华中科技大学材料力学答案
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M y F1 2 1600 Nm
M z F2 1 1650 Nm
危险点为截面角点,最大应力为
max
由强度条件
My Wy
M z 6M y 6M z 3M y 3M z 2 3 3 2 Wz hb bh b 2b
max [ ]
1 3 1 3
1 3 1600 1.5 1650 3 b (3M y M z ) (m) 90mm 6 2 10 10 [ ]
6-11 已知图示各单元体的应力状态(图中应力单位为MPa)。试求:(1)主应力及最大 切应力;(2)体积应变θ;(3)应变能密度u及畸变能密度ud。设材料的E=200GPa, μ=0.3 。 解: (d)
1 50
max
2
2 50
0
3 50
1 3
1
3
y
19.33
1 57.02
tan 2 0
2 0
2 xy
3 7.02
4 5
x y
x
0 19.33 19 20
~ max x y 2 32.02 xy 2
2
max
1 2 ( 1 2 3 ) E (1 2 0.3) 3 50 106 6 300 10 200 109 1 2 2 [ 12 2 2 2 ( 1 2 2 3 3 1 )] 2E
u
Hale Waihona Puke Baidu
3 (1 2 0.3) 502 1012 7.5 103 ( J / m3 ) 9 2 200 10
1 3
2
57.02 7.02 ~ 32.02 max 2
6-6 各单元体的受力如图所示,试求:(1)主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主 单元体;(2)最大切应力(单位MPa) 。 解: (d)
37.98
x 20
y 40
2
xy 40
1
20 max 60 11.23 402 30 41.23 min 2 71.23 2
2 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 93.27 MPa 2
r4
7-2 悬臂木梁上的载荷F1=800N,F2=1650N,木材的许用应力[σ]=10MPa,设矩形截面的h=2b, 试确定截面尺寸。 解:危险截面为固定端,其内力大小为
max
z
xy 40
2 0 3 40
1 3
2
40
y
1 2 ( 1 2 3 ) 0 E 1 2 2 u [ 12 2 2 2 ( 1 2 2 3 3 1 )] 2E 2 (1 0.3) 402 1012 3 3 10 . 4 10 ( J / m ) 2 200 109 1 ud [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6E (1 0.3) 402 1012 3 3 10 . 4 10 ( J / m ) 200 109
作内力图 最大压应力在C 处左侧截面上边缘各点,其大小为
c
FN :
max
M c 2.4 103 6 1.125 103 ( Pa ) 2 3 A W 0.1 0.1 FNc
(0.24 6.75)MPa 6.99MPa
-
2.4kN
最大拉应力在C 处右侧截面下边缘各点,其大小为
6-11 已知图示各单元体的应力状态(图中应力单位为MPa)。试求:(1)主应力及最大 切应力;(2)体积应变θ;(3)应变能密度u及畸变能密度ud。设材料的E=200GPa, μ=0.3 。 解: (a)如图取坐标系
x
z 0 x 0 y 0 max 1 40 40 min
ud 1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 0 6E
6-14 列车通过钢桥时,在钢桥横梁的A点用应变仪测得ε x=0.4×10-3, εy= -0.12×10-3 ,已知: E=200GPa, μ =0.3 。试求A点的x-x及y-y方向的正应力 。 解:A点为平面应力状态,由广义胡克定律
单元体可画成平面单元体如图(从上往下观察)
A
6-5 试用求下列各单元体中ab面上的应力(单位MPa) 。 解:(a)
x 70
x y
2
y 70
x y
2
xy 0
30
1 cos(2 30 ) 70 35 ( MPa ) 2
1 11.23
3
x
2 0
2 xy
3 71.23
tan 2 0
x y
4
0 37.98
~ max x y 2 41.23 xy 2
2
y
max
1 3
2
~ 41.23 max
sin(2 30 ) 0
6-6 各单元体的受力如图所示,试求:(1)主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主 单元体;(2)最大切应力(单位MPa) 。 解:(a)
x 50
y 0
2
xy 20
50 max 50 57.02 2 20 25 32 . 02 7.02 min 2 2
200 109 3 ( 0 . 12 0 . 3 0 . 4 ) 10 0 2 1 0.3
6-17 在图示梁的中性层上某点K处,沿与轴线成 45º 方向用电阻片测得应变ε= -0.260×10-3 ,若 材料的E=210GPa, μ =0.28 。试求梁上的载荷F 。 解:测点 K 处剪力为:
N max ~ ~
F A
M W
F F a / 2 F 8 2a 2 2a a 2 / 6 4a 2
故最大压应力增大 7 倍
7-8 求图示截面的截面核心。 z 1
2 y
解:取截面互垂的对称轴为坐标轴
2
I 0.2 0.63 / 12 2 0.2 0.23 / 12 i i 0.0193m 2 2 A 5 0.2
即:
E 3I t F 45 *z (1 ) 2S z max
t 8.5mm
Iz S
* z max
246mm
3 210 109 0.26 103 246 103 8.5 103 133.79kN 2 (1 0.28)
6-19 求图示各单元体的主应力,以及它们的相当应力,单位均为 MPa。设 μ =0.3 。 解:准平面应力状态,如图取坐标系,已知一主应力 σz =50MPa, 可按平面应力状态公式求得另外两个主应力。
x
x 0
由广义胡克定律
1 [ x ( y z )] 0 x ( y z ) 0.3 60 18MPa E
1 0.3 (60 18) 106 6 z [ z ( x y )] 117 10 E 200 109
则取截面尺寸为
b 90mm
h 180mm
7-4 斜梁AB的横截面为100 mm×100 mm 的正方形,若F=3kN,作梁的轴力图、弯矩图, 并求梁的最大拉应力和最大压应力。 解:将F 分解为轴向力Fx 和横向力 Fy
Fx
Fx Fy
4 F 2.4kN 5
3 Fy F 1.8kN 5
2 z
以直线 1 为中性轴
y
a y1 0.3m az1
iz2 0.0193 yF1 0.064m 64mm a y1 0.3
以直线 2 为中性轴
z F1 0
(-48,48)
(0,64)
(48,48)
yF 2
a y 2 0.4m az 2 0.4m iz2 0.0193 0.048m 48mm ay2 0.4
x 20MPa y 30MPa xy 40MPa
x z
2 ~ max x y x y 2 ~ xy 2 min 2
y
20 30 20 30 52.17 2 (40) 5 47.17 42.17 2 2
x y
2
sin(2 30 ) 70
3 60.62 ( MPa ) 2
(b)
x 70
x y
2
y 70
x y
2
xy 0
30
cos(2 30 ) 70 ( MPa )
x y
2
Fs
2 F 3
中性层上的点处于纯剪切应力状态,有:
45
45 90
* Fs S z max I zt
由广义胡克定律
45
45 45 90
E
(1 ) E
查表得:
* 2 FS z E max 45 ( 42.66MPa ) 则: 3I z t (1 )
2 iy
(-64,0) (-48,-48)
主应力为: 相当应力:
2
1 52.17MPa 2 50MPa 3 42.17MPa
r1 1 52.17MPa
r 2 1 ( 2 3 ) 52.17 0.3(50 42.17) 49.82MPa
r 3 1 3 94.34MPa
x
x
1 ( x y ) E
y
1 ( y x ) E
E ( x y ) 2 1
200 109 3 ( 0 . 4 0 . 3 0 . 12 ) 10 80MPa 2 1 0.3
y
E ( y x ) 2 1
6-2 圆截面直杆受力如图所示。试用单元体表示A点的应力状态。已知F=39.3N,M0=125.6Nm, D=20mm,杆长l=1m。 解:按杆横截面和纵截面方向截取单元体
M 32 Fl 32 39.3 1 50.04MPa 3 3 W D 0.02
T 16M 0 16 125.6 79.96MPa 3 3 Wp D 0.02
1.125kNm
M:
t
max
M c 6 1.125 103 ( Pa ) 6.75MPa W 0.13
7-5 在正方形截面短柱的中部开一槽,其面积为原面积的一半,问最大压应力增大几倍? 解:未开槽短柱受轴载作用,柱内各点压应力为
FN F 2 A 4a
开槽短柱削弱段受偏心压力,最大压应力为
6-9 图示一边长为10mm的立方钢块,无间隙地放在刚体槽内,钢材弹性模量 E=200GPa, μ=0.3,设F=6kN,试计算钢块各侧面上的应力和钢块沿槽沟方向的应变(不计摩擦) 。 解:假定 F 为均布压力的合力,由已知条件
y
F 6000 60MPa A 10 10
z 0