类型离散型随机变量的二项分布

类型二、离散型随机变量的二项分布

例3. 一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。

（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；

（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分ξ的概率分布列。 【思路点拨】有放回地依次取3次，相当于三次独立重复试验，其得分ξ服从二项分布，故可用n 次独立重复试验的概率公式来计算，从而写出分布列。

【解析】（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A ，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况，

则53

)(3

5

2

312==C C C A P （Ⅱ）由题意，ξ的可能取值为3．4．5．6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为

.53

,52取到黑球的概率为 ξ∴的分布列为

【总结升华】

①本题的关键是首先确定进行了三次独立重复试验，然后确定每次试验的结果相互独立，从而可知离散型随机变量ξ服从二项分布，然后运用n 次独立重复试验的概率公式计算。

②注意n 次独立重复试验中，离散型随机变量X 服从二项分布，即(,)X B n p ，这里n 是独立重复

试验的次数，p 是每次试验中某事件发生的概率。 举一反三：

【变式1】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．

【答案】依题意，随机变量ξ～B (2，5%)．所以，

P (ξ=0)=02C (95%)2=0.9025，P (ξ=1)=12C (5%)(95%)=0.095， P (2=ξ)=22C (5%)

2=0.0025．

因此，次品数ξ的概率分布是

【高清课堂：独立重复试验与二项分布409089 例题3】

【变式2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的

事件是相互独立的，并且概率都是

3

1。 （1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3） 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．

解：（1）ξ

B (5,

31)，ξ的分布列为P (ξ=k )=5512()()33

k k k

C -，k =0，1，2，3，4，5； （2）η的分布列为P (η=k )=p (前k 个是绿灯，第k +1个是红灯)=21

()33

k ⋅，k =0，1，2，3，4；P (η=5)=P (5

个均为绿灯)=5

2()3

；

（3）所求概率=P (ξ≥1)=1－P (ξ=0)=1－52211

()3243

=≈0.8683.

【变式3】一袋中有5个白球，3个红球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时总共取了X 次球，求X 的分布列及P （X=12）． 【答案】由题意知，X 是取球次数，X=10，11，12，…，且每次取得红球的概率是

38，取得白球的概率是5

8

，所以X=k （k=10，11，12…）表示取了k 次球，且第k 次取到的是红球，前（k －1）次取得9次红球．

∴X 的分布列为

91

k -910

353

()888

k P X k C

-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（k=10，11，…）

， （表格略）

102

911

35(12)88P X C ⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

．

【变式4】 某射手击中目标的概率为0.8，现有4发子弹，击中目标或打完子弹就停止射击，求射击次数X 的概率分布． 【答案】

错解： X 的可能取值是1，2，3，4．

P （X=1）=0.8；1

2(2)0.80.20.32P X C ==⨯⨯=； 12

3(3)0.80.20.096P X C ==⨯⨯=； 13

4(4)0.80.20.0256P X C ==⨯⨯=．

所以X 的概率分布列为

错解分析： 错将本题理解为二项分布，本题实质上不是二项分布，而是求事件A 首次发生出现在第k 次试验中的概率，要使首次发生出现在第k 次试验，必须而且只需在前（k －1）次试验中都出现A ． 正解 X 的可能取值是1，2，3，4． P （X=1）=0.8；P （X=2）=0.2×0.8=0.16；

P （X=3）=0.22×0.8=0.032；P （X=4）=0.23=0.008．

所以X 的概率分布列为

类型三、独立重复试验与二项分布综合应用

例4.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是

23

34

和 .假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响； 每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.

（１）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；

（２）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问:乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？ 【思路点拨】

本题的第一问是一个独立事件同时发生的问题，每次射中目标都是相互独立的、可以重复射击即事件重复发生、每次都只有发生或不发生两种情形且发生的概率是相同的.第二问解答时要认清限制条件的意义.

【解析】（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于4次独

立重复试验，故P （A 1）=412

65

1()1()3

81P A -=-=

答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为65

81

；

(2) 记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中” 为事件D i ，（i =1，2，3，

4，5），则 3354211

()()4

i A D D D D D P D ==且，由于各事件相互独立， 故335421()()()()()P A P D P D P D P D D =1131145

(1),444441024

=⨯⨯⨯-⨯=

答：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是45

1024

【总结升华】

射击问题必须弄清所求目标的含义，是否为独立重复试验，再用排列组合知识求解。 举一反三：

【变式1】一名射击爱好者每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，

(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？

【答案】已知n 次独立射击中至少击中一次的概率为n

n P )8.0(1)2.01(1-=--=； (1)要使{1}1(0.8)0.9n

P p X =≥=-≥，0.1(0.8)n

≥,必须3.108

.0lg 1

.0lg ≈≥n ，即射击次数必须不小于11=n 次.

(2)要使99.0)8.0(1≥-=n

P ，必须64.208

.0lg 01

.0lg ≈≥

n ，即射击次数必须不小于21=n 次