解直角三角形试题与答案

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教师填写 内容 考试类型 考试【 】 考查【 】 命题人 绝密★启用前

解直角三角形

测试时间:30分钟

一、选择题

1.在△ABC 中,∠C=90°,AB=10,cos A=45

,则BC 的长为( ) A.6 B.7.5 C.8 D.12.5

2.如下图,在△ABC 中,AD ⊥BC,垂足为点D,若AC=6√2,∠C=45°,tan ∠ABC=3,则BD 等于( )

A.2

B.3

C.3√2

D.2√3

3.如下图所示,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,CE ⊥AB 于E,且BE=2AE,已知AD=3√3,tan ∠BCE=√3

3

,那么CE

等于( )

A.2√3

B.3√3-2

C.5√2

D.4√3

二、填空题

4.小明用一块含30°角的直角三角板在已知线段AB 上作出△ABC,如下图(1)(2)所示.若AB=6,则△ABC 的面积为 .

5.如下图,在四边形ABCD 中,AB=2,BC=CD=2√3,∠B=90°,∠C=120°,则线段AD 的长为 .

三、解答题

6.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c.若a=2,sin A=13

,求b 和c.

7.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c,根据下列条件:c=8√3,∠A=60°,求出直角三角形的其他元素.

8.如下图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,AE 是BC 边上的中线,∠C=45°,sin B=1

3,AD=1. (1)求BC 的长;

(2)求tan ∠DAE 的值.

9.阅读下面材料:

小红遇到这样一个问题:如下图(1),在四边形ABCD 中,∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=4√3,BC=√3,求AD 的长.小红发现,延长AB 与DC 相交于点E,如下图(2),通过构造Rt △ADE,经过推理和计算能够使问题得到解决,过程如下:

在△ADE 中,∠A=90°,∠D=60°,∴∠E=30°. 在Rt △BEC 中,∠BCE=90°,∠E=30°,BC=√3, ∴BE=2BC=2√3,

∴AE=AB+BE=4√3+2√3=6√3.

在Rt △ADE 中,∠A=90°,∠E=30°,AE=6√3, ∴AD=AE·tan E=6√3×√3

3=6.

参考小红思考问题的方法,解决问题:如下图(3),在四边形ABCD 中,tan A=12

,∠B=∠C=135°,AB=9,CD=3,求BC 和AD 的长.

横线以内不许答题

参考答案

一、选择题

1.答案

A

如下图

,∵cos A=AC AB =4

5,AB=10,∴AC=8,由勾股定理得BC=√AB 2-AC 2=√102-82=6.故选A.

2.答案 A ∵在△ABC 中,AC=6√2,∠C=45°,AD ⊥BC,∴AD=AC·sin 45°=6√2×√2

2

=6,

∵tan ∠ABC=3,∴

AD BD =3,∴BD=AD

3

=2,故选A.

3.答案 D 在Rt △BCE 中,∵tan ∠BCE=√3

3

,∴∠BCE=30°,∴∠B=60°.又∵在Rt △ABD 中,AD=3√3,∴

AB=6,∵BE=2AE,∴BE=4.在Rt △BEC 中,BE=4,∠BCE=30°,∴CE=4√3,故选D.

二、填空题

4.答案 3√3

解析 如下图,作CD ⊥AB,垂足为D,由题意易知∠A=∠B=30°,又CD ⊥AB,∴AD=DB,∵AB=6,∴AD=3.

在Rt △ACD 中,CD=AD·tan A=√3,∴S △ABC =1

2AB·CD=3√3.

5.答案 2√7

解析 如下图,连接AC.在Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=2,BC=2√3,∴tan ∠ACB=AB BC =

2√3=√3

3

,∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=4.∵∠BCD=120°,∴∠ACD=∠BCD -∠ACB=120°-30°=90°.∴在Rt △ADC 中,∠ACD=90°,AC=4,CD=2√3,∴AD=√AC 2+CD 2=√42+(2√3)2=2√7.

三、解答题

6.解析 如下图.

∵a=2,sin A=a c =1

3,

∴c=a sinA =2

13

=6,

则

b=22=√622=4√2.

7.解析 如下图,∵∠C=90°,∠A=60°, ∴∠B=90°-60°=30°,

又∵c=8√3,∴b=1

2c=1

2×8√3=4√3,

∴a=√c 2-b 2=√(8√3)2-(4√3)2=12.

8.解析 (1)在△ABC 中,AD 是BC 边上的高, ∴∠ADB=∠ADC=90°.

在Rt △ADC 中,∠ADC=90°,∠C=45°,AD=1, ∴DC=AD=1.

在Rt △ADB 中,∠ADB=90°,sin B=1

3,AD=1, ∴AB=AD

sinB =3,

∴BD=√AB 2-AD 2=2√2, ∴BC=BD+DC=2√2+1.

(2)∵AE 是BC 边上的中线,∴CE=1

2BC=√2+1

2, ∴DE=CE -CD=√2-1

2,∴tan ∠DAE=DE

DA =√2-1

2.

9.解析 如下图,延长AB 与DC 相交于点E.

∵∠ABC=∠BCD=135°,∴∠EBC=∠ECB=45°,∴BE=CE,∠E=90°. 设BE=CE=x,则BC=√2x,AE=9+x,DE=3+x. 在Rt △ADE 中,∠E=90°, ∵tan A=1

2,∴DE AE =1

2,即3+x 9+x =1

2,∴x=3. 经检验,x=3是所列方程的解,且符合题意,