第三章 系统的时间响应分析
第三章系统的时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
输出的时间响应为：
K c(t ) (1 e K 1
T 1 假设增益 K 1
K 10
K 1 ( )t T
)
2t
c(t ) 0.5(1 e ) c(t ) 0.909(1 e
11t
)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
动态方框图： （单位负反馈系统）
Xi(s)
2 n s 2 2 n s
Xo(s)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
1 1 at e sin t 2 2 ( s a)
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
机械工程控制基础
第三章控制系统时间响应分析
例特征根值：
si j; j
系统的输出：
y1 (t ) e cost
y2 (t ) e sin t
欠阻尼二阶系统具有一对实部为负的共轭 复根，时间响应呈衰减振荡特性，故又称 为振荡环节。 系统闭环传递函数的一般形式为
C ( s) 2 2 R( s ) s 2 n s n
2 n
特征根为一对共轭复根
衰减系数 d 阻尼振荡频率
s1,2 n j n 1 2 j d
或
arccos
系统的响应由稳态分量和动态分量两部分 组成，稳态分量的值等于1，动态分量是 一个随时间t的增长而衰减的振荡过程。
工程控制基础 第3章 系统的时间响应分析
总结 当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
华中科技大学 易朋兴
2019/12/30
机械工程控制基础
30
3.4 二阶系统性能指标
➢ 总结
➢ 要使二阶系统具有合适动态特性，应合理选择ζ和ωn。一般的做法是先根据 最大超调量Mp 、振荡次数N等要求选择系统的阻尼比ζ ，然后再根据上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts等要求，确定系统无阻尼固有频率ωn
➢ 单位脉冲响应
➢ 单位阶跃响应
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机械工程控制基础
3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 单位斜坡响应
12
T：时间常数
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机械工程控制基础
3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 不同输入函数不同时间常数下输出响应比较
当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
2019/12/30
机械工程控制基础
29
3.4 二阶系统性能指标
➢ 二阶欠阻尼系统瞬态性能指标：
上升时间 tr 、峰值时间 t p 、最大超调量 M p 、调整时间 ts 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应
➢ 振荡次数N ：在过渡过程时间内， xo(t)穿越其稳态值的次数的一半
2 n
s2
2n s
2 n
ωn、ζ
：特征参数
➢ 单位脉冲响应
• 当 ，0系统为零阻尼系统时
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机械工程控制基础
机电传动控制第三章
当t=0时，初始斜率为
时间常数T是重要的特征参数，它反映了系统响应的快慢。T 越小，C(t)响应越快，达到稳态用的时间越短，即系统的惯 性越小。
通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%～98%时， 认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间 为3T～4T。
第三章 线性系统的时域分析 3、一阶系统的脉冲响应
第三章 线性系统的时域分析
规律
x (t)
1
1
eT
0
T
1
x (t) 1 e T 01
1
x0t1(t) t T Te T
x x (t) d (t)
0
dt 01
x x d
(t)
(t)
01
dt 0t
即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号 响应的导数。
此规律是线性定常系统的重要特征，不适用于线性时变 系统及非线性系统。
当输入信号为理想单位脉冲函数时，Xi(s)＝1，输入量的拉氏变换 于系统的传递函数相同，即
一阶系统单位脉冲响应的特点
xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减
当t=0时，初始斜率为
对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于 0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。
同样满足上述规律，即T越大，响应越慢，无论哪种输入信号 都如此。
±2%或±5%）内所需的时间。
td、tr、tp、ts用来评定系统的快速性（灵敏性）。
Mp用来评定系统的相对平稳性。
第三章 线性系统的时域分析
结论 二阶系统的动态性能由ωn和ξ决定。
通常根据允许的最大超调量来确定ξ。一般选择在
0.4～0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬态响
控制工程基础3章
零状态响应 随时间的推移(t → ∞)而衰减、趋于零。 (所有Re(si)<0时的自由响应。) t → ∞，仍然存在。 (稳定系统的强迫响应。)
↘强迫响应
Notes:
(1) 几个概念 系统的时间响应－－输入一定时系统输出随时间的变化规律。 时域分析方法－－直接求解微分方程和状态方程，求出时域响应来评价系 统的方法。 零输入响应－－在没有输入(x(t)=0)时，仅由系统的初始状态引起的响应。 零状态响应－－在初态为零时，仅由外部输入(激励)引起的响应。 暂态响应－－是指随时间的增长而趋于零的那部分响应。 稳态响应－－是指暂态消失后，余下的那部分响应。 (2) n 与 si ，既与系统的初态无关，更与系统的输入无关； 它们取决于系统的结构与参数这些固有特性。 (3) 传递函数定义指明系统初态为零，故初态决定的零输入响应为零；从而 对Y(s) = G(s)X(s)进行拉式逆变换 y(t)=L-1[Y(s)]，就是系统的零状态响应。 (4) 对同一线性定常系统，若输入函数等于某函数的导函数x1(t) = x’(t) ， 该输入函数的响应函数，也等于这一函数的响应函数的导函数 y1(t) = y’(t) 。
解I 另可求出 y * F k
1 1 n
2
cost 是满足微分方程(1)的特解。
令λ = ω / ωn，得到微分方程(1)的完全解为：
F 1 y yT y A1 sin nt A2 cos nt cos t (3) 2 k 1
第三章 时间响应分析
本章要点： 1、时间响应及其组成，以及一些基本概念； 2、一、二阶系统的典型信号激励的响应及其计算； 3、评价二阶系统的性能指标；
4、系统的零点对系统的影响。
机械工程控制基础-时间响应分析
工程控制基础
第三章 时间响应分析
二、二阶系统对典型输入信号的响应
1、二阶系统的单位脉冲响应
工程控制基础
第三章 时间响应分析
（t≥0）
d n 1 （2 有阻尼固有频率）
工程控制基础 0<ζ<1
第三章 时间响应分析
不同阻尼比时的单位脉冲响应情况
工程控制基础
第三章 时间响应分析
（t≥0）
工程控制基础
（3）
第三章 时间响应分析
（c）特征根的实部≤0
工程控制基础
第三章 时间响应分析
2）
Im[si]绝对值越大，则自由响应项振荡频率越高， 它影响着【系统响应的准确性】。
工程控制基础
第三章 时间响应分析
3.2 典型输入信号
在控制工程中，常用的输入信号有两大类：
•其一是系统正常工作时的输入信号；
•其二是外加的测试信号。
1）一阶系统的单位脉冲响应
➢ω(t)=
ω(tc()t)
1 T
初初始始斜斜率率＝＝Ｔ１-Ｔ１2
(t )
1 T
t
e T （t≥0）
0.368 1
T
0.135
1 T
1 0.018 T
0 T 2T 3T 4T
t
图3-2 一阶系统的 单位脉冲响应曲线
工程控制基础
第三章 时间响应分析
➢一阶系统的调整时间为4T
an
y(n)
(t)
a y(n1) n1
(t)
...
a1 y(t)
a0
y(t)
x(t)
工程控制基础
第三章 时间响应分析
输入引起的
n
n
y(t) A1iesit A2iesit B(t)
第3章 系统的时间响应分析
第3章 系统的时间响应分析在建立系统的数学模型（微分方程或传递函数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学模型来分析系统的特性，时间响应分析是重要的方法之一。
第3.1节 时间响应及其组成一、时间响应的概念所谓时间响应指系统在外加激励作用下，其输出量随时间变化的函数关系。
或者说 在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式；在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
自变量为时间t ，因变量为输出()[()]o x t y t二、时间响应的组成分析：第一、二项是由微分方程的初始条件（即系统的初始状态）引起的自由振动，即自由响应。
ω。
应该说第三项的自第三项是由作用力引起的自由振动即自由响应，其振动频率均为nω与作用力频率ω无关，由响应并不完全自由。
因为它的幅值受到F的影响，当然，它的频率n自由即在此。
第四项是由作用力引起的强迫振动即强迫响应，其振动频率即为作用力频率ω。
因此系统的时间响应可从两方面分类：按振动性质可分为自由响应与强迫响应，按振动来源可分为零输入响应（即由“无输入时系统的初态”引起的自由响应）与零状态响应（即在“无输入时的系统初态”为零而仅由输入引起的响应）Array所以我们的研究对象是：零状态响应。
另外还有两个需了解的概念：瞬态响应和稳态响应。
瞬态响应：系统在外加激励作用后，从初始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。
反映了系统的快、稳特性。
稳态响应：时间趋于无穷大时，系统的输出状态为稳态响应。
反映系统的准确性。
三、系统方程的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡第3.2节 典型的输入信号由于系统的输入具有多样性，所以在分析和设计系统时，需要规定一些典型的输入信号，然后比较各系统对典型信号的时间响应。
不同系统或参数不同的同一系统对同一典型信号的时间响应不同，反映出各种系统动态特性的差异，从而可以定出相应的性能指标，对系统的性能予以评定。
尽管在实际中，输入信号很少是典型信号，但由于系统对典型信号的时间响应和对任意信号的时间响应之间存在一定的关系统，所以知道系统对典型信号的响应就可求出对任意输入的响应。
3第三章 系统的时间响应分析
( 2 1)nt
2 2 1
-1 0
1
2 t(sec) 2 t(sec) 2 t(sec)
2. 二阶系统的单位阶跃响应
xi (t) u(t)
L[u(t)] 1 s
X o (s)
G(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
1 s
xo(t)
n
2
1
s 2n
1
s (s n jd )(s n jd )
xi1 (t) xo2 (t) xi2 (t) xo1 (t)
实际中经常使用下述两类输入信号：系 统正常工作时的输入信号和外加测试信号；
输入信号即简单又不会因外加扰动而破坏 系统的正常运行，然而，这不一定能保证有 足够的能激励系统的信息，从而获得对系统 动态特性的全面了解；
测试信号在实验条件下用得很成功，但在 实际生产过程中对正常的生产运行干扰太大， 往往不能使用。
X
i
(s)
1 Ts
1
1 s
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
L-1[
1 Ts
1
1 s
]
0T
1 et T
t(sec)
瞬态响应：et T
稳态响应： 1
3. 一阶系统单位斜坡响应
xo(t)
xi (t) r(t t
Xi (s) 1 s2
X
o
(s)
G(s)
X
i
(s)
G(s)
1 s2
xo
t
L-1[
X
o
(s)]
由Xo(s)=Xi(s)G(s) =Xi(s)W(s)
可得： xo(t)=xi(t)*w(t)
机械工程控制基础_第三章
将初始条件带入（2）（3）可解得：
F 1 C1 ，C2 y(0) n k 1-(/n )2
y(0)
整理：
自由响应（通解）
y(t ) y(0) sin nt y(0) cos nt
积 分 关 系
3.3 一阶系统的时间响应分析
一阶系统：凡其动态过程可用一阶微分方程来表示的 控制系统称为一阶系统。 一般形式为：
Ty(t ) y(t ) u (t )
1 G(s) Ts 1
T 称为一阶系统的时间常数。
3.3.1 一阶系统的单位脉冲响应
输入为单位脉冲函数时，系统输出称为单位脉冲响应。
i 1 i 1
零输入响应
零状态响应
注意：
1)系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态 无关；
y(t ) L1[G(s) X (s)] 所求得的输出是系统的零状态 2）由
响应，因在定义系统的传递函数时，已指明系统的初态为 零，故取决于系统的初态的零输入为0；
3)对于线性定常系统，若 (t )引起的输出为 (t )，则x ' (t )引起 x y 的输出为y ' (t )
Y ( s ) G ( s )U ( S ) 1 1 1 1 Ts Ts 1 T 1 T T 2 2 2 2 2 Ts 1 s s (Ts 1) s (Ts 1) s s (Ts 1) s s s 1 T
y(t ) L [Y (s)] t T Te
δ函数的重要性质
结论：系统在单位脉冲函数作用下，其响应函数等于 传递函数的拉氏逆变换
第三章系统的时间响应分析机械工程控制基础教案
第三章系统的时间响应分析机械⼯程控制基础教案Chp.3时间响应分析基本要求(1) 了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部对系统⾃由响应项的影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关系。
(2 ) 了解控制系统时间响应分析中的常⽤的典型输⼊信号及其特点。
(3) 掌握⼀阶系统的定义和基本参数，能够求解⼀阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握⼀阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。
掌握线性系统中，存在微分关系的输⼊，其输出也存在微分关系的基本结论。
(4) 掌握⼆阶系统的定义和基本参数；掌握⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；掌握⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(5) 了解主导极点的定义及作⽤；(6) 掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差及稳态误差的求法；能够分析系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
(7) 了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。
重点与难点重点(1) 系统稳定性与特征根实部的关系。
(2) ⼀阶系统的定义和基本参数，⼀阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。
(3) ⼆阶系统的定义和基本参数；⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(4) 系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的求法；系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
难点(1) ⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(2) 系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
建⽴数学模型后进⼀步分析、计算和研究控制系统所具有的各种性能。
第三章系统的时间响应分析
华中科技大学机械学院
机电系 易朋兴、熊良才
2020/3/5
机械工程控制基础
2
第三章 系统时间响应分析
➢ 时间响应及其组成 ➢ 一阶系统的时间响应 ➢ 二阶系统的时间响应 ➢ 二阶系统的性能指标 ➢ 高阶系统的时间响应 ➢ 系统的误差分析与计算 ➢ 单位脉冲响应函数在时间响应中的作用
二阶欠阻尼单位阶跃响应
➢ 上升时间tr ：响应曲线第一次达到输出稳态值所需的时间定义为上升时间
当ζ一定时ωn增大tr就减小； 当ωn一定时ζ增大， tr就增大
华中科技大学 易朋兴
2020/3/5
机械工程控制基础
26
3.4 二阶系统性能指标
➢ 二阶欠阻尼系统瞬态性能指标：
上升时间 tr 、峰值时间 t p 、最大超调量 M p 、调整时间 ts 、振荡次数 N
• 当 0 ， 1系统为欠阻尼系统时
d n 1 2 :二阶系统的有阻尼固有频率
华中科技大学 易朋兴
2020/3/5
机械工程控制基础
17
3.3 二阶系统时间响应
➢ 二阶系统：
传递函数：G( s )
Xo( s ) Xi( s )
2 n
s2
2n s
2 n
ωn、ζ
N
k
N
k 297N / m
（2）求m
Q M p exp( /
1 2 ) 100% 0.0029 9.6% 0.6
0.03
将tp和ξ代入tp计算式 tp 2s , 0.6
tp
d
n
s2
2 n
机械工程控制基础-系统的时间响应分析
a单位脉冲函数
b单位阶跃函数
c单位斜坡函数
d单位抛物线函数
e正弦函数
f随机函数
图3.2.1 典型输入信号
中原工学院 机电学院
单位阶跃函数:其导数为零，对控制系统只给出了位置，故 称位置输入信号； 单位斜坡函数:其导数为常数，一般称为恒速输入信号或速 度输入信号； 单位抛物线函数:其二次导数为常数，称为加速度输入信号。
中原工学院 机电学院
瞬态响应
若所有的Re si 0，自由响应随着时间逐渐衰减, 当t 时自由 响应则趋于零, 系统稳定, 自由响应称为瞬态响应.
反之，只要有一个Re si 0，即传递函数的相应极点s i 在复数[s]平
面右半平面，自由响应随着时间逐渐增大，当t 时，自由响应也 趋于无限大,系统不稳定，自由响应就不是瞬态响应。
为 时，其响应速度为零；x&o u ( t )
当
时，响应已达到稳态值的98%以上，过渡过程时间
时间t 常4T数T 反映了固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小t，a 系4统T
的响应也就愈快。
实验法求一阶系统的传递函数
中原工学院 机电学院
G (s)
1 输入单位阶跃信号，并测出它的响应曲线，及稳态值 xou ( ) ； 2 从响应曲线上找出0.632 xou ( )（即特征点A）所对应的时间t,
F1
y (t) A sinn t B c o sn t k1 2c o st
（3.1.6）
中原工学院 机电学院
求解常数A与B：将上式对t求导，有
y & ( t) A n c o sn t B n s inn t F k1 2 s int
第三章 系统的时间响应分析
第三章 系统的时间响应3-1 什么是时间响应？答：时间响应是指系统的 响应（输出）在时域上的表现形式或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
3.2 时间响应由哪两部分组成？各部分的定义是什么?答：按分类的原则不同，时间响应有初始状态为零时，由系统的输入引起的响应;零输入响应，即系统的 输入为零时，由初始状态引起的响应。
按响应的性质分为强迫响应和自由响应。
对于稳定的系统，其时间响应又可分为瞬态响应和稳态响应。
3.3时间响应的瞬态响应反映哪方面的性能？而稳态响应反映哪方面的性能？ 答：瞬态响应反映了系统的稳定性和响应的快速性两方面的性能；稳态响应反映了系统响应的准确性。
3.4 设系统的单位脉冲响应函数如下,试求这些系统的传递函数. 1.25(1)()0.0125;t w t e -= (2)()510s i n (44w t t t =++）；);t-3(3)w(t)=0.1(1-e(4)()0.01w t t= 解：（1）11()()()()()00w t x t L X s L G s X s i --⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦ ()1X s i=(),()()G s G s L w t =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-1w(t)=L 所以，0.01251.251)()()0.0125 1.25t G s L w t L e s -⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦((2)()()G s L w t =⎡⎤⎣⎦5510sin(4)sin 4cos422L t t t s s=++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦5452()2222161616s s s s s s =++=++++113(3)()()0.1(1)0.11t G s L w t L e s s s ⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎢⎥==-=-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭0.1(31)s s =+ 0.01(4)()()0.012G s L w t L t s ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦3.5解11()()110.256min.t TG s xt e ou Ts T -==-+=（）因为一阶系统的单位阶跃响应函数为解得，1(2)(),()10121111()()2211G s r t At t Ts A T T t x t L AL A t T Te or Ts s Ts T s s ===+⎡⎤⎡⎤---⎢⎥==-+=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为一阶系统在输入作用下的时间响应()0.256()()()(1) 2.56(1)tt tT t T Te T e t r t x t At AAT e e or----+=-=-=-=-当t=1min e(t) = 2.53度3.6解解：（1）该系统的微分方程可以表示为o i u iR u += ω⎰=i d t C u o 1其传递函数为 111111)()()(+=+=+==Ts RCs CsR Cs s u s u s G i o 其中T=RC 。
第三章系统的时间响应分析
3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
T：时间常数
➢ 性能指标：调整时间ts
➢ 一阶系统地阶跃输入作用下，达到稳态值的（1-△）所需要的时间（
△为允许误差）
•稳态值
•△·稳态值
•ts
➢ 调整时间反映系统响应的快速性，T越大，系统惯性越大，调整时间越 长，响应越慢
3.3 二阶系统时间响应
3.1 时间响应及其组成
➢ 系统特征根si：系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和 振荡特性
•若所有特征根均有负实部， •系统自由响应项收敛于0， •系统稳定。 •此时自由响应称为瞬态响应
•若存在特征根具有正实部，•若存在特征根实部为0，
•系统自由响应项发散， •其余实部为负，则自由响应
•系统不稳定
➢ 若存在特征根实部为0，其余实部为负，则自由响应 等幅振荡,系统临界稳定
➢ 特征根的虚部影响自由响应项的振荡频率
➢ 虚部绝对值越大，自由响应项的振荡越剧烈
3.1 时间响应及其组成
➢ 控制系统中典型输入信号
•单位脉冲信号
•单位阶跃信号
•单位斜坡信号
•单位抛物线信号
•正弦信号
•随机信号
3.2 一阶系统时间响应
➢ 二阶欠阻尼系统瞬态性能指标：
•上升时间 •、峰值时间 •、最大超调量
•、调整时间 •、振荡次数
•二阶欠阻尼单位阶跃响应
➢ 最大调量Mp ：
•Mp与ωn无关，只与ζ有关； •当ζ增大， Mp就减小，反之亦然
3.4 二阶系统性能指标
3.1 时间响应及其组成
➢ 时间响应：系统的响应（输出）在时域上的表现形式，数学 上即系统微分方程在一定初始条件下的解。 ➢ 如图示系统 ➢ 外力作用（输入）：
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第三章 系统的时间响应3-1 什么是时间响应？答：时间响应是指系统的 响应（输出）在时域上的表现形式或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。
3.2 时间响应由哪两部分组成？各部分的定义是什么?答：按分类的原则不同，时间响应有初始状态为零时，由系统的输入引起的响应;零输入响应，即系统的 输入为零时，由初始状态引起的响应。
按响应的性质分为强迫响应和自由响应。
对于稳定的系统，其时间响应又可分为瞬态响应和稳态响应。
3.3时间响应的瞬态响应反映哪方面的性能？而稳态响应反映哪方面的性能？ 答：瞬态响应反映了系统的稳定性和响应的快速性两方面的性能；稳态响应反映了系统响应的准确性。
3.4 设系统的单位脉冲响应函数如下,试求这些系统的传递函数. 1.25(1)()0.0125;t w t e -= (2)()510s i n (44w t t t =++）；);t-3(3)w(t)=0.1(1-e(4)()0.01w t t= 解：（1）11()()()()()00w t x t L X s L G s X s i --⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦ ()1X s i=(),()()G s G s L w t =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-1w(t)=L 所以，0.01251.251)()()0.0125 1.25t G s L w t L e s -⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦((2)()()G s L w t =⎡⎤⎣⎦5510sin(4)sin 4cos422L t t t s s=++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦5452()2222161616s s s s s s =++=++++113(3)()()0.1(1)0.11t G s L w t L e s s s ⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎢⎥==-=-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭0.1(31)s s =+ 0.01(4)()()0.012G s L w t L t s ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦3.5解11()()110.256min.t TG s xt e ou Ts T -==-+=（）因为一阶系统的单位阶跃响应函数为解得，1(2)(),()10121111()()2211G s r t At t Ts A T T t x t L AL A t T Te or Ts s Ts T s s ===+⎡⎤⎡⎤---⎢⎥==-+=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为一阶系统在输入作用下的时间响应()0.256()()()(1) 2.56(1)tt tT t T Te T e t r t x t At AAT e e or----+=-=-=-=-当t=1min e(t) = 2.53度3.6解解：（1）该系统的微分方程可以表示为o i u iR u += ω⎰=i d t C u o 1其传递函数为 111111)()()(+=+=+==Ts RCs CsR Cs s u s u s G i o 其中T=RC 。
显然，该系统为一阶系统，其单位脉冲响应函数为T te Tt -=1)(ω，单位脉冲响应如图（b ）；其单位阶跃响应函数为Ttou ex --=1，单位阶跃响应如图（c ）；其单位斜坡响应函数为Tt or TeT t x -+-=，单位斜坡响应如图（d ）。
（2）标准积分器的传递函数为 Tss G 1)(= 其中T=RC 其单位脉冲响应函数为T t 1)(1=ω；其单位阶跃响应函数为Ttt x ou =)(1；其单位斜坡响应函数为Tt t x or 2)(21=，显然，用图（a ）所示网络代替积分器，存在误差e(t)。
它们分别为：（a ） 当输入为单位脉冲函数时)1(1)()()(1T te T t t t e --=-=ωω若t<<T, 0)1(1)()()(1=-=-=-T t e T t t t e ωω若t=T, )11(1)1(1)()()(1e T e T t t t e T t -=-=-=-ωω若t>>T, Te T t t t e T t 1)1(1)()()(1=-=-=-ωω（b ） 当输入为单位阶跃函数时T tou ou e T tt x t x t e -+-=-=1)()()(1若t<<T, 01)()()(1=+-=-=-T tou ou e T tt x t x t e若t=T, e e T t t x t x t e T t ou ou 11)()()(1=+-=-=-若t>>T, )(11)()()(1T t Te T t t x t x t e T t ou ou -=+-=-=-（c ） 当输入为单位斜坡函数时T tor or Te T t Tt t x t x t e --+-=-=2)()()(21 若t<<T, 0)()()(1=-=t x t x t e or or若t=T, )15.0()()()(1e T t x t x t e or or -=-=若t>>T, )5.0()()()(1T t Ttt x t x t e or or -=-=从以上分析可知，用图（a ）所示系统代替积分器时，只能用在t<<T 段，才能保证误差很小。
当T 增大时，其近似程度提高。
3.7已知控制系统的微分方程为2.5()()20()y t y t x t '+=，试用Laplace 变换法，求该系统的单位脉冲w ()t 和单位阶跃响应()ou x t ，并讨论二者的关系。
解：由传递函数的定义和系统的微分方程，可得系统的传递函数为()208()() 2.510.4Y s G s X s s s ===++ 系统的单位脉冲响应为0.488()[()()][*1][]80.40.4t w t L G s X s L L e s s -'''====++ 系统的单位阶跃响应为8111()[()()][*]20[]0.40.4ou x t L G s X s L L s s s s '''===-++1120[]0.4L s s '=-+比较()w t 和()ou x t ，有()w t =()ou x t '或()ou x t =0()tw t dt ⎰。
由此可得结论：系统对某种输入的导数的响应等于系统对该输入的响应的导数；系统对某种输入的积分的响应等于系统对该输入饿响应的积分。
3.9已知单位反馈系统的开环传递函数为(s)=求：（1）K=20，T=0.2；（2）K=16，T=0.1；（3）K=2.5，T=1等三种情况是的单位阶跃响应。
并分析开环增益K 与时间常数T 对系统性能的影响。
解：由于单位反馈系统，其前向通道传递函数与开环传递函数相等，所以系统的闭环传递函数为由于为一阶系统，故时间常数为。
故单位阶跃响应为当K=20，T=0.2时，=0.952（1-）当K=1.6，T=0.2时，=0.615（1-）当K=2.5，T=1时，=0.714（1-）从上面可知：当K值增大时，系统的响应应快速性好；T值减小是，系统的响应快速性变好。
3.11解解：简化传递函数方框图有ω，且显然，这是一个简单的二阶系统。
无阻尼固有频率为nω2n则，阻尼比为，有阻尼固有频率为3.12图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求： （1）阻尼比ξ及无阻尼比固有频率w n ； （2）求该系统的M p ，t p ，t s 和N 。
解：G k (s)=9(1)s s + H(S)=1 G B (s)=9(1)91(1)s s s s +++ =929s s ++ 该系统为一简单的二阶系统，其中w n =3s-1, ξ=16w d =w-1=2.958s -1 σ=ξw n =0.5β=arctan w d σ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=arctan5.916=1.403 则单位阶跃响应参数t r=w dπβ-=0.587st p =w dπ=1.062sM p =w de σπ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭=0.538=53.8%过度过程时间t s若△=2%，t s =4σ=8s若△=5%，t s =2s dt w π3σ=6s振荡次数N若△=2%，N=2s dt w ππξ=3.7≈4若△=5%，N=2s dt w ππξ≈33 . 12 图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求：（1） 阻尼比ξ及无阻尼固有频率 ωn；（2） 该系统的Mp，t p ，t s 和 N 。
解：G K （s ）=)1(9+s s H (s) = 1G B（s ）=1)s(s 911)s(s 9+++ = 992++s s显然，该系统为一简单二阶系统，其中ωn= 3s 1-；ξ= 61，即它是一个二阶欠阻尼系统。
ωd= ωnξ21-=3 ⨯)61(21- s1- = 2.958s1-σ = ξωn= 3 ⨯ 61= 0.5 β = arctan(σωd ) = arctan5.916 = 1.403则单位阶跃响应参数为 上升时间t r = ωβπd- =958.2403.114.3- s = 0.587 s峰值时间t p =ωπd=958.214.3 s = 1.062 s 最大超调量 Mp=edπσω)(- =e14.3958.25.0⨯-= 0.538 = 53.8%过度过程时间若 ∆= 2%t s =σ4 = 5.04s = 8 s若 ∆= 5% t s = σ3= 5.03s = 6 s振荡次数 N =ωπdst2若 ∆= 2% N =ωπdst2 =πξξ212- = 3.7 ≈ 4若 ∆= 5% N =ωπdst2 =πξξ215.1- = 2.828 ≈ 33.13 试求下述系统在单位斜坡函数r （t ）=t （t ≥0） 输入的响应y(t)和误差函数e(t)。
1(1)()1G s Ts =+ 222(2)()(01)2n n n G s s s ξξωωω=≤<++21[()]L r t s =解：（1）∵22221111()()11s s T T Y s G s s T s s s T =⋅=⋅=-+++221()[]1tTs T T y t L t T Tes s T -=-+=-++∴tt TT--∴ e(t)=t-y(t)=t-(t-T+Te )=T-Te2212n n s s ωξωω⋅⋅++2n 221(2) ∵ Y(s)=G(s)=s s22(cos )n td d net t ξωξξωωωω-+n2∴ y(t)=t-tn ξωξωω≥n -d 2e =t-0)ωω=d 其中，tξωξωω≥n -d n 2e 则 e(t)=t-y(t)=0)3.15 要使图（题3.15）所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间p t 为2秒。