类型离散型随机变量的二项分布
2.2离散型随机变量及其概率分布
8
5
k
24
小结
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
二项分布 泊松分布
两点分布
两点分布
n1
二项分布
n 10, p 0.1, np
泊松分布
25
二项分布与 (0 1) 分布、泊松分布之间的 关系 .
二项分布是 (0 1) 分 布 的 推 广 , 对 于n 次 独 立重复伯努利试验 ,每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p, 设 , 1, 若 第 i 次 试 验 成 功 Xi ( i 1,2, , n) . 0, 若 第 i 次 试 验 失 败 它们都服从 (0 1) 分 布 并 且 相 互 独 立 , 那末 X X1 X 2 X n 服 从 二 项 分 布 , 参 数 为( n, p).
定义2 如果随机变量 X 只有两个可能取 值，其概率分布为
P{ X x1 } P , P{ X x2 } q 1 p(0 p 1, p q 1)
则称X服从 x1 , x2 处参数为p的两点分布. 特别，若X服从
x1 1, x 0 处参数为p的两点分布，即
p
k 1
5
k
1
1 a . 15
5
关于分布律的说明：
若已知一个离散型随机变量X的概率分布 X P x1 p1 x2 p2 ... ... xn ... pn ...
则可以求X所生成的任何事件的概率，特别地：
P{a X b} P{ { X xi }} pi
a xi b a xi b
26
以 n, p ( np ) 为参数的二项分布 ,当 n 时趋 于以 为参数的泊松分布 ,即
离散型随机变量的分布
泊松定理 数,
设 0是一个常数 ,
n是任意正整
有
设np , 则对于任一固定的非负 整数k ,
n
lim C p (1 pn )
k n k
nk
k
k!
e
当 n 很大， p 很小，而乘积 np 大小适中（ 0 np 5 ）时，可 以用泊松定理近似计算。
C p (1 p )
非负性
,
2)
P{ X k} k ! e
k 0 k 0
k
规范性
e
k!
k 0
k
e e
1
11
例6： 某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每月的销售量可以用参数为
的泊松分布来描述,试求：
5
(1)下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？
解 设该商店每月销售该商品的件数为 X 依题意 X ~ P(5) ，且
场合
练习 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那么,若规定
1, X 0,
取得不合格品,
取得合格品.
X
X 的分布列为:
0
1
10 200
pk
190 200
则随机变量 X 服从(0 -1)分布.
2. 二项分布
产生背景：n 重伯努利试验
设试验 E 只有两个可能结果 : A 及 A 设 P( A) p (0 p 1), 此时P( A) 1 p.
6
X ~ B(10, 0.75)
X ~ B(6, 0.5)
从图中可以看出，对于二项分布， X 取 k 值的概率随着 k 的增大先是逐渐增大，直至
2-1离散型随机变量及其分布律
2}
C113C22 C135
1 35
P{ X
1}
C123C21 C135
12 35
每天从石家庄下火车的人数；
Y
昆虫的产卵数；
Z
七月份石家庄的最高温度；
E
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无概率论 关，但我们可以引进一个变量来表示它的各 种结果.也就是说，把试验结果数值化.
正如裁判员在运动 场上不叫运动员的 名字而叫号码一样， 二者建立了一种对 应关系.
二、随机变量的概念
概率论
概率论
第一节 离散型随机变量及其 分布律
一、随机变量 二、离散型随机变量 三、二点分布 四、二项分布 五、泊松分布
概率论
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可以用数 量来表示，由此就产生了随机变量的概念.
概率论
1、有些随机试验结果本身与数值有关 （本身就是一个数）.
例如，掷一颗骰子面上出现的点数； X
X
5000
5)
k6
P(
X
k
)5k0060C5k000(10100)k
( 999 )5000k 1000
或诸如此类的计算问题，必须寻求近似方法.
我们先来介绍二项分布的泊松近似， 后面，我们将介绍二项分布的正态近似.
二、泊松分布
概率论
历史上，泊松分布是作为二项分布的近 似，于1837年由法国数学家泊松引入的 .
泊松分布,记作
X ~ P()
概率论
例 设离散型随机变量X服从参数为 的泊松
分布，且已知概率 PX 0 1 ，求：
e
1）参数 值；
2）概率 PX 3.
1
1 0.0613 6e
常见离散型随机变量的分布
P(X=2) =0.2304 P(X=4) =0.2592
P(X=3) =0.3456 P(X=5) =0.07776
若A和A是n重伯努利实验的两个对立结果,“成功”
可以指二者中任意一个, p 是“成功”的概率.
例如: 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取 4次, 每次一件, 取得合格品件数X, 以及取得不合 格品件数Y均服从分布为二项分布. “成功”即取得合格品的概率为p=0.8,
X对应的实验次数为n=4, 所以, X~B(4,0.8)
类似,Y~B(4,0.2)
二项分布的期望与方差 X ~ b(n, p)
1 如第i 次试验成功 X i 0 如第i 次试验失败
i 1,2,, n.
则 X X1 X2 Xn Xi ~ (0 1)分布 EX i p, DX i p(1 p)
两点分布的期望与方差
设X服从参数为p的0-1分布，则有
E(X ) p
E(X 2) p
X
0
1
pk 1 p
p
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 p p2 p(1 p)
二、二项分布
若在一次伯努利实验中成功（事件A发生）的概率 为p(0<p<1),独立重复进行n次, 这n次中实验成功的 次数（事件A发生的次数）X的分布列为:
E(X ) 1 p
D(X )
q p2
EX 2 k 2 pqk1 p[ k(k 1)qk1 kqk1]
k 1
k 1
k 1
qp(
qk ) EX
qp( q ) 1 q
1 p
k 1
qp
2 (1 q)3
1 p
2q 1 p2 p
2
2.5第2节离散型随机变量的分布律
3
例６． 将一枚均匀骰子抛掷 ３ 次， 令:X 表示 3 次中出现“4”点的次数
求: X的概率函数
解: 显然，X的概率函数是：
P{
X
=
k
}
=
C
k 3
(
1 6
)k
(
5 6
)3− k
,
k = 0,1,2,3
3
0 .
定理
设一次试验中事件A发生的概率为 p , (0 < p < 1)
则在 n 次贝努利试验中事件A 恰发生 k 次概率为:
概 [(1
率− pP)+n (kp)x]就n 等的于展二开项式式中
xk
的系数， 这也是二项分布的名称
P(X = k) ≥ 0,
的由来 .
n
∑Cnk pk(1− p)n−k =( p +q)n =1
k=0
例7. 设某炮手射击的命中率为 0.8，为炸毁某个 目标， 经预测只要命中两发就够炸毁.
问 :希望发射5发炮弹就能炸毁目标的可能性有多大?
路 口3
路 口2
路 口1
P(X=2)=P(
A1
A2
A3
)
=
1⋅ 2
X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数
设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路 口3
路 口2
路 口1
P(X=3)=
P(
A1
A2
A3
)=
1 2
⋅
1 2
⋅
1 2
=1/8
于是得其分布律为：
X0 1 2 3
例5. 设生男孩的概率为 p， 生女孩的概率为 q=1-p， 令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿 中“男孩”的个数.
§2.3几种重要的离散型分布
几何分布的无记忆性： X ~ G p , 则对 设
任意的正整数 m 与 n 有
P X m n X m P X n .
概率意义： 伯努利试验序列中，在前 m 次试验 都没有成功的条件下，再做 n 次试验都还没有成 功的概率与直接做 n 次试验没有成功的概率相等． 似乎忘记了前 m 试验结果，这就是无记忆性．
几何分布为什么有无记忆性呢？
27
证明很简单： 因为
P X n
k n1
1 p
k 1
1 p p n p 1 p , 1 1 p
n
所以由条件概率的定义，
X m n X n
的习惯写法
P X m n X m
4
函数为
三、二项分布
若X表示每次试验成功概率为 p 的 n 重伯 努利试验中成功的次数，则可把伯努利公式 (1.9)重新写成如下的形式
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2, , n,
其中
0 p 1 , q 1 p , 称X服从参数为
5
n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
最常见的变量分布类型是
最常见的变量分布类型是离散型随机变量的常见分布1、0-1分布伯努利试验（Bernoulli trial）：在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。
2、二项分布（Binomial distribution）二项代表它有两种可能的结果，成功或失败。
它满足性质：每次试验成功的概率均是相同的，记录为p；失败的概率也相同，为1-p。
每次试验必须相互独立，该试验也叫做伯努利试验，重复n次即二项概率分布，它主要用于解决n次试验中成功x次的概率。
掷硬币就是一个典型的二项分布。
当我们要计算抛硬币n次，恰巧有x次正面朝上的概率，可以使用二项分布的公式：f(x)=(nx)px(1−p)n−x数学期望为E(x)=np，方差Var(x)=np(1-p)【例】假设现在有一个抽奖活动，每位用户拥有10次抽奖机会，中奖概率是5%。
老板准备先考虑成本问题，想知道至少有3次以上中奖机会的概率是多少？思路一：可以拿恰巧3次，恰巧4次直到恰巧10次累加求和，但是这样太麻烦了。
思路二：先计算最多2次的概率是多少，f(0)+f(1)+f(2)，结果是92.98%，利用逆向思维：概率公式1-92.98%，就是至少3次的概率了，为7.02%。
PS：二项分布和泊松分布、正太分布的关系二项分布是多次伯努利，即扔多次硬币泊松分布是p很小的二项，即扔好多好多次硬币，且扔出正面概率极小正态分布是n很大的二项，即扔好多好多次硬币，且硬币是完全相同的3、泊松分布（Poison distribution）泊松概率主要用于估计某事件在特定时间或空间中发生的次数。
比如一天内中奖的个数，一个月内某机器损坏的次数等。
x代表发生x次，u代表发生次数的数学期望，概率函数为：f(x)=uxe−ux!【例】现在又举办了一个新的运营活动，这次的中奖概率未知，只知24小时内中奖的平均个数为5个，老板想知道24小时内恰巧中奖次数为7的概率是多少？此时x=7，u=5（区间内发生的平均次数就是期望），代入公式求出概率为10.44%。
2-2离散型随机变量及其分布律
9 P ( X 9 ) C10 (0.3)9 (0.7)109 0.00138
P ( X 9) P ( X 9 ) P ( X 10 )
（3）二项分布的图形特点：X∽b(n,p)
Pk Pk
0
...
n=10, p=0.7
n
0
..
n=20, p=0.5
.. n
说明:
a. 对于固定n及p，随着k的增加 ,概率P(X=k) 先是随之增加， 并在(n+1)p或者[(n+1)p] 达到最大值，随后单调减少。 b. 如果p>0.5，图形高峰右偏；如果p<0.5，图形高峰左偏。
说明：
k P ( X k ) C n p k (1 p )n k 0 a. 可验证二项分布满足概率充分条件 n k k C n p (1 p )n k ( p+1-p )n 1 k 0
k b. 式Cn pk (1 p)nk 为二项式( p 1 p)n 一般项,故二项分布.
c. n 1, B(n, p)即为0 1分布, P( X k ) pk qnk (k 0,1)
k d . n次试验中至多出现m次( m n): P (0 X m ) C n p k q n k k 0 m
np p或np p 1 np p N e. 事件A最可能发生次数k 其它 [np p] k (即使概率P ( X k ) C n p k (1 p)n k 达到最大值的k .
启示：一次试验中概率很小，但在大量重复试验中几乎必然发生
离散型随机变量及其分布
X0 1
P 1-p p
0
易求得其分布函数为： F (x) 1 p
1
x0 0 x 1
x 1
2.二项分布（binomial distribution)： 定义：若离散型随机变量X的分布律为
PX k Cnk pkqnk k 0,1,L , n
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n,p的二项
下面我们看一个应用的例子.
例7 为保证设备正常工作，需要配备适量的 维修人员 . 设共有300台设备，每台独立工作， 且发生故障的概率都是0.01。若在通常的情况 下，一台设备的故障可由一人来处理 ， 问至 少应配备多少维修人员，才能保证当设备发生 故障时不能及时维修的概率小于0.01?
我们先对题目进行分析：
§2.2 离散型随机变量及其分布
一、离散型随机变量及其分布律
1．离散型随机变量的定义 设X为一随机变量，如X的全部可能取到的值
是有限个或可列无限多个，则称随机变量X为离 散型随机变量(discrete random variable)。
设X是一个离散型随机变量，它可能取的值 是 x1, x2 , … .为了描述随机变量 X ，我们不仅 需要知道随机变量X的取值，而且还应知道X取 每个值的概率.
定义1 ：设xk(k=1,2, …)是离散型随机变 量X所取的一切可能值，称等式
P(X xk) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率函数或分布律， 也称概率分布.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk1
k
k=1,2, …
用这两条性质判断 一个函数是否是
2-2离散型随机变量及其分布律
P(X=2)=C (0.05) (0.95) = 0.007125
思考：本例中的“有放回”改为”无放回” 思考： 本例中的“有放回”改为”无放回”？ 不是伯努利试验。 各次试验条件不同,此试验就不是伯努利试验 此时, 各次试验条件不同,此试验就不是伯努利试验。此时, 1 2 只能用古典概型求解. 古典概型求解 只能用古典概型求解. C C
3. 泊松分布
定义 若一个随机变量 X 的概率分布为 λke−λ P{ X = k} = , k = 0,1,2,⋯, k! 则称 X 服从参数为 λ 的泊松分布， 泊松分布， 记为 X ~ P (λ ) 或 X ~ π (λ ). 易见， 易见，1) P { X = k } ≥ 0; ( k −λ ∞ ∞ ∞ λk λe −λ (2)∑P{X = k} = ∑ =e ∑ k! k=0 k ! k=0 k=0
泊松分布是常见的一种分布： 泊松分布是常见的一种分布： 地震 火山爆发 特大洪水
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
4. 二项分布的泊松近似
很大时， 对二项分布 b( n, p ), 当试验次数 n 很大时， 计 算其概率很麻烦. 例如， 算其概率很麻烦 例如，b(5000, 0.001), 要计算
.
二、几种常见分布
1. 两点分布 只可能取x 设随机变量 X 只可能取 1与x2两个值 , 它的 分布律为 x x
X pi
p 1− p
1
2
0< p<1
则称 X 服从x1 , x2处参数为 的两点分布。 处参数为p的两点分布。
说明： 只可能取0与 两个值 说明：若随机变量 X 只可能取 与1两个值 , 它的 分布律为 0 1
则随机变量 X的分布律为 X 的分布律为
2.2离散型随机变量及其分布
例1
从中任取3 从中任取 个球 取到的白球数X是一个随机变量 取到的白球数 是一个随机变量 X可能取的值是 0,1,2 可能取的值是
C 1 取每个值的概率为 P(X=0)= = C 10 3 且 CC 6 ∑P( X = i) = 1 P(X= )= 1 = i=1 C 10 1 2 这样，我们就掌握了X这个 这样，我们就掌握了 这个 C3C2 3 P(X=2)= 3 = 随机变量取值的概率规律. 随机变量取值的概率规律 C5 10
P( X =1) = p,0 < p <1 P( X = 0) =1 p = q
或 P(X＝k)＝pk(1－p)1－k, (0<p<1;k＝0,1) ＝ ＝ － － ＝ 1)
2. 二项分布
每次试验中， 设将试验独立重复进行n次，每次试验中， 事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为 n重贝努里试验. 重贝努里试验. 表示n重贝努里试验中事件 用X表示 重贝努里试验中事件 （成功） 表示 重贝努里试验中事件A（成功） 出现的次数， 出现的次数，则
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
“使用到 使用到1000小时已坏” 小时已坏” 使用到 小时已坏 视为“成功” 每次试验, 视为“成功 每次试验 )3+3(0.8)(0.2)2 ”.每次试验 =(0.2 “成功”的概率为 成功” 成功 的概率为0.8
例5 解: 当 当
X p
0 1 2 1 1 1 3 6 2
，求 F(x).
F(x) = P(X ≤ x)
§2.2离散型随机变量及其分布
或
X~
x1 x2 xk p1 p2 pk
分布律的性质
pk 0, k 1, 2,L
pk 1
k 1
对于离散型随机变量：
非负性 正则性
概率分布表
分布函数
由于 { : X () x} U { : X () xk}
k:xk x
所以 F(x) P{ : X () x} P{ : X () xk} pk
二项分布的图形
例2 按规定，某种型号的电子元件的使用寿命超过 2000小时为一等品.已知一大批该种产品的一等品率 为0.2，现从中随机地抽取20件，问20件产品中有k 件 一等品的概率是多少？
解: 设X 为20件产品中一级品的件数，则
X～B (20, 0.2).
P{X k} C2k0 (0.2)k (0.8)20k , k 0,1,L , 20.
方法是从一包中随机地抽查3个，如果这3个元件都是好
的就买下这一包．假定含有4个坏元件的包数占30%， 而 其余70%每包只含1个坏元件．试问这个采购员拒绝购 买解：的包设数A表占示多采大购的员比买例下? 一包这一事件，B表示这包
中含有4个次品，则 B 表示这包中含有1个次品.于是
P(B) 3 , P B 7 从而
k!
证明：（Байду номын сангаас）P39
记npn n，则
Cnk
pnk (1
pn )nk
n! (n )k (1
k !(n k)! n
n )nk
n
(n )k (1 1)(1 2)...(1 k 1)(1 n )nk
k! n n
nn
任意固定的k,有lim n
nk
k
又 lim(1 1 )(1 2)...(1 k 1) 1,
2-2离散型随机变量及其分布律
即P
X
0
1
2 0.30
3 0.20
4 0.09
5 0.03
6
7
8 0.00
9 0.00
10 0.00
0.11 0.27
0.01 0.00
P ( X 1) P ( X 0) P ( X 1)
1 0.2 0.89 =0.38. 0.810 +C10
第二章 一维随机变量及其分布
第二节 离散型随机变量及其分布律
一、离散型随机变量的分布律
对于离散型随机变量，我们所关心的问题： （1）随机变量所有可能的取值有哪些？ （2）取每个可能值的概率是多少？ 定义 设x1，x2，…为离散型随机变量X的可能取值， p1，p2，…为 X 取 x1，x2，… 的概率，即 P(X=xi ) = pi (i=1,2,…) (1)
(0 p 1) ，则在n重伯努利试验中事件A出现k次 的概率为
C pq
k n
k
n k
其中p q 1
k 0,1,, n.
k k n k pq 若随机变量 X 的分布律为 PX k Cn
其中 k 0,1,, n; 0 p 1; q 1 p. 即 X p
k e xk e x，易知 1. 利用级数 k 0 k ! k 0 k!
历史上，泊松分布是作为二项分布的 近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 . 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性 , 成为概率论中最重要的几个分布之一 . 在 实际中，许多随机现象服从或近似服从泊 松分布. 二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在 观察与分析放射性物质放出的 粒子个数 的情况时,他们做了2608 次观察(每次时 间为7.5 秒)发现放射性物质在 规定的一段时间内, 其放射的粒 子数X 服从泊松分布.
新课程新教材高中数学选择性必修3：二项分布1
——二项分布
二项分布： X ～ B(n, p). 则 X 的分布列为
事件A发生的概率
事件 A发生的概率
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, 2, , n.
事件A发生的次数 试验总次数
深圳市第七高级中学 傅世宁
X
0
1
P Cn0 p0 (1 p)n Cn1 p1(1 p)n1
（3）一批产品的次品率为 5 0 0 ，有放回地随机抽取 20 件.
随机试验
(1) (2) (3)
是否为n重伯 努利试验
是 是 是
伯努利试验
抛掷一枚质地均匀的硬币 该飞碟运动员射击一次
从一批产品中随机抽取一件
P(A)
0.5 0.8 0.95
重复试验的次数
10 3 20
——n重伯努利试验 思考2
下面 3 个随机试验是否为 n 重伯努利试验?如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,
由由分分步步乘乘法法计计数数原原理理，可，知33次，次独3独次立立独重重立复复重 试试验复验共试共有验有共232有=338=28种3 种可可8能种能结可结果能果，结，它果它们，们两它两互们互斥两，斥两每，互个每斥结个，果结都果是都3是个3相个相
每 互独个立结事果事件都件的是的积积3 .个.由由相概概互率率独的的立加加事法法件公公的式式积和和.乘由乘法概法公率公式的式得加得法公式和乘法公式得
探究1
某飞碟运动员每次射击中靶的概率为 0.8.连续 3 次射击，中靶次数 X 的概率分 布列是怎样的？
由为分了步简乘法化计表数示原，理每，次3射次击独用立1重表复示试中验靶共，有用230=表8 种示可脱能靶结，果那，么它3们次两射互击斥恰，好每个2 次结果中都靶是 3 个相 互的独所立有事可件能的积结.果由可概表率示的为加1法1公0,式10和1,乘01法1公，这式得三个结果发生的概率都相等，均为 0.82 0.2 ，
离散型随机变量及其分布函数
一、离散型随机变量的分布函数 二、几种常见的离散型随机变量 三、小结
一、离散型随机变量的分布函数
随机变量
离散型 非离散型
连续型 其它 (1)离散型 若随机变量所有可能的取值为有限个
或可列无穷个，则称其为离散型随机变量.
实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
因此 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399 0.9972.
3. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
P{X k} ke , k 0,1, 2, ,
k!
其中 0是常数.则称 X 服从参数为的泊松分 布,记为 X ~ ().
P{X k} Cnk pnk (1 pn )nk 且满足
npn 0
则对任意非负整数k , 有
lim P{X k} k e
n
k!
证明
由
pn
,得
n
P{ X
k}
n! k!(n
( k)!
pn )k
(1
pn )nk
n(n 1) (n k 1（) ）（k 1 )nk
k!
n
n
k [1 (1 1 )(1 2) (1 k 1)](1 )n (1 )k
(k 1,2,)
说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
5.超几何分布
设X的分布律为
P{X
m}
CMm
C nm NM
(m 0,1,2,, min{M , n})
6第六章二项分布22
S p = p (1 p ) / n
率的标准误与样本率和样本大小的关系如何? 率的标准误与样本率和样本大小的关系如何? 率的标准误的用途: 率的标准误的用途: ①衡量率的抽样误差 ②衡量样本率的可靠性 ③估计数总体率的可信区间 率的假设检验. ④率的假设检验.
2.二项分布的图形 2.二项分布的图形 (1)π=0.5,对称分布; 0.5,对称分布;
一,二项分布的适用条件和性质 (一)二项分布的适用条件 1.两种结果相互对立; 1.两种结果相互对立 两种结果相互对立; 2.已知固定的π和 n; 2.已知固定的 已知固定的π 3.各次试验相互独立. 3.各次试验相互独立 各次试验相互独立.
(二)二项分布的性质 1.二项分布的均数和标准差 二项分布的均数和标准差 1.绝对数形式: 均数 绝对数形式: 绝对数形式
所有可能结果 生 生 生 生 生 死 生 死 生 死 生 生 生 死 死 死 生 死 死 死 生 死 死 死 合计 每组小白鼠的死亡和生存只数及其概率 每种结果的概率 死亡数 不同死亡数的概率 0.008 0 0.008 0.032 0.032 1 0.096 0.032 0.128 0.128 2 0.384 0.128 0.512 3 0.512 1.000 1.000 -
例6-1 某种药物治疗某种非传染性疾病的 有效率为0.70,无效率为 有效率为 ,无效率为0.30.今用该药治疗该疾 . 病患者10人 试分别计算这10人中有 人中有6人 病患者 人,试分别计算这 人中有 人,7人,8 人 人有效的概率. 人有效的概率.
10! 6 10 6 P (6) = 0.70 (1 0.70) = 0.20012 6!(10 6)! 10! 7 10 7 P (7) = 0.70 (1 0.70) = 0.26683 7!(10 7)! 10! 8 10 8 P (8) = 0.70 (1 0.70) = 0.23347 8!(10 8)!
2.2离散型随机变量及其分布律
P 1 p
p
称X服从(01)分布或两点分布 记为 X～ B(1, p)
13
2.二项分布
在n重贝努里试验中,设每次试验事 件A发生的概率为p
令X是n次试验中事件A发生的次数
则 X为一离散型随机变量
P ( X k ) C p (1 p)
k n k n k
2.2 离散型随机变
量及其分布律
一、离散型随机变量 二、常见离散型分布
1
一天内接到的电话个数（可以一一罗列） 从某一学校随机选一学生，测量他的身高 （不可以一一罗列）
定义1: 如果随机变量X只能取有限个 或可列无限多个不同可能值,则称X 为 离散型随机变量
2
一、离散型随机变量
定义：设离散型随机变量X所有可能取 的值为x1, x2,…, xi ,…, X取可能值xi的概 率pi ,即P(X=xi)=pi (i=1,2,…),则称该式为 离散型随机变量X的分布律或概率分布 分布律也常用下列形式表示: X x1 x2 … xi … 性质: (1) pi≥0, i=1,2,… (2)
k n k e k n k
k!
( np)
21
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布
22
例.用步枪向某一目标射击,每次击中目标
的概率为0.001,今射击6000次,试求至少有 两弹击中目标的概率.(泊松定理)
24
4.几何分布： X ~ G(p)
PX k q
k 1
p
k 1， 2，
(其中p 0, q 0, p q 1)
第四章 二项分布及其他离散型随机变量的分布
二项分布及其它离散型随机变量的分布
第一节 二点分布
1.二点分布（0-1分布）：就是变量的取值只有 两类（如是与非；男与女；生与死等）的分布。 这两类习惯用0和1表示。又称（0-1）分布。但 这里0和1只是定类变量的一种编码，数值本身没 有意义。
二点分布（0-1分布）社会调查中常见。 如 你是否结过婚？实行免收农业税以后，你家 的经济状况是否得到改善？等都归结为“是与否” 的问题。 实际中，有时分的更细，如“改善很多；稍有改 善；无改善；变得更坏”。为了突出某一类可以 把其他类合并。这样就变为二点分布了。
0.011
2 1.5-2.5 0.044
0.055
3 2.5-3.5 0.117
0.172
4 3.5-4.5 0.205
0.377
5 4.5-5.5 0.246
0.623
6 5.5-6.5 0.205
0.828
7 6.5-7.5 0.117
0.945
8 7.5-8.5 0.044
0.989
9 8.5-9.5 0.010
n
( ) P m n Cnx p q x nx xm
3）事件A出现次数不少于a不大于b的概率
b
P(a b) Cnx p q x nx xa
4）根据事件的完备性，必然有：
n
Cnx p xq nx 1
x0
二、二项分布的讨论
（一）二项分布为离散型分布。当独立试验次数为n时， 二项分布共有n+1个取值。除了用分布律表示二项分布外， 还可以用折线图来表示（图4-3）见P122
3）二点分布----一次贝努里试验的概率分布； 二项分布----n次贝努里试验的概率分布；
4）二点分布是二项分布的特殊情况
离散型随机变量公式
离散型随机变量公式
离散型随机变量的公式可以依据具体的离散型随机变量而定，以下是一些常见的离散型随机变量及其公式：
1. 二项分布：
P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
其中，X 为成功事件出现的次数，n 为试验次数，k 为成功事件发生的次数，p 为成功事件发生的概率。
2. 泊松分布：
P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!
其中，X 为在一定时间或空间范围内发生的事件次数，λ 为单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
3. 几何分布：
P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p
其中，X 为试验的次数，k 为第一次成功事件发生的次数，p 为成功事件发生的概率。
4. 超几何分布：
P(X=k) = (C(M, k) * C(N-M, n-k)) / C(N, n)
其中，X 为从总体中抽取 n 个样本，其中成功事件的个数为k 的次数，N 为总体大小，M 为总体中成功事件的个数。
这些公式只是一些常见离散型随机变量的公式，实际上还有很多其他离散型随机变量及其对应的概率公式。
具体公式的选择取决于所研究的问题以及离散型随机变量的特性。
二项分布概念
二项分布概念
二项分布是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布。
它是由贝努里始创的，所以又叫贝努里分布。
二项分布是指统计变量中只有性质不同的两项群体的概率分布。
所谓两项群体是按两种不同性质划分的统计变量，是二项试验的结果。
即各个变量都可归为两个不同性质中的一个，两个观测值是对立的。
因而两项分布又可说是两个对立事件的概率分布。
二项分布的性质：
二项分布是离散型分布，概率直方图是跃阶式的。
因为x为不连续变量，用概率条图表示更合适，用直方图表示只是为了更形象些。
1、当p＝q时图形是对称的
例2 (p + q)6，p=q＝1/2，各项的概率可写作：
p6 + 6p5q + 15p4q2 + 20p3q3 + 15p2q4 + 6plq5 + q6
= 1/64+6/64+15/64+20/64+15/64+6/64+1/64
= 1
2、当p≠q时，直方图呈偏态，p<q与p>q的偏斜方向相反。
如果n很大，即使p≠q，偏态逐渐降低，最终成正态分布，二项分布的极限分布为正态分布。
故当n很大时，二项分布的概率可用正态分布的概率作为近
似值。
何谓n很大呢?一般规定：当p<q且np≥5，或p>q且nq ≥5，这时的n就被认为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。
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类型二、离散型随机变量的二项分布例3. 一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。
（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的概率分布列。
【思路点拨】有放回地依次取3次，相当于三次独立重复试验，其得分ξ服从二项分布，故可用n 次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。
【解析】（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A ，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，则53)(352312==C C C A P （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为3．4．5．6。
因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为.53,52取到黑球的概率为 ξ∴的分布列为【总结升华】①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量ξ服从二项分布，然后运用n 次独立重复试验的概率公式计算。
②注意n 次独立重复试验中，离散型随机变量X 服从二项分布，即(,)X B n p ，这里n 是独立重复试验的次数，p 是每次试验中某事件发生的概率。
举一反三：【变式1】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．【答案】依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095， P (2=ξ)=22C (5%)2=0.0025．因此，次品数ξ的概率分布是【高清课堂：独立重复试验与二项分布409089 例题3】【变式2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31。
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3） 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．解：（1）ξB (5,31)，ξ的分布列为P (ξ=k )=5512()()33k k kC -，k =0，1，2，3，4，5； （2）η的分布列为P (η=k )=p (前k 个是绿灯，第k +1个是红灯)=21()33k ⋅，k =0，1，2，3，4；P (η=5)=P (5个均为绿灯)=52()3；（3）所求概率=P (ξ≥1)=1－P (ξ=0)=1－52211()3243=≈0.8683.【变式3】一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了X 次球，求X 的分布列及P （X=12）． 【答案】由题意知，X 是取球次数，X=10，11，12，…，且每次取得红球的概率是38，取得白球的概率是58，所以X=k （k=10，11，12…）表示取了k 次球，且第k 次取到的是红球，前（k －1）次取得9次红球．∴X 的分布列为91k -910353()888k P X k C-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（k=10，11，…）， （表格略）10291135(12)88P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【变式4】 某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X 的概率分布． 【答案】错解： X 的可能取值是1，2，3，4．P （X=1）=0.8；12(2)0.80.20.32P X C ==⨯⨯=； 123(3)0.80.20.096P X C ==⨯⨯=； 134(4)0.80.20.0256P X C ==⨯⨯=．所以X 的概率分布列为错解分析： 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A 首次发生出现在第k 次试验中的概率，要使首次发生出现在第k 次试验，必须而且只需在前（k －1）次试验中都出现A ． 正解 X 的可能取值是1，2，3，4． P （X=1）=0.8；P （X=2）=0.2×0.8=0.16；P （X=3）=0.22×0.8=0.032；P （X=4）=0.23=0.008．所以X 的概率分布列为类型三、独立重复试验与二项分布综合应用例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2334和 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.（１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ 【思路点拨】本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义.【解析】（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P （A 1）=412651()1()381P A -=-=答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为6581；(2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中” 为事件D i ，（i =1，2，3，4，5），则 3354211()()4i A D D D D D P D ==且，由于各事件相互独立， 故335421()()()()()P A P D P D P D P D D =1131145(1),444441024=⨯⨯⨯-⨯=答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是451024【总结升华】射击问题必须弄清所求目标的含义，是否为独立重复试验，再用排列组合知识求解。
举一反三：【变式1】一名射击爱好者每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？【答案】已知n 次独立射击中至少击中一次的概率为nn P )8.0(1)2.01(1-=--=； (1)要使{1}1(0.8)0.9nP p X =≥=-≥，0.1(0.8)n≥,必须3.108.0lg 1.0lg ≈≥n ，即射击次数必须不小于11=n 次.(2)要使99.0)8.0(1≥-=nP ，必须64.208.0lg 01.0lg ≈≥n ，即射击次数必须不小于21=n 次【变式2】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次，求：（1）其中只在第一、三、五次击中目标的概率； （2）其中恰有3次击中目标的概率；（3）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率。
【答案】（1）该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标，相当于射击了5次，在第一、三、五次击中目标，在第二、四次没有击中目标，所以只有一种情况， 又因为各次射击的结果互不影响， 故所求概率为33333108(1)(1)555553125P =⨯-⨯⨯-⨯=； （2）法一：该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标。
相当于5次当中选3次击中，其余两次未击中，共有35C 种情况。
故所求概率为332533216()(1)55625P C =⨯⨯-=； 法二：因为各次射击的结果互不影响，所以符合n 次独立重复试验概率模型。
该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标的概率为3325533216(3)()(1)55625P C =⨯⨯-=； （3）该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有目标， 把3次连续击中目标看成一个整体，可得共有13C 种情况。
故所求概率为132333324()(1)553125P C =⋅⋅-=。
【高清课堂：独立重复试验与二项分布409089 例题5】【变式3】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列.【答案】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A )=P (B )=P (C )=16P (A B C )=P (A )P (B )P (C )=15252()66216= 答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216……………………………………6分 （2）ξ的可能值为0,1,2,3P (ξ=k )=3315()()66kk k C -(k =0,1,2,3)所以中奖人数ξ的分布列为例5．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一个巨大的汽油罐。
已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是23． （1）求油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X ，求X 的概率分布． 【思路点拨】从正面去分析可知：5发子弹必须击中2次，于是有以下几种情况：第1枪击中，第2枪也击中；第3枪击中，前两枪只击中1次；第4枪击中，前3枪只击中1次；第5枪击中，前4枪只击中1次．而利用对立事件去分析更好理解．【解析】 （1）解法一：记B 表示“引爆油罐”，则射击次数符合独立重复试验，X=2，3，4，5． X=2表明第一次击中，第二次也击中， 224(2)339P X ==⨯=； X=3表明前2次击中一次，第3次击中，11122128(3)33327P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；X=4表明前3次击中一次，第4次击中，12132124(4)33327P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭； X=5表明前4次击中一次，第5次击中，1314521216(5)3333P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，548416232()927273243P B =+++=． 解法二：利用()1()P B P B =-．油罐没有引爆的情况有两种：①射击五次，都没击中；②射击五次，只击中一次．所以5415112232()1333243P B C ⎛⎫⎛⎫=--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）X=2，3，4时同（1），当X=5时，击中次数分别为0，1，2．∴5141311541212121(5)3333339P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++⨯⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以X 的概率分布为【总结升华】 要特别注意X=5的意义，当X=5时，表示5枪都未中或5枪中只中1枪或第5枪中且前4枪只中了1枪这三种情况，否则P （X=5）易出错，也可以用概率分布的性质间接检验． 举一反三：【变式1】 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1－p ，且各发动机互不影响．如果至少50％的发动机能正常运行，飞机就可以顺利飞行，问对于多大的P 而言，四发动机比二发动机更安全？ 【答案】四发动机飞机成功飞行的概率为22233442234444(1)(1)6(1)4(1)C p p C p p C p p p p p p -+-+=-+-+，二发动机飞机成功飞行的概率为122222(1)2(1)C p p C p p p p -+=-+．要使四发动机飞机比二发动机飞机安全，只要223426(1)4(1)2(1)p p p p p p p p -+-+>-+，化简整理，得213p <<． ∴当发动机不出故障的概率大于23时，四发动机飞机比二发动机飞机安全． 【变式2】厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品。