直接计算时，可以通过等价无穷小的代换将其转化为可以计算的形式。
4. 函数极限的应用函数极限在图像的分析和应用问题中有着重要的作用。
以下是一些常见的应用：- 导数和微分的计算：导数的定义本质上就是一个函数极限，通过计算函数在某一点的极限，可以得到该点的导数。
- 泰勒展开和函数逼近：利用函数的极限，可以将一个复杂的函数逼近为一个多项式函数，用于简化计算和分析。
- 无穷级数和收敛性分析：通过函数的极限，可以判断无穷级数是否收敛，并计算其收敛值。
5. 实例解析为了更好地理解函数极限的计算和应用，我们通过以下实例进行解析。
例题：计算函数lim(x→2)(3x^2 - 8x + 4) / (x - 2)解析：首先，我们可以应用直接代入法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题目高中数学复习专题讲座极限的概念及其运算 高考要求极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 重难点归纳1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限 学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如)1|(|0lim ,0)1(lim<==-∞→∞→a a nn n nn ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 01110110 典型题例示范讲解例1已知lim ∞→x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值命题意图 在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依 因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能力知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法错解分析 本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错 技巧与方法 有理化处理解 bax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim)1(lim 2222bax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim2222要使上式极限存在，则1－a 2=0, 当1－a 2=0时，1)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 2222=++-++-=+++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab ax b xx x b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 ∴⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-01)21(012aab a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==211b a例2设数列a 1,a 2,…,a n ,…的前n 项的和S n 和a n 的关系是S n =1－ba n －nb )1(1+,其中b 是与n 无关的常数，且b ≠－1(1)求a n 和a n －1的关系式；(2)写出用n 和b 表示a n 的表达式； (3)当0＜b ＜1时，求极限lim ∞→n S n命题意图 历年高考中多出现的题目是与数列的通项公式，前n 项和S n 等有紧密的联系 有时题目是先依条件确定数列的通项公式再求极限，或先求出前n 项和S n 再求极限，本题考查学生的综合能力知识依托 解答本题的闪光点是分析透题目中的条件间的相互关系 错解分析 本题难点是第(2)中由(1)中的关系式猜想通项及n =1与n =2时的式子不统一性技巧与方法 抓住第一步的递推关系式，去寻找规律解 (1)a n =S n －S n －1=－b (a n －a n －1)－1)1(1)1(1-+++n n b b=－b (a n －a n －1)+nb b)1(+ (n ≥2)解得a n =11)1(1+-+++n n b b a b b (n ≥2)代入上式得把由此猜想21113211132321213212221221111)1()1()1(,)1()1()1(])1(1[)1()1()1()1(1])1(1[1)1(,111)2(b ba b b b b b a b b a b b b b a b b b b b b b a b b b b b bb a b b b b b a b b b b a b b a b ba S a n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++++=+++++=+++++++=++++=++++++=∴+=∴+--==+--+-+--+-+-),1()11(1)()1(11)1(1)1)(1(1)1(11)3()1(2)1()1)(1()1(111111112≠+---+-=+-+--⋅-=+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+--=++++=++++++++b b b b b b b b b b b b b b ba S b n b b b b b b b b b a n n nn n n n n n n n n n n n.1lim ,0)11(lim ,0lim ,10=∴=+=<<∞→∞→∞→n n nn n n S bb b 时例3求1122+-∞→++n n n n n aa 111121()21:22,;lim lim 22()n nn n n n n n a a a a a a a a a--+→∞→∞++><-==++解当或时 111()212222,;lim lim 242()2n n n n n n n n a a a a a a -+→∞→∞++-<<==++当时 1112123212,;lim lim 262n n n n n n n n a a a --+-→∞→∞+⋅===+⋅当时2,a =-当时11111111112221()2(2)22232622(2)22323()2222n n n n n n n n n nn n n n nn n n n n n a a n ----+++--+⎧-+-==-⎪+-+⎪+⋅==⎨++-+⋅⎪==-⎪⎩--为奇数为偶数学生巩固练习1 a n 是(1+x )n 展开式中含x 2的项的系数，则)111(lim 21nn a a a +++∞→ 等于A 2B 0C 1D －12 若三数a ,1,c 成等差数列且a 2,1,c 2又成等比数列，则nn ca c a )(lim 22++∞→的值是( )A 0B 1C 0或1D 不存在3 )(lim x x x x n -+++∞→ =_________4 若)12(lim 2nb n n a n --+∞→=1,则ab 的值是_________5 在数列{a n }中，已知a 1=53,a 2=10031,且数列{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，数列{lg(a n +1－21a n }是公差为－1的等差数列 (1)求数列{a n }的通项公式； (2)S n =a 1+a 2+…+a n (n ≥1),求lim ∞→n S n6 设f (x )是x 的三次多项式，已知ax x f a x x f a n a n 4)(lim2)(lim42-=-→→=1,试求a x x f n 3)(lim-∞→的值 (a 为非零常数)7已知数列{a n },{b n }都是由正数组成的等比数列，公式分别为p 、q ,其中p ＞q ,且p ≠1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求1lim-∞→n nn S S 的值8 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，d ≠0且a 1=0,b n =2n a (n ∈N *),S n 是{b n }的前n 项和，T n =nnb S (n ∈N *) (1)求{T n }的通项公式；(2)当d ＞0时，求lim ∞→n T n参考答案1 解析 )111(21,2)1(C 2nn a n n a n n n --=∴-==， 2)11(2lim )111(lim 21=-=+++∴∞→∞→na a a n n n答案 A2 解析 ⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧==+6222 ,12222222c a c a c a c a c a c a 或得 答案 C二、3 解析 xx x x x x x x x x x x x x +++-++=-+++∞→+∞→lim)(lim.21111111lim23=++++=+∞→x xx x 答案21 4 解析原式=112)2(lim12)12(lim22222222222=+-+-+-=+-+--+∞→∞→nbn n a a n a n b a nbn n a b n n n a n n⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-422120222b a b b a∴a ·b =82 答案 825 解 (1)由{a n +1－101a n }是公比为21的等比数列，且a 1=53,a 2=10031,∴a n +1－101a n =(a 2－101a 1)(21)n -1=(10031－53×101)(21)n -1=1121)21(41+-=n n ,∴a n +1=101a n +121+n ①又由数列{lg(a n +1－21a n )}是公差为－1的等差数列，且首项lg(a 2－21a 1)=lg(10031－21×53)=－2,∴其通项lg(a n +1－21a n )=－2+(n －1)(－1)=－(n +1),∴a n +1－21a n =10－(n +1),即a n +1=21a n +10－(n +1)②①②联立解得a n =25［(21)n +1－(101)n +1］(2)S n =])101()21([2511111∑∑∑==++=-=n k n k k k nk k a911]1011)61(211)21([25lim 22=---=∴∞→n n S6 解 由于ax x f a x 2)(lim2-→=1，可知，f (2a )=0①同理f (4a )=0 ②由①②可知f (x )必含有(x －2a )与(x －4a )的因式，由于f (x )是x 的三次多项式，故可设f (x )=A (x －2a )(x －4a )(x －C ),这里A 、C 均为待定的常数，,1))(4(lim 2))(4)(2(lim ,12)(lim222=--=----=-→→→C x a x A ax C x a x a x A a x x f a x a x a x 即由1)2)(42(=--C a a a A 得,即4a 2A －2aCA =－1③同理，由于ax x f a x 4)(lim4-→=1,得A (4a －2a )(4a －C )=1,即8a 2A －2aCA =1 ④由③④得C =3a ,A =221a ,因而f (x )= 221a(x －2a )(x －4a )(x －3a ),21)(21)4)(2(21lim 3)(lim 2233-=-⋅⋅=--=-∴→→a a aa x a x a a x x f a x a x 1111111111111111111)1()1()1()1()1()1()1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(:.7----------+------+-=--+----+--=∴--+--=n n nn n n n n n nn n n q p b p q a p b q a q p b p q a p b q a qq b p p a q q b p p a S S q q b p p a S 解由数列{a n }、{b n }都是由正数组成的等比数列，知p ＞0,q ＞0.01)1(00)1(01))(1(1)1()1()1())(1()1()1()1(lim)1()1()1()1()1()1()1()1(lim lim 111111111111111111111111p pq a q a p p q p b p q a p p b q a p q p b q a p p b q a p q p b p q a p b q a p q p b p q a p b q a S S p n n nnn nn n nnn n n n n =------=-----+------+-=-----+------+-=>--∞→--∞→-∞→时当当p ＜1时,q ＜1, 0lim lim lim lim 11====-∞→∞→-∞→∞→n n n n n n n n q q p p1lim1=∴-∞→n nn S S8 解 (1)a n =(n －1)d ,b n =2n a =2(n－1)dS n =b 1+b 2+b 3+…+b n =20+2d +22d +…+2(n－1)d由d ≠0,2d≠1,∴S n =dnd 21)2(1--∴T n =ndd n nd d n d nd n n b S 2221221)2(1)1()1(--=--=-- (2)当d ＞0时，2d ＞1122121101211)2(1lim )2()2()2(1lim 2221lim lim 1)1(-=--=--=--=--=∴∞→-∞→-∞→∞→dd dd nd n nd n d nd n nd d n nd n n n T课前后备注。