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2020届全国百师联盟新高考原创考前信息试卷(十)文科数学
2020届全国百师联盟新高考原创考前信息试卷（十）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{|10}A x x =-≤，集合2{|60}B x x x =--<，则A B =U （）A. {|3}x x <B. {|31}x x -<≤C. {|2}x x <-D. {|21}x x -<≤【答案】A 【解析】 【分析】求得集合{|1}{|23},B A x x x x =-<<=≤，再根据并集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|10}{|1}A x x x x =-≤=≤，集合2{|60}{|23}B x x x x x =--<=-<<，则{|3}A B x x =<U ，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是（）A. 2000,210x R x x ∃∈-+≤ B. 2000,210x R x x ∃∈-+≥C. 2000,210x R x x ∃∈-+<D. 2,210x R x x ∀∈-+<【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“2,210x R x x ∀∈-+≥”的否定是“2000,210x R x x ∃∈-+<”，故选C.【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中熟记全称命题与存在性命题的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.下列求导运算正确的是（） A. (ln 2)'0= B. (cos )sin x x '=C. ()xxe e --'=D. ()5615xx --=-'【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的运算公式，即可作出判定，即可求解.【详解】由题意，常数的导数为0，可得(ln 2)0'=是正确的，所以A 是正确的； 根据导数的运算公式，可得(cos )sin x x '=-，()xxe e --'=-，()565xx--=-'，所以B 、C 、D是错误的，故选A.【点睛】本题主要考查了导数的运算，其中解答中熟记导数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数1()()32xf x x =-的零点所在的一个区间是（） A. （-2，-1） B. （-1，0）C. （0，1）D. （1，2）【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求得(0)(1)0f f <，根据零点的存在定理，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数1()()32xf x x =-，则01115(0)()10,(1)()30222f f ==>=-=-<， 即(0)(1)0f f <，根据零点的存在定理，可得函数1()()32xf x x =-的零点所在的一个区间是(0,1)， 故选C.【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记零点的存在定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.若函数2231()(69)m m f x m m x -+=-+是幂函数且为奇函数，则m 的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 2或4【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，求得2m =或4m =，分别代入函数的解析式，验证函数的奇偶性，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数2231()(69)m m f x m m x -+=-+是幂函数，可得2691m m -+=，解得2m =或4m =， 当2m =时，函数11()f x xx-==，此时函数()f x 为奇函数，满足题意； 当4m =时，函数5()f x x =，此时函数()f x 为奇函数，满足题意，【点睛】本题主要考查了幂函数的定义，以及幂函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.设0.51()a e-=，ln 2b =，8cos7c π=，则（） A. a c b <<B. c b a <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质求得1a >，由对数函数的性质求得(0,1)b ∈，由三角函数的诱导公式，可得0c <，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得0.501()()11a ee->==， 由对数函数的性质，可得ln 2ln 1b e =<=且0b >，即(0,1)b ∈，由三角函数的诱导公式，可得8cos cos()cos 0777c ππππ==+=-<， 所以c b a <<，故选B. 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性的应用，以及三角函数的诱导公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.函数xy a b =+()01a a >≠且与y ax b =+的图象有可能是( ) ．A.B. C. D.【解析】【详解】因为y ax b =+为增函数，排除A 、C ，由B,D 可得01a <<对于B 中函数xy a b =+的图象可以看出0b <，则y ax b =+的图象与y 轴的交点应在原点下方，排除B.选D.8.下列函数中，最小值为4的是（） A. 4y x x=+B. 4sin (0)sin y x x xπ=+<< C. 4xxy e e =+D. 3log log 81x y x =+【答案】C 【解析】 【分析】通过变量的赋值，以及利用基本不等式，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，A 中，当0x <时，40y x x=+<，不满足题意；B 中，当0πx <<时，4sin 4sin y x x =+≥=，当且仅当4sin sin x x=时，即sin 2x =时取得等号，而sin 2x ≠，所以函数4y >，不满足题意；C 中，由0x e >，所以44x x y e e =+≥=，当且仅当4x x e e =时，即2x e =， 即ln 2x =取得等号，所以4xxy e e =+的最小值为4，满足题意； D 中，当01x <<时，3log 0,log 810x x <<，所以3log log 810x y x =+<，不满足题意； 故选C.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中主要特殊值法的应用，以及基本不等式的合理运算与应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（）A. (,1]-∞-B. [1)-+∞，C. [1,1)-D. (3,1]--【答案】D 【解析】 【分析】求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数2()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，又由函数()223g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A.112B.114C.115D.118【答案】C 【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.11.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟【答案】B【解析】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c=++的图象上，所以930.7{1640.82550.5a b ca b ca b c++=++=++=，解得0.2, 1.5,2a b c=-==-，所以20.2 1.52p t t=-+-=215130.2()416t--+，因为0t>，所以当153.754t==时，p取最大值，故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.12.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】设()()e 21x g x x =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()e 21x g x x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为11222g e ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. 又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选：D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.sin 315o =________.【答案】-【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解.【详解】由题意，可得sin(2si 7045)cos 452n 315=+=-=-o o o o ，故答案为：2-. 【点睛】本题主要考查了利用诱导公式和特殊角的三角函数值求值问题，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14.直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(2,2)A ，则2a b -+=_________. 【答案】40 【解析】 【分析】把点(2,2)A 代入直线方程，求得12k =，再由导数的几何意义，得到()12122f a '=+=，求得a ，进而代入曲线方程，求得b 的值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(2,2)A ， 把点(2,2)A 代入直线1y kx =+，可得12k =， 又由()3f x x ax b =++，则()23f x x a '=+，所以()12122f a '=+=，解得232a =-，即()3232f x x x b =-+， 把点(2,2)A 代入()3232222f x b =-+=，解得17b =，所以2322()17402a b -+=-⨯-+=. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知()f x 在R 上是奇函数，且(2)()f x f x +=-.当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(7)f =______.【答案】-2 【解析】 【分析】由函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，求得函数()f x 是以4为周期的周期函数，再由函数()f x 在R 上是奇函数和当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，代入即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，即()4(2)f x f x +=-+， 代入可得()()4f x f x +=，所以函数()f x 是以4为周期的周期函数， 所以(7)(241)(1)f f f =⨯-=-，又由函数()f x 在R 上是奇函数，且当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(1)(1)2f f -=-=-，所以(7)(1)2f f =-=-.【点睛】本题主要考查了函数的周期性与函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练推导函数的周期，合理应用函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.16.设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D ⎧∈=⎨∉⎩其中集合1,n D x x n N n *⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是____________【答案】8 【解析】由于()[0,1)f x ∈，则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x Q ∈，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，则10()nm q p =，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，因此lg x 不可能与每个周期内x D ∈对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期x D∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．三、解答题：17题10分，18至22题各12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.计算 （1）132034127()16(21)5---++ （2）57log 443log27lg 255lg 4-+【答案】（1）473-（2）1 【解析】 【分析】（1）根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解；（2）根据对数的运算的性质，准确运算，即可求解. 【详解】（1）由1133203243344114727()161)(3)(5)(2)12581533----++-++=-++=-=. （2）由5577log log 44331log lg 255lg 4log 27(lg 25lg 4)54372144-+++--===+.【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟记指数幂的运算性质和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18.已知角α的终边经过点1(,3P - （1）求sin ,cos ,tan ααα的值；（25sin(3)2cos()ππαα-++ 【答案】（1）1sin ,tan 33ααα=-=-=（2） 【解析】 【分析】（1）根三角函数的定义，即可求解，得到答案； （2）利用三角函数的诱导公式，化简得到原式=，代入求解.【详解】（1）由题意角α的终边经过点1(,)33P --，可得1r OP ==，根据三角函数的定义，可得1sin ,tan 33ααα=-=-=. （25sin(3)2cos()ππαα-++=(14α===⨯=. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数的诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的定义和三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.设函数2()ln f x x x x =-- （1）求()f x 的单调区间和极值 （2）求()f x 在区间1[,2]2上的最值【答案】（1）在(1,)+∞上单调递增，在(0,1)上单调递减，极小值为0；（2）最小值为0，最大值为2ln 2-. 【解析】 【分析】（1）求得函数()f x 的定义域为(0,)+∞和(21)(1)()x x f x x+-'=，利用导数求得函数的单调性与极值，即可得到结论；（2）由（1）可得函数()f x 在1[,1)2上单调递减，在(1,2]上单调递增，进而利用1()2f 和()2f 的大小关系，即可求得函数的最值.【详解】（1）由题意，函数2()ln f x x x x =--的定义域为(0,)+∞， 且1(21)(1)()21x x f x x x x+-'=--=， 因为0x >，则210x +>，令()0f x '>，即10x ->，解得1x >，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递增； 令()0f x '<，即10x -<，解得01x <<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递减， 所以函数()f x 在1x =处取得极小值，极小值为()10f =.（2）由（1）可得函数()f x 在1[,1)2上单调递减，在(1,2]上单调递增，所以当1x =处取得最小值，最小值为()10f =.又由211111()()ln ln 222224f =--=-，2(2)22ln 22ln 2f =--=-， 因为1ln 242ln 2-<-，所以函数的最大值为(2)2ln 2f =-， 所以函数在区间1[,2]2的最小值为0，最大值为2ln 2-【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，以及求解函数的极值与最值，注意数形结合思想的应用.20.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X 表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.【答案】（1）3人，2人，2人；（2）分布列见解析，97. 【解析】 分析】(1)由甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2，利用分层抽样的方法，即可求得从甲、乙、丙三个部门的员工人数；(2)由题意，随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，求得相应的概率，得出其分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】(1) 由题意知，某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16， 可得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2， 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人． (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，则302112434343333777C C C C C C 41812(0),(1),(2)C 35C 35C 35P X P X P X ⋅⋅⋅=========， 034337C C 1(3)C 35P X ⋅=== 所以，随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望4181219()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的求解，其中解答中认真审题，准确得到随机变量的可能取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.21.某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x 台机器人的总成本p (x )＝21150600x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭万元． (1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝8(60),13015480,30m m m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪>⎩ (单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？【答案】（1）若使每台机器人的平均成本最低，应买300台（2）75% 【解析】 【分析】（1）由总成本p （x ）21600x =+x +150万元，可得每台机器人的平均成本()p x y x=，然后利用基本不等式求最值；（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q （m ）()()()8601301548030m m m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩＞，分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数，再由最大值除以1200，可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数，则答案可求． 【详解】(1)由总成本p (x )＝21150600x x ⎛⎫++⎪⎝⎭万元，可得每台机器人的平均成本y ＝()p x x ＝21605001x x x++＝1600x ＋150x＋1＝2.当且仅当1600x ＝150x ，即x ＝300时，上式等号成立．∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台． (2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q (m )＝8(60),13015480,30m m m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪>⎩当1≤m ≤30时，300台机器人的日平均分拣量为160m (60－m )＝－160m 2＋9600m ，∴当m ＝30时，日平均分拣量有最大值144000件．当m ＞30时，日平均分拣量为480×300＝144000(件)．∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．若传统人工分拣144000件，则需要人数为1440001200＝120(人)．∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少12030120-×100%＝75%.【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，考查基本不等式求最值，是中档题．22.已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(0,1). 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->-⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.f x有2个点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是性、极值、最值，判断y af x有2个零点，直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.。
2020届百师联盟高三高考二模训练(全国卷II)数学(文)试卷及解析
2020届百师联盟高三高考二模训练（全国卷II ）数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知实数集R ,集合{}2|230A x x x =-->,则A =R （ ） A. 3(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ B. 31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 3(,1],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】C【解析】先解不等式2230x x -->得32x >或1x <-,从而得到集合A ,由此可得集合A 的补集.【详解】()(){}3231012A x x x x x x ⎧⎫=-+>=><-⎨⎬⎩⎭或, 则3{|1}2A x x =-≤≤R ,故选：C ．2.复数3131iz i -=+的虚部为( )A. 2B. 1-C. 1D. 2-【答案】B【解析】先化简复数,然后可求其虚部.【详解】31313(13)(1)13342211(1)(1)22i i i i i i ii i i i i ---++-+-=====-+--+,虚部为-1,故选：B.3.已知函数()f x 的导函数为()f x ',且满足2()ln (1)f x x x f x '=++,则(2)f '=（ ）A. 132-B. 132C. 152D. 152- 【答案】A 【解析】先求出()()121+1f x f x x''=+,然后令1x =求出()1f ',然后即可求出()2f ' 【详解】因为2()ln (1)f x x x f x '=++所以()()121+1f x f x x''=+ 令1x =时有()()1121+1f f ''=+,所以()12f '=-所以()14+1f x x x'=- 所以()11328+122f '=-=- 故选：A4.如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩,则下列判断正确的是( )A. x x >甲乙,甲比乙成绩稳定B. x x <甲乙,乙比甲成绩稳定C. x x =甲乙,甲比乙成绩稳定D. x x =甲乙,乙比甲成绩稳定【答案】D【解析】 根据茎叶图分别求解两人的平均成绩及方差,然后进行比较可得结果.【详解】126x =甲,126x =乙,2 7486S =甲,23186S =乙,因为22S S >甲乙,所以乙比甲成绩稳定, 故选：D.。
百师联盟2020届高三考前预测诊断联考全国卷文科数学试题
4．已知在正项等比数列 中， ，且 ，则公比 （）
A． B． C．2D．
5．已知实数 ， 满足约束条件 ，则实数 的最小值为（）
A． B． C．1D．4
6．如图是2021年3月3日至4月8日 国及该国的 市新冠肺炎的累计确诊病例（单位：例）的折线图，则下列四种说法中正确的是（）
A． B． C．2D．4
12．设函数 ，若函数 有4个不同的零点，则 的取值范围为（）
A． B．[3，6]C．（3，9）D．[3，9]
二、填空题
13．若 ， ，则 ______．
14．在数列 中， ， ，当 时， ，则 ______．
15．已知 、 分别为双曲线 的左右焦点，点 是双曲线 上一点，且 ，若线段 的中点 恰好在直线 上，则双曲线的离心率为______．
22．在平面直角坐标系 中，曲线 ，直线 的参数方程为 （ 为参数），且直线 与曲线 相切．以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）点 、 为曲线 上两点，若 ，求 面积的最大值．
23．已知函数 ．
（1）求不等式 的解集 ；
（2）设 为集合 中最大的元素，若正数 ， 满足 ，证明： .
（2）经过散点图分析发现表格的数据符合线性回归模型．
（i）请利用所给数据求每日的痊愈人数 与 的线性回归方程；
（ii）预测第10天的痊愈人数（结果取整，取整即为写成不大于它的最大整数）．
参考公式： ， ．回归直线方程为 ．
19．如图所示，四边形 为平行四边形， 于点 ，且有 ， ．现将 沿 边折起至 的位置，如图，满足 ．
百师联盟2020届高三考前预测诊断联考全国卷文科数学试题
2020届 百师联盟 全国高三模拟考(一)全国Ⅰ卷数学(文)试题(解析版)
2020届百师联盟全国高三模拟考（一）全国Ⅰ卷数学（文）试题一、单选题1．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．B ．2C ．4D ．3【答案】A【解析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,1(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+ 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 2．已知集合{}20,2131x A x B x x x +⎧⎫=≤=-≤⎨⎬-⎩⎭则()R C A B ⋂（ ）A ．[]1,2B ．()[),21,2-∞-UC ．()[],21,2-∞-⋃D ．(]1,2【答案】C【解析】解不等式确定集合,A B 中的元素，再由集合的运算法则计算． 【详解】由201x x +≤-得(2)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，∴21x -?，即[2,1)A =-，又{|2}(,2]B x x =≤=-∞，∴(,2)[1,)R A =-∞-+∞U ð，()(,2)[1,2]R A B =-∞-I U ð． 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握集合运算的定义是解题基础． 3．已知命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥，则p ⌝为（ ） A ．[]02,2x ∃∉-，2430x x -+<B ．[]02,2x ∀∉-，2430x x -+<C ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+< D ．[]2,2x ∀∈-，2430x x -+≥【答案】C【解析】根据特称命题的否定是全称命题可得出答案. 【详解】由于特称命题的否定是全称命题，故命题:p []02,2x ∃∈-，2430x x -+≥的否定是：:p ⌝[]2,2x ∀∈-，2430x x -+<.故选：C. 【点睛】本题考查特称命题的否定，意在考查学生的推断能力，属于基础题. 4．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 12πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】先求出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值， 5sin sin 1246ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由两角和的正弦公式计算即可. 【详解】Q α为锐角，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴4sin 45απ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，∴51sin sin cos 1246424ααααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，考查两角和的正弦公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.5．“角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数n ，如果n 为偶数就除以2，如果n 是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入10n =，则输出i 的（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【详解】循环前1,10i n ==，循环时：5,2n i ==，不满足条件1n =；16,3n i ==，不满足条件1n =；8,4n i ==，不满足条件1n =；4,5n i ==，不满足条件1n =；2,6n i ==，不满足条件1n =；1,7n i ==，满足条件1n =，退出循环，输出7i =． 故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论．6．已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的渐近线与圆()22314x y +-=相切，则双曲线C 的离心率为（ ） A 5B ．2 C 23D 6【答案】C【解析】先根据双曲线的方程求得双曲线的渐近线，再利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a 和b 的关系，代入221be a=+.【详解】渐近线方程为0bx ay -=，2232ar a b ==+，2213b a ∴=，222313b e a ∴=+=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 7．为研究某咖啡店每日的热咖啡销售量y 和气温x 之间是否具有线性相关关系，统计该店2017年每周六的销售量及当天气温得到如图所示的散点图（x 轴表示气温，y 轴表示销售量），由散点图可知y 与x 的相关关系为（ ）A ．正相关，相关系数r 的值为0.85B ．负相关，相关系数r 的值为0.85C ．负相关，相关系数r 的值为0.85-D ．正相关，相关负数r 的值为0.85- 【答案】C【解析】根据正负相关的概念判断． 【详解】由散点图知y 随着x 的增大而减小，因此是负相关．相关系数为负． 故选：C ． 【点睛】本题考查变量的相关关系，考查正相关和负相关的区别．掌握正负相关的定义是解题基础．8．函数32sin ()xx xg x e-=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】确定函数的奇偶性排除，再求一些特殊的函数值，根据其正负排除一些选项．【详解】由32sin()()xx xf x f xe-+-==-，知()f x为奇函数，排除D；12sin1(1)0fe-=<，排除C；322732sin3822fe-⎛⎫=>⎪⎝⎭，排除A．故选：B【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过确定函数的奇偶性、单调性等性质，特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等由排除法得出正确选项．9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．83B．163C．43D．8【答案】A【解析】由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，1822233V=⨯⨯⨯=．故选：A．【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，函数()f x 满足()()4f x f x =+，且(]0,1x ∈时，()2()log 1f x x =+，则()()20182019f f +=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】()()4f x f x =+说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值． 【详解】由()()4f x f x =+知函数()f x 的周期为4，又()f x 是奇函数，(2)(2)f f =-，又(2)(2)f f -=-，∴(2)0f =，∴()()()()()()201820192301011f f f f f f +=+=+-=-=-． 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础．11．已知集合{}{}3,*,2,*nM x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ） A ．1194 B ．1695 C ．311 D ．1095【答案】D【解析】确定{}n c 中前35项里两个数列中的项数，数列{2}n 中第35项为70，这时可通过比较确定{3}n 中有多少项可以插入这35项里面即可得，然后可求和． 【详解】35n =时，23570,370,3n n ⨯=<≤，所以数列{}n c 的前35项和中，{}3n有三项3，9，27，{}2n 有32项，所以123353231 (3927322210952)c c c c ⨯++++=+++⨯+⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前n 项和公式是解题基础．解题关键是确定数列{}n c 的前35项中有多少项是{2}n 中的，又有多少项是{3}n 中的．12．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，0x ex a->在()0,∞+上恒成立.即x e x a >，即函数xe y a=的图象在直线y x =上方，先求出两者相切时a 的值，然后根据a 变化时，函数xey a=的变化趋势，从而得a 的范围．【详解】由题0x e x a ->在()0,∞+上恒成立.即xe x a>，xe y a=的图象永远在y x =的上方，设xe y a =与y x =的切点()00,x y ，则01x x e ae xa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a e =，易知a 越小，xey a=图象越靠上，所以0a e <<.故选：B ． 【点睛】本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．二、填空题13．已知a =ra r 在b r ，则a r 与b r的夹角为_________.【答案】6π 【解析】由向量投影的定义可求得两向量夹角的余弦值，从而得角的大小． 【详解】a r 在b r方向上的投影为cos ,cos ,2a a b a b <>=∴<>==r r r r r ，即夹角为6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题考查求向量的夹角，掌握向量投影的定义是解题关键．14．抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点到准线的距离为4，则抛物线的准线方程为___________. 【答案】2y =-【解析】根据题意先求出p 的值，然后再写出准线方程即可. 【详解】焦点到准线的距离为4p =，准线方程为22py =-=-. 故答案为：2y =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查对基本知识的理解和掌握，属于基础题.15．已知ABC ∆内角、、A B C 的对边分别为,4,a b c a b ABC ==∆、、外接圆的面积为4π，则ABC ∆的面积为_________.【答案】【解析】由外接圆面积，求出外接圆半径，然后由正弦定理可求得三角形的内角,A B ，从而有C ，于是可得三角形边长，可得面积． 【详解】设外接圆半径为r ，则24,2S r r =π=π=，由正弦定理24sin sin a b r A B ===，得sin ,sin 12A B ==，,,,326A B C πππ∴===∴2c =，a =12S ac ==．故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的内角，然后可得边长，从而得面积，掌握正弦定理是解题关键．16．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC 、、两两垂直，1,4PB PA PA PC =++=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积的最小值为________.【答案】14π【解析】设PA x =，可表示出,PB PC ，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积． 【详解】设PA x =则1,4PC x PC x =+=-，由,,PA PB PC 两两垂直知三棱锥P ABC -的三条棱,,PA PB PC 的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为r ，∴2r ==当1x =时，2min min 2,=41422r r S ⎛⎫==π=π ⎪ ⎪⎝⎭表． 故答案为：14π． 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和．三、解答题17．已知{}n a 为各项均为整数的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若3a 为213a 和13a 的等比中项，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T. 【答案】（1）21n a n =-；（2）221nn + 【解析】（1）利用已知条件列出方程组，求出1a 和d 的值，进而写出通项公式即可； （2）()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由题得()23213177137492a a a a a S ⎧=⋅⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩或1073a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为数列{}n a 为各项均为整数，所以112a d =⎧⎨=⎩，即21n a n =-； （2）令()()1221121212121n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以111111112113355721212121n n T n n n n =-+-+-+-=-=-+++. 【点睛】本题考查等差等比数列的性质，考查等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，2ABC π∠=，PE ⊥面ABCD ，3AD AE =，22AB BC AE ===，3PC =.（1）在线段PD 上是否存在点F ，使//CF 面PAB ，说明理由； （2）求三棱锥C PAE -的体积.【答案】（1）存在，理由见解析；（2）23. 【解析】（1）取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，易得//AB CQ ，//QF AP ，然后可证面//CQF 面PAB ，即//CF 面PAB ；（2）过E 作//EG AB 交BC 于G ，分别求出EC ，PE 的长度，在梯形ABCD 中，作EH BC ⊥于H ，再求出EH 的长度，利用等体积法C PAE P ACE V V --=计算得解.【详解】（1）当F 为PD 上靠近D 点的三等分点时，满足//CF 面PAB ， 证明如下，取ED 中点Q ，分别连接CQ ，QF ，CF ，//AD BC Q ，3AD AE =，2BC =，2AE =，AQ BC ∴=，即易得//AB CQ ，AB Ì面PAB ，CQ ⊄面PAB ， 所以//CQ 面PAB ，同理可得//QF AP ，AP ⊂面PAB ，QF Ë面PAB ， 所以//QF 面PAB ，又CQ QF Q ⋂=，CQ ，QF ⊂面CQF ，所以面//CQF 面PAB ，又CF ⊂面CQF ，所以//CF 面PAB ； （2）过E 作//EH AB 交BC 于H ，PE ⊥Q 面ABCD ，2ABC π∠=，EH BC ∴⊥在Rt PEC ∆中，225EC EH HC +=222PE PC EC +=， 所以11121223323C PAE P ACE ACE V V S PE --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线面平行的证法，考查利用等体积法求三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于常考题.19．某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表： 运动达人 非运动达人 总计 男 35 60 女 26 总计100（1）（i ）将22⨯列联表补充完整；（ii ）据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？ （2）从样本中的运动达人中抽取7人参加“幸运抽奖”活动，通过抽奖共产生2位幸运用户，求这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率. 附：()20P K k ≥0.050 0.0100.001()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 【答案】（1）（i ）列联表见解析；（ii ）没有；（2）1021. 【解析】（1）（i ）根据题意补全22⨯列联表； （ii ）代入数据计算2K ，对照临界值做出判断即可；（2）由分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值. 【详解】 （1）（i ）（ii ）由22⨯列联表得()2210035261425 5.229 6.63560404951K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”； （2）由列联表知从运动达人中抽取的男用户人数为735549⨯=，女用户人数为714249⨯=， 男用户编号a ，b ，c ，d ，e ，女用户编号m ，n ，则抽取的两位幸运用户有：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a m ，(),a n ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b m ，(),b n ，(),c d ，(),c e ，(),c m ，(),c n ，(),d e ，(),d m ，(),d n ，(),e m ，(),e n ，(),m n ，共21种，其中男女各一位的有10种，概率为1021，所以这2位幸运用户恰好男用户和女用户各一位的概率为1021. 【点睛】本题考查独立性检验及其计算，考查分层抽样，考查古典概率，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点为12F F 、，点P 为C 上任意一点，若1PF 的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）动直线l 过点2F 与C 交于P Q 、两点，在x 轴上是否存在定点A ，使22PAF QAF ∠=∠成立，说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在；详见解析【解析】（1）由椭圆的性质得3,1a c a c +=-=，解得,a c 后可得b ，从而得椭圆方程； （2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n ，当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入AP AQ k k +＝0由恒成立问题可求得n ．验证l 斜率不存在时也适合即得． 【详解】解：（1）由题易知1max 1min31PF a c PF a c ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩解得21a c =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 方程为22143x y +=（2）设()()()1122,,,,,0P x y Q x y A n当直线l 斜率存在时，设为()1y k x =-与椭圆方程联立得()22224384120kx k x k +-+-=，显然>0∆所以221212228412,4343k k x x x x k k -+=⋅=++ 因为22,0AP AQ PAF QAF k k ∠=∠∴+=()()()()()()1221121212110k x x n k x x n y yx n x n x n x n --+--∴+==---- 化简()()()222121222281824682120,0434343n k k n nk x x n x x n k k k --+-+++=∴-+=+++ 解得6240n -=即4n =所以此时存在定点()4,0A 满足题意 当直线l 斜率不存在时，()4,0A 显然也满足综上所述，存在定点()4,0A ，使22PAF QAF ∠=∠成立 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法． 21．已知函数1()ln 1a f x x x+=-+，a R ∈. （1）当2a =-时，求函数()f x 在点()2,(2)f 处的切线方程； （2）若当0x >，()3f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）1ln 214y x =++；（2）(],1e -∞--. 【解析】（1）先求导，然后根据导数的几何意义求出切线斜率，最后由点斜式写出切线方程即可；（2）0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，对a 进行分类讨论， 求()f x 的最小值，解不等式求出范围即可. 【详解】（1）当2a =-时，1()ln 1f x x x=++，21()x f x x -'=，1(2)4f '∴=，()32ln 22f =+，所以切线方程为1ln 214y x =++；（2）当0x >，()3f x ≥，即只需min ()3f x ≥，()21'()1x a f x x ++=+，当1a ≥-时，即10a --≤，()0f x '>，()f x ∴在()0,∞+上增，无最小值，舍去， 当1a <-时，即10a -->，()0f x '>，得1x a >--，()0f x '<，得01x a <<--， 此时()f x 在()1,1a ---上减，在()1a --+∞,上增，即()()min ()12ln 13f x f a a =--=+--≥，解得1a e ≤--， 综上(],1a e ∈-∞--. 【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线12:12x t l y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M 的极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求MA MB +的值. 【答案】（1）()2211x y -+=（21 【解析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把M 点极坐标化为直角坐标，直线l 的参数方程是过定点M 的标准形式，因此直接把参数方程代入曲线C 的方程，利用参数t 的几何意义求解． 【详解】解：（1）2:cos C ρθ=，则22cos ρρθ=，∴222x y x +=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=（2）点1,2M π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为()0,1M ，易知M l ∈.设,A B 对应参数分别为12,t t将12:1x t l y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩与22:20C x y x +-=联立得)21212110,1,1t t t t t t +++=∴+=⋅=120,0t t ∴<<12121MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程，解题时可利用利用参数方程的几何意义求直线上两点间距离问题． 23．已知函数()12f x x x =--+. （1）求不等式()2f x ≤的解集A ；（2）若不等式2()2f x x x m ≤+-对x A ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）114m ≤-【解析】（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；（2）不等式转化为2321m x x x ≤++--，求出2()321g x x x x =++--在3[,)2-+∞上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值． 【详解】解：（1）1122x x x ≥⎧⎨---≤⎩或21122x x x -<<⎧⎨---≤⎩或2122x x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩解得1x ≥或312x -≤<或无解 综上不等式的解集为3,2A ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭． （2）3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时，2()2f x x x m ≤+-，即2132x x x m -≤++- 所以只需2321m x x x ≤++--在3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭时恒成立即可 令22223,1()321341,12x x x g x x x x x x x ⎧++≥⎪=++--=⎨++-≤<⎪⎩， 由解析式得()g x 在3[,)2-+∞上是增函数，∴当32x =-时，min 11()4g x =- 即114m ≤-【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．。
2020届全国百校联考新高考原创精准预测试卷(一)文科数学
2020届全国百校联考新高考原创精准预测试卷（一）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集=U R ，集合{}{}=1,2,3,4,5=3A B x R x ∈≥，，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}1,2B ．{}4,5C ．{}1,2,3D ．{}3,4,52.已知是虚数单位，若，则的共轭复数等于（ ） A.B.C.D.3.已知偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，则(1)(2)(4)f f f -、、之间的大小关系为( )A ．B ．(1)(2)(4)f f f <-<C ．(4)(1)(2)f f f >>-D ．(2)(1)(4)f f f ->>4. 下列图象中，不能表示函数的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．5.设()f x 为定义在R 上的奇函数.当0x ≥时，()22xf x x b =++（b 为常数），则()1f -等于（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．36.已知命题“21,4(2)04x R x a x ∃∈+-+…”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(),0-∞ B ．[]0,4C ．[)4,+∞D ．()0,47.函数在区间上递减，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8. .函数f (x )＝ln(2x )－1的零点位于区间( ) A ．(2,3) B ．(3,4) C ．(0,1) D ．(1,2) 9. 若实数的取值如表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则（ ）A.B.C.D.10.函数()2121f x ax x =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．a >1B ．0<a <1C ．a <0D ．a <111.已知函数(3)5,1()2,1a x x f x ax x -+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若对R 上的任意实数1212,()x x x x ≠，恒有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，那么a 的取值范围是（ ）A ．(0,3)B ．(0,3]C ．(0,2)D ．(0,2]12.已知函数f （x ），若函数y ＝f （x ）﹣m 有两个不同的零点，则m 的取值范围（ ）A.（﹣1，1）B.（﹣1，1]C.（﹣1，+∞）D.[﹣1，+∞）第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上. 13.函数ln 1x y -=的定义域为14.设，则的大小关系是 (用“<”从小到大排)15.已知函数2,0()1,0x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩则(1)f -=________；(1)f =________.16.已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()2f x f x =-.若()11f =，则()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=三、解答题（本大题共6小题，共70分.22题10分，17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分）已知命题:p 函数2()23f x x ax =-+在区间[1,2]-上单调递增；命题:q 函数2()lg(4)g x x ax =++的定义域为R ；若命题“p q ∧”为假，“p q ∨”为真，求实数a 的取值范围.18.(本小题满分12分)已知函数()22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （I ）求()f x 的最小正周期；（II ）求证：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-．19.(本小题满分12分)某高三理科班共有名同学参加某次考试，从中随机挑出名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表： 数学成绩物理成绩（1）数据表明与之间有较强的线性关系，求关于的线性回归方程； （2）本次考试中，规定数学成绩达到分为优秀，物理成绩达到分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和，且除去抽走的名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有人，请写出列联表，判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？参考数据：，；，；20.(本小题满分12分)某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查．设其中某项问题的选择只有“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.(1)请完成此统计表；(2)试估计高三年级学生“同意”的人数；(3)从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”、一人“不同意”的概率．21.(本小题满分12分) 设函数211()ln 42f x x x x =--. （1）求()f x 的极值； (2)设函数211()ln 42g x x x x a =--+，若函数()g x 有两个不同的零点，求a 的取值范围22.(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；MA MB的值.（2）已知直线l与y轴交于点M，且与曲线C交于,A B两点，求||||参考答案1.A 解：由已知中阴影部分在集合A 中，而不在集合B 中，故阴影部分所表示的元素属于A ，不属于B （属于B 的补集），即(){}1,2RB A ⋂=ð.2.C 解：根据题意，所以，故选C.3A 解:()f x 为偶函数，所以()()22f f -=又()f x 在[)0+∞，上单调递减，所以()()()124f f f >>，即()()()124f f f >->.4. D 解:显然，对于选项D,当x 取一个值时，有两个y 与之对应，不符合函数的定义，因此选D.5A 解：因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以0(0)2200,1f b b =+⨯+=∴=-.所以()11=f (1)=(2211)3f ---+⨯-=-. 6.D 解：因为命题“21,4(2)04x R x a x ∃∈+-+…”是假命题，所以否定形式为“21,4(2)04x R x a x ∀∈+-+>”是真命题，则221(2)44404a a a ∆=--⨯⨯=-<，解得04a <<.7.B 解：本试题是二次函数中区间定轴动的问题，先求出函数的对称轴，再确定出区间与对称轴的位置关系求出实数a 的取值范围。
2020届全国百校联考新高考原创精准预测试卷(四)文科数学
2020届全国百校联考新高考原创精准预测试卷（四）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合{}{}21,20A x x B x x x =≥=--<，则AB =（ ）．A.{}1x x ≥ B.{}12x x ≤< C. {}11x x -<≤ D.{}1x x >- 2．设复数z 满足(3)3i z i +=-，则||z =（ ）．A.12B.1C.2D. 23．为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：参加场数12 3 4 567参加人数占调查人数的百分比 8% 10% 20%26%18%12% 4% 2%估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（ ）．A.参加活动次数是3场的学生约为360人B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人4．已知双曲线C :222210,0)x y a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，O 为坐标原点．若OMN ∆为直角三角形，则C 的离心率为（ ）． A.2B.3C.2D.55．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则9a =（ ）．A.12B.54C.45D. 45-6．已知1sin()62πθ-=，且02πθ∈（，），则cos()3πθ-=（ ）．A. 0B.12 C.1 D.327．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2. 在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动……点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．A.463π-B.3312π-C.332π-D.332π8．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足2BM MA =，则CM CA ⋅=（ ）．A ．32B ． 23C ．6D ．1529．已知函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（），，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2f m x f x m -<+恒成立，则实数m 的取值范围是( )．A. (),4-∞-B. (),2-∞-C. ()2,2-D.(),0-∞10．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y x f x '=⋅的图象可能是（）O y xO y x O y x O yxA B C D11．已知过抛物线242y x =焦点F 的直线与抛物线交于点A ，B ，3AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM l ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为( ) A ．123B ．12C ．83D ．6312．若关于x 的方程0x e ax a +-=没有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,0e -⎤⎦B ．)20,e ⎡⎣C ．(],0e -D ．[)0,e二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．13．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．14．已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为323π，且12A A B C ==，则直线1A C 与平面11BB C C 所成的角为______．15．将函数()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6个单位长度，得到一个偶函数图象，则=ba______． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n =-+-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，.已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求角C 的值；(Ⅱ)若427a c ==，，求ABC ∆的面积.-2-2-2-218.(本小题满分12分)为了了解A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份x2014 2015 2016 2017 2018 足球特色学校y (百个)0.300.601.001.401.70(Ⅰ)根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y x 与的线性相关性强弱(已知：0.751r ≤≤，则认为y x 与线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y x 与线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y x 与线性相关性较弱)；(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式：()()()()12211niii nni i i i x x yy r x x y y ===--=--∑∑∑，()2110ni i x x =-=∑，()211.3ni i y y =-=∑，13 3.6056≈，()()()121ˆˆˆ.nii i nii xx y y bay bx xx ==--==--∑∑，19.(本小题满分12分)如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ，2CB GF =，BF CF =.(Ⅰ)求证：AB CG ⊥；(Ⅱ)若ABC ∆和梯形BCGF 的面积都等于3，求三棱锥G ABE -的体积.20.(本小题满分12分)已知直线:10-+=与焦点为F的抛物线2l x yC y px=(0:2p>)相切.(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数()22=-+(a R3lnf x x ax a x∈).(Ⅰ)求()f x的单调区间；(Ⅱ)若对于任意的2f x≥恒成立，求a的取值范围.x e≥(e为自然对数的底数)，()0请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1232x t y a t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当AB OP =时，求a 的值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()32f x x =+. (Ⅰ)求()1f x ≤的解集；(Ⅱ)若()2f x a x ≥恒成立，求实数a 的最大值.文科数学试题参考答案一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A 1.【简解】()(){}{}|2+10|12B x x x x x =-<=-<<，所以{}|1A B x x =>-，故选D ．2.【简解一】因为()()()()3i 3i 3i i ==3+i3+i 3i 8610z ----=-，所以1z=，故选B ．【简解二】因为(3+i)3i =-z ，所以(3+i)(3+i)=3i z z =-，所以1z =，故选B ． 3.【简解】估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：1000+⨯（0.180.12+0.04+0.02)=360人，故选D.4.【简解】依题意得：因为∆OMN 为直角三角形，所以双曲线C 的渐近线为=y x ±，即C 是等轴双曲线，所以C 的离心率2=e ，故选A ．5.【简解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 6.【简解一】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πcos 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πc o s 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．【简解二】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3cos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 7. 【简解一】依题意得：阴影部分的面积2136[222]=46322S =⨯π⨯-⨯⨯⨯π-1（）624-6333122P πππ==-⋅，故选B ． 【简解二】依题意得：阴影部分的面积2132622=46322S =π⨯-⨯⨯⨯⨯π- 24-6333122P πππ==-⋅，故选B ． 8.【简解一】依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【简解二】依题意得：以C 为原点，CA 所在的直线为x 轴建立平面直角直角坐标系，则530,03,022C A M （），（），（，），所以53153,0222CM CA ⋅==（，）（），故选D ． D ABCM【简解三】依题意得：过M 点作M D A ⊥于D ，如图所示，则CM CA ⋅=CD CA ⋅=15(31cos60)32-⨯⨯=，故选D ． 9. 【简解】依题意得：函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（）在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1∈+x m m 上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．10. 【简解】【解析】∵函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x >-时，()0f x '>；当2x =-时，()0f x '=；当2x <-时，()0f x '<．∴当20x -<<时，()0xf x '<；当2x =-时，()0xf x '=；当2x <-或0x >时，()0xf x '>.选：C ．11.【解答】解：解：过B 作BN l ⊥于N ，过B 作BK AM ⊥于K ，设||BF m =，||3AF m =，则||4AB m =，2AK m =，1360222BAA CF p m ⇒∠=︒⇒===423m ∴=．342AM m ⇒==，3sin 603262MC AF m =︒=⨯= 则四边形AMCF 的面积为11()(2242)2612322S CF AM MC =+=+⨯=，故选：A ．12.【解答】解：方程0x e ax a +-=没有实数根，得方程(1)x e a x =--没有实数根， 等价为函数x y e =与(1)y a x =--没有交点，当0a >时，直线(1)y a x =--与x y e =恒有交点，不满足条件． 当0a =时，直线0y =与x y e =没有交点，满足条件．当0a <时，当过(1,0)点的直线x y e =相切时，设切点为(,)m m e ，则()x f x e '=，则()m f m e '=， 则切线方程为()m m m m y e e x m e x me -=-=-．即m m m y e x me e =-+， 切线过(1,0)点，则0m m m e me e -+=，得2m =，即切线斜率为2e ， 要使x y e =与(1)y a x =--没有交点，则满足20a e <-<，即20e a -<<，综上20e a <…，即实数a 的取值范围是2(e -，0]，故选：A ． 二、填空题13.【简解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-．14.【简解】设长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，因为长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为343233R ππ=，所以2R =,即1A C 2221=24AA BC AB R ++==，因为12AA BC ==，所以22AB =.因为11A B ⊥平面11BB C C ，所以1A C 与平面11BB C C 所成的角为11ACB ∠， 在11Rt ACB △中，因为12AA BC ==，所以11122B C A B ==，所以11=4ACB π∠．15. 【简解】因为()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6单位长度，得到偶函数图象，所以函数()sin cos f x a x b x =+的对称轴为π6x =， 所以()sin cos =(0)=333f a b f b πππ=+，因为0a ≠，所以3ba=．16. 【简解】因为11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数），所以111a λ=-=，解得=2λ，所以21n n S a =-，所以()-1-1212n n S a n =-≥，所以12n n a a -=，所以12n n a -=，因为2920n n a b n n =-+-，所以2-19202n n n n b -+-=， 所以2+111+28(4)(7)22n n n nn n n n b b ----==0<，解得47n <<，又因为*n ∈N ，所以=5n 或=6n ．所以，当=5n 或=6n 时，1n n b b +<，即满足条件的n 的取值集合为{}5,6． 三、解答题：17.(本小题满分12分)解: (Ⅰ)∵sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴13sin sin cos sin sin 022B C C C B ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，………………2分∴13sin cos 022C C +=，∴sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ……………………………………4分∵()0C π∈，，∴23C π=. …………………………6分(Ⅱ)∵2222cos c a b ab C =+-，∴24120b b +-=， ………………………………8分∵0b >，∴2b =， ……………………………… 10分∴113sin 2423222S ab C ==⨯⨯⨯=. …………………………12分18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)20161x y ==，， …………………………2分()()()()122113.6 3.60.753.605610 1.3niii nni i i i x x yy r x x y y ===--===>--∑∑∑，……………………4分 ∴y x 与线性相关性很强. …………………………6分(Ⅱ)()()()()()()()5152120.710.410.420.7ˆ0.3641014iii ii x x yy bxx ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑， (8)分ˆˆ120160.36724.76ay bx =-=-⨯=-， ………………………………9分∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76yx =-. …………………………10分当2019x =时，ˆ0.36724.76 2.08yx =-=， 即A地区2019年足球特色学校有208个. …………………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：取BC 的中点为D ，连结DF . …………………………1分 由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，∴//BC FG .………2分 ∵2CB GF =，∴//CD GF =，……………………………………3分 ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.……………………4分∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ，∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴CG AB ⊥. ……………………6分 (Ⅱ)∵三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =，∴2AC EG =，∴2ACG AEG S S ∆∆=， ………………………………8分 ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===. …………………………9分 由(Ⅰ)知，CG ⊥平面ABC .∵正ABC ∆的面积等于3，∴2BC =，1GF =. …………………………10分 ∵直角梯形BCGF 的面积等于3，∴()1232CG+⋅=，∴233CG =， ∴11112233G ABE G ABC ABC V V S CG --∆==⋅⋅⋅=. (12)分20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵直线:10l x y -+=与抛物线C 相切.由2102x y y px-+=⎧⎨=⎩消去x 得，2220y py p -+=，……2分从而2480p p ∆=-=，解得2p =. ………………………………4分∴抛物线C 的方程为24y x =. …………………………5分(Ⅱ)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为1ty x =-，A (11x y ，)，B (22x y ，).……6分由214ty x y x=-⎧⎨=⎩消去x 得，2440y t y --=， ………………………………7分∴124y y t +=，从而21242x x t +=+， ……………………………………8分∴线段AB的中点M 的坐标为(221 2t t +，). ………………………………9分设点A 到直线l 的距离为A d ，点B 到直线l 的距离为B d ，点M 到直线l 的距离为d ，则222222132222122242A B t t d d d t t t -+⎛⎫+==⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭， …………………………11分∴当12t =时，可使A 、B 两点到直线l 的距离之和最小，距离的最小值为322. ………………12分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0 +∞，). …………………………1分()()222223223a x x a a x ax a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'=-+==. …………………………2分⑴当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 的单调递增区间为(0 +∞，)，无单调递减区间；…………3分⑵当0a >时，由()0f x '>解得0 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，() a +∞，，由()0f x '<解得2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.………………4分∴()f x 的单调递增区间为0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，，单调递减区间是2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，. ……………………5分(Ⅱ)①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0 +∞，)上单调递增， ∴()2422()320≥=-+≥f x f e e ae a 恒成立，符合题意. …………………………6分②当0a >时，由(Ⅰ)知，()f x 在 0 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，和()a +∞，上单调递增，在2a a ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减. (ⅰ)若202a e <≤，即22≥a e 时，()f x 在2 2a e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增，在2a a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在()a +∞，上单调递增.∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()20f e ≥，且()0f a ≥.……………………………7分而当22≥a e 时，()22242223(2)()0=-+=--≥f e a ae e a e a e 且()22223ln (ln 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成立.∴22a e ≥符合题意. ………………………………8分(ⅱ)若22ae a <≤时，()f x 在)2e a ⎡⎣，上单调递减，在[)a +∞，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()0≥f a 即可， 此时()22223ln (l n 2)0=-+=-≥f aa a a a a a 成立，∴222e a e ≤<符合题意.…………………………9分(ⅲ)若2e a >，()f x 在)2e ⎡+∞⎣，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()2422320f e e ae a =-+≥，……………………10分即()()()2422223220f e e ae a a e a e =-+=--≥，∴202e a <≤符合题意.……………………………11分综上所述，实数a 的取值范围是)222e e ⎛⎤⎡-∞+∞ ⎥⎣⎝⎦，，. …………………………12分 22.(本小题满分10分)【解析】（1）将直线l 的参数方程化为普通方程为30x y a +-=. ·························· 2分 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=， ··································································· 3分 从而224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=. ··························· 5分（2）解法一：由()4cos 03ρθθρ=⎧⎪π⎨=≥⎪⎩，得2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以2OP =， ······························ 6分 将直线l 的参数方程代入圆的方程2240x x y -+=，得()22230t a t a +++=由0∆>，得234234a -<<+ …………………………………………………………8分设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，则()22121212AB 44432t t t t t t a a =-=+-=+-= (9)分解得，0a =或43a =.所以，所求a 的值为0或43.………………………………………………10分解法二：将射线()03θρπ=≥化为普通方程为()300x y x -=≥， ······················· 6分 由（1）知，曲线C ：()2224x y -+=的圆心()2,0C ，半径为2， 由点到直线距离公式，得C 到该射线的最短距离为：23331d ==+， 所以该射线与曲线C 相交所得的弦长为()222232OP =-=． ························· 7分 圆心C 到直线l 的距离为：2323231a a --=+， ·············································· 8分由22223122a⎛⎫- ⎪+= ⎪⎝⎭，得()22312a -=，即2323a -=±， ···················· 9分解得，0a =或43a = 所以，所求a 的值为0或43.……………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)由()1f x ≤得，|32|1x +≤，所以，1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-，所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232+≥x a x 恒成立. 当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223+≤=+x a x x x.因为2326x x +≥(当且仅当23x x =，即63x =时等号成立)， 所以26a ≤，即a 的最大值是26. …………………………10分。
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷(全国卷)文科数学试题(含答案解析)
2020届百校联盟高三复习全程精练模拟卷（全国卷）文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．复数32iz i+=的虚部为（ ） A ．2B ．-2C ．-3D ．3i -3．已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≤时，()2321f x x x =+-，则当0x >时，()f x =（ ）A ．2321x x -+-B ．2321x x ---C ．1232-+x xD ．2321x x --4．已知()4,3a =，()9,9b =-，则a 在a b +方向上的投影为（ ） A ．165B ．335C ．1613D ．33135．维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A ．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B ．猕猴桃的方差小于柚子的方差C ．猕猴桃的极差为32D ．柚子的中位数为1216．甲，乙，丙三名学生，仅有一人通过了全国英语六级等级考试.当它们被问到谁通过了全国英语六级等级考试时，甲说：“丙通过了”；乙说：“我通过了”；丙说：“甲和乙都没有通过”.假设这三名学生中有且只有一人说的是对的，那么通过了全国英语六级等级考试的学生是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．仅靠以上条件还不能推出是谁7．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为男、子、伯、侯、公共五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则其中恰有1人被封“伯”的概率为（ ） A ．825B ．25C ．1225D ．172510．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．()f x 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π二、填空题13．已知函数()()1cos f x x x =+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为______.14．已知sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4Cπ，3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则c =______.16．已知()1,0F c -，()2,0F c 是双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，若点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，且2OPF ∆2（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为______.三、解答题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ；（2）求三棱锥B PCD -的体积.18．已知公差不为0的等差数列{}n b 中，47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n a 为等比数列，且满足221a b =+，3385a b =，求数列{}n a 的通项公式及前8项的和.19．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()221ln f x a x ax x =+--，a R ∈.（l ）设()()()21g x f x a x =-+，讨论函数()g x 的单调性；（2）若函数()f x 的图象在()1,+∞上恒在x 轴的上方，求实数a 的取值范围. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 4sin 10ρθρθ+-=.（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x ，y 轴的交点分别为M ，N ，若点P 在曲线C 位于第一象限的图象上运动，求四边形OMPN 面积的最大值. 23．已知函数()224f x x x =---. （1）解不等式()4f x >；（2）若不等式()222f x x -->-的解集为(),m n ，正实数a ，b 满足3a b n m +=-，求113a b+的最小值.参考答案1．A 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】先给分子和分母同乘以i ，化简后可得其虚部. 【详解】 因为()2323223231i i i iz i i i ++-+====--，所以z 的虚部为-3. 【点睛】此题考查的是复数的运算和复数的有关概念，属于基础题. 3．D 【分析】若令0x >，则0x -<，再将x -代入()2321f x x x =+-中化简，再结合偶函数的定义可得0x >时的函数关系式. 【详解】当0x >时，0x -<，则()()()()22321321f x f x x x x x =-=-+--=--.【点睛】此题考查的是利用偶函数的性质求分段函数的解析式，属于基础题. 4．C 【分析】先由已知求出a b +的坐标，然后利用向量投影的定义求解即可. 【详解】因为()()()4,39,95,12a b +=+-=-，所以a 在a b +方向上的投影为()cos ,a a b a aa b a b⋅++=+4,35,121613⋅-==.【点睛】此题考查了向量的数量积，向量的夹角，向量的投影等知识，属于基础题. 5．B 【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可. 【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确； 柚子的中位数为1211211212+=，故D 正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题. 6．B 【分析】由于甲，乙，丙三名学生中有且只有一人说的是对的，所以分别假设三名学生的说法是对，进行逻辑推理可判断出结果. 【详解】由题意，仅有一人通过了全国英语六级等级考试，则甲说与乙说的只有一个是正确的.假设甲说的是正确的，则丙通过了全国英语六级等级考试.此时乙说是错误的，丙说是正确的，不符合“只有一人说的是对的”的前提条件；假设乙说的是正确的，则甲说的错误，丙说的也错误，符合“只有一人说的是对的”的前提条件；故通过了全国英语六级等级考试的学生是乙. 【点睛】此题考查的是逻辑推理，属于基础题. 7．D 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 8．B 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．A 【分析】每1个人都有5种封爵方法，所以2人共有5525⨯=种情况，而恰有一人被封“伯”的有8种情况，然后概率可求得 【详解】由题意知，基本事件的总数有5525⨯=种情形；而其中有1人被封“伯”的情况有：第1人被封“伯”有4种情形，第2人被封“伯”也有4种情形，则其中有1人被封“伯”的共有8种情形；根据古典概型及其概率的计算公式，可得其中有1人被封“伯”的概率为825. 【点睛】此题考查了是古典概率，属于基础题 10．D 【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率. 【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -.由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =.而(),BF c b =--，所以,33c b FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b+=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以e =. 即椭圆C的离心率为2故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题. 11．C 【分析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可. 【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π， 所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象，又因为()g x 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<，所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误； 在,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12．B 【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则42SD CD ==⨯=，则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又14233OE DF OE OF ====⨯=，由勾股定理得3OD ==所以外接球半径为R ===所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 13．20x y -= 【分析】根据()()1cos f x x x =+，求导()1cos sin 'x x x x f =+-，再求得()'0f ，()0f ，写出切线方程. 【详解】因为()()1cos f x x x =+所以()()sin 1cos si 1cos n 'x x x x x f x x -=+-=++， 所以()'02f =.又()00f =，所以()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为()020y x -=-， 即20x y -=. 故答案为：20x y -= 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14．79-【分析】观察前后式子，配凑22632πππαα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，通过诱导公式展开即可． 【详解】27sin 2sin 2cos 212sin 632339πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦【点睛】此题考查三角函数的正弦和差公式结合二倍角公式进行化简，属于较易题目．15【分析】利用正弦定理将()cos 2cos a B c b A =-统一化为角，然后化简求出角3A π=，再利用正弦定理可求出c . 【详解】由()cos 2cos a B c b A =-及正弦定理，得()sin cos 2sin sin cos A B C B A =-，得sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，得()sin 2sin cos A B C A +=，得sin 2sin cos C C A =，显然sin 0C ≠，得12cos A =，解得1cos 2A =.又0A π<<，所以3A π=.再由正弦定理，得sin sin a c A C =，即3sin sin 34cππ=，解得c 【点睛】此题考查的是利用正弦定理解三角形，考查了三角函数恒等变形公式，属于基础题. 16．2【分析】不妨设渐近线方程为b y x a=，根据点1F 关于双曲线渐近线的对称点为P ，可得到OP c =，再根据2OPF ∆2，由正弦定理2221sin 2OPF S OP OF POF ∆=∠2=，求得2POF ∠，根据其与渐近线的倾斜角的关系求得ba，再求离心率. 【详解】不妨设渐近线方程为by x a=， 由题意，12OF OF c OP ===， 所以222211sin sin 22OPF S OP OF POF c c POF ∆=∠=⋅⋅∠24=，解得2sin POF ∠=. 所以260POF ∠=︒或2120POF ∠=︒. 当260POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为60︒，则tan 60b a =︒=2c a ==. 即双曲线C 的离心率为2； 当2120POF ∠=︒时，则渐近线by x a=的倾斜角为30，则tan 303b a =︒=c a ==.即双曲线C 的离心率为3综上，双曲线C 的离心率为2故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 17．（1）证明见解析；（2）83【分析】（1）取PD 的中点F ，先证明四边形ABEF 是平行四边形，可得//BE AF ，只需证AF ⊥平面PCD 即可，而由已知易证CD ⊥平面PAD ，从而可证得CD AF ⊥，而由等腰三角形的性质可证得AF PD ⊥，由此可证得AF ⊥平面PCD ；（2）先在,Rt PAD Rt PAB ∆∆中利用勾股定理求出,PD PB 的长，再在Rt ADC ∆中，求出AC ，从而可得PC 的长，而E 为PC 的中点，所以12PE CE PC ==，在Rt PBE ∆中，再利用勾股定理求出BE ，而由（1）可知BE ⊥平面PCD ，所以13CD B P PCD V S BE -∆=⋅三棱锥，代值可得答案. 【详解】（1）证明：如下图，取PD 的中点F ，连接AF ，EF . 又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线. 所以//EF CD 且12EF CD =.又//AB CD 且12AB CD =， 所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形. 所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点， 所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD . 所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD . 又//BE AF ，所以BE⊥平面PCD .（2）因为122AB AD AP CD ====，所以由勾股定理得PD PB BC =====AC PC ===所以12PE CE PC ===所以BE ==由（1）得，CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥.所以11422PCD S CD PD ∆=⋅=⨯⨯=由（1）得，BE ⊥平面PCD ，所以118333PC B PCD D V S BE ∆-=⋅=⨯=三棱锥. 【点睛】此题考查线面垂直的判定和棱锥的体积的求法，属于中档题.18．（1）21n b n =-；（2）2nn a =；8510S =【分析】（1）由1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，再结合47b =可得()()()272737d d d -=-+，解方程可求出公差，从而可求出通项公式； （2）由221a b =+，3385a b = 和21n b n =-，求出23,a a ，从而可求出公比，进而求出通项公式和前n 项和公式. 【详解】（1）设等差数列{}n b 的公差为d .由已知47b =且1b ，2b ，5b 成等比数列，得2215b b b =，得()()()244423b d b d b d -=-+， 即()()()272737d d d -=-+， 化简得()720d d -=， 解得0d =（舍去）或2d =.所以()()4474221n b b n d n n =+-=+-⨯=-. （2）由（1）知21n b n =-， 所以2214a b =+=，33885855a b ==⨯=. 所以数列{}n a 的公比322a q a ==. 所以222422n n n n a a q--=⋅=⨯=.设数列{}n a 前8项的和为8S ， 则()8821251012S ⨯-==-.【点睛】此题考查的是等差数列和等比数列的基本量计算，属于基础题 19．（1）4.4小时；（2）0.4. 【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率. 【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=. 由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天， 又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4. 【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题. 20．（1）216y x =；（2）4. 【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离. 【详解】 （1）易知点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =.联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭.故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y xx my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）详见解析；（2）[]1,0- 【分析】（1）先求导函数()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->，然后通过对0a ≥和0a <讨论，判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间； （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立，即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立，然后构造函数()()2ln 21x ax h x x a =+-+，只需()h x 在1,上最大值小于零即可，从而可求出a 的取值范围. 【详解】（1）()()()221ln g x f x a x ax x =-+=--，a R ∈，()()22'1120ax ax x x g xx +=--=->.①若0a ≥，2210ax +>，()'0g x <，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；②若0a <，令()'0g x <，得0x <<令()'0g x >，得x >所以函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. 综上所述，若0a ≥，函数()g x 的单调减区间是()0,∞+，无单调增区间；若0a <，函数()g x 的单调减区间是⎛ ⎝，单调增区间是⎫+∞⎪⎪⎭. （2）“若函数()f x 的图象在1,上恒在x 轴的上方”等价于“不等式()0f x >在1,上恒成立”，即不等式()221ln 0a x ax x +-->在1,上恒成立， 即不等式可转化为()2ln 210x ax a x +-+<在1,上恒成立. 令()()()2ln 211x ax h x a x x =+-+>， 则()()()222111221'ax a x ax a x h xx -++=+-+=()()211ax x x --=. ①若0a ≤，则()'0h x <，()h x 在1,上单调递减，所以()()11h x h a <=--，不等式恒成立等价于10a --≤，即10a -≤≤；②若102a <<，则112a >，当112x a<<时，()'0h x <，当12x a >时，()'0h x >， ()h x 在11,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()1,2x h h a ⎡⎫⎛⎫∈+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，不符合题意； ③若12a ≥，当1x >时，()'0h x >，()h x 在1,上单调递增， 所以()()()1,h x h ∈+∞，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是[]1,0-.【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式恒成立问题，属于较难题.22．（1）2214x y +=；2410x y +-=；（2）4【分析】（1）根据2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，利用平方关系消去参数α，即可得到普通方程，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2cos 4sin 10ρθρθ+-=，即可得到直角坐标方程.（2）易得直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为M ，N 的坐标，设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，利用S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+求解.【详解】（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得2222cos sin 12x y αα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 故曲线C 的普通方程为2214x y +=. 由2cos 4sin 10ρθρθ+-=将cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式， 得2410x y +-=，故直线l 的直角坐标方程为2410x y +-=.（2）易知直线2410x y +-=与x ，y 轴的交点分别为1,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,4N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设曲线C 上的点()2cos ,sin P αα，因为P 在第一象限，所以02πα<<.连接OP ，则S 四边形OMPN OMP ONP S S ∆∆=+，11sin 2cos 22OM ON αα=⋅+⋅11sin cos 444πααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.当4πα=时，四边形OMPN 面积的最大值为4. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及面积问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭；（2）1. 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，去掉绝对值求解.（2）由()222f x x -->-，易得26x <<，再根据其解集为(),m n ，得到6n =，2m =.则34a b +=，然后利用“1”的代换，利用基本不等式求解.【详解】（1）不等式()4f x >等价于 ()()12244x x x <⎧⎨--->⎩，或()()142244x x x ≤≤⎧⎨--->⎩，或()()42244x x x >⎧⎨-+->⎩， 解得6x <-或1043x <≤或4x >. 故不等式()4f x >的解集是()10,6,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. （2）由()222f x x -->-，得42x -->-，得42x -<，得242x -<-<，解得26x <<，所以6n =，2m =.因为正实数a ，b 满足34a b n m +=-=，所以()1314a b +=. 又a ，b 是正实数， 由基本不等式得()111113334a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1311121434b a a b ⎛⎛=⎫+++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当33b a a b=，即当2a =，23b =时取等号， 故113a b+的最小值为1. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式与解集的关系以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。
2020届全国百校联考新高考原创精准预测试卷(七)文科数学
2020届全国百校联考新高考原创精准预测试卷（七）文科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．.） 1.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围为( ) A .(0，1] B .[1，＋∞) C .(0，1) D .(1，＋∞) 2.若复数z 满足()3443i z i -=+,则z 的虚部为( )A . 45i - B . 45-C . 45D . 45i 3.若||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量,a b 的夹角为( )A .45B .60C .120D . 1354.已知直线:10(R)l x ay a +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则AB =( )A .2B .C .6D .5.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )A .直线AC 上B .直线AB 上C .直线BC 上D .△ABC 内部6.已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角 形，则实数m 的取值集合为( )A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C .⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 D .⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 7.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2 ,…, 960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C ,则抽到的人中,做问卷C 的人数为( )A .7B .9C .10D .158.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为,x y ,则2log 1x y =的概率为( )A .16 B . 536C . 112D .12 9.若实数x ，y 满足条件40220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则12x y -⎛⎫⎪⎝⎭ 的最大值为( )A .116B . 12C . 1D .210.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n >1的n 的最小值为( ) A .4B .5C .6D .711.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2,对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( ) A .(－1，1) B .(－1，＋∞) C .(－∞，－1)D .(－∞，＋∞)12.已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ,若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点,且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ,则21e e -的取值范围是( )A . 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B . 1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C . 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D . 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共20分）13. 函数22()log (2)f x x x =--的单调递减区间是________.14.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点 A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________. 15.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若a b c bc a b c -+=+-，则sin sin B C +的取值范围是 .16.已知实数e ,0()=lg(),0x x f x x x ⎧≥⎨-<⎩，若关于x 的方程()2()0f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为____________．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17.（12分）已知向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x ==函数().f x a b =⋅ (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 值域．18.（12分）在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． (1)求角B 的大小；(2)已知2c =，AC边上的高BD =，求ABC △的面积S 的值．19.（11分）在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为2,{2x t y =--= (t 为参数),直线l 与曲线()22:21C y x --=交于,A B 两点．(1)求AB 的长；(2)在以O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为34π⎛⎫⎪⎝⎭,求点P 到线段AB 中点M 的距离．20.（11分）已知()()20f x ax ax a a =-+->． (1)当1a =时,求()f x x ≥的解集；(2)若不存在实数x ,使()3f x <成立,求a 的取值范围．21.（12分）设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0)． (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．22.（12分）已知函数()(2)ln(1)()f x x x ax a R =++-∈． (1)若1a =,求曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程； (2)若()0f x ≥在[)0,+∞上恒成立,求实数a 的取值范围．参考答案数学（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. (,1)-∞- 14.655－115. 16. (,2]-∞- 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(12分）已知向量()()2cos ,1,cos 2,a x b x x ==函数().f x a b =⋅(1)求函数()f x 的单调增区间;(2)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 值域. 解：（1）()22cos 2f x a b x x =⋅=2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由()222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈,得(),.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈（2）由（1）知()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴当6x π=时, ()max 3f x =;当0x =时, ()min 2f x =18.（12分）在锐角ABC △中，,,a b c 为内角,,A B C 的对边，且满足(2)cos cos 0c a B b A --=． （1）求角B 的大小．（2）已知2c =，AC 边上的高BD =，求ABC △的面积S 的值． 解（1）∵(2)cos cos 0c a B b A --=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0C A B B A --=， ∴2sin cos sin cos sin cos C B A B B A =+， 即2sin cos sin C B C =。
2020届全国百师联盟新高考押题模拟考试(十四)文科数学
2020届全国百师联盟新高考押题模拟考试（十四）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题；本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1.集合01{|}M x x ＝＜＜，1222x N x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂等于（ ） A. )[11﹣， B. )[01，C. [11]﹣， D. 01（，）【答案】D 【解析】 【分析】首先求集合N ，然后再求M N ⋂. 【详解】1222x ≤≤ 解得：11x -≤≤ ，{}11N x x ∴=-≤≤，{}()010,1M N x x ∴⋂=<<=.故选：D【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.2.已知复数z 满足3)3i z i =，则z 为（ ）A.34 B.34 C.32 D.32 【答案】A 【解析】由题设可得34z ===，应选答案A 。
3.若曲线2y x mx n =++在点（0，n ）处的切线方程x-y+1=0，则（ ） A. m 1=，n 1= B. 1m =-，n 1= C. m 1=，n 1=- D. 1m =-，n 1=-【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率，再根据导数的几何意义列方程求解即可． 【详解】Q 曲线在点()0,n 处的切线方程是10x y -+=，010n ∴-+=，则1n =，即切点坐标为()0,1，切线斜率1k =，曲线方程为()21y f x x mx ==++，则函数的导数()'2f x x m =+ 即()'001k f m ==+=，即1m =， 则1m =，1n =，故选A ．【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题．应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.4.等差数列{}n a 中，已知51012a a +=，则793a a +=（ ）A. 12B. 18C. 24D. 30【答案】C 【解析】 试题分析：因,故应选C.考点：等差数列的通项公式及运用.5.若方程22(2)1mx m y +﹣＝表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A. (1)+∞， B. (0)2， C. (12)， D. (0)1，【答案】D 【解析】 【分析】首先方程写成椭圆的标准形式，然后根据焦点在x 轴，列不等式，求解m 的取值范围.【详解】221112x y m m +=- Q 焦点在x 轴的椭圆，10102112m mm m ⎧>⎪⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩0202m m m m >⎧⎪⇒->⎨⎪<-⎩ ，01m ∴<< . 故选：D【点睛】本题考查椭圆标准方程的形式，属于基础概念的考查. 6.ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cA b<，则ABC ∆为( ) A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理可得sinC ＜sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin （A +B ）＜sinBcosA,整理可得有sinAcosB ＜0,结合三角形的性质可求. 【详解】∵A 是△ABC 的一个内角，0＜A ＜π， ∴sinA＞0． ∵cb＜cosA ， 由正弦定理可得，sinC ＜sinBcosA, ∴sin（A+B ）＜sinBcosA, ∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA, ∴sinAcosB＜0 , 又sinA ＞0, ∴cosB＜0 , 即B 为钝角, 故选B ．7.若0.320.32,0.3,log 2a b c ===，则,.a b c 的大小顺序是A. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b c a <<【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，由于0.320.3a 21,00.31,log 20b c =><=<=<，故可知a,b,c 的大小关系式为c b a <<，选C考点：指数函数与对数函数点评：主要是考查了指数函数与对数函数的值域 的求解，属于基础题。
2020届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学(文)试卷及答案
2020届百师联盟高三开学摸底大联考全国卷数学（文）试卷(含答案)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟，满分150分。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 1＝2－2i ，z 2＝1＋i ，则12z z = A.2i B.－2i C.2－2i D.2＋2i2.已知集合{31}A x x =-<≤，集合2{lg(2)}B x y x ==-，则A B =A.[B.(C.[-D.(-3.某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘(转盘如图)，经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为20°，50°和60°，则抽奖一次中奖的概率为A.1336B.1736C.1936D.59 4.已知实数x ，y 满足220y x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则x －y 的最小值为A.0B.2C.－2D.15.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 1，F 2为其左右焦点，12F F =，B 为短轴的一个端点，三角形BF 1O(O 为坐标原点)，则椭圆的长轴长为A.4B.8C.12D.1+6.函数212()log (68)f x x x =--+的单调递增区间为A.(4，＋∞)B.(－∞，2)C.(3，＋∞)D.(3，4)7.元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹一七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米最为A.1升B.23升C.32升D.43升 8.如图，在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设,BA a BC b ==，则BE =A.1124a b +B.1536a b +C.2233a b +D.1324a b + 9.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A.3B.2020C.3030D.101010.在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学(每班一人)，记这三名同学为A 、B 、C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高，由此判断，下来推断正确的为A.A 来自1班B.B 来自1班C.C 来自3班D.A 来自2班11.已知函数y ＝f(x －2)的图像关于直线x ＝2对称，在(0,)x ∈+∞时，f(x)单调递增。