简单的二元二次方程组(课堂总结)
方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含解析
方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习含解析一、选择题X1 .解方程组：｛ 2Xy 2【解析】 【分析】方程组求解 【详解】 1 1 1I 答案】(1)―产尹；(2)①-2 ；②点P的坐标(6，- 14)(4，- 5)；(3)遁.5【解析】 【分析】(1 )根据待定系数法，可得函数解析式； (2)根据垂线间的关系，可得 PA PB 的解析式，根据解方程组，可得 P 点坐标；(3)根据垂直【答案】 X i X 2y 2_ 2 _xy 2y 0 y i 注意到X * 2 xy 2y2可分解为(?c + y)fx»2y),从而将原高次方程组转换为两个二元一次解：由X2xy 2y 22y 即 X y 0 或 X 2y 0，•••原方程组可化为y 2y y 2y •••原方程组的解为X 1X 2y 1 ,B ( 1, 1)两点.抛物线的解析式为y =(2)①由直线y = 2x - 1 2 -x 21与直线y = mx+2互相垂直，得2m =- 1,即 m =- 12故答案为-1;21 2当PA 丄AB 时，PA 的解析式为y = ②AB 的解析式为y-2x - 2，联立PA 与抛物线，得1 2-X 2解得1 0 (舍)，6 14，y(6,当PB 丄AB 时，PB 的解析式为y =- 2x+3,于x 的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ ，根 据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形 的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值 【详解】 解：0(1) 1(2)12 1 2(1)将A , B 点坐标代入,解得x1 1--MQ =— — t 2—2 2 1SZMAB =— MQ|x B - X A |=-1t 2+1 ,2 2当t = 0时，S 取最大值1，即M （ 0, 1）.2由勾股定理，得AB =~12=75,设M 到AB 的距离为h ，由三角形的面积，得h —-血h=需=T.联立PB 与抛物线,1 2 y 2x y 2x1x 12 3解得 （舍）即p综上所述:（4,-5）, △PAB 是以AB 为直角边的直角三角形，点P 的坐标（6,- 14）（ 4, - 5）;•••M（t，-尹尹1），Q （t，厂2），x点M到直线AB的距离的最大值是題5【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离，需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键x 1 解析】 分析】解． 【详解】【点睛】用代入法解二元二次方程组是本题的考点,根据题意求出答案】解析】 【分析】根据解二元二次方程组的步骤求解即可详解】 解：由方程①得：x y x-y -3,③ 由方程 ② 得： x y -1, ④ 联解 ③④ 得 x-y=3, ⑤3．已知3是方程组x2答案】y 1x2y2m的一组解，求此方程组的另一组解n-2x 1先将y12代入方程组x2y2m中求出m 、n 的值，然后再求方程组的另一组解：将x1y13代入方程组2x2m中得：n13则方程组变形为：x213由 x+y=1 得： x=1-y , 将 x=1-y 代入方程 x 2+y 2=13 中可得：解得 y=3 或 y=-2,将 y=3 代入 x+y=1 中可得： y 2_y_6=0，即y+2)=0，所以方程的另一组解为：x=-2；x 2 -2 y 2 3m 和n 的值是解题的关键.x2 4．x2-y -3,① I 0,② -2-2 10⑵｛X6联解④⑤得y【点睛】1【答案】：x 1 x2 3y 10 2y2 -3【解析】【分析】把(2)変形后代入(1)便可解得答案【详解】x 2+2y 2-1 0①x y 10②由②得:x=y-1y 1代入①得：y 2分别代入②得:6.解方程组:所以原方程组的解为 y -23x本题考查解二元二次方程组， 元一次方程解之再降次转化为 解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程5.解方程组:x 2+2y 2-1 01 0故原方程组的解为:X 1 y 1X 2y 21 3 23【点睛】 此题考查高次方程,解题关键在于掌握运算法则-210⑵｛X6⑴｛x y 33x 5y 1y+z 2y z12XX2 答案】（ 1）｛ X 2；（2）｛ yy1X21){ yX21； (2) { y“点睛 ”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把 解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题 .2X7．解方程 :••• y 2原方程组的解是 【点睛】 本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法,可用代入法 求解．8．解方程组：{XX 2 y2Xy2,3y 2 0. X 2Xy 3y 0.解析】（ 1）先用代入消元法求出z 得到关于 2）先利用加减消元法去 X 、y ,然后利用代入法求X 的值,再用代入消元法求出 y 的值即可．X 、 y 的两个方程,解这两个方程组成的方程组求出 乙从而得到原方程组的解.y 23 y 1 0答案】X1解析】 【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程 2写成x=-1-y ，代入方程1,得到一个关于y 的一元二次方程,求出 【详解】y 值,进而求X ．2解：XX2yy1 由（ 2）得： X y （3）把（ 3）代入（1）( 1 y)2y 23解析】 【分析】 【详解】x 2-2xy-3y 2="0" (x-y)2-4y 2=0又因： x-y=2 代入上式4-4y 2=0 y=1 或 y=-1再将 y=1、y=-1 分别代入 则 x=1、 x=3解析】 分析】解出即可 【详解】10．解方程组 xx22 yy2228(x y) 0xy8答案】x 1 1 x 2 y 1 1 y 2解：由①，得(X - 3y ) 2= 4,••• X - 3y= ±2•原方程组可转化为：X 3yX 2y X 1 5 X 2 13解得 1或 y 1 1 y 2 5或 x1333y -2 2y 3所以原方程组的解为：y 1 x2 y213【点睛】 此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则x-y=2x 1 1 y 1 1 x 2 3y 2 19．解方程组：6xy 9y 2 4(1) 答案】x1 y15 51或2y 3(2)x213 y 25先将①中的 x2-6xy+9y 2 分解因式为：x-3y ) 2，则 x-3y= ±，2与 ② 组合成两个方程组，【解析】 【分析】首先把①式利用因式分式化为两个一元 可. 【详解】X 2 y 2 2（X y ） 0 ① X 2y 28 ②① 式左边分解因式得，（X y 2） X yx-y+2=0 或 x+y=0,原方程组转化为以下两个方程组:11.有一批机器零件共 400个，若甲先单独做 1天，然后甲、乙两人再合做 2天，则还有 60个未完成；若甲、乙两人合做 3天，则可超产20个•问甲、乙两人每天各做多少个零 件？ 【答案】甲每天做 60个零件，乙每天做 80个零件. 【解析】试题分析：根据题意，设甲每天做 X 个零件，乙每天做y 个零件，然后根据根据题目中的 两种工作方式列出方程组，解答即可.试题解析：设甲每天做 X 个零件，乙每天做 y 个零件.3 X + 2y = 340 .根据题意，得 S +=X （i ） 2 X解方程组（ y 2 y 28 i ）得， 0或（ii ）X+y 2X73 y i 73 X i 1 X 2 解方程组（ X 3 y 3 所以, x i y i 1 y 2 ii ）得， X 4 y 42 2,原方程组的解是 73 1 X, 1 43 1 y 2 1 73 X 3 y 3X 4 y 4【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法,掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键【答案】X , ^/3 1 X 21 的y73 1 y 2 1 昭X 3 y 3 2X 4 y 4次方程，和 式组成两个方程组，分别求解即(2)『X = 60 ,解这个方程组，得=答：甲每天做60个零件，乙每天做 80个零件.【解析】 分析：把原方程组中的第二个方程通过分解因式降次， 组合成两个新的方程组，分别解这两个新的方程组即可求得原方程组的解 详解： 由方程x2y 21个方程组合成两个新 将两个新的方程组消去y ,即可得到关12.解方程组:2xx 2yy 22(x y)【答案】X i y i1,X 2 y 23 2 3 2X 3 y 31 2 5 2转化为两个一次方程，再分别和第一方程2(x y)可得，x y 0, x则原方程组转化为2x 23,（I ）或 2x 3, 2.（n ），解方程组（I ）得y i1, 1X 23J2 3 解方程组（n ）得X 3 y 31, 1•••原方程组的解是X i y i1, 1y 2 X 4 y 4 X 2 y 21 2 5 2 3 2,32X 3 y 3丄 2, 52点睛：本题考查的是二元二次方程组的解法, 解题的要点有两点：（1）把原方程组中的第 2个方程通过分解因式降次转化为两个二元一次方程，并分别和第 的方程组；2x 13. 2 x 3xy 4xy 4y 24y 2 1于x的一元二次方程.(2)【解析】 【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二 元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可. 【详解】【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法, 方程组.12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数.去 6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少 3.2万元•前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为 80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%. 【解析】 【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为X 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为 y ,则甲【答案】X iy i2 3 1 6y 22 3 1 6X 3 1y 3 1x 4 1 y 41解：2X 3xy 4y 20①2X4xy 4y 21②将①因式分解得： (X 4y)(x • ••4y 0或X:y 0将② 因式分解得：(X 2y)2• •• 2y 1或X2y1y) •••原方程化为:4y 2y4y 2yy 0 2y 1X y 0 X 2y 1解这些方程组得:•••原方程组的解为:X iy 123 1 6X 2 y 22 3 1 6x 3 X 4 X 1X 2 y 1y 2y 3y 4X 3 y 3X 4 y 4解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个14.前年甲厂全年的产值比乙厂多 甲厂每年的产值比上一年递增 年甲厂全年的产值仍比乙厂多厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即 可. 【详解】设前年乙厂全年的产值为 x 万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y ,根据题意得80+12=92 答：前年甲厂全年的产值为 百分数是20%，故答案为：92，80，20%. 【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是 解题的关键.x 1解得：或y 1【点睛】解得12 12 10 x 1 10 102y 3.280 20%（万元），92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的15.解方程组:2x 2x 3y 2xy 5, 3y 2 0.【答案】【解析】 X 2y 2【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元 元一次方程组，【详解】分别解方程组即可.次方程，然后分别与第一个方程联立成二由②得: y x 3y 所以，x0 或 x 3y整理得:2x 3y「 02x 3y 5 3y所以，原方程组的解为X 1 y 1y 2本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的 关键.2 2x xy 6y 0 2x y 12 - x5或15 y【解析】 【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可. 【详解】 原方程组变形为(X 3y)(x 2y) 0 2x y 12 — x5或1 5 y【点睛】本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键.17.解方程组：｛X2 xy 2②2①2x y 5 ②x【答案】｛y【解析】 【分析】将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与 ② 联立构成两个二元一次方程组求解即可. 【详解】16.解方程组:【答案】x 3y 0或2x y 1X 2y 0 2x•••原方程组的解为55 或 y 1x2 xy 2y20 ①{2x y 5 ②由①得x y x 2y 0，即x y 0或x 2y 0,•••原方程组的解为18.(探究证明)(1)在矩形ABCD 中，EF 丄GH,EF ADH.,求证：——=——;GH AB(结论应用)⑵如图2，在满足(1)的条件下，又 AM 丄BN ,EF 11 十 BN——=——，求 ------- ；GH 15 AM(联系拓展)(3)如图 3，四边形 ABCD 中，/ ABO 90° AB = AD = 10, BC = CD = 5, AM 丄 DN ,DN分别在边BC, AB 上，求竺L 的值.AM【解析】 分析：⑴过点A 作AP// EF ,交CD 于P ,过点B 作BQ// GH ,交AD 于Q ,根据矩形的性质 证明△PDZA QAB ; (2)根据(1)的结论可得; (3)过点D 作平行于AB 的直线，交过点AMA 平行于BC 的直线于 R ,交BC 的延长线与 S , SC = x , DS = y ，在Rt ^CSC , RtMRD 中，用 勾股定理列方程组求出 AR, AB,结合(1)的结论求解.详解：(1)如图1,过点A 作AP // EF,交CD 于P ,过点B 作BQ// GH,交AD 于Q ,x y •原方程组可化为｛2x y 0 或｛x 2y 5 2x x y 0 x 解｛2x y 5得｛” x 解｛2x2y EF 分别交CD 于点E , F , GH 分别交AD , BC 于点G ,点M , N 分别在边BC, CD 上.若点M , NAl ft【答案】 (1)证明见解析;11% ；FrGA/03•••四边形ABCD是矩形，••• AB// DC, AD// BC.19. 一个三位数的中间数字是 0,其余的两个数字的和为 9,且这两个数字颠倒后的三位数比•••四边形AEFP 四边形BHGQ 都是平行四边形，••• AP = EF, GH = BQ.又••• GH 丄 EF, ••• AP 丄 BQ, QAT+Z AQT= 90°•••四边形ABCD 是矩形，• Z DAB=Z D= 90° , •/ DAP+Z DPA= 90° , •••Z AQT=Z DP A." P DA^^ QAB.AP = AD BQ ABEF AD GH AB⑵如图2 ,••• GH 丄EF AM 丄BN,•••由（1）的结论可得里=竺,型=竺GH AB AM ABBN EF• ____ • AM GH⑵如图3,过点 与S,则四边形•••Z ABC = 90° ,• Z R=Z S=_ 11 15 .D 作平行于AB 的直线,交过点 A 平行于BC 的直线于R ,交BC 的延长线 ABSR 是平行四边形.• ?ABSR 是矩形, ° , RS= AB = 10 ,AR = BS•/ AM 丄DN ,.・.由⑴中的结论可得DN ARAM AB 设 SC =x , DS = y ,贝y AR = BS = 5+ x , RD = 10- y , •••在 RtACSD中，X 2+ y 2= 25①, 在 Rt ^ARD 中，(5+ X)2+ (10 - y)2= 100②, 由②-①得x = 2y - 5③， x 2+y^25，解得 x=3,x =2y 5 y =4x = 5 尸0 （舍），点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结 论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程 仍然适用于一般图形.x将它们与方程 ② 分别组成方程组，得（I ）6y 2x或（n ）1x y 0 2x y 1解方程组（I ）_6_13，解方程组（n ） 丄13这两个数字之积的33倍还多9,求此三位数. 【答案】306 【解析】 【分析】设百位数字是X ,个位数字是y .则依据两个数字的和为9;这两个数字颠倒后的三位数 比这两个数字之积的 33倍还多9”列出方程组. 【详解】设百位数字是X ,个位数字是y .则X y =9100y x =33xy 9’x = 3 x = 9解得，（不符合题意，舍去）.y =6 y =0答：这个三位数是 306. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用•解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程 组.【解析】 【分析】先将方程①变形为（x+6y ）（ x - y ） =0得x+6y=0或x - y=0,分别与方程 ②组成二元一次 方程组，从而求出方程的解 .【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（ x - y ） =0 得 x+6y=0 或 x - y=0」20.解方程组:2｛；x5xy 6y 20①1②【答案】 x 1｛y63，｛ 1 y 213X 2【点睛】 此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只 是计算麻烦点.y 22.如图，已知抛物线 y = aX 2+bx+1经过A ((1 )求该抛物线的解析式；(2)阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线 11： y = k 1x+b 1 ( k 1, b 1为常数，且 站工0，直线12： y = k 2x+b 2 (k 2, b 2为常数，且 k 2^0，若 |1 丄|2,贝U k 1?k 2=— 1.解决问题：① 若直线y = 2X - 1与直线y = mx+2互相垂直，则 m 的值是____；② 抛物线上是否存在点 P ,使得ARAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) M 是抛物线上一动点，且在直线 AB 的上方(不与 A , B 重合)，求点 M 到直线AB所以原方程组的解是 X i故答案为 y iX iy i6 13 % 11，y 2 1 13 x 2 1 13丄’y 2 1 13。
简单的二元二次方程组
简单的二元二次方程组资料编号:202210102353含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫做二元二次方程.两个含有相同未知数的二元二次方程组成二元二次方程组.解二元二次方程组的基本思路是把方程组转化为二元一次方程组或一元二次方程进行求解.注意所转化的二元一次方程组可能不唯一.例题讲解例1. 解方程组⎩⎨⎧=-+=+01122y x y x . 解:⎩⎨⎧=-+=+②①............01.............122y x y x由方程②得:x y -=1③..........把③代入①得:()1122=-+x x整理得:02=-x x解之得:1,021==x x∴011,10121=-==-=y y∴原方程组的解是⎩⎨⎧==1011y x ,⎩⎨⎧==0122y x .例2. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++84122222y x y xy x .解:⎪⎩⎪⎨⎧=+=++②①...................84............122222y x y xy x由方程①得:()12=+y x∴1=+y x 或1-=+y x∴原方程组可化为⎩⎨⎧=+=+84122y x y x 或⎩⎨⎧=+-=+84122y x y x解方程组⎩⎨⎧=+=+84122y x y x 得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=5752,122211y x y x ; 解方程组⎩⎨⎧=+-=+84122y x y x 得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==5752,122211y x y x . ∴原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=5752,122211y x y x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==5752,124433y x y x . 例3. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--01220212y x y x . 解:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--②① 0122................0212y x y x 由①得:32-=x y ③把③代入②并整理得:01522=--x x解之得:5,321=-=x x∴()2235,6332221=-==--=y y 经检验,原方程组的解是⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=225,632211y x y x . 点评 本题方程组不是二元二次方程组,但可以转化为整式方程组进行求解.如果方程组中含有根式方程,还需要检验.例4. 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+61511xyy x . 解:设n y m x ==1,1,则原方程组可化为⎩⎨⎧==+65mn n m解之得:⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==23,322211n m n m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2131yx ∴原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2131,31212211y x y x . 例5. 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+065202222y xy x y x 解:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+②①..............065.......................202222y xy x y x 由②得:()()032=--y x y x ∴y x 2=或y x 3=∴原方程组可化为⎩⎨⎧==+y x y x 22022或⎩⎨⎧==+y x y x 32022 ∴原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==223,223,24,2444332211y x y x y x y x . 习题1. 解下列方程组:（1）⎩⎨⎧+==-1122x y y x ; （2）⎩⎨⎧=--=+++-012013422y x y x y x .2. 解方程组:⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-3121322222x y x y x .3. 解方程组:⎩⎨⎧=-=+122y x y x .习题答案1.（1）⎩⎨⎧=-=01y x ; （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5756,31312211y x y x . 2. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1514156,151********y x y x . 3. ⎩⎨⎧==37y x .。
初三数学二元二次方程组 知识精讲 人教版
初三数学二元二次方程组 知识精讲 人教版一. 本周教学内容： 二元二次方程组学习目标：1. 弄清二元二次方程组的概念及类型（1）含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程。
其一般式：ax bxy cy dx ey f 220+++++= （a ，b ，c 不同为0）（2）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，叫“一二型二元二次方程组” 一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组，叫“二二可分型方程组”2. 掌握解二元二次方程组的基本思路：降次，消元。
3. 熟练求解二元二次方程组的步骤4. 能使方程组中两方程都成立的未知数的值，叫方程组的解，二元二次方程组解的个数不定，至多有四组解。
5. 对于形如x y a xy b+==⎧⎨⎩的方程组，可通过构造以x ，y 为根的方程z az b 20-+=，达到消元目的。
二. 重点与难点：1. 重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，重点掌握方程组的解法。
2. 难点：降次、消元的方法是解题的难点。
【典型例题】例1. 解方程组261560222x y x xy y -=-+=⎧⎨⎩()()解：解法1：由()()1263y x =-（3）代入（2）x x x x x x 2225266260538720----=-+=()()∴==x x 124185，代入（3）中，y y 12265==， ∴原方程组的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解法2：由（2）()()x y x y --=230 ∴-=-=x y x y 2030或∴原方程组可化为26202630x y x y x y x y -=-=⎧⎨⎩-=-=⎧⎨⎩ ∴原方程的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 点拨：解法1代入消元法，先消元，再把方程组转化为一元二次方程；解法2分解因式法，先降次，再把方程组转化为两个二元一次方程组。
数学解二元二次方程组的方法
数学解二元二次方程组的方法一、引言解二元二次方程组是初中数学中的重要内容之一，通过本课的学习，我们将掌握解二元二次方程组的方法和技巧，培养解决实际问题的能力。
二、知识梳理在开始讲解解二元二次方程组的方法之前，我们先来回顾一下二元二次方程的含义和解法。
1. 二元二次方程的定义二元二次方程是由两个含有未知数的二次方程构成的方程组，一般形式如下：{ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0{fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j是已知实数，且a和f不能同时为0。
2. 解二元二次方程的方法解二元二次方程组的方法有以下几种：（1）代入法：将一个方程的解代入到另一个方程中，得到一个关于一个未知数的一元二次方程，从而求出另一个未知数的值。
（2）消元法：通过消去其中一个未知数，将二元二次方程组化简成为一元二次方程，再通过一元二次方程的解法求解。
（3）配方法：将二元二次方程组中的一个方程配方后代入到另一个方程中，然后利用一元二次方程的解法求解。
三、解二元二次方程组的具体步骤下面，我们将分别介绍代入法、消元法和配方法来解二元二次方程组的具体步骤。
1. 代入法（1）选定一个方程，将其中一个未知数表示出来，如选取第一个方程中的x，将其表示为y的函数。
（2）将上一步中得到的表达式代入到另一个方程中，得到一个关于y的一元二次方程。
（3）解出y的值，然后将其代入到第一个方程中，求出x的值。
（4）最后，验证所得的x和y是否满足原方程组。
2. 消元法（1）通过系数的倍数，使得二元二次方程组中其中一个未知数的系数相等或者互为相反数。
（2）将得到的两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。
（3）得到一元二次方程，求解该方程得到一个未知数的值。
（4）将求出的未知数代入其中一个方程，求出另一个未知数的值。
（5）最后，验证所得的解是否满足原方程组。
3. 配方法（1）选取一个方程，将其中一个未知数配方后代入到另一个方程中。
历年初三数学中考辅导之—简单的二元二次方程组及答案
中考数学辅导之—简单的二元二次方程组一、学习目标1、 了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。
2、 掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组、由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
3、 通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元、降次”的数学方法，获得对事物可以相互转化的进一步认识。
二、基础知识及应注意的问题1、 对于二元二次方程、二元二次方程组的概念的学习，应注意联系二元一次方程、二元一次方程组的意义，在对比中加深对概念的理解。
2、 解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解(或者说明这个方程组无解)；解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次；其目的就是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解。
3、 对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，通常用“代入消元法”进行消元、降次，这是把二元方程转化为一元方程的基本途径。
4、 对于形如 x ＋y ＝a 的方程组，不仅可以用代入法来解，而且可以联系 xy ＝b已学过的一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看作是一个一元二次方程的两个根，通过解一元二次方程来求得二元二次方程组的解。
5、 对于由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组，求解时应注意把握如下三点：(1)分析方程组，找出可以分解因式的那个二元二次方程的特点，并把它变形为两个二元一次方程。
(2)把两个二元一次方程分别与另一个二元二次方程组成两个二元二次方程组。
(3)用代入法分别解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的这两个二元二次方程组。
三、例题例1：解方程组 x 2＋y 2＝25 …①4x －3y ＝0 …②分析：(1)这是一个由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，与解二元一次方程组类似，可以用代入法来解。
二元二次方程组及其解法
八年级第21讲 二元二次方程组及其解法知识点1：二元二次方程及二元二次方程组的有关概念：1、 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫做二元二次方程。
如：05422=-+y xy x ，5=xy ,0422=-y x ，0245222=+++-y x y xy x 等. 2、 注意点：（1）二元二次方程是整式方程.（2）二元二次方程含有两个未知数. （3)含有未知数的项的最高次数是2 3、一般式 :220ax bxy cy dx ey f +++++=．这里，必须强调a 、b 、c 中至少有一个不是零，否则就不是二元二次方程了.“a 、b 、c 中至少有一个不是零”也可以说成“a 、b 、c 不都为零”，但不能说成“不为零”或“都不为零"，因为它们的意义是不一样的. 4、二元二次方程的解：能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解。
5、二元二次方程组：定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。
如:6、二元二次方程组的解：二元二次方程组中所含方程的公共解，叫做二元二次方程组的解.例1、在方程组①⎩⎨⎧==-132xy y x 、②()⎩⎨⎧=-=-12232xy x x y x 、③⎩⎨⎧=-=-32232y y x 、④⎪⎩⎪⎨⎧=-=+57xy x xy x 、⑤⎩⎨⎧-==24yz xy 中，是二元二次方程组的共有＿＿＿＿＿个.分析:抓住关键(1）组内方程是整式方程。
（2)方程组中含有两个未知数。
（3）含有未知数的项的最高次数是2答：①③是二元二次方程组。
②中()12=-xy x x 含有未知数的项的最高次数是3。
④中方程不是整式方程.⑤方程组中含有3个未知数。
限时训练：1、下列各方程中不是二元二次方程的是 ( ) A.x+xy=5C 。
x 2+y 2=3 D.x 2+2y 1=02、已知一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是⎩⎨⎧==21y x和⎩⎨⎧-=-=21y x ,试写出一个符合要求的方程组_______________。
二元二次方程组
二元二次方程组在数学中，二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
它的一般形式为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j为已知系数，同时x和y是未知数。
求解二元二次方程组的目标是找到满足上述两个方程的x和y的值。
二元二次方程组的解法可以使用代数方法或图形方法。
下面将介绍两种常见的解法。
一、代数方法对于二元二次方程组，我们可以通过消元或代入法来求解。
1. 消元法消元法的思路是通过消去一个未知数，将方程组转化为一元二次方程，然后再求解。
首先，我们可以通过乘法或加减运算将两个方程的系数配平，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减或相加，消去该未知数。
举例来说，假设我们有以下方程组：2x^2 + 3y^2 + 4x + 5y + 6 = 03x^2 + 2y^2 + 5x + 4y + 7 = 0我们可以将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，使得x的系数相等，得到：4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12 = 09x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21 = 0然后，我们将两个方程相减，消去x，得到一元二次方程：(9x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21) - (4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12) = 0 5x^2 + 7x + 2y + 9 = 0这样，我们就将二元二次方程组转化为了一元二次方程，可以用一般的方法求解该方程。
2. 代入法代入法的思路是先解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而求得另一个未知数的值。
继续以上面的方程组为例，假设我们已经解得x的值为2，那么我们可以将x=2代入任意一个方程，得到：2(2)^2 + 3y^2 + 4(2) + 5y + 6 = 08 + 3y^2 + 8 + 5y + 6 = 03y^2 + 5y + 22 = 0然后，我们可以使用求解一元二次方程的方法来解得y的值。
初中数学二元二次方程组公式定理_公式总结
初中数学二元二次方程组公式定理_公式总结
第七章二元二次方程组
1 二元二次方程与二元二次方程组
11 二元二次方程
含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程
关于x,y的二元二次方程的一般形式是ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0
其中ax²,bxy,cy²叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项
12 二元二次方程组
2 二元二次方程组的解法
21 第一种类型的二元二次方程组的解法
当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法
22 第二种类型的二元二次方程组的解法。
简单的二元二次方程组(必上)
简单的二元二次方程组(必上)本讲将介绍二元二次方程组的解法，这是高中新课标必修2中研究圆锥曲线时需要掌握的知识。
二元二次方程是含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程。
由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，都属于二元二次方程组。
对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，我们可以采用代入法求解。
即将二元一次方程化归为一元二次方程，再进行求解。
例如，对于方程组2x-y=0和x-y+3=0，我们可以通过方程(1)得到y=2x，代入方程(2)消去y，然后解得x=1或x=-1.将x的值代入方程(1)中得到对应的y的值，从而得到方程组的解。
需要注意的是，在消元后求出一元二次方程的根时，应代入变形后的二元一次方程求相应的未知数的值，而不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根。
另外，消元时应根据二元一次方程的系数来决定是消x还是消y，若系数均为整数，则最好消去系数绝对值较小的那个未知数。
对于方程组x+y=11和xy=28，我们可以把x、y看成是方程z2-11z+28的两根，从而更容易求解。
根据一元二次方程的根与系数的关系，我们可以把方程$z-11z+28=0$的两个根$x$和$y$看成原方程组的解。
解方程得到$z=4$或$z=7$，因此原方程组的解为：begin{cases}x=4.y=7 \\text{或} \\x=7.y=4end{cases}需要注意的是，对于这种对称性的方程组，我们应该利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于$x$、$y$的字母，如$z$。
对于由两个二元二次方程组成的方程组，如果其中一个方程可以因式分解为两个二元一次方程，那么原方程组就可以转化为两个方程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成。
例如，对于方程组：begin{cases}x^2-y^2=5(x+y) \\2x+xy+y=43end{cases}我们可以注意到方程$x-y=5(x+y)$可以分解为$(x+y)(x-y-5)=0$，因此可以得到两个二元二次方程组，每个方程组中都有一个方程为二元一次方程。
第六讲 简单的二元二次方程组(必上)
解：(1) –(2)3 得： x2 xy 3(xy y2 ) 0
即 x2 2xy 3y2 0 (x 3y)(x y) 0
∴ x 3y 0或x y 0
x 3y 0 x y 0
∴
原方程组可化为两个二元一次方程组：
xy
一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组
一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转 化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．
2x y 0
(1)
【例
1】解方程组
x
2
y2
3
0
(2)
分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得 y 2x ，代入方程(2)消去 y ．
练习
A组
x y2 6
(1)
y
x
x y 1
(3)
2
x
2
3xy
y2
5
2．解下列方程组：
x y 3 (1) xy 2
3．解下列方程组：
x(2x 3) 0
(1)
y
x2
1
(x y 2)(x y) 0
(3)
x
5 3
2． (1)
x1
y1
1 2
,
x2 y2
2 1
x1 7 x2 3
, (2) y1
3, 2 y2
7 2
第12课 二元二次方程组
第12课 二元二次方程组[考点透视]要求解方程组；解应用题；可化为二元二次方程组，其它复合方程组. [课前回顾]1．对于“一、二型”的方程组可采用代入消元或分解二元二次方程为两个二元 一次方程.甲方程变换代入乙方程中①用一个未知数代数式表示另一个未知数丙方程（一元二次方程）−−−→−解丙方程得一个未知数两个根−−−→−代入甲方程另一个未知数两根.甲方程分解为 A 〃B=0 ②两个一次方程 乙方程A=0 乙方程 B=0 乙方程2．对于“二、二型”的方程组解法分两种情形. 〃B=0 乙方程转化为两个“一、二型”的方程.甲、乙均不能分解经甲、乙方程加减运算得到 乙方程 成两个一次方程丙方程（可分解为两个一次方程）D 〃E=0用D=0或E=0分别与原方程组甲、乙方程注意一个联立成两个“一、二型”的方程组，即可解出. [课堂选例]例1 解方程组：⎩⎨⎧=--=+--)2(01210532y x x y x ）（ 分析 这是“一、二型”的方程组，将②式变形为y=2x －1③，将其代入①式，就可得到关于x 的一元二次方程，从而即可选求得x 的值，再代入③式，求y 的值. 解：由②得：y=2x －1,③把③式代入①得：x 2－5x+6=0 解得：x 1=2,x 2=3把x=2代入③式得：y 1=3;把x=3代入③式得：y 2=5∴原方程的解是⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==5,3;3122212y x y x 例2 已知：方程组⎩⎨⎧-==-+-）（22)1(04)12(2x y y k x （1） （1）求证：不论k 为何值时，此方程组总一定有实数解；（2）设等腰△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，其中c=4，且⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==2;2,b y bx a y a x 是该方程组的 两个解，求△ABC 的周长.分析 代入消元，将②式代入①得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系证明，即△≥0.（2）利用方程组解的意义以及对等腰三角形三边取值情况进行讨论来求解.解：由②代入①整理，得：x 2－(2k+1)x+4k －2=0.则△=[－(2k+1)]2－4(4k －2)=(2k－3)2≥0∴此方程组总一定有实数解 （2）∵a 、b 是方程x 2－(2k+1)x+4k －2=0的两根 ∴a+b=2k+1∵△ABC 是等腰三角形，且c=4， ∴a=b 或a 、b 中有一个与c 相等 ①当a=b 时，△=0，∴k=23, ∴a+b=2k+1=4=c 不合题意，应舍去 ∴a ≠b②设a=4=c ，代入方程 x 2－(2k+1)x+4k －2=0. ∴k=25. ∵a+b=2k+1=b>c ∴△ABC 的周长为a+b+c=10. 例3 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+)2(72)1(28322y xy xy x分析 此题属于“二、二型”的方程组，观察此方程组的特征，两个方程不含未知数的一次项，通过加减法消去常数项可得方程x 2－5xy+4y 2=0,此方程可分解降次变为两个方程.解：①－②×4得：x 2－5xy+4y 2=0,(x －y)(x －4y)=0即：0=-y x 或04=-y x∴原方程组可化为两个方程组⎩⎨⎧=-=-;72,02y xy y x ⎩⎨⎧=-=-.72,042y xy y x 分别解这两个方程组，得原方程组的解为：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==;7,7;7,72211y x y x⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==;1,4;1,43433y x y x 例3 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-)2(2244)1(922222y x y xy x y xy x 分析 此方程组属于“二、二型”的方程组， 每个方程均可分解，这样原方程组可化为一个二元一次方程组. 解：由(1)得：,9)(2=-y x3=-∴y x 或3-=-y x由(2)得；(x+2y+2)(x+2y －1)=0,022=++∴y x 或012=-+y x∴原方程组可化为下面四个方程组：⎩⎨⎧=++=-;022,3y x y x ⎩⎨⎧=-+=-;012,3y x y x ⎩⎨⎧=++-=-;022,3y x y x ⎩⎨⎧=-+-=-012,3y x y x 解这四个方程组，得原方程组的解是：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==;35,3411y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==;32,3722y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=;31,3833y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=34,3544y x [课堂小结]1．解二元二次方程组既要“降次”，又要消元；2．针对不同类型的方程组，先冷静观察分析采用不同的方法；3．代入消元法、因式分解成两个一次因式、消去常数项等为主要的化解方法。
简单的二元二次方程二-PPT文档资料
1．复习提问
（1）我们所学习的二元二次方程组有哪几种类型？ （2）解二元二次方程组的基本思想是什么？ （3）解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程 组的基本方法是什么？其主要步骤是什么？
x y 1 0 （4）解方程组： 2 2 x 4 y 8 （5）把下列各式分解因式：
解：由 （2）得
2 2 ( x y ) 4 0 y 4 0 即x ，或 x y 4 0.
因此，原方程组可转化为两个方程组
2 2 2 2 x 4 y 20 , x 4 y 20 , x y 4 0 . x y 4 0 .
①x 2 xy y 1 5 xy 6 y ；② x
2 2
2 2
2 ( x y ) 3 ( x 2 ) 2. ；③
2．例题讲解
例1 解方程组
2 2 x y 20 2 2 x 5 xy 6 y 0
( 1 ) ( 2 )
x 5 xy 6 y 并且可以分解为 ( ， x 2 y )( x 3 y ) 因此方程（2）可转化为 ( x 2 y )( x 3 y ) 0 3 y0 ， 2 y0 或x ，即 x 从而可分别
例2 解方程组
2 2 x 4 y 20 2 2 x 2 x y y 0
( 1 ) ( 2 )
分析：这个方程组也是由两个二元二次方程组成的方程组，通过认 真的观察与分析可以 发现方程（2）的左边是一个完全平方式，而右边是完全平方米， 因 此 将 右 边 16 移 到 左 边 后 可 利 用 平 方 差 公 式 进 行 分 解 ， 2 2 ( x y ) 4 ( x y 4 )( x y 4 ) x y 4 0，从而可仿例1 ，即 或 的解法进行 .0 x y 4
初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点(1)
初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点(1)一、选择题1．解方程组：222920x xy y x y ⎧++=⎨--=⎩． 【答案】5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】【分析】先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【详解】22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．2．21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩【答案】231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 【解析】【分析】将x 和z 分别都用y 表示出来，代入第三个方程，解出y ，然后就可以解出x 、z ．【详解】解：21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩①②③ 由①得：12y x y -=-④ 由②得：382y z y -=-⑤ 将④⑤代入③得：1384(38)3(1)82222y y y y y y y y ----=+-----g ， 去分母整理得：2422300y y -+=，∴2(3)(25)0y y --=，3y ∴=或52=， 将3y =分别代入④⑤得：2x =，1z =； 将52y =分别代入④⑤得：3x =，1z =-； 综上所述，方程组的解为：231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了三元二次方程组的解法，解方程的基本思想是消元，任意选择两个方程将两个未知数用第三个未知数表示，即可代入第三个方程，解出一个未知数之后，剩下两未知数就可直接算出．3．已知()22221(0)0,0x y a b a b x my n m n ⎧+=>>⋯⋯⎪⎨⎪=+≠≠⋯⋯⎩①② 求证：()()2222222220a b m y mnb y n a b +++-=． 【答案】详见解析【解析】【分析】先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．【详解】证明：把②代入①，得2222()1my n y a b++=， ()222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．4．解方程组：（1）4{526y x x y =-+= ；（2） 358{32x y x y +=-= 【答案】（1）22x y =⎧⎨=-⎩；（2） 【解析】方程组利用加减消元法求出解即可．解：(1) ①代入②得x =2把x =2代入①得y =-2∴(2) ①-②得y =1把y =1代入①得x =1∴“点睛”本题通过“代入”“加减”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.5．解方程组： 2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩． 【答案】1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】【分析】根据代入消元法，将第一个方程带入到第二个方程中，即可得到两组二元一次方程，分别计算解答即可【详解】2223412916x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩①②由②得：（2x ﹣3y ）2＝16，2x ﹣3y ＝±4，即原方程组化为23234x y x y -=⎧⎨-=⎩和23234x y x y -=⎧⎨-=-⎩， 解得： 1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩， 即原方程组的解为：1212117,210x x y y ⎧=-=-⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩． 【点睛】本题的关键是将第一个方程式带入到第二个方程式中得到两组方程组6．解方程组：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩.【答案】1113x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2213x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩【解析】【分析】把4x y +＝变形为用含x 的代数式表示y ，把变形后的方程代入另一个方程，解一元二次方程求出x 的值，得方程组的解.【详解】解：248x y x xy +=⎧⎨-=⎩①② 由①得，4y x ＝﹣③ 把③代入①，得248x x x ﹣（﹣）＝整理，得2240x x ﹣﹣＝解得：1211x x ＝＝，把1x ＝③，得1413y ＝﹣（把1x ③，得2413y ＝﹣（所以原方程组的解为：1113x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2213x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩. 【点睛】本题考查了方程组的解法和一元二次方程的解法，代入法是解决本题的关键.7．解方程组:223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩ 【答案】1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 【解析】【分析】由代入消元法，消去一个未知数x ，得到关于y 的一元二次方程，然后用公式法解出y 的值，然后计算出x ，即可得到方程组的解.【详解】解：223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由②得：3x y =+③，把③代入①，得22(3)3(3)40y y y y +-+-=，整理得：26390y y +-=，∵2494692250b ac ∆=-=+⨯⨯=>，∴用求根公式法，得326y -±=⨯， 解得：1=1y ，232y =-； ∴14x =，232x =； ∴方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.8．解方程组22222()08x y x y x y ⎧-++=⎨+=⎩【答案】12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】首先把①式利用因式分式化为两个一元一次方程，和②式组成两个方程组，分别求解即可.【详解】22222()08x y x yx y⎧-++=⎨+=⎩①②,①式左边分解因式得，()20x y x y-++=（），∴x-y+2=0或x+y=0，原方程组转化为以下两个方程组：（i）22208x yx y-+=⎧⎨+=⎩或（ii）22+08x yx y=⎧⎨+=⎩解方程组（i）得，12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，解方程组（ii）得，3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩,所以，原方程组的解是:12121111x xy y⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩3322xy=-⎧⎨=⎩4422xy=⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，掌握代入消元法的一般步骤是解题的关键.9．解方程组：22694(1)23(2)x xy yx y⎧-+=⎨-=⎩【答案】1151xy=⎧⎨=⎩或22135xy=⎧⎨=⎩【解析】【分析】先将①中的x2 -6xy+9y2分解因式为：（x-3y）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可【详解】解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，∴x ﹣3y ＝±2，∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩ 解得1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则10．解方程组：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】先将第2个方程变形为x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩①②， 由②得：x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，原方程组可化为2860x y x y +=⎧⎨+=⎩或280x y x y +=⎧⎨-=⎩， 故原方程组的解为11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．11．如图，要建一个面积为45 m 2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m 的墙，另几条边用总长为22 m 的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m 的门.求这个养鸡场的长与宽.【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.【解析】试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：322245x y xy +-=⎧⎨=⎩，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；∵x <14，∴不合题意，舍去；当y =5时，x =9，经检验符合题意．答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.12．解方程组：2220334x y x y y -=⎧⎨+-=⎩. 【答案】21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩【解析】【分析】由①可知x=2y ，代入②可得一个关于y 的一元二次方程，进行解答，求出y 值，再进一步求x 即可．【详解】解：2220......33 4......x y x y y -=⎧⎨+-=⎩①②, 由①得：2x y =………… ③将③代入②，化简整理，得：2340y y +-=，解得：13y y ==-或，将13y y ==-或代入①，得：21x y =⎧⎨=⎩或63x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】考查了解方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数，再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．13．解方程组：2220 23x xy yx y⎧--=⎨+=⎩．【答案】原方程组的解为123 3x y =⎧⎨=-⎩，226535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【解析】分析：由①得出（x+y）（x-2y）=0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．详解：2220 23x xy yx y⎧--⎨+⎩＝①＝②由①得：（x+y）（x-2y）=0，x+y=0，x-2y=0，即原方程组化为23x yx y+⎧⎨+⎩＝＝，2023x yx y-⎧⎨+⎩＝＝，解得：123 3x y =⎧⎨=-⎩，226535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即原方程组的解为123 3x y =⎧⎨=-⎩，226535xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．点睛：本题考查了解高次方程组，运用因式分解法把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．14．计算：（1（2）解方程组：3534106x yx y-=-⎧⎨-+=⎩（3）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：6234 2111 32x xx x-≥-⎧⎪--⎨-<⎪⎩【答案】（1）12-；（2）35xy=⎧⎪⎨=⎪⎩；（3）21137x-≤≤.【解析】【分析】(1)先求开方运算，再进行加减；（2）用加减法解方程组；（3）解不等式组，再在数轴上表示解集.【详解】解：（1）原式=-3+4-32=12-（2）3534106x yx y-=-⎧⎨-+=⎩①②①×2+②，得x=0把x=0代入①式 y=35所以，方程组的解是35xy=⎧⎪⎨=⎪⎩（3）6234211132x xx x-≥-⎧⎪⎨---<⎪⎩①②由①式得，x≥-23由②式得，x＜117所以，不等式组的解集是21137x-≤≤，把解集在数轴上表示：【点睛】本题考核知识点：开方，解二元一次方程组，解不等式组.解题关键点：掌握相关解法.15．解方程组221444y xx xy y=+⎧⎨-+=⎩【答案】1143xy=-⎧⎨=-⎩，221xy=⎧⎨=⎩【解析】【分析】先将②式左边因式分解，再将①式代入，可求出x,再分别代入①式求出y.【详解】解：221?444y xx xy y①②=+⎧⎨-+=⎩由②得，()224x y -= ③，把①代入③，得 ()2214x x ⎡⎤-+=⎣⎦，即：()224x +=，所以，x+2=2或x+2=-2所以，x 1=-4,x 2=0,把x 1=-4,x 2=0,分别代入①，得y 1=-3,y 2=1.所以，方程组的解是 1143x y =-⎧⎨=-⎩，2201x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考核知识点：解二元二次方程组.解题关键点：用代入法解方程组.16．已知方程组222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩有两组相等的实数解，求m 的值，并求出此时方程组的解.【答案】1m =±,当1m =时 21x y =-⎧⎨=⎩;当1m =-时 21x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】联立方程组，△＝0即可求m 的值，再将m 的值代入原方程组即可求方程组的解；【详解】解：222603x y y mx ⎧+-=⎨=+⎩①② 把②代入①后计算得()222112120m x mx +++=，∵方程组有两组相等的实数解，∴△＝（12m ）2−4（2m 2+1）•12＝0，解得：1m =±， 当1m =时，解得21x y =-⎧⎨=⎩当1m =-时，解得21x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了解二元二次方程组，能把二元二次方程组转化成一元一次方程是解题关键．17．解方程组22()()08x y x y x y +-=⎧⎨+=⎩【答案】1122x y =⎧⎨=-⎩; 2222x y =-⎧⎨=⎩；3322x y =⎧⎨=⎩；4422x y =⎧⎨=⎩. 【解析】试题分析：方程整理为：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组即可. 试题解析：由原方程组变形得：2208x y x y +=⎧⎨+=⎩ 或2208x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得1122x y =⎧⎨=-⎩，2222x y =-⎧⎨=⎩ ，3322x y =⎧⎨=⎩，4422x y =-⎧⎨=-⎩.18．△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交于AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交于CD 于H ，（1）如图1，若∠EFC=∠A ，求证：CE•CD=CH •BC ；（2）如图2，若BH 平分∠ABC ，CE=CF ，BF=3，AE=2，求EF 的长；（3）如图3，若CE≠CF ，∠CEF=∠B ，∠ACB=60°，CH=5，CE=43，求AC BC 的值．【答案】（1）见解析;（2）26 ; （3）57. 【解析】【分析】（1）只要证明△ECH ∽△BCD ，可得EC BC =CH CD，即可推出CE•CD=CH•BC ； （2）如图2中，连接AH ．只要证明△AEH ∽△HFB ，可得AE HF =EH FB ，推出FH 2=6，推出HE=HF=6，即可解决问题．（3）只要证明△ECF ∽△BCA ，求出CF 即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠EFC+∠FEC+∠ECF=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，又∵∠EFC=∠A，∠ECF=∠ACB，∴∠CEF=∠B，∵∠ECH=∠DCB，∴△ECH∽△BCD，∴EC CH BC CD=，∴CE•CD=CH•BC．（2）解：如图2中，连接AH．∵BH、CH都是△ABC的角平分线，∴AH是△ABC的角平分线，∴∠BHC=180°﹣12（∠ABC+∠ACB）=180°﹣12（180°﹣∠BAC）=90°+12BAC=90°+∠HAE，∵CE=CF，∠HCE=∠HCF，∴CH⊥EF，HF=HE，∴∠CHF=90°，∵∠BHC=∠BHF+∠CHF=∠BHF+90°，∴∠HAE=∠BHF，∵∠CFE=∠CEF，∴∠AEH=∠BFH，∴△AEH∽△HFB，∴AE EH HF FB=，∴FH2=6，∴HE=HF=6，∴EF=26．（3）解：如图3中，作HM⊥AC于M，HN⊥BC于N．设HF=x，FN=y．∵∠HCM=∠HCN=30°，HC=5，∴HM=HN=52，53，∵3∴3322213EM HM+∵S△HCF：S△HCE=FH：EH=FC：EC，∴x（）：， 又∵x 2=y 2+（52）2， 解得∴∵∠CEF=∠B ，∠ECF=∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ， ∴EC CF BC AC=，∴AC CF BC EC ===57． 【点睛】本题考查三角形综合题、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、二元二次方程组等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题，属于中考压轴题．19．解方程组：2234021x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩． 【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211x y =-⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】方程组中第一个方程可因式分解为两个二元一次方程，这两个方程与组中的另一个方程组成两个二元一次方程组，解这两个二元一次方程组即可求得原方程组的解．【详解】解：2234021x xy y x y ①②⎧--=⎨+=⎩， 由①得：(x ﹣4y )(x +y )＝0，∴x ﹣4y ＝0或x +y ＝0．原方程组可化为4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩．解4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，得112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；解021x y x y +=⎧⎨+=⎩，得，2211x y =-⎧⎨=⎩． ∴原方程组的解为112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211x y =-⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握解法是求解的关键.20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②【答案】11613{113x y ==-,221{1x y ==. 【解析】【分析】 先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩． 故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。
小学数学点知识归纳解二元二次方程组
小学数学点知识归纳解二元二次方程组二元二次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组，每个方程都是二次方程。
在解二元二次方程组之前，我们需要先了解一些基本知识。
一、二次方程的定义二次方程是指一个未知数的最高次数为2的代数方程。
一般的二次方程表达式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知数，且a≠0。
二、一元二次方程的解法假设有一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过以下步骤解出x 的值：1. 判断a、b、c的值，如果a=0，方程不是二次方程；2. 计算Δ（判别式）=b^2-4ac的值；3. 如果Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；4. 如果Δ=0，则方程有两个相等的实数根；5. 如果Δ<0，则方程无实数根，但有两个共轭复数根。
三、二元二次方程组的解法1. 消元法消元法是解二元二次方程组的常用方法。
我们可以通过以下步骤解出方程组的解：（1）将其中一方程两边乘以适当的数，使得两个方程的系数相等或者相差一个系数关系；（2）将所得的两个方程相减或相加，消去其中一个未知数；（3）解得另一个未知数的值；（4）将求得的未知数的值带入任意一个方程，解得另一个未知数的值。
2. 代入法代入法也是一种解二元二次方程组的方法。
我们可以通过以下步骤解出方程组的解：（1）选取一个方程，解出其中一个未知数，得到它的值；（2）将所求的未知数值代入另一个方程，得到一个一元二次方程；（3）根据一元二次方程的解法，求出另一个未知数的值。
四、实例分析假设有以下二元二次方程组：1. -2x^2+3y^2-7=02. 4x^2+5y^2+11=0我们可以通过消元法解出该方程组的解：（1）将第一个方程两边乘以4，得到-8x^2+12y^2-28=0；（2）将所得的方程与第二个方程相减，消去x^2，得到-8x^2+12y^2-4x^2-5y^2-28+11=0；（3）整理化简，得到-12x^2+7y^2-17=0；（4）将该方程移项并因式分解，得到12x^2-7y^2+17=0；（5）将得到的方程两边除以17，得到12x^2/17-7y^2/17+1=0；（6）观察该方程，发现其形式为Ax^2+By^2+C=0，满足了一元二次方程的形式；（7）根据一元二次方程的解法，可以求出x和y的值。
新初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点(2)
新初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点(2)一、选择题1．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0-=---=． 【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】注意到22x xy 2y --可分解为，从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解.【详解】解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=， ∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩. 解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2=-⎧⎨=-⎩. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.2．解方程组：⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2{1x y ==-；（2）3{45x y z ===【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.（1）2{1x y ==- ； (2) 3{45x y z ===“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.3．已知A ，B 两地公路长300km ，甲、乙两车同时从A 地出发沿同一公路驶往B 地，2小时后，甲车接到电话需返回这条公路上与A 地相距105km 的C 处取回货物，于是甲车立即原路返回C 地，取了货物又立即赶往B 地（取货物的时间忽略不计），结果两下车同时到达B 地，两车的速度始终保持不变，设两车山发x 小时后，甲、乙两车距离A 地的路程分别为y1(km)和y2(km)．它们的函数图象分别是折线OPQR 和线段OR ．（1）求乙车从A 地到B 地所用的时问；（2）求图中线段PQ 的解析式（不要求写自变量的取值范围）；（3）在甲车返回到C 地取货的过程中，当x=，两车相距25千米的路程.【答案】（1）5h （2）90360y x =-+（3）67h 30或77h 30【解析】（1）由图可知，求甲车2小时行驶了180千米的速度，甲车行驶的总路程，再求甲车从A 地到B 地所花时间；即可求出乙车从A 地到B 地所用的时间；（2）由题意可知，求出线段PQ 的解析式；（3）由路程，速度，时间的关系求出x 的值.（1）解：由图知，甲车2小时行驶了180千米，其速度为180290÷=（km/h ） 甲车行驶的总路程为： ()2180105300450⨯-+=（km)甲车从A 地到B 地所花时间为： 450905÷=（h ）又∵两车同时到达B 地，∴乙车从A 地到B 地所用用的时间为5h.（2）由题意可知，甲返回的路程为18010575-=（km)，所需时间为575906÷=（h ），517266+=.∴Q 点的坐标为（105， 176）.设线段PQ 的解析式为： y kx b =+， 把（2，180）和（105， 176）代入得： 1802{171086k b k b =+=+，解得90360k b =-=，， ∴线段PQ 的解析式为90360y x =-+.（3）6730 h 或7730“点睛”本题考查了一次函数的应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数型结合的思想解答问题．4．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．5．解方程组：22x 2xy 3y 3x y 1⎧--=⎨+=⎩【答案】x 1.5y 0.5=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】把方程组的第一个方程分解因式求出x 3y 3-=，再解方程组解x y 1x 3y 3+=⎧⎨-=⎩即可． 【详解】由22x 2xy 3y 3--=得：()()x y x 3y 3+-=， x y 1+=Q ，x 3y 3∴-=，x 3y 3⎨-=⎩y 0.5⎨=-⎩【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成低次方程组是解此题的关键．6．解方程组【答案】原方程组的解为：， 【解析】【分析】把第一个方程代入第二个方程，得到一个关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，把x 代入第一个方程，求出y 即可.【详解】 解：把①代入②得：x 2-4x （x +1）+4（x +1）2=4，x 2+4x =0，解得：x =-4或x =0，当x =-4时，y =-3，当x =0时，y =1， 所以原方程组的解为：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解高次方程，降次是解题的基本思想.7．解方程组：224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】把2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程，和4x y +=组成两个二元一次方程组，解方程即可.【详解】由②得：()()20x y x y +-=所以200x y x y +=-=或200x y x y ⎨⎨+=-=⎩⎩121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为. 【点睛】考查二元二次方程组的解法，把方程2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键.8．直角坐标系xOy 中，有反比例函数()830y x x =＞上的一动点P ，以点P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切时，求OP 2的值．（2）设圆P 运动时与x 轴相交，交点为B 、C ，如图2，当四边形ABCP 是菱形时， ①求出A 、B 、C 三点的坐标．②设一抛物线过A 、B 、C 三点，在该抛物线上是否存在点Q ，使△QBP 的面积是菱形ABCP 面积的12？若存在，求出所有满足条件的Q 点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）32）①A （0，3B （2，0），C （6，0）；②存在，满足条件的Q 点有（0，314，1638，36，0）．【解析】【分析】（1）当⊙P 分别与两坐标轴相切时，PA ⊥y 轴，PK ⊥x 轴，x 轴⊥y 轴，且PA ＝PK ，进而得出PK 2，即可得出OP 2的值；（2）①连接PB ，设AP ＝m ，过P 点向x 轴作垂线，垂足为H ，则PH ＝sin60°BP 3=，P （m ，32），进而得出答案； ②求直线PB 的解析式，利用过A 点或C 点且平行于PB 的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的Q 点坐标即可．【详解】解：（1）∵⊙P 分别与两坐标轴相切，∴PA ⊥OA ，PK ⊥OK ．∴∠PAO ＝∠OKP ＝90°．又∵∠AOK ＝90°，∴∠PAO ＝∠OKP ＝∠AOK ＝90°．∴四边形OKPA 是矩形．又∵AP ＝KP ，∴四边形OKPA 是正方形，∴OP 2＝OK 2+PK 2＝2PK •OK ＝2xy ＝=（2）①连结BP ，则AP ＝BP ，由于四边形ABCP 为菱形，所以AB ＝BP ＝AP ，△ABP 为正三角形，设AP ＝m ，过P 点向x 轴作垂线，垂足为H ，则PH ＝sin60°BP =，P （m）， 将P 点坐标代入到反比例函数解析式中，则2m 2＝解得：m ＝4，（m ＝﹣4舍去），故P （4，），则AP ＝4，OA ＝OB ＝BH ＝2，CH ＝BH ＝2，故A （0，B （2，0），C （6，0）；②设过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）（x ﹣6），将A 点坐标代入得，a =，故解析式为2y =+ 过A 点作BP 的平行线l 抛物线于点Q ，则Q 点为所求．设BP 所在直线解析式为：y ＝kx +d ，则204k d k d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：k d ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故BP所在的直线解析式为：y =-故直线l的解析式为y =+l与抛物线的交点是方程组2y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩解得：110 23x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，2214163xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，故得Q（0，23），Q（14，163），同理，过C点作BP的平行线交抛物线于点Q1，则设其解析式为：y3=x+e，则0＝63+e，解得：e＝﹣63，故其解析式为：y3=x﹣63，其直线与抛物线的交点是方程组23432363363y x xy x⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩的解，可求得Q1（8，23）和（6，0）．故所求满足条件的Q点有（0，23），（14，163），（8，23）和（6，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正方形的判定以及菱形的性质等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题．9．解方程:22310x yx y⎧-=-⎨++=⎩【答案】12xy=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】本题可用代入消元法进行求解，即把方程2写成x=-1-y，代入方程1，得到一个关于y的一元二次方程，求出y值，进而求x．【详解】解：()()2231102x y x y ⎧-=-⎪⎨++=⎪⎩ 由（2）得：1x y =--（3）把（3）代入（1）：22(1)3y y ---=-∴2y =-∴1x =原方程组的解是12x y =⎧⎨=-⎩【点睛】本题中考查了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，可用代入法求解．10．21220y x x xy -=⎧⎨--=⎩【答案】10x y =-⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】本题考查二元二次方程组的解法，在解题时观察本题的特点，可用代入法先消去未知数y ，求出未知数x 的值后，进而求得这个方程组的解．【详解】解：由①得：1y x =+③把③代入②，得22(1)20x x x -+-=,整理得：220x x --=，解得11x =-，22x =．当11x =-时，1110y =-+=当22x =时，2213y =+=∴原方程组的解为1110x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组．11．解方程组：22694(1)23(2)x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩【答案】1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将①中的x 2 -6xy+9y 2分解因式为：（x-3y ）2，则x-3y=±2，与②组合成两个方程组，解出即可【详解】解：由①，得（x ﹣3y ）2＝4，∴x ﹣3y ＝±2，∴原方程组可转化为：3323x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或3-223x y x y -=⎧⎨-=⎩ 解得1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解为：1151x y =⎧⎨=⎩或22135x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】此题考查二元二次方程组的解，解题关键在于掌握运算法则12．某商场计划销售一批运动衣,能获得利润12000元.经过市场调查后,进行促销活动,由于降低售价,每套运动衣少获利润10元,但可多销售400套,结果总利润比计划多4000元.求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元?【答案】实际销售运动衣800套,实际每套运动衣的利润是20元【解析】【分析】根据计划销售的套数×计划每套运动衣的利润=计划获利12000元；实际销售的套数×实际每套运动衣的利润=实际获利12000+4000元；那么可列出方程组求解．【详解】解：设实际销售运动衣x 套,实际每套运动衣的利润是y 元.根据题意 ，可列方程组()()4001012000120004000x y xy ⎧-+=⎨=+⎩解得：1212800800,2020x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩(舍去)， 答：实际销售运动衣800套，每套运动衣的实际利润20元．【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组求解后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．13．222620x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ 【答案】42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【解析】【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．【详解】解：原方程组变形为()()2620x y x y x y -=⎧⎨-+=⎩ ∴2620x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或260x y x y -=⎧⎨+=⎩∴原方程组的解为 42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 故答案为：42x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=-⎩ . 【点睛】本题考查二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．14．解方程组：222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩【答案】1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【解析】【分析】由方程②得出x +y =1，或x +y =﹣1，进而解答即可．【详解】 222221x y x xy y +=⎧⎨++=⎩①②，由②可得：x +y =1，或x +y =﹣1，所以可得方程组221x y x y +=⎧⎨+=⎩①③或221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①④，解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩； 所以方程组的解为：1110x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，关键是根据完全平方公式进行消元解答．15．已知()22221(0)0,0x y a b a b x my n m n ⎧+=>>⋯⋯⎪⎨⎪=+≠≠⋯⋯⎩①② 求证：()()2222222220a b m y mnb y n a b +++-=． 【答案】详见解析【解析】【分析】先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．【详解】证明：把②代入①，得2222()1my n y a b++=， ()222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．16．21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩【答案】231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 【解析】【分析】将x 和z 分别都用y 表示出来，代入第三个方程，解出y ，然后就可以解出x 、z ．【详解】解：21238438xy x y yz z y zx z x =+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩①②③由①得：12y x y -=-④ 由②得：382y z y -=-⑤ 将④⑤代入③得：1384(38)3(1)82222y y y y y y y y ----=+-----g ， 去分母整理得：2422300y y -+=，∴2(3)(25)0y y --=，3y ∴=或52=， 将3y =分别代入④⑤得：2x =，1z =； 将52y =分别代入④⑤得：3x =，1z =-； 综上所述，方程组的解为：231x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3521x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了三元二次方程组的解法，解方程的基本思想是消元，任意选择两个方程将两个未知数用第三个未知数表示，即可代入第三个方程，解出一个未知数之后，剩下两未知数就可直接算出．17．解方程组：2226691x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩． 【答案】1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【解析】【分析】先由②得(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，再把原方程组分解为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩最后分别解这两个方程组即可． 【详解】解：2226691,x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：(x-3y)2=1，x-3y=1或x-3y=-1，所以原方程组变为：2631x y x y +=⎧⎨-=⎩，2631,x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 解这两个方程组得：41x y =⎧⎨=⎩，16575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以原方程组的解为1411x y =⎧=⎨⎩，2216575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【点睛】此题考查了解高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．18．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②【答案】5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.【详解】 2220{25x xy y x y --=+=①②由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25x y x y -=+=. 解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩.19．某起重机厂四月份生产A 型起重机25台,B 型起重机若干台.从五月份起, A 型起重机月增长率相同,B 型起重机每月增加3台.已知五月份生产的A 型起重机是B 型起重机的2倍,六月份A 、 B 型起重机共生产54台.求四月份生产B 型起重机的台数和从五月份起A 型起重机的月增长率.【答案】四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%【解析】【分析】设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y,根据题目中的等量关系列出方程组求解即可.【详解】解：设四月份生产B 型起重机x 台,从五月份起A 型起重机的月增长率为y.根据题意 ，可列方程组()()()()2251232513254y x y x ⎧+=+⎪⎨+++⨯=⎪⎩ 解得：x=12,y=0.2答：四月份生产B 型起重机12台,从五月份起A 型起重机的月增长率为20%.【点睛】本题考查了二元二次方程组的应用，解题的关键是找准题中的等量关系.20．解方程组：22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩【答案】111,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】首先将由22230x xy y --=得30x y -=或0x y +=，分别与223x xy y -+=求解即可. 【详解】解： 22222303x xy y x xy y ⎧--=⎨-+=⎩①② 由①得30x y -=或0x y +=，原方程组可化为22303x y x xy y -=⎧⎨-+=⎩；2203x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 解这两个方程组得原方程组的解为11,7x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩227x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩331,1,x y =-⎧⎨=⎩441,1.x y =⎧⎨=-⎩ 【点睛】 此题考查二元二次方程，解题关键在于掌握运算法则.。
方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习
方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习一、选择题1．解方程组：224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】把2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程，和4x y +=组成两个二元一次方程组，解方程即可.【详解】由②得：()()20x y x y +-=所以200x y x y +=-=或 44200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或, 121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为. 【点睛】考查二元二次方程组的解法，把方程2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键.2．解方程组：⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2{1x y ==-；（2）3{45x y z ===【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.（1）2{1x y ==- ； (2) 3{45x y z ===“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.3．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．4．解方程组：22120y x x xy y -=⎧⎨--=⎩． 【答案】21x y =-⎧⎨=-⎩，1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程分解因式可得：x ﹣2y =0或x +y =0，分别与第一个方程组成新的方程组，解出即可．【详解】解：22120y x x x y -=⎧⎨--=⎩①② 由②得：（x ﹣2y ）（x +y ）=0x ﹣2y =0或x +y =0原方程组可化为11200y x y x x y x y -=-=⎧⎧⎨⎨-=+=⎩⎩， 解得原方程组的解为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩， ∴原方程组的解是为122112x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=⎪⎩，． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解题思路是降次，可以利用代入法或分解因式，达到降次的目的．5．解方程组：22229024x y x xy y ⎧-=⎨-+=⎩【答案】113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】将原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，所以有3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝，然后解4个二元一次方程组就可以求出其值．【详解】原方程组变形为：()()()()330220x y x y x y x y ⎧-+⎪⎨---+⎪⎩＝＝，原方程组变为四个方程组为：3020x y x y -⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y -⎧⎨-+⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨--⎩＝＝，3020x y x y +⎧⎨-+⎩＝＝， 解这四个方程组为：113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩. 故答案为113212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，3331x y =⎧⎨=⎩，4431x y =-⎧⎨=-⎩.6．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：沿x 轴翻折后，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F （点F 在点E 的右侧）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线的解析式；（3）如图，在（2）的条件下，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H ，在抛物线上是否存在P 、Q 两点（点P 在点Q 的上方），PQ 与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，使得直线PQ 既平分△AFH 的周长，又平分△AFH 面积，如果存在，求出P 、Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）（1，），（3，0）．【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，先求出直线与x轴、y轴交点坐标，根据沿x轴翻折，得到A、B的坐标，把A、B的坐标代入直线AB的解析式y=kx+b，即可求出直线AB的解析式；（2）设抛物线的顶点为P（h，0），得出抛物线解析式为：，根据DF∥x轴，得出F的坐标，把F的坐标代入直线AB 的解析式即可求出h的值，即可得到答案；（3）过M作MT⊥FH于T，得到Rt△MTF∽Rt△AGF，得到FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，求出FN的值，根据三角形的面积公式求出△MNF和△AFH的面积，根据之间的等量关系即可求出k的值，设直线MN的解析式为：y=kx+b，把M、N（6，-4），代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线MN的解析式，解由方程和的解即可得出P、Q的坐标．【详解】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b直线与x轴、y轴交点分别为（-2，0），（0，），沿x轴翻折，∵直线，直线AB与x轴交于同一点（-2，0）∴A（-2，0）．与y轴的交点（0，）与点B关于x轴对称∴B（0，），∴解得k＝，b＝，∴直线AB的解析式为.（2）解：设抛物线的顶点为Q（h，0），抛物线解析式为：∴D（0，）．∵DF∥x轴，∴点F（2h，），又点F在直线AB上，∴，解得 h1=3，h2＝（舍去），∴抛物线的解析式为.（3）解：过M作MT⊥FH于T，∴Rt△MTF∽Rt△AGF．∴FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，则FN=AH+HF+AF)-FM=16-5k，∴S△MNF＝(AH+HF+AF)-FM=16-5k，又∵S△MNF＝S△AFH．∴＝24，解得k＝=或k=2 （舍去），∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=，∴M （，））、N （6，-4），代入得：=k+b 且-4=6k+b ， 解得：k=，b=4， ∴y ＝x+4， 联立y ＝x+4与y ＝,求得P （1， ），Q （3，0）．答：存在P 的坐标是（1， ），Q 的坐标是（3，0）．【点睛】本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组、解二元二次方程组，三角形相似的性质和判定，图形的旋转等知识点，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．7．解方程组()()22x y x y 0x y 8⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩. 【答案】11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】【分析】先把方程组转化成两个二元二次方程组，再求出两个方程组的解即可．【详解】解：由原方程组变形得：22x y 0x y 8⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①②， 22x-y 0x y 8⎧=⎪⎨+=⎪⎩③④ 由①变形得：y=-x ，把y=-x 代入②得：22x -x 8+=（），解得12x =2x =-2，，把12x =2x =-2，代入②解得：12y =-2y =2，，所以解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩， 由③变形得：y=x ，把y=x 代入②得：22x x 8+=，解得34x =2x =-2，，把34x =2x =-2，代入②解得：34y =2y =-2，，所以解为：33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩， 综上所述解为：11x 2y 2⎧=⎪⎨=-⎪⎩，22x 2y 2⎧=-⎪⎨=⎪⎩，33x 2y 2⎧=⎪⎨=⎪⎩，44x 2y 2⎧=-⎪⎨=-⎪⎩． 【点睛】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组是解此题的关键．8．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩ 【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①② 将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．9．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩①② 由②得2(2)1x y -=，所以21x y -=③，21x y -=-④由①③、①④联立，得方程组： 2321x y x y +=⎧-=⎨⎩，2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组2321x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{11x y ==解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以原方程组的解为：1111x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．10．解方程组：222920x xy y x y ⎧++=⎨--=⎩． 【答案】5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】【分析】先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【详解】22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．11．解方程组：2223,44 1.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】111,1;x y =⎧⎨=⎩221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可.详解：2223441x y x xy y ①②+=⎧⎨-+=⎩ 由②得：()221x y -=即：21x y -=或21x y -=-所以原方程组可化为两个二元一次方程组：23,21;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 23,21;x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 分别解这两个方程组，得原方程组的解是111,1;x y =⎧⎨=⎩ 221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.12．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm 、16cm 、20cm.【解析】【分析】设两直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12a b ⎧⎨⎩， 经检验，=12=16a b ⎧⎨⎩和=16=12a b ⎧⎨⎩cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.【点睛】 此题运用三角形面积表示出1=962ab13．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩【答案】123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．【详解】∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y 1=32 ,y 2 =−32； ②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩ . 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.14．已知正比例函数()()249m n y m n xm -=++-的图像经过第二、四象限，求这个正比例函数的解析式.【答案】19y x =-【解析】【分析】根据正比例函数的定义可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可求出m 、n 的值，再根据其所经过的象限进行取舍即可.【详解】解：∵该函数为正比例函数，∴2190m n m -=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩或34m n =-⎧⎨=-⎩， ∵该函数图像经过第二、四象限，∴40m n +<，∴34m n =-⎧⎨=-⎩， ∴函数解析式为：19y x =-.【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质以及二元二次方程组的求解，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题关键.15．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩①②． 【答案】1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.【详解】解：由②得()()310x y x y ---+=，得30x y --=或10x y -+=，原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.16．（1）解方程组：221104100x y y ⎧+-=⎪-+= （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩【答案】（1）3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）16x y =-⎧⎨=-⎩. 【解析】【分析】（1）将方程组的第二个方程移项、两边平方求出2x ，再代入第一个方程可求出y 的值，然后将y 的最代入第二个方程可求出x 的值，从而可得方程组的解；（2）将原方程组的两个方程通过去括号、合并同类项变形可得一个二元一次方程组，再利用加减消元法求解即可.【详解】（1）221104100x y y ⎧+-=⎪-+=①② 由②410y =-两边平方化简得：22(1042)x y -=，即2284050x y y -+=代入①得：2940390y y -+=，即(3)(913)0y y --= 解得：3y =或139y = 将3y =代入②12100-+=，解得：x =将139y =代入②1341009-⨯+=，解得：x =故原方程组的解为：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）(3)(2)(3)(10)(1)(3)(2)(12)x y x y x y x y +-=-+⎧⎨-+=++⎩去括号化简得：236103303312224xy x y xy x y xy x y xy x y -+-=+--⎧⎨+--=+++⎩，即2439x y x y -=⎧⎨+=-⎩①② +①②得：55x =-，解得：1x =-将1x =-代入①得：2(1)4y ⨯--=，解得：6y =-故原方程组的解为16x y =-⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了利用消元法解方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键.17．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩． 【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可．【详解】由①得25y x =-+．③把③代入②，得22(25)70x x x --+++=．整理后，得2760x x -+=．解得11x =，26x =．由11x =，得1253y =-+=．由26x =，得21257y =-+=-． 所以，原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩.18．（探究证明）(1)在矩形ABCD 中，EF ⊥GH ，EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，GH 分别交AD ，BC 于点G ，H.，求证：=EF AD GH AB； （结论应用） (2)如图2，在满足(1)的条件下，又AM ⊥BN ，点M ，N 分别在边BC ，CD 上．若11=15EF GH ，求BN AM； （联系拓展）(3)如图3，四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝AD ＝10，BC ＝CD ＝5，AM ⊥DN ，点M ，N 分别在边BC ，AB 上，求DN AM的值．【答案】（1）证明见解析；(2)1115；（3）45.【解析】分析：(1)过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，根据矩形的性质证明△PDA∽△QAB；(2)根据(1)的结论可得BNAM；(3)过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，SC＝x，DS＝y，在Rt△CSD，Rt△ARD中，用勾股定理列方程组求出AR，AB，结合(1)的结论求解.详解：(1)如图1，过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP，四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT＋∠AQT＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP＋∠DPA＝90°，∴∠AQT＝∠DPA.∴△PDA∽△QAB.∴AP ADBQ AB＝，∴EF ADGH AB＝.(2)如图2，∵GH⊥EF，AM⊥BN，∴由(1)的结论可得EF ADGH AB＝，BN ADAM AB＝，∴1115 BN EFAM GH＝＝.(2)如图3，过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线与S，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS．∵AM⊥DN，∴由(1)中的结论可得DN AR AM AB＝．设SC ＝x ，DS ＝y ，则AR ＝BS ＝5＋x ，RD ＝10﹣y ，∴在Rt △CSD 中，x 2＋y 2＝25①，在Rt △ARD 中，(5＋x )2＋(10﹣y )2＝100②，由②﹣①得x ＝2y ﹣5③，222525x y x y ⎧⎨-⎩＋＝＝，解得34x y ⎧⎨⎩＝＝，50x y -⎧⎨⎩＝＝(舍)， 所以AR ＝5＋x ＝8，则84105DN AR AM AB ＝＝＝.点睛：这是一个类比题，主要考查了相似三角形的判定与性质，在特殊图形中存在的结论，放在非特殊图形中结论是有可能成立也有可能不成立，但特殊图形中结论的推导过程仍然适用于一般图形.19．解方程组：22444{10x xy y x y -+=++=①②． 【答案】110{1x y ==-，2243{13x y =-=．【解析】试题分析：由①得出x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2，原方程组转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．试题解析：由①得：x ﹣2y=2或x ﹣2y=﹣2．原方程可化为：22{1x y x y -=+=-，22{1x y x y -=-+=-． 解得，原方程的解是110{1x y ==-，2243{13x y =-=．考点：高次方程．20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②【答案】11613{113x y ==-,221{1x y ==. 【解析】【分析】先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0 将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩， 所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩． 故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。
简单的二元二次方程组
简单的二元二次方程组二元二次方程组【教学内容】简单的二元二次方程组【教学目标】1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，会用代入法求方程组的解。
*2、掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
3、通过解简单的二元二次方程组，使学生进一步理解“消元”“降次”的数学方法，获得对事物可以转化的进一步认识。
【知识讲解】1、形如x 2+y=2，x 2+y 2=0,3x 2+2y 2+1=0，4x 2–4xy+y 2+2x –y –12=0这些整式方程，每个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次都是2，像这样的含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次是2的整式方程，称为二元二次方程。
关于x 、y 的二元二次方程式的一般形式是ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0（a 、b 、c 不全为零）其中ax 2、bxy 、cy 2叫做方程的二次项，dx 、ey 叫做方程的一次项，f 叫做常数项。
2、我们所研究的二元二次方程组一般由两个方程联立而成，其中一个是二元二次方程，另一个可能是二元二次方程、二元一次方程、一元二次方程或一元一次方程。
二元二次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元二次方程组的解。
求解二元二次方程组的基本思想是消元或降次，消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次，因此，通过消元或降次可以将其转化为二元一次方程组或一元二次方程甚至一元一次方程，以便求解。
例如在解方程组x –2y –1=0 (1)时，注意到(1)可以转化为x=2y+1(3)，将(3)式代入(2)–4x －y+1=0(2)即可消去(2)中的未知数x ，得到一个关于y 的一元二次方程。
我们把这种解方程组的方法叫代入消元法。
而在解方程组=+-=+)2(065)1(202222y xy x y x 时，显然无法直接使用代入法求解，但由于方程（2）可分解为(x –2y)(x –3y)=0即x –2y=0或x –3y=0，这样一来，原来的二元二次方程立即转化为两个二元一次方程，通过因式分解降低了方程的次数。
简单的二元二次方程组
简单的二元二次方程组(3课时)一、教学目标1、了解二元二次方程、二元二次方程组的概念。
2、掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法，会用代入法求方程组的解。
3、通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元”“降次”的方法，了解“转化”的数学思想方法。
4、掌握由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法。
5、通过解简单的二元二次方程组，进一步理解“消元”、“降次”的数学方法，获得对事物可以转化的进一步认识。
二、内容综述：1．解二元二次方程组的基本思想和方法解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。
“二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。
（1）代入消元法（即代入法）代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值；④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。
（2）逆用根与系数的关系对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。
当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。
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简单的二元二次方程组总结一、知识梳理1、解方程组基本思想：（1）消元；（2）降次。
常用的方法有：代入消元法、因式分解法、韦达定理法、换元法、方程组相加（或倒数相加法）、消项后因式分解法等。
2、当方程组中含有分式方程或无理方程时，一定要注意验根（因为可能存在增根）。
3、当方程组只有一组实数解时，先将方程组化为含一个未知数的一元二次方程，同时要注意观察原方程组的组成，分情况考虑：（1）当方程组为整式方程组时，考虑两种情况：① 一元二次方程二次项系数等于零时；②一元二次方程判别式0=∆。
（方程组中若某个方程如：02=-y x ，则可理解为无理方程y x ±=来考虑。
） （2）当方程组中含有无理方程或分式方程时，分为以下三种情况：① 一元二次方程二次项系数等于零时；②一元二次方程判别式0=∆；③一元二次方程的一个根为增根（对于分式方程：增根为使分母等于零的根；对于无理方程，增根为使0<a 或0<a 的根。
）二、解题方法1、代入消元法例1 ⎩⎨⎧=-=+-+340)2()(2x y y x y x (2)(1)解：由)2(式得：3+=x y )3(将)3(式代入（1）式得：034942=-+x x 即：0)174)(2(=+-x x 解得 417,221-==x x 代入)3(式可得： 45,521-==y y所以原方程组的解为：⎩⎨⎧==5211y x 或 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=4541722y x 。
2、因式分解法例2 ⎩⎨⎧=+=--4502322222y x y xy x (2)(1)解：由)1(式得：0)2)(2(=-+y x y x )3( 即 02=+y x 或02=-y x︒1 ⎩⎨⎧=+=+45222y x y x 解得：⎩⎨⎧=±=6311 y x ︒2 ⎩⎨⎧=+=-45222y x y x 解得：⎩⎨⎧±=±=3622y x 所以原方程组的解为：………3、利用韦达定理法例3 ⎪⎩⎪⎨⎧==-1010311xy y x (2)(1)解：由)2(式得：1011-=-xy )3( 令y x 1,1-为方程01011032=--t t 的两根， 则：013102=--t t 即 0)15)(12(=+-t t 51,2121-==∴t t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=∴511211y x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=211511y x解得：⎩⎨⎧-==5211y x 或 ⎩⎨⎧-==2522y x经检验，………是原方程组的解。
4、换元法例4 ⎩⎨⎧++-=+++=++++)3)(2(741)3()2(34)3)(2(22y x y x y x y x (2)(1)解：设t y s x =+=+3,2，原方程组可化为：⎩⎨⎧-=+=++stt s st t s 7413922 再设 v st u t s ==+,得⎩⎨⎧=-=+741392v u v u)2()1()1()2(÷得：19=-v u )3(由)1(、)3(解得：⎩⎨⎧==10029v u ，即⎩⎨⎧==+10029st t s解之得⎩⎨⎧==425t s 或⎩⎨⎧==254t s即⎩⎨⎧=+=+43252y x 或 ⎩⎨⎧=+=+25342y x由此并检验得原方程组的解为⎩⎨⎧==12311y x 或⎩⎨⎧==22222y x 。
5、方程组相加（或倒数相加法）（1）对于一些各个方程的结构很整齐的方程组，可从整体来考虑，先求出它们的和，再来化简各个方程。
（2）取倒数时需要考虑零是否是方程组的根。
例5 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=-+-=-+222278)(252)(239)(z z y x z y y x z y x x z y x )3()2()1(解：由)3()2()1(++式得：169)(2=++z y x )3( ……………例5 222222c b a z y x bx ay xy az cx zx cy bz yz ++++=+=+=+ （其中c b a ,,均不为0）。
解：由方程组知z y x ,,这三个数中，只要有一个为0，则另两个必为0，从而分母 ,0=+cy bz 不合题意，因此z y x ,,均不为0。
令kc b a z y x bx ay xy az cx zx cy bz yz 1222222=++++=+=+=+ 对方程组取倒数得：k ybx a k x a z c k z c y b =+=+=+,, 三式相加整理得：k z c y b x a 23=++ )1( )1(式分别减去以上每一式子得：2,2,2k z c k y b k x a === 所以z kc y k b x k a 2,2,2===， 代入kc b a z y x 1222222=++++，解得4=k ， 所以2,2,2c z b y a x ===， 经检验，原方程组的解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===222c z b y a x 。
6、消项后因式分解法对于复杂的二元二次方程组，以上1~5的方法都不适用时：（1）不含一次项时消常数项后再进行因式分解；（2）消去对应成比例项再进行因式分解（二次项系数对应成比例则消去二次项、x 或y 项系数对应成比例则消去x 或y 项、非二次项系数成比例则消去非二次项）。
例7 ⎩⎨⎧=+-=-+86352522222y xy x y xy x 例8 ⎩⎨⎧=+-+--=+-+--0132412630838422222y x y xy x y x y xy x 例9 ⎩⎨⎧=++++=++++03206422222y x y xy x y x y xy x 例10 ⎩⎨⎧=+--+=-+++036301222y x y xy y x xy x 【思考题】1、解方程组：（1)⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=-+-=-+222278)(252)(239)(z z y x z y y x z y x x z y x (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+5356136222222x z xyz z y xyz y x xyz （3）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++785239xz xy z yz x yz xy z xz y xy xz y yz x （4）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++2471y y x x y y x x（5）⎩⎨⎧=++=++2454144)53)(1(2y x x y x x x （6）⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++xyy x yx y x 24)4)(9(104922 （7）⎩⎨⎧-=++--=+1212033y x y x （8）⎩⎨⎧+=++=+26215222y xy x y y x（9）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+612331y y x y x y x （10）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=+++=+++43)2)(1(32221z y z y z x x xz y x xxy 2、已知实数d c b a ,,,互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111，试求x 的值。
3、已知⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-1989)(1990)(1989)(19880)(1990)(1989)(1988222x z z y y x x z z y y x ，求y z -的值。
（1989）三、错题整理1、解下列方程组：（1） ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+x z zz y yy x x 222222414414414 （2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++411131112111y x z x z y z y x（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++=+++432222221z y z y yz z x x xz y x xxy （4）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++192837222222z yz y z xz x y xy x（5）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+y xy z z zx y x yz x 2222222、已知：zxx z zxx z yz z y yz z y xy y x xy y x 43322++-+=++-+=++-+，且z y x 132-=，则z y x ++的值为________________________。
3、设y x ,为实数，且满足⎩⎨⎧=-+--=-+-1)1(1999)1(1)1(1999)1(33y y x x )2()1(，则=+y x ________。
4、已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+--)12(0212x k y y x kx （y x ,为未知数）有两组不同的实数解⎩⎨⎧==11y y x x ⎩⎨⎧==22y y x x 。
（1）求实数k 的取值范围______________。
5、已知方程组⎩⎨⎧=+=+62322y x ky x )2()1()1(>k 。
（2）若两组实数解为),(11y x 和),,(22y x 且)(42121x x y y +=+，求k 的值________________。
6、已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-+-+=-01202222a ay y x y x 恰有两个不同的实数解，求实数a 的取值范围_______________________。
7、求使方程组⎩⎨⎧=-=-a x y ay x 6522有正整数解的a 的值_________________________。
8、设c b a ,,均为非零实数，且)(4),(3),(2a c ca c b bc b a ab +=+=+=，求c b a ++的值__________________。
9、已知方程组⎩⎨⎧=--=---020102y x a y ax 只有一组实数解，求a ____________。
10、已知z y x ,,是正整数，并且满足⎩⎨⎧+-++=++=-153043z y x z y x y x ，那么z y x +-的值等于____________________。
11、方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+5356136222222zx xyz z y xyz y x xyz的解=),,(z y x __________________________________。
12、若方程组⎩⎨⎧+-=-++=+yx a y x yx a y x 2)(2)(22有唯一一组实数解，则实数a 的值为_______。