数列-圆锥曲线-导数 专题训练
2021年高考数学二轮专题复习《数列 圆锥曲线 导数》大题练习题 学生版

2021年高考数学二轮专题复习《数列 圆锥曲线 导数》大题练习题1.已知在数列{a n }中,a 1=1,a n a n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . (1)求证:数列{a 2n }与{a 2n -1}都是等比数列;(2)若数列{a n }的前2n 项的和为T 2n ,令b n =(3-T 2n )·n ·(n +1),求数列{b n }的最大项.2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点(2,1),且离心率为22. (1)求椭圆C 的方程;(2)设M ,N 是椭圆上的点,直线OM 与ON(O 为坐标原点)的斜率之积为-12. 若动点P 满足OP →=OM →+2ON →,求点P 的轨迹方程.3.已知函数f(x)=kx -ln x -1(k>0).(1)若函数f(x)有且只有一个零点,求实数k 的值;(2)证明:当n ∈N *时,1+12+13+ (1)>ln(n +1).4.正项数列{a n }的前n 项和Sn 满足:(1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)令,数列{bn}的前n 项和为Tn.证明:对于任意的n ∈N*,都有Tn <.5.P(x 0,y 0)(x 0≠±a)是双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)上一点,M ,N 分别是双曲线E 的左、右顶点,直线PM ,PN 的斜率之积为15. (1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OC →=λOA →+OB →,求λ的值.6.已知a ∈R ,函数()1e x f x ax -=-在点(1,1-a)处与x 轴相切.(1)求a 的值,并求f(x)的单调区间;(2)当x>1时,f(x)>m(x-1)lnx ,求实数m 的取值范围.7.已知数列{a n }的前n 项和为错误!未找到引用源。
高二数学 导数和圆锥曲线训练 试题

县凤凰中学高二数学 导数和圆锥曲线训练1、曲线x y sin =在点)21,6(π处的切线方程为 . 2、直线a x y +=与曲线y=lnx 相切,那么a 的值是 .3、函数,)1()(2'3x x f x x f -+=那么)1('f = .4、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是〔 〕A.),(2-∞ )3,0.(B C.(1,4) D.(2,+)∞ 5、函数),0(31)(23≠++=a cx bx ax x f 假设,0)1('=-f 且)x f (在x=1处获得极 值-2,那么a = ,b= ,c= .6、]2,2[(62)(23-+-=为常数)在m m x x x f 上有最大值3,那么此函数在[-2, 2]上的最小值为 .7、抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,那么抛物线的方程为〔 〕x y 8.A 2-= B.x y 42-= x y C 8.2= D.x y 42=8、假设点〔3,1〕是抛物线px y 22=的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率 为2,那么p= . 9、F 1,F 2为椭圆192522=+y x 的两个焦点,过F 1的直线交椭圆于A ,B 两点, 假设,12B F A F 22=+那么=AB .10、椭圆的长轴长是短轴长的3倍且经过点P 〔3,0〕,那么椭圆的HY 方程为 .11、椭圆121022=-+-m y m x ,长轴在y 轴上,假设焦距为4,那么m 等于〔 ) A.4 B.512、双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),那么双曲线方程为励志赠言经典语录精选句;挥动**,放飞梦想。
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圆锥曲线与导数练习题

圆锥曲线与导数测试卷(二)一、选择题1.曲线y =x 3在点P 处的切线斜率为3,则P 点的坐标为A .(-2,-8)B .(-1,-1)C .(-2,-8)或(2,8)D .(-1,-1)或(1,1)2.若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ,则函数图像在点(4,f (4))处的切线的倾斜角为A .90°B .0°C .锐角D .钝角 3.函数y =3x -x 3的单调增区间是A .(0,+∞)B .(-∞,-1)C .(-1,1)D .(1,+∞)4.设椭圆1C 的焦点在x 轴上且长轴长为26,且离心率为513;曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为( )A .2222143x y -=B .22221135x y -=C .2222134x y -= D .222211312x y -=5.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合,则p 的值为 A .2- B .2 C .4- D .46.若点P 在抛物线24y x =上,则该点到点(21)Q -,的距离与到抛物线焦点距离之和取得最小值时的坐标为( )A.114⎛⎫- ⎪⎝⎭, B.114⎛⎫⎪⎝⎭, C.(12), D.(12)-,7.双曲线22221x y a b-=的右焦点为F ,右准线与一条渐近线交于点A ,AOF ∆的面积为22a ,则两条渐近线的夹角为A .ο90B .ο60C .ο45D .ο308.已知椭圆221102x y m m +=--,长轴在y 轴上. 若焦距为4,则m 等于 ( ) A.4. B.5. C.7. D.8.9.F 是抛物线y 2=2x 的焦点,P 是抛物线上任一点,A(3,1)是定点,则|PF |+|PA |的最小值是 ( )A.2B.27C.3D.2110.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )(A 2(B 12- (C )2- (D 111. 已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ,点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴,则1F 到直线2F M 的距离为( )(A)(B)(C)65(D)5612.过双曲线191622=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6,则2ABF ∆(F 2为右焦点)的周长是( )A .28B .22C .14D .12二、填空题13.曲线y =x 3在点P (2,8)处的切线方程是___________. 14.若y =(2x 2-3)(x 2-4),则y ’= . 15.与直线2x -6y +1=0垂直,且与曲线y =x 3+3x 2-1相切的直线方程是______. 16.以下四个关于圆锥曲线的命题中:①设A 、B 为两个定点,k 为非零常数,||||PA PB k -=u u u r u u u r,则动点P 的轨迹为双曲线;②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ,O 为坐标原点,若1(),2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r则动点P 的轨迹为椭圆;③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)三、解答题17.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =-1时,取得极大值7;当x =3时,取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值.18.抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的一个焦点,且抛物线与双曲线的一支交于P (3219.已知点()A 和)B,动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2,点C 的轨迹与直线2y x =-交于D 、E 两点,求线段DE 的长.20、已知椭圆C 的焦点F 1(-22,0)和F 2(22,0),长轴长6,设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的中点坐标。
(导数,圆锥曲线,定积分练习)20191201高二理科数学练习word精品文档11页

导数、圆锥曲线 练习一、选择题(每小题5分)1、命题“若()f x 是奇函数,则()f x -是奇函数”的否命题是( ) A .若()f x 是偶函数,则()f x -是偶函数 B.若()f x 不是奇函数,则()f x -不是奇函数 C .若()f x -是奇函数,则()f x 是奇函数 D .若()f x -是奇函数,则()f x 不是奇函数2、设原命题:若2a b +≥,则,a b 中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情 况是( )A.原命题真,逆命题假B .原命题假,逆命题真C .原命题与逆命题均为真命题D .原命题与逆命题均为假命题3、命题甲:动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2(0)a a >;命题乙: 点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线。
则命题甲是命题乙的( )A.充要条件 B. 必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.不充分也不必要条件4、已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3y x =,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上,则双曲线的方程为( )A .22136108x y -= B. 221279x y -= C .22110836x y -= D.221927x y -=5 32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于( )A319 B316 C 313 D 310 6.曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为( )A .(1,0)和(1,4)--B .(2,8)和(1,4)--C .(1,0)D .(2,8) 7.函数ln y x x =( ) A .在区间(01),上是单调增函数B .在区间(01),上是单调减函数C .在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上是减函数,在11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上是增函数 D .在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上是增函数,在11e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上是减函数 8.设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '=的图象如图1所示,则()y f x =的图象最有可能是( )9.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.),3[]3,(+∞--∞YB.]3,3[-C. ),3()3,(+∞--∞YD.)3,3(-10.福建炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x 小时时,原油温度(单位:)0C 为)50(831)(23≤≤+-=x x x x f ,那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是( ) A .8B.320C .1- D. 8-二、填空题(每小题5分)11.垂直于直线2610x y -+=且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程为12. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为________________ 13. 函数sin xy x=的导数为_________________ 14函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________15、已知两个点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P ,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B 型直线”,给出下列直线:①1y x =+; ②43y x =;③2y =;④21y x =+.其中为“B 型直线”的是 .(填上所有正确结论的序号)三、解答题(12分*4+13分+14分)16、已知函数)4,1()(23M bx ax x f 的图象经过点+=,曲线在点M 处的切线恰好与直线09=+y x 垂直。
高考数学数列、导数、圆锥曲线综合题

综合题(答案在文章最后面)1、设n S 为数列}{n a 的前n 项和,对任意的∈n N *,都有()1n n S m ma =+-m (为常数,且0)m >.(1)求证:数列}{n a 是等比数列;(2)设数列}{n a 的公比()m f q =,数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -==(2n ≥,∈n N *),求数列{}n b 的通项公式;(3)在满足(2)的条件下,求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .2、已知函数)0,()(≠+=a b a bax xx f 为常数且满足1)2(=f 且x x f =)(有唯一解。
(1)求)(x f 的表达式;(2)记)1)((1>∈=-n N n x f x n n 且,且1x =()f 1,求数列{}n x 的通项公式。
(3)记1n y +⋅=n n x x ,数列{n y }的前n 项和为n S ,求证34<n S3、在数列{}n a 中,1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ,,其中0λ>.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n a 的前n 项和n S ;(Ⅲ)证明存在k *∈N ,使得11n k nk a a a a ++≤对任意n *∈N 均成立.4、设数列).(3,3,3}{},{*111N n n P P P b b P b n n n n nn n n ∈+===++且满足(1)求数列}{n b 的通项公式;(2)若存在实数t ,使得数列})21({,1)41(n C n n n C n n t b C ⋅++⋅-=记数列成等差数列的前n 项和为n T ,证明:3(1)nn n T b -<(3)设25,}{,)1(1<+=n n n n n S S n A T n n A 求证项和为的前数列5、已知函数32()3f x x ax x =--.(1)若()f x 在区间[1,)+∞上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)若13x =-是()f x 的极值点,求()f x 在[1,]a 上的最大值;(3)在(2)的条件下,是否存在实数b ,使得函数()g x bx =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点?若存在,请求出实数b 的取值范围;若不存在,试说明理由.6、已知函数(),()2ln mf x mxg x x x=-=. (1)当2m =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (2)当m=1时,求方程f(x)=g(x)实数根个数;(3)若(1,]x e ∈时,不等式()()2f x g x -<恒成立,求实数m 的取值范围.7、已知函数2(2)()().x x x x e f x g x e e-==, (Ⅰ)求函数()f x 的极值;(Ⅱ)求证:当1x >时,()()f x g x >;(Ⅲ)如果21x x <,且12()()f x f x =,求证:12()(2)f x f x >-.8、设函数()e x f x =(e 为自然对数的底数),23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++(*n ∈N ). (1)证明:()f x 1()g x ≥;(2)当0x >时,比较()f x 与()n g x 的大小,并说明理由;(3)证明:()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤(*n ∈N ).9、已知椭圆2214y x +=的左,右两个顶点分别为A 、B .曲线C 是以A 、B 的双曲线.设点P 在第一象限且在曲线C 上,直线AP 与椭圆相交于另一点T . (1)求曲线C 的方程;(2)设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ,证明:121x x ⋅=;(3)设TAB ∆与POB ∆(其中O 为坐标原点)的面积分别为1S 与2S ,且15PA PB ≤,求2212S S -的取值范围。
圆锥曲线与导数(word文档良心出品)

圆锥曲线与导数一;选择题1.设P 是椭圆x 225+y 216=1上的点,若F 1,F 2是椭圆的两个焦点,则|PF 1|+|PF 2|等于( ) A .4B .5C .8D .102.已知△ABC 的顶点B ,C 在椭圆x 23+y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( )A .2 3B .6C .4 3D .123.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( )A.12B.32C.34D.644.直线y =x +1被椭圆x 24+y 22=1所截得的弦的中点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫23,53B.⎝⎛⎭⎫43,73C.⎝⎛⎭⎫-23,13 D.⎝⎛⎭⎫-132,172 5.设P 为双曲线x 2-y 212=1上的一点,F 1,F 2是该双曲线的两个焦点,若|PF 1|∶|PF 2|=3∶2,则△PF 1F 2的面积为( ) A .63 B .12C .12 3D .24 6..椭圆x 24+y 2a 2=1与双曲线x 2a -y 22=1有相同的焦点,则a 的值是( ) A.12B .1或-2C .1或12D .1. 7..已知定点A ,B 且|AB |=4,动点P 满足|P A |-|PB |=3,则|P A |的最小值为( ) A.12B.32C.72 D .58.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )A .x 2-y 23=1 . B.x 23-y 2=1C .y 2-x 23=1 D.x 22-y 22=1 9.设F 为抛物线C :23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则OAB ∆的面积为( )(A)4 (B) 8 (C)6332(D)9410.如图,抛物线y =-x 2+2x +1与直线y =1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分),则该闭合图形的面积是( )A .1B.43C. 3D .2 11.曲线y =e x 在点(2,e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A.94e 2 B .2e 2C .e 2 D.e 22.12. 已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,0)B.⎝⎛⎭⎫0,12 C .(0,1) D .(0,+∞)二:填空题13已知函数f(x)=f ′(π4)cos x +sin x ,则f(π4)的值为________.14.椭圆x 2+4y 2=16被直线y =12x +1截得的弦长为________. 15.已知双曲线的两个焦点F 1(-5,0),F 2(5,0),P 是双曲线上一点,且1PF ·2PF =0,|PF 1|·|PF 2|=2,则双曲线的标准方程为________________.16. 函数f (x )=x 3-15x 2-33x +6的单调减区间为________.三:解答题17.过点P (-1,1)的直线与椭圆x 24+y 22=1交于A ,B 两点,若线段AB 的中点恰为点P ,求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.18.已知直线l 经过抛物线y 2=4x 的焦点F ,且与抛物线相交于A ,B 两点.(1)若|AF |=4,求点A 的坐标;(2)求线段AB 的长的最小值.19.已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4.(1)求a ,b 的值;(2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值.。
近年高考试题导数圆锥曲线及数列精选

1. (2014湖南) 设常数a>0,函数2()ln(1).2xf x ax x =+-+ (1)讨论f (x)在区间(0,+∞)上的单调性;(2)若f (x)存在两个极值点x 1,x 2,且f (x 1)+ f (x 2)>0,求a 的取值范围.112212P(x ,f(x )),Q(x ,g(x )),x 0,x 0,⇒≥>x 已知f(x)=e +sinx,g(x)=x-2,设PQ x P Q 若直线与轴平行,求、的最短距离。
x ax(a 0).(1)e ⇒>已知f(x)=x-e判断曲线f(x)在x=0处的切线能否与曲线y=相切,并说明理由;12x e 2.x a1212()若f(x )=f(x )=0(x <x ),求证:<⇒已知f(x)=ax ,g(x)=lnx ,若存在两个不等实数x 1,x 2,使f(x 1)=g(x 1),f(x 2)=g(x 2),求证x 1x 2>e 2⇒ (2013 四川)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩其中a 为常数,设A(x 1,f (x 1)),B(x 2,f (x 2))为函数 像上的两点,且x 1<x2(1)指出函数f (x)的单调区间;(2)若函数f (x)的图像在A 、B 处的切线互相垂直,且x2<0,求x 2-x 1的最小值; (3) 若函数f (x) 的图像在A 、B 处的切线重合,求a 的取值范围。
⇒ (2014天津) 设f(x)=x -ae x(a ∈R), 已知y=f(x)有两个零点x 1,x 2,且x 1<x 2.(1) 求a 的取值范围;(2) 证明:21x a x 随着的减小而增大;(3) 证明x 1+x 2随着a 的减小而增大。
3. (2014全国新课标)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+,曲线f (x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x -1)+2.(1) 求a ,b; (2)证明:f (x)>1()ln ,(1)()f x x x f x ⇒=求在[t,t+2](t>0)上的最小值;12(2)ln x x e ex∈∞>-求证对一切实数x (0,+),都有2013 ⇒(全国)已知函数f (x)=e x -ln(x +m)(1) 设x=0 是f (x)的极值点,求m ,并讨论f (x)的单调性;(2) 当m≤2时,证明f (x)>04.(2014浙江)已知函数f (x)=x 3+3|x -a|(a ∈R).(1) 若f (x)在[-1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a)和N(a),求M(a )-N(a); (2) 设b ∈R,若[f (x)+b]2≤4对x ∈[-1,1]恒成立,求3a +b 的范围. 5.(2014陕西)设函数f (x)=ln(1+x),g(x)=x f’(x),其中x≥0, f’(x)是, f (x)的导函数. (1) 令g 1(x)=g(x),g n+1(x)=g(g n (x)),n ∈N +,求g n (x)的表达式;(2) 若f (x )≥ag(x)恒成立,求实数a 的取值范围;(3) 设n ∈N +,比较g(1)+g(2)+……+g(n)与n -f (n)的大小,并加以证明.6. (2014全国大纲) 函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+. (1) 讨论f (x)的单调性;(2) 设a 1=1,a n+1=ln(a n +1),证明 2322na n n <≤++7. (2014山东)设函数22()(ln )()x e f x k x k e x x=-+为常数,是自然对数的底(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围。
圆锥曲线导数练习题

圆锥曲线导数练习题圆锥曲线是数学中的一个重要概念,它可以描述各种曲线的形状和性质。
在微积分学中,导数是一个关键的概念,它可以告诉我们曲线在某一点的切线斜率。
本文将通过一些圆锥曲线导数练习题来帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一. 圆的导数练习题问题1:求圆的导数。
解答:对于一个圆,我们可以通过参数方程来描述它的运动。
设圆的半径为r,圆心坐标为(x, y),参数t表示圆在单位圆上的位置。
那么圆的参数方程可以表示为:x = r*cos(t)y = r*sin(t)对上述参数方程分别求导,我们得到:dx/dt = -r*sin(t)dy/dt = r*cos(t)所以,圆的导数可以表示为:dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (r*cos(t))/(-r*sin(t)) = -cot(t)问题2:已知一个圆的半径为4,求它在(3, 4)点的导数。
解答:根据问题1的结论,我们可得知圆的导数为-y/x = -4/3。
因此,在点(3, 4)处,该圆的切线斜率为-4/3。
二. 椭圆的导数练习题问题1:求椭圆的导数。
解答:椭圆可以通过参数方程来描述其形状。
设椭圆的长轴为a,短轴为b,圆心坐标为(h, k),参数t表示椭圆在单位圆上的位置。
那么椭圆的参数方程可以表示为:x = h + a*cos(t)y = k + b*sin(t)对上述参数方程分别求导,我们得到:dx/dt = -a*sin(t)dy/dt = b*cos(t)所以,椭圆的导数可以表示为:dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (b*cos(t))/(-a*sin(t)) = -b/a * cot(t)问题2:已知一个椭圆的长轴为6,短轴为4,圆心为(2, 3),求它在点(4, 3)处的导数。
解答:根据问题1的结论,我们可得知椭圆的导数为-b/a * cot(t)。
在点(4, 3)处,计算该椭圆的切线斜率可以通过计算导数在该点对应的参数t的值来求解。
圆锥曲线 导数及其应用测试题---含答案

导数及其应用、圆锥曲线测试题一、选择题1、双曲线1322=-y x 的离心率为 ( ) A .552 B .23 C .332 D .22、已知23)(23++=x ax x f 且4)1('=-f ,则实数a 的值等于 ( )A .193 B .163 C .133 D .1033、抛物线281x y -=的准线方程是( ).A. 321=xB. 2=yC. 321=y D. 2-=y4、函数x x x f +=3)(的单调递增区间是 ( )A .),0(∞+B .)1,(-∞C .),(∞+-∞D . ),1(∞+5、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为 ( )A .1B .2C .3D .46、双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =5e5x (e 为双曲线离心率),则有( )A . a =2bB .a =5bC . b =2aD .b =5a 7、函数)22(9323<<---=x x x x y 有( )A . 极大值5,极小值27-B . 极大值5,极小值11-C . 极大值5,无极小值D . 极小值27-,无极大值 8、设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )9、已知动点M 的坐标满足方程|12-4y 3x |522+=+y x ,则动点M 的轨迹是( )A . 椭圆B .抛物线C . 双曲线D . 以上都不对 10、函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是( )A .5 , —15B .18 , —15C .5 , —4D .5 , —16 11、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A .3 B .52 C .2 D .3212、已知12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两焦点,以线段12F F 、为边作正三角形12MF F ,若1MF 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( ) A.324+ B. 13- C.213+ D. 13+二、填空题 13、=-+ii11 14、已知函数53123-++=ax x x y 若函数在R 总是单调函数,则a 的取值范围是 15、直线1-=kx y 与双曲线19422=-y x 有且只有一个交点,则k 为 16、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'xx f x f x )(0>x ,则不等式0)(2>x f x 的解集是 . 三、解答题17、已知顶点在x 轴上的双曲线满足两顶点间距离为8,离心率为45,求该双曲线的标准方程。
数列、圆锥曲线、导数培优专题

数列、圆锥、导数培优专题1. 已知数列}{n a 满足:,211=a =+1n a *,N n e e a nn n ∈+α(其中c 为自然对数的底数). (1)求数列}{n a 的通项;n a(2)设,21n n a a a S +++= ,321n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 求证:,1+≤n nS n .2n n e T -> 解:(1),1e e a Q n n n a n +=+α,11nn n e a e a +=∴+即=+11n n a e .111+-nn a e 令,11n n n a e b -=则,11.+=+n n h b ,2111==a b 因此,数列)(n b 是首项为2,公差为1的等差数列.,11)1(2+=⋅-+=n n b n 11-=∴n n n e b α⋅+=-1)1(1n en (2)证明:当*∈N n 时,.1n en ≥-设,)(1x e x f x -=-),,1[+∞∈x则 ,1)(1-='-x ex f 当1>x 时,,0)(>'x f ),1()(+∞∴在x f 上是增函数,则当1≥x 时,,0)1()(=≥f x f 即.1x e x ≥-因此,当*∈N n 时,.1n en ≥-1)1(1-+=n n en a n n )1(1+≤,111+-=n n 当*∈N n 时,,1ne n <+1)1(1-⋅+=n n e n α11-⋅>n n ee .)12(--=n e n n a a a S +++=∴ 21)111()3121()211(+-++-+-≤n n.1111+=+-=n nn n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅=∴ 321)12(531+----⋅⋅⋅⋅>n e e e e.2)]12(531[n n e e --++++-==2.已知函数x x x x f 21ln 2)(-+=.(1)求函数f (x )的单调区间; (2)求不等式|1|)11(|ln |2-⋅+≤x xx 的解集,并利用不等式结论比较x x x ++1)1(ln 22与的大小. (3)若不等式1)11ln()(≤++na n 对任意*N n ∈都成立,求a 的最大值.(只写出结论不要求写论证过程).解:(1) ,1ln 2)(2x x x x f -+=定义域}0|{>x x ,0)1()1(22)(2222≤--=--⨯-+='x x x x x x x x f )0()(∞+∴在x f 上是减函数|1|)11(|ln |2)2(-⋅+≤x xx 对,当x ≥1时,原不等式变为① x x x x x 1)1()11(ln 22-=-⋅+≤由(1)结论,x ≥1时,,0)1()(=≤f x f 01ln 22≤-+x x x 即①成立 。
圆锥曲线与导数综合练习题

圆锥曲线与导数综合练习题:1、已知直线20ax by --=与曲线3y x =在点P (1,1)处的切线互相垂直,则ab为( D )A .13B .23 C .23- D .13- 2、设动直线x m =与函数3()f x x =,()ln g x x =的图象分别交于点M 、N ,则||MN 的最小值为( A )A .1(1ln 3)3+ B .1ln 33 C .1(1ln 3)3- D .ln 31-3、设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( B )A.2B.2-C.12-D.124、三次..函数3()f x mx x =-在(,)-∞+∞上是减函数,则m 的取值范围是 ( A ) A .0m < B .1m < C .0m ≤ D .1m ≤5、已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切,则a 的值为_________22【解析】()''1y x a x a x a =+=++,设切点为()00,1x x +,则()00011, 2.1ln x a a x x a ⎧=⎪+=⎨⎪+=+⎩ 6、已知函数f (x )的图像在点M (1,f (1))处的切线方程是2x -3y +1=0,则f (1)+f ′(1)= .537、已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点,若2ABF ∆是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是(D ) A .)3,1( B .)22,3( C .),21(+∞+ D .)21,1(+【解析】22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22222,,2,.b b F A c F B c a a ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222240,210,11b F A F B c e e e a ⎛⎫⋅=->--<<<+ ⎪⎝⎭8、以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是(D ) A .2233y x y x ==-或 B .23y x = C .2293y x y x =-=或 D .22-9y x y x ==或9、已知实数m 是2,8的等比中项,则双曲线221y x m-=的离心率为 ( A ) ABCD10、与椭圆2214x y +=共焦点且过点(2,1)P 的双曲线方程是 ( B )A .2214x y -=B .2212x y -=C .22133x y -=D .2212y x -=11、设1e ,2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的一个公共点,且满足021=⋅PF PF ,则2212221)(e e e e +的值为 ( C ) A .21B .1C .2D .不确定12、点P 是曲线2y x x =-上任意一点,则点P 到直线3y x =-的距离的最小值是 ;213、已知正六边形ABCDEF 的两个顶点A 、D 为椭圆的两个焦点,其余4个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率为_______31-;14、双曲线的渐近线方程为34y x =±,则双曲线的离心率是 。
高压题(17)(数列-圆锥-导数)

高 压 题(17)(数列、圆锥、导数)1. 已知椭圆125100:22=+y x E 的上顶点为A ,直线4-=y 交椭圆E 于点B ,C (点B 在点C 的左侧),点P 在椭圆E 上。
(Ⅰ)求以原点为顶点,椭圆的右焦点为焦点的抛物线的方程; (Ⅱ)若四边形ABCP 为梯形,求点P 的坐标; (Ⅲ)若n m ⋅+⋅=(m ,n 为实数),求n m +的最大值及对应的P 的坐标。
2. 巳知数列{}n a 中,1(),{}n a t t a =为非零常数的前n 项和n S 满足13n n S S +=.(Ⅰ)当1t =时,求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若对任意*n N ∈,都有(1)nn n a λ+>,求实数λ的取值范围。
3. 已知1()(1)(1)f x x x αβ=++(0x >),其中α、β为正常数.(Ⅰ)当1αβ==时,求()f x 的最小值;(Ⅱ)若0y >,求证:21()()()[()()]4x y x y x yαβαβαβαβαβαβ++≤≤++.4. 设函数()e ,xf x =2()4x g x =-,其中e 为自然对数的底数.(1) 已知12,R x x ∈, 求证:[]12121()()()22x x f x f x f ++≥;(2)是否存在与函数()f x ,()g x 的图象均相切的直线l ?若存在,则求出所有这样的直线l 的方程;若不存在,则说明理由.5. 已知函数2()ln 2x f x x kx =+-,其中常数k ∈R .(1) 求()f x 的单调增区间与单调减区间; (2)若()f x 存在极值且有唯一零点0x ,求k 的取值范围及不超过0x k的最大整数m .6. 已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,且*11()2n n S a n N +=∈.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设*31log (1)()n n b S n N +=-∈,求适合方程122311112551n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+= 的正整数n 的值.7. 已知左焦点为(1,0)F -的椭圆过点(1,3E .过点(1,1)P 分别作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ,设,M N 分别为线段,AB CD 的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P 为线段AB 的中点,求1k ;(3)若121k k +=,求证直线MN 恒过定点,并求出定点坐标.8. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且有111,1n n a S a +=+=(*n ∈N ). (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项n a ;(Ⅱ) 若n n a n b 4=,求数列{}n b 的前n 项和n T ;(Ⅲ)是否存在最小正整数m ,使得不等式()121n k k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立,若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.9. 已知定点()11,0F-,()21,0F,动点(),P x y,且满足1122,,PF F F PF成等差数列.(Ⅰ) 求点P的轨迹1C的方程;(Ⅱ) 若曲线2C的方程为()()22222x t y t t-+=+(2t<≤),过点()0,2-A的直线l与曲线2C相切,求直线l被曲线1C截得的线段长的最小值.10. 已知函数()()()22211xf x ax a x a a e⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中a∈R).(Ⅰ) 若0x=为()f x的极值点,求a的值;(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x⎛⎫>-++⎪⎝⎭;(Ⅲ) 若函数()f x在区间()1,2上单调递增,求实数a的取值范围.11. 平面直角坐标系xoy 中,直线01y x =+-截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6(1)求圆O 的方程;(2)若直线l 与圆O 切于第一象限,且与坐标轴交于D 、E ,当DE 长最小时,求直线l 的方程;(3)设M 、P 是圆O 上任意两点,点M 关于X 轴的对称点为N ,若直线MP 、NP 分别交于X 轴于点(0,m )和(0,n ),问mn 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.12. 设椭圆222:12x y M a +=(a >的右焦点为1F ,直线2:22-=a a x l 与x 轴交于点A ,若112OF AF +=0(其中O 为坐标原点).(1)求椭圆M 的方程;(2)设P 是椭圆M 上的任意一点,EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径(E 、F 为直径的两个端点),求⋅的最大值.13. 已知各项均为正数的数列{}n a 满足12212+++=n n n n a a a a , 且42342+=+a a a ,其中*n N ∈.(1) 求数列{}n a 的通项公式;(2) 设数列}{n b 满足nn n n na b 2)12(⋅+=,是否存在正整数, (1)m n m n <<,使得n m b b b ,,1成等比数列?若存在,求出所有的,m n 的值;若不存在,请说明理由。
数列统计导数圆锥曲线 试题

1.(本题12分)已知数列{}n a 中,428a =,且满足1111
n n n n a a n a a +++-=-+ (1)求123,,a a a ; (2)猜想{}n a 的通项公式并证明
2.(2013·福建高考理科·T16)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为错误!未找到引用源。
,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为错误!未找到引用源。
,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品.
(1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X ≤3的概率.
(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?
3.设0>a ,讨论函数x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2
---+=的单调性。
4.已知椭圆C :22
221,(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经
过点41(,)33P .
(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;
(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222
211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.。
导数、圆锥曲线专题

导数专题1、设函数2()ln ()f x x x a =+-,a ∈R .(Ⅰ)若0a =,求函数()f x 在[1,]e 上的最小值;(Ⅱ)若函数()f x 在1[, 2]2上存在单调递增区间,试求实数a 的取值范围;(Ⅲ)求函数)(x f 的极值点.2、已知函数32ln )(+-=ax x a x f (0≠a ).(Ⅰ)求函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ)函数)(x f y =的图像在2=x 处的切线的斜率为,23若函数])([31)('23m x f x x x g ++=,在区间(1,3)上不是单调函数,求 m 的取值范围。
3、已知函数x a x x f ln )(2-=(R a ∈).(Ⅰ)若2=a ,求证:)(x f 在(1,)+∞上是增函数;(Ⅱ)求)(x f 在[1,e]上的最小值.4、已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-.(Ⅰ)若()f x 在1x =处取得极值,求a 的值;(Ⅱ)求函数()y f x =在2[,]a a 上的最大值.5、已知函数221()()ln 2f x ax x x ax x =--+.()a ∈R . (I )当0a =时,求曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程(e 2.718...=); (II )求函数()f x 的单调区间.6、设函数()0)(2>+=a bx ax x f 。
(1) 若函数)(x f 在1-=x 处取得极值2-,求b a ,的值;(2) 若函数)(x f 在区间()1,1-内单调递增,求b 的取值范围;(3) 在(1)的条件下,若()00,y x P 为函数b x ax x f +=2)(图像上任意一点,直线l 与)(x f 的图像切于点P ,求直线l 的斜率的取值范围。
7、已知函数()(1)e (0)xa f x x x =->,其中e 为自然对数的底数.(Ⅰ)当2a =时,求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积;(Ⅱ)若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为5e ,求a 的值.圆锥曲线专题1已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ,离心率为2.过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N .(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)求BM BN ⋅ 的取值范围;(Ⅲ)设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ,求证:AM AN k k +为定值.2、在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到定点1(0,)4F 的距离比点P 到x 轴的距离大14,设动点P 的轨迹为曲线C ,直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点,M 是线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N .(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)证明:曲线C 在点N 处的切线与AB 平行;(Ⅲ)若曲线C 上存在关于直线l 对称的两点,求k 的取值范围.3已知抛物线P:x2=2py (p>0).M m到焦点F的距离为3.(Ⅰ)若抛物线上点(,2)(ⅰ)求抛物线P的方程;(ⅱ)设抛物线P的准线与y轴的交点为E,过E作抛物线P的切线,求此切线方程;(Ⅱ)设过焦点F的动直线l交抛物线于A,B两点,连接AO,BO并延长分别交抛物线的准线于C,D两点,求证:以CD为直径的圆过焦点F.P x y M x-,以线段PM为直径的圆经过原点O.4、在平面直角坐标系xOy中,设点(,),(,4)(Ⅰ)求动点P的轨迹W的方程;E-的直线l与轨迹W交于两点,A B,点A关于y轴的对称点为'A,试判(Ⅱ)过点(0,4)断直线'A B是否恒过一定点,并证明你的结论.6、已知椭圆C 的左,右焦点坐标分别为()()0,3,0,321F F -,离心率是23。
高压题(19)(数列-圆锥-导数)

高 压 题(19)(数列、圆锥、导数)1. 已知数列}{n a 满足:,211=a =+1n a *,N n e e a n n n ∈+α(其中c 为自然对数的底数). (1)求数列}{n a 的通项;n a(2)设,21n n a a a S +++=Λ,321n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅=Λ求证:,1+≤n nS n .2n n e T ->2.已知函数x x x x f 21ln 2)(-+=.(1)求函数f (x )的单调区间; (2)求不等式|1|)11(|ln |2-⋅+≤x xx 的解集,并利用不等式结论比较x x x ++1)1(ln 22与的大小. (3)若不等式1)11ln()(≤++na n 对任意*N n ∈都成立,求a 的最大值.(只写出结论不要求写论证过程).3.已知函数x x g ax x x f ln )(,)(2=-=.(1)若)()(x g x f ≥对于定义域内的x 恒成立,求实数a 的取值范围;(2)设)()()(x g x f x h +=有两个极值点)21,0(,121∈x x x 且,求证:;2ln 43)()(21->-x h x h (3)设),21()()(ax g x f x r ++=若对任意的)2,1(∈a 总存在,1,210⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈x 使不等式)1()(20a k x r ->成立,求实数k 的取值范围.4.已知数列}{n a 满足递推式:3,1),2(222111==≥-=--+a a n a a a a n n n n . (1)若nn a b +=11,求数列}{n b 的通项公式;(2)求证:*).(,3|2||2||2|21N n a a a n ∈<-++-+-Λ5.已知函数.2)(2x x x f +=(Ⅰ)数列}{n a 满足)(,1:11n n a f a a '==+求数列}{n a 的通项公式;(Ⅱ)已知数列*),)((,0}{11N n b f b t b b n n n ∈=>=+满足求数列}{.n b 的通项公式;(Ⅲ)设,11++=n n n b b c 数列}{n c 的前n 项和为S n ,若不等式n S <λ对所有的正整数n 恒成立,求λ的取值范围.6、已知函数,31)(23d cx bx x x f +++=设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为,124-=x y )(x f '为)(x f 的导函数,满足⋅'=-')()2(x f x f (1)求);(x f (2)设,)()(x f x x g '=,0>m 求函数)(x g 在],0[m 上的最大值;(3)设),(ln )(x f x h '=若对一切],1,0[∈x 不等式)22()1(+<-+x h t x h 恒成立,求实数t 的取值范围.7.定义:若对任意*N n ∈,数列}{n a 的前n 项和n S 都为完全平方数,则称数列}{n a 为“完全平方数列”;特别的,若存在*N n ∈使数列}{n a 的前n 项和n S 为完全平方数,则称数列}{n a 为“部分平方数列”(1)若数列}{n a 为“部分平方数列”,且*)(22121N n n n a n n ∈⎩⎨⎧≥==-,求使数列}{n a 的前n 项和n S 为完全平方数时n 的值;(2)若数列}{n b 的前n 项和2)(t n T n -=(其中*N t ∈),那么数列|}{|n b 是否为“完全平方数列”?若是,求出t 的值;若不是,请说明理由;(3)试求所有为“完全平方数列”的等差数列.8. 已知数列}{n a 中,,3,121==a a 且112-++=n n n a a a ⋅≥)2(n (1)设,1n n n a a b λ+=+是否存在实数,λ使数列}{n b 为等比数列.若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由;(2)求数列}{n a 的前n 项和n S .9、已知函数)12ln()(+=ax x f ax x x 2323--+).(R a ∈(1)若2=x 为)(x f 的极值点,求实数a 的值;(2)若)(x f y =在)3[∞+,上为增函数,求实数a 的取值范围;(3)当21-=a 时,方程)1(x f -x b x +-=3)1(3有实根,求实数b 的最大值.10.已知数列}{n a 的前n 项和为,n S 且满足,21=a ),1(1++=+n n S na n n 设.21k knk n a T ∑==(1)求数列}{n a 的通项公式n a 与n T .(2)求证:对任意*N n ∈,.316)4(221<-∑=k nk T11.设双曲线)0,0(1:2222>>=-⋅b a by a x C 的一个焦点坐标为),0,3(离心率,3=e B A , 是双曲线上的两点,AB 的中点).2,1(M (1)求双曲线C 的方程及直线AB 方程;(2)设线段AB 的垂直平分线与双曲线交于D C 、两点,求证:D C B A ,,,四点共圆.12.如图,过椭圆L 的左顶点)0,3(-A 和下顶点B 且斜率均为k 的两直线21,l l 分别交椭圆于,,D C 又1l 交y轴于2,l M 交x 轴于,N 且CD 与MN 相交于点.P 当3=k 时,ABM ∆是直角三角形.(I)求椭圆L 的标准方程;(Ⅱ) (i)证明:存在实数.λ使得;OP AM λ=(ii)求OP 的取值范围13.已知函数,ln )(b ax x x f +-=其中.,R b a ∈(I)求函数)(x f 的单调区间;(Ⅱ)若],2,0[,1∈=b a 且存在实数,k 使得对任意的实数],,1[e x ∈恒有1ln )(--≥x x kx x f 成立,求b k -的最大值.14.如图:已知椭圆),0(12222>>=+b a by a x )0,2(A 是长轴的的一个端点,弦BC 过椭圆的中心O ,且,0=⋅ ||2||-=-.(1)求椭圆的方程;(2)对于椭圆上的两点PCQ Q P ∠,、的平分线总是垂直 于x 轴时,是否存在实数λ,使得λ=.15.已知函数x e x x f -+=)1()((e 为自然对数的底数).(1)求函数)(x f 的单调区间;(2)设函数,)(')()(x e x tf x xf x -++=ϕ 存在实数],1,0[,21∈x x 使得)()(221x x ϕϕ<成立,求实数t 的取值范围16.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点为(30)F ,,其短轴上的一个端点到F 的距离为5. (1)求椭圆C 的方程; (2)若点P 是椭圆C 上的动点,点M 满足||1MF =u u u r 且0MP MF ⋅=u u u r u u u r ,求||PM u u u u r 的最小值;(3)设椭圆C 的上下顶点分别为1A 、2A ,点Q 是椭圆上异于1A 、2A 的任一点,直线 1QA 2QA 分别于x 轴交于点D 、E ,若直线OT 与过点D 、E 的圆相切,切点为T ,试探究线段OT 的长是否为定值?若是定值,求出该定值,若不是,请说明理由.。
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数列、圆锥、导数1. 已知椭圆125100:22=+y x E 的上顶点为A ,直线4-=y 交椭圆E 于点B ,C (点B 在点C 的左侧),点P 在椭圆E 上。
(Ⅰ)求以原点为顶点,椭圆的右焦点为焦点的抛物线的方程;(Ⅱ)若四边形ABCP 为梯形,求点P 的坐标;(Ⅲ)若n m ⋅+⋅=(m ,n 为实数),求n m +的最大值及对应的P 的坐标。
解:(Ⅰ)设此抛物线的方程为22y px =…1 分,椭圆的右焦点为2p∴=即p =…2分,∴此抛物线的方程为2y =…3分(Ⅱ)(0,5),(6,4),(6,4)A B C ---…4分,要使四边形ABCP 为梯形,当且仅当||CP AB 32AB k =∴直线CP 的方程为34(6)2y x +=-即3132y x =-…5分,把3132y x =-代入22110025x y +=得:25782880x x -+=…6分 ,解得:6x =或485(由韦达定理求得也可…7分487(,)55P ∴…8分 (Ⅲ)方法一:设(,)P x y ,易知(6,9),(12,0),(6,4)BA BC BP x y ===++n m ⋅+⋅=6612,49x m n y m ∴+=++= …9分,则432103226,,93636y x y x y m n m n +-+++==+= …10分令32x y t +=,由2232110025x y tx y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:221061000x tx t -+-=…11分,由0∆≥得:223640(100)0t t --≥即21000t ≤,t ∴-≤≤…12分max ()m n ∴+==,…13分,此时x y ==即P …14分方法二:设(,)P x y ,易知(6,9),(12,0),(6,4)BA BC BP x y ===++n m ⋅+⋅=6612,49x m n y m ∴+=++=…9分则432103226,,93636y x y x y m n m n +-+++==+=…10分 由(,)P x y 在22110025x y +=上可设10cos 5sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数,02θπ≤<)3230cos 10sin )x y θθθα∴+=+=-, (11)分,其中cos 1010αα==(α为锐角)max (32)x y ∴+=…12分,max 2613()3618m n ∴+== …13分 此时θα=,即2x y ==即2P ……………14分 2. 巳知数列{}n a 中,1(),{}n a t t a =为非零常数的前n 项和n S 满足13n n S S +=.(Ⅰ)当1t =时,求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若对任意*n N ∈,都有(1)nn n a λ+>,求实数λ的取值范围。
解:(Ⅰ)方法一:由13n n S S +=得:数列{}n S 是等比数列,公比为3,首项为1 (2)分11133n n n S --∴=⋅=…3分 ;当2n ≥时,12213323n n n n n n a S S ----=-=-=⋅…4分21(1)23(2)n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩…5分 方法二:13n n S S +=,∴ 13(2)n n S S n -=≥ ,以上两式相减得:13(2)n n a a n +=≥,…2分在13n n S S +=中,取1n =得:1213a a a +=即2122a a ==,…3分 ,2123a a ∴=≠ {}n a ∴为第二项起的等比数列,公比为3 …4分 ; 21(1)23(2)n n n a n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩…5分(Ⅱ)令(1)n nn n b a +=,由(Ⅰ)知: {}n a 为第二项起的等比数列,公比为3,22a t = ∴当2n ≥时,223n n a t -=⋅,2(1)23n n n n b t -+=⋅ …6分1121(1)(2)(1)(1)(1)23233n n n n n n n n n n n b b t t t +---++++--=-=⋅⋅⋅…7分○1. 0t >,则10n n b b +-<即1(2)n n b b n +<≥ ∴数列{}n b 是从第二项起的递减数列 ……8分而12b t =,23b t =,21b b > ,max 23()n b b t∴==…9分,对任意*n N ∈,都有(1)nn n a λ+> 3tλ∴>…10分 ;②若0t <,则10n n b b +->即1(2)n n b b n +>≥ ∴数列{}n b 是从第二项起的递增数列 ……11分,而120b t =<,当2n ≥时,2(1)023n n n n b t -+=<⋅ ,(,0)n b ∴∈-∞ …12分对任意*n N ∈,都有(1)nn n a λ+>,0λ∴≥ …13分 综合上面:若0t >,则3tλ>;若0t <,则0λ≥。
…14分3. 已知1()(1)(1)f x x xαβ=++(0x >),其中α、β为正常数.(Ⅰ)当1αβ==时,求()f x 的最小值;(Ⅱ)若0y >,求证:21()()()[()()]4x y x y x yαβαβαβαβαβαβ++≤≤++.解:(Ⅰ)由1αβ==得:11()(1)(1)224f x x x xx=++=++≥= ………2分 当且仅当1x x=即1x =时,等号成立…3分 ∴当1x =时,()f x 的最小值为4 … 4分(Ⅱ)0x >,其中α、β为正常数,()0,()0xyαβαβ∴>>2211[()()]()()44x y x yαβαβαβαβ∴+≥=…5分,又'112111()(1)(1)(1)(1)()f x x x x x x αβαβαβ--=+⋅+++⋅+⋅-…6分112111(1)(1)[(1)(1)()]x x x x x αβαβ--=+⋅+⋅+++-11211(1)(1)()xx x x xαβαβ--+=+⋅+⋅-…7分由0x >, α、β为正常数,得11211(1)(1)0x x x x αβ--++⋅+⋅>,令'()0f x >得:x βα>,令'()0f x <得:0x βα<<…8分,∴()f x 的增函数区间是(,)βα+∞,减函数区间是(0,)βα…9分()f x ∴在x βα=处取得最小值,min ()()()()f x f αββαβαβααβ++==…10分 ()()yf f xβα∴≤ (0,0x y >>)…12分, ()()αβαβαβαβ++∴≤()()x y x y x y αβ++…13分 整理得:()()()x y x yαβαβαβαβ++≤+21()()()[()()]4x y x y x yαβαβαβαβαβαβ++∴≤≤++ ……………14分 4. 设函数()e ,xf x =2()4x g x =-,其中e 为自然对数的底数.(1) 已知12,R x x ∈,求证:[]12121()()()22x x f x f x f ++≥;(2)是否存在与函数()f x ,()g x 的图象均相切的直线l ?若存在,则求出所有这样的直线l 的方程;若不存在,则说明理由.(1)证明: []12121()()()22x x f x f x f ++-121221(e e )e 2x x x x +=+-121221(e e 2e )2x x x x +=+-122221(e e )0.2x x =-≥…5分[]12121()()().22x x f x f x f +∴+≥…6分 (2) 设直线l 与函数()f x 的图象相切,切点为(,e )t t ,则直线l 的方程为e e (),t t y x t -=-即e e (1).t t y x t =+-…9分 , 直线l 与函数()g x 的图象相切的充要条件是关于x 的方程2e e (1),4ttx x t +-=-即2+e e (1)04tt x x t +-=有两个相等的实数根,…10分即2e e (1)0,t t t ∆=--=e 10.t t +-=…11分 , 设()e 1t t t ϕ=+-,则(0)0ϕ=,且()e 10t t ϕ'=+>,()t ϕ在R 上递增, ()t ϕ只有一个零点0.t =…13分,所以存在唯一一条直线l与函函数()f x 与()g x 的图象均相切,其方程为 1.y x =+…14分5. 已知函数2()ln 2x f x x kx =+-,其中常数k ∈R .(1) 求()f x 的单调增区间与单调减区间;(2)若()f x 存在极值且有唯一零点0x ,求k 的取值范围及不超过0x k的最大整数m .解:(1)211()(0).x kx f x x k x x x-+'=+-=>…1分① 当2k ≤时,1()20f x x k k k x '=+-≥=-≥,函数()f x 为增函数.…3分②当2k >时,12()()()x x x x f x x--'=,其中120x x <=<=…4分,(),()x f x f x '的取值变化情况如下表:…6分综合①②知当2k ≤时,()f x 的增区间为(0,)+∞,无减区间;当2k >时,()f x的增区间为0,2k ⎛ ⎥⎝⎦与2k ⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭,减区间为,.22k k ⎡-+⎢⎢⎥⎣⎦…7分 (2)由(1)知当2k ≤时,()f x 无极值;…8分当2k >时,1012k x <==<知()f x 的极大值1111()ln ()02xf x x x k =+-<,()f x 的极小值21()()0f x f x <<,故()f x 在(]20,x 上无零点.…10分224(2)ln(2)2ln(2)02k f k k k k =+-=>,又212k x k +<=<, 故函数()f x 有唯一零点0x ,且()02,2x x k ∈.…11分又222()ln ln 22k k f k k k k =+-=-,记2()ln (2)2k g k k k =->, 211()0,k g k k k k -'=-=<则22()(2)ln 2ln 2202g k g <=-=-<,从而()0f k <,002,1 2.x k x k k <<<<…13分 故k 的取值范围是(2,),+∞不超过0xk的最大整数 1.m =…14分6. 已知数列{}n a 的前n 项和是n S ,且*11()2n n S a n N +=∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设*31log (1)()n n b S n N +=-∈,求适合方程122311112551n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+= 的正整数n 的值.增解:(1) 当1n =时,11a s =,由11112s a +=,得123a =…1分当2n ≥时,∵ 112n n s a =-, 11112n n s a --=-,…2分∴()1112n n n n s s a a ---=-,即()112n n n a a a -=- ∴)2(311≥=-n a a n n …5分 ∴{}n a 是以23为首项,13为公比的等比数列.…6分 故1211()2()333n n n a -=⋅=⋅ )(*∈N n ……7分(2)111()23n n n s a -==,13131log (1)log ()13n n n b s n ++=-==--…9分11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++…11分1223111111111111()()()23341222n n b b b b b b n n n +++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-+++…13分解方程11252251n -=+,得100n = …14分 7. 已知左焦点为(1,0)F -的椭圆过点E .过点(1,1)P 分别作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ,设,M N 分别为线段,AB CD 的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P 为线段AB 的中点,求1k ;(3)若121k k +=,求证直线MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解 (1)由题意知,1=c 设右焦点)0,1('F .32332)0332()11(222'=+-++=+=∴EF EF a …2分2,3222=-==∴c a b a ,∴椭圆方程为12322=+y x …4分(2)设),(),,(2211y x B y x A 则 1232121=+y x ① 1232222=+y x ②…6分②-①,可得3232121212121-=++-=--=y y x x x x y y k …8分 (3)由题意21k k ≠,设),(M M y x M ,直线)1(1:1-=-x k y AB ,即21k x k y += 代入椭圆方程并化简得0636)32(2221221=-+++k x k k x k , 2122121322,323k k y k k k x MM +=+-=∴ …10分 同理2212221322,323k k y k k k x N N +=+-=∴…11分,当021≠k k 时, 直线MN 的斜率21219610k k k k x x y y k N M N M --=--=直线MN 的方程为)323(961032221212121212k k k x k k k k k k y +----=+-,又121=+k k 化简得3296102121---=x k k k k y 此时直线过定点(0,32-)………13分,当021=k k 时,直线MN 即为y 轴,也过点(0,32-)综上,直线过定点(0,32-)……14分8. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且有111,1n n a S a +=+=(*n ∈N ). (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项n a ; (Ⅱ) 若nn a n b 4=,求数列{}n b 的前n 项和n T ;(Ⅲ)是否存在最小正整数m ,使得不等式()121nk k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立,若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.【解析】(Ⅰ) 当1n =时,211112a S a =+=+=;…1分 当2n ≥时,11n n S a ++=,11n n S a -+=,相减得12n n a a +=…2分 又212a a =, 所以{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,所以12-=n na (4)分(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知12-=n n a ,所以112244+-=⋅==n n n n n n a n b ,所以23411232222n n nT +=++++ 12n T = 34121212222n n n n++-++++两式相减得2341211111222222n n n n T ++=++++-=2221111222122212n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=--,所以1212n n n T ++=-(或写成11122n nn T ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭,11122n n n n T +=--均可给至8分) …………8分(Ⅲ)()()()11221211211121122k kk k k k k k k S T k k ++++==+⋅++⎛⎫⎛⎫-⋅-++-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111211221212121k k k k k +++⎛⎫==- ⎪---⋅-⎝⎭ …………11分所以()1111211122121212121nnk k n k k k k k S T k ++==+⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⋅++---⎝⎭⎝⎭∑∑若不等式()121nk k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立,则2≥m ,所以存在最小正整数2m =,使不等式()121nk k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立…………14分9. 已知定点()11,0F -,()21,0F ,动点(),P x y ,且满足1122,,PFF F PF 成等差数列.(Ⅰ) 求点P 的轨迹1C 的方程;(Ⅱ) 若曲线2C 的方程为()()22222x t y t t -+=+(0t <≤),过点()0,2-A 的直线l 与曲线2C 相切,求直线l 被曲线1C 截得的线段长的最小值.【解析】(Ⅰ)由()11,0F -,()21,0F ,421=+PF PF 12F F >……1分根据椭圆定义知P 的轨迹为以21,F F 为焦点的椭圆,其长轴42=a ,焦距22=c ,短半轴322=-=c a b ,故1C 的方程为13422=+y x . (4)分(Ⅱ)设l :()2y k x =+,由过点()0,2-A 的直线l 与曲线2C 相切得()()2122+=++t t k t k ,化简得⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=220,12,t k kt (注:本处也可由几何意义求k 与t 的关系)…………6分由0t <=≤,解得201k <≤…………7分联立()⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222y x x k y ,消去y 整理得()0121616342222=-+++k x k x k ,…………………8分直线l 被曲线1C 截得的线段一端点为()0,2-A ,设另一端点为B ,解方程可得()22224312,4343k k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭,所以243AB k ==+……………………11分(注:本处也可由弦长公式结合韦达定理求得)令n k =+12,则21212,1414nAB n n n n==∈--,考查函数n n y 14-=的性质知n n y 14-=在区间上是增函数,所以n =,n n y 14-=取最大值2,从而min 2AB ==.…… 14分10. 已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中a ∈R ).(Ⅰ) 若0x =为()f x 的极值点,求a 的值;(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭; (Ⅲ) 若函数()f x 在区间()1,2上单调递增,求实数a 的取值范围.【解析】(Ⅰ)因为()()()22211x f x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦ 所以()()()()()22222221111x x x f x ax a e ax a x a a e ax a x a e ⎡⎤⎡⎤⎡⎤'=+-++-+--=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦…2分因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =…3分 检验,当0a =时,()x f x xe '=,当0x <时,()0f x '<,当0x >时,()0f x '>. 所以0x =为()f x 的极值点,故0a =.…4分(Ⅱ) 当0a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭, 整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩…6分令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,()()()1x h x g x e x '==-+,()1x h x e '=-, 当0x >时,()10x h x e '=->;当0x <时,()10x h x e '=-<, 所以()h x 在(),0-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增,所以()()00h x h >=,即()0g x '>,所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =; 故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔> ⎪⎝⎭;211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭, 所以原不等式的解集为{}01x x x <>或;……9分(Ⅲ) 当0a ≥时,()()221x f x ax a x a e ⎡⎤'=+++⋅⎣⎦因为()1,2x ∈,所以()0f x '>,所以()f x 在()1,2上是增函数.…11分当0a <时,()()1xf x a x a x e a ⎛⎫'=++⋅ ⎪⎝⎭, ()1,2x ∈时,()f x 是增函数,()0f x '>. ① 若1a <-,则()()110,x f x a x a x e x a a a ⎛⎫⎛⎫'=++>⇒∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()11,2,a a ⎛⎫⊆-- ⎪⎝⎭得2a ≤-;② 若10a -<<,则()()110,x f x a x a x e x a a a ⎛⎫⎛⎫'=++⋅>⇒∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()11,2,a a ⎛⎫⊆-- ⎪⎝⎭得102a -≤<.③ 若1a =-,()()210x f x x e '=--⋅≤,不合题意,舍去. 综上可得,实数a 的取值范围是(]1,2,2⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭ …14分 (亦可用参变分离或者图像求解).11. 平面直角坐标系xoy 中,直线01y x =+-截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为6(1)求圆O 的方程;(2)若直线l 与圆O 切于第一象限,且与坐标轴交于D 、E ,当DE 长最小时,求直线l 的方程;(3)设M 、P 是圆O 上任意两点,点M 关于X 轴的对称点为N ,若直线MP 、NP 分别交于X 轴于点(0,m )和(0,n ),问mn 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.。