复变函数与积分变换 学习笔记
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
复变函数与积分变换公式笔记
复变函数与积分变换第一章 复数与复变函数1. 任何一个复数 z ≠0 有无穷多个辐角，如θ1是辐角，则有Arg z = 1+2kπ (k =0,±1,±2,…)表示 z 的全部辐角，其中满足-π＜ 0≤π的辐角 0称为辐角 Argz 的主值， 记为 0=arg z . 2. 棣莫弗公式：（cosθ + sinθ) =cosnθ + sin θ1. 柯西–黎曼方程：第二章 解析函数∂= ∂，∂= −∂ ∂∂∂∂2. 如果二元实函数 ( , )在区域 D 内有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程：∂2 ∂2∂ 2 + ∂ 2 = 0则称 ( , )为区域 D 内的调和函数。
3. 共轭调和函数公式：( , )( , ) = ∫ − ( 0, 0) ∂ ∂d + ∂ ∂d + C其中( 0, 0)为 D 内一个定点，( , )为 D 内任一点，C 为任意常数。
该积分与路径无关。
4. 指数函数的定义5. 指数函数的性质 = + = (cos + sin )2 = 16.ln ,称为 Ln z 的主值，于是有ln = ln | | + arg而其他各支可由下式表达：Ln = ln + 2 ( = ±1, ±2, … )7.余弦函数与正弦函数：cos =sin =8.双曲正弦函数和双曲余弦函数： sh =chz =+ −2 − −2− −2 + −2C C 01. 复积分的计算第三章 复变函数的积分∫ ( )d = ∫ [ ( )] ′( )dC2. 计算：C 为单位圆周| | = 1的上半部分从 1 = 1到 2 = −1的弧。
C 的参数方程为 = (0 ≤ ≤ )，d = d .3. 柯西积分公式：1( 0) = 2 ∮( ) − 0d4. 高阶导数公式:( )∮ C − 0 d = 2 ∙ ( 0)( )(0 !) =2 ( )∮ ( − ) +1d ( = 1,2, ⋯ ).( )∮ d = 2 ( )( ) ( = 1,2, ⋯ ). 0 C( − 0) +1 !1. 幂级数收敛半径公式为第四章级数∞∑=0R = lim ||.2. 幂级数基本展开公式：→∞ +111 −= 1 + + 2 + ⋯ + + ⋯ ，| | < 1； ∞11 += ∑(−1) ，| | < 1； =0 ∞= ∑ =0∞!，| | < +∞；2 +1 sin = ∑(−1) ，| | < +∞；(2 + 1)!=0∞cos = ∑ =0(−1) 2(2 )!，| | < +∞；3. 函数展开结果中可能不含 z 的负幂项，原因在于 ( )在 C 内是解析的。
复变函数与积分变换复习重点
复变函数与积分变换复习重点复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ?≥=+??<=-??；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
《复变与积分变换》讲义笔记【高斯课堂】
高斯课堂系列课程
考点 1.复数的表示、几何意义 2.复数的运算 3.复数的方根
官方公众号：蜂考
课时一 复数
蜂考——大学生备考集训营
重要程度 ★★★★
分值 6 12 34 38
常见题型 选择、填空 选择、填空 计算题、选择、填空
1.复数的表示、几何意义
（1） z x iy
x :实部， Re z
1. i 2 1 2. z x iy , z x iy
3. x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2
4. x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2
5.
x1 iy1 x2 iy2
x1 iy1 x2 iy2 x2 iy2 x2 iy2
i 2 1
i3 i
i4 1
i5 i
z100 z75 z50 i425 i4183 i412 2 i0 i3 i2 1 i 1 i
... z1 r1ei1
z2 r2ei2
答案： B
cos 4 i sin 4 2
题 3.
复数
cos 3
i sin 3 3
的指数形式为
1. z1 z2 r1 r2ei12
A. 1
B.
2
C. 4
解： arctan1 4
arg z 4
答案: C
D.
y
4 O
x
i
z
题 2. 数 1 i 3 的指数形式为 22
，三角形式为
解： r z
x2 y2
1 2
2
3 2
2
1
arctan y
x3
3
z
rei
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==xy yx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n ner z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数)1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w性质与对数函数的性质相同。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22z x y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctany z x=； 当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换总结
复变函数与积分变换总结第一章小结一、复数及运算1.复数及代数运算2复数的几何表示复数与复平面上的点、向量一一对应；几何角度看唯一确定复数的两个概念为：模、辐角；复数加减乘积运算后对应的复数在坐标面上可通过画图做出；几何运算：积商的模等于模的积商，幅角等于幅角和差；复数差的模表示两个点间的距离；复数的三角表示在计算复数的乘幂及方根时较方便二、复数集概念：邻域、内点、开集、区域、简单曲线、单联通与多联通区域三、复变函数1.对应于两个二元实变函数，因此对复变函数的研究有两种方法1参考一元实变函数的研究方法在0连续，且f00，证明必存在0的一个邻域，使得在此邻域内f0f02证明：设imff0，则对任意的0,存在0使得当0时ff0f02f02,因此f0ff02,所以f02转化为两个二元实变函数的研究，如复变函数的极限与连续性的讨论四、几个特定的复数问题及求解的关键步骤1证明复数模的不等式关键步骤：1证明原不等式两端平方后的不等式2利用22.确定平面曲线的复数方程关键步骤：转化为求,满足的方程3确定复数方程对应图形关键步骤：利用复数差模的几何意义；转化为关于,的方程；转化为关于r,将平面上的图形映到w平面上的图形关键步骤：1写出wf对应的两个二元实变函数2的极限及连续性关键步骤：1将wf看成一些简单函数的运算2通过分析这些简单函数对应的两个二元实变函数得到这些简单函数的极限及连续性3利用极限及连续的一些运算法则得到原函数的极限及连续性扩展阅读：复变函数与积分变换重要知识点归纳复变函数复习重点一复数的概念1.复数的概念：i，,是实数,Re,Imi21注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小2复数的表示1）模：22；2）幅角：在0时，矢量与轴正向的夹角，记为Arg（多值函数）；主值arg是位于,]中的幅角。
3）arg与arctan之间的关系如下：；当0,argarctan0,argarctan当0,0,argarctan；4）三角表示：coiin，其中arg；注：中间一定是“”号。
复变函数及积分变换重点公式归纳
复变函数及积分变换重点公式归纳复变函数是指定义在复数域上的函数，其自变量和函数值都是复数。
复变函数可以表示为两个实变量的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)是实变量的函数。
复变函数的积分变换是指对复变函数进行积分变换，得到新的复变函数。
在复变函数的积分变换中，有一些重要的公式需要归纳，包括：1.度量公式：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其微分形式为dz=dx+idy。
根据度量公式，有dx=\frac{1}{2}(dz+d\bar{z})，dy=\frac{1}{2i}(dz-d\bar{z})。
2.柯西-黎曼方程：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，满足柯西-黎曼方程的充要条件是u_x=v_y和u_y=-v_x。
3.柯西-黎曼积分定理：对于一个闭合曲线C，如果复变函数f(z)在C内解析（即在C内柯西-黎曼方程成立），那么有\oint_C f(z)dz=0。
4.柯西积分公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式为\oint_C \frac{f(z)}{z-a} dz=2\pi i f(a)，其中C是D内包围点a 的闭合曲线。
5.柯西积分公式的推广：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西积分公式的推广形式为\oint_C \frac{f(z)}{(z-a)^n} dz=2\pi i \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}，其中C是D内包围点a的闭合曲线。
6.柯西积分公式的应用：柯西积分公式可以用于计算复变函数的积分，如计算围道上的积分或者在无穷远处的积分等。
7.柯西主值公式：对于一个有界区域D和在D内解析的复变函数f(z)，柯西主值公式为\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PV\frac{1}{2\pii}\int_C \frac{f(z)}{z-a} dz=PVf(a)+\frac{1}{2}f(a)，其中PV表示柯西主值。
复变函数与积分变换学习笔记
复变函数与积分变换学习笔记第二章解析函数一、复变函数的导数及微分1、导数的定义2、可导与连续3、求导法则实变函数的求导法则可以不加更改地推广到复变函数中来4、微分的概念与一元实变函数的微分概念完全一致二、解析函数的概念1、解析函数的定义如果函数f（z）在z0及z0的邻域内处处可导，那么称f（z）在z0解析。
如果函数f（z）在区域D内每一点解析，则称f（z）在区域D内解析。
或称f（z）是区域D内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）2、奇点的定义如果函数f（z）在z0不解析，那么称z0为f（z）的奇点。
根据定义可知，函数在区域内解析和区域内可导是等价的。
但是，函数在一点处解析和一点处可导是不等价的，即在一点处可导，不一定在该点处解析。
函数在一点处解析比在该点处可导的要求高得多。
定理（1）在区域D内解析的两个函数f（z）和g（z）的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D内解析。
（2）设函数h=g（z）在z平面上的区域D内解析，函数w=f （h）在h平面上的区域G内解析。
如果对于D内的每个点z，函数g （z）的对应值h都属于G，那么复合函数w=f|g（z）|在D内解析。
根据定理可知：（1）所有多项式在复平面内是处处解析的。
（2）任何一个有理分式函数P（z）/Q（z）在不含分母为零的点的区域内是解析的，使分母为零的点是它的奇点。
注意：复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上是完全一样的，它们的求导公式与求导法则也一样，然而复变函数极限存在要求与z趋于零的方式无关，这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多。
第二节、函数解析的充要条件一、主要定理定理一：设函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）定义在区域D内，则f（z）在D内一点z=x+yi 可导的充要条件是：u（x，y）与v（x，y）在点（x，y）可微，并在该点满足柯西-黎曼方程：?u?v?u==-，x?y?y ?vx 。
根据定理一，可得函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在点z=x+yi处的导数公式：f＇（z）u =+ix ?vx1=iu?v+y?y。
复变函数与积分变换重要知识点
sin2 z 0, cos2 z 0 在复数中均不成立。
3
复变函数与积分变换复习要点
2013 年 11 月中旬至 12 月中旬
shz ez ez , chz ez ez
双曲函数
2
2；
shz 奇函数， chz 是偶函数。 shz, chz 在 z 平面内解析，且 shz chz,chz shz
6 辐角：Argz 1 2k k为任意整数,其中把满足- 0 的0称为Argz的主值，
记作，0 = arg z. z 0 辐角的主值
arg
z
arctan
π, 2
arctan
y x
y
, x 0, x 0, y 0,
π, x 0, y
3! 5!
zn n!
zn (R ) n0 n!
(1)n z2n1 (2n 1)!
, (R )
cos z 1 z2 z4 (1)n z2n
2! 4!
(2n)!
1 1 z z2 (1)n zn ,| z | 1 1 z
如果我们定义
zn
1 zn
,
那么当
n
为负整数时,
上式仍成立.
棣莫佛公式：当 z 的模 r 1, 即 z cos i sin,
(cos i sin )n cos n i sin n.
方程 wn
z
的根：
w
n
z
1
rn
cos
复变函数与积分变换知识点总结
复变函数与积分变换知识点总结复变函数与积分变换是数学中重要的概念和工具，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值，积分变换是指通过对函数进行积分操作来获得新的函数。
本文将对复变函数与积分变换的相关知识进行总结，包括复变函数的定义与性质、积分变换的定义与性质、常见的复变函数以及常见的积分变换。
一、复变函数的定义与性质1. 复变函数的定义：复变函数是指定义在复平面上的函数，具有复数作为自变量和函数值。
一般来说，复变函数可以写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy表示复平面上的点，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。
2.复变函数的性质：（1）连续性：复变函数在复平面上连续，当且仅当实部和虚部函数分别在该点连续。
（2）可微性：复变函数在复平面上可微，当且仅当实部和虚部函数具有一阶连续偏导数，并满足复合函数的求导法则。
（3）调和函数：实部和虚部函数都是二阶偏导数连续的函数，若满足拉普拉斯方程△u=0，则称u(x,y)为调和函数。
二、积分变换的定义与性质1. 积分变换的定义：积分变换是一种将函数通过积分操作转换为另一种函数的方法。
一般来说，积分变换可以写成F(s)=∫f(t)e^(-st)dt，其中s为复变量，f(t)为原函数。
2.积分变换的性质：（1）线性性：积分变换具有线性性质，即对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有积分变换[a*f(t)+b*g(t)](s)=a*F(s)+b*G(s)。
（2）平移性：若对于函数f(t)，其积分变换为F(s)，则e^(at)*f(t)的积分变换为F(s-a)。
（3）卷积性：若函数f(t)和g(t)的积分变换分别为F(s)和G(s)，则f(t)*g(t)的积分变换为F(s)*G(s)。
三、常见的复变函数1. 复指数函数：复指数函数的表达式为e^(z)=e^(x+iy)=e^x*cos(y)+ie^x*sin(y)，其中x和y分别是实部和虚部。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：22zx y =+；2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x >arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
最新大学考试复习资料-复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比拟大小，但其模〔为实数〕有大小.1〕模：z=2〕幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z 〔多值函数〕；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3〕()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4〕三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+〞号。
5〕指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算：假设111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± ：1〕假设111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2〕假设121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=1） 假设(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
2） 假设(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭〔有n 个相异的值〕〔三〕复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数1〕指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
复变函数与积分变换总结
第二章小结
本章主要介绍了解析函数的概念，给出了一些初等函数的定义，并研究了这些初等函数的性质, 主要知识点有
一、与函数解析有关的问题：要看解析，先看可导
1. 解析与可导的关系：
区域内等价，一点处并不等价，一点处解析是比一点处可导更强的概念
2. 一元实变函数具有的一些求导运算法则对复变函数同样成立，如四则运算、复合运算、反函数求导等
3.形式较简单的函数在一点可导的判断及求导方法
(1). 可导定义
(2). 转化为这些复变函数对应的两个二元实变函数的讨论
a. 判断可导：可微性、C-R 方程
b. 求导：'()u v f z i x x
∂∂=+∂∂ 4. 形式较复杂函数在一点可导判断及求导步骤：
拆解为一些形式较简单的函数；研究这些函数的可导性并求导；利用求导法则得原函数的可导性及导数
二、与初等函数有关的问题及要求
1. 熟记各种初等函数的定义公式、解析性及求导公式
2. 高数中的初等函数与复变函数中初等函数的区别
z e 仅是一个记号、指数函数的周期为2()k i k Z π∈；负实数的对数有意义、
11
,n
n n Lnz nLnz Lnz Lnz ==在复数范围内不再成立；(0)b bLna a e a =≠；sin 1,cos 1z z ≤≤在复数范围内不再成立
三、与三角函数及双曲函数有关的复数方程的求解步骤
1. 根据三角函数及双曲函数的定义将所给方程用iz e 或z e 表示
2. 整理为关于iz e 或z e 的一元二次方程后并配方、开方
3. 利用方程w e z =解的公式得原方程解公式
例 求解方程shz i =。
复变函数与积分变换 课程笔记
笔记前言：本笔记的内容是去掉步骤的概述后，视频的所有内容。
本猴觉得，自己的步骤概述写的太啰嗦，大家自己做笔记时，应该每个人都有自己的最舒服最简练的写法，所以没给大家写。
再是本猴觉得，不给大家写这个概述的话，大家会记忆的更深，掌握的更好！所以老铁！一定要过呀！不要辜负本猴的心意！~~~【祝逢考必过，心想事成~~~~】【一定能过！！！！！】复变函数与积分变换第一课一、 复数的加减乘除举例：①(2+3i)+(3+4i)=(2+3)+(3+4)i =5+7i②(3+4i)−(2+3i)=(3−2)+(4−3)i =1+i③(2+3i)×(3+4i)=2×3+2×4i+3i×3+3i×4i =6+8i+9i −12 =−6+17i ④ 2+3i 3+4i=(2+3i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=6−8i+9i+1232−(4i)2=18+i 9+16=1825+125i二、 求复数的实部与虚部例1：已知z=9−10i ，试求Re(z)，Im(z)。
Re(z)=9，Im(z)=−10例2：已知z=3+3i ，w=z−1z+i ，试求Re(w)，Im(w)。
w=z−1z+i=3+3i−13+3i+i=2+3i 3+4i=1825+125i猴博士爱讲课Re(w)=1825，Im(w)=125三、 求某复数的共轭复数例1：已知z=9−10i ，试求 z̅。
z ̅=9+10i例2：已知z=3+3i ，试求z−1z ̅+7i 。
z−1z̅+7i =3+3i−13−3i+7i =2+3i3+4i =1825+125i四、 求模、辐角和辐角主值例1：已知z=1+i ，试求z 的模、辐角、辐角主值。
∵ Re(z)=1，Im(z)=1 ∴ |z|=√12+12=√2∵ arg(z)∈(−π,π]猴博士爱讲课∴ arg(z)=π4Arg(z)=π4+2kπ，k=0,±1,±2···例2：已知w=−2+2i ，试求w 的模、辐角、辐角主值。
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
ℱ f nx ( j)n F()
4、积分性质
ℱ
x x0
f
xdx
1 F () j
ℱ
(
j
xn)
f
x
d
n F () d n
由 Fourier 变换的微分和积分性质，我们可以利用 Fourier 变换求解微积分方程。
四、卷积和卷积定理
f1(x) * f2 (x) f1( ) f2 (x )d
2、闭路积分： a) f zdz c
利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。
b) [u(x, y) iv(x, y)]dz c
三、柯西积分定理：
c f zdz 0
推论 1：积分与路径无关
f zdz z2 f (z)dz
c
z1
推论 2：利用原函数计算积分
z2 z1
f
(z)dz
F(z2 ) F(z1)
第四章 解析函数的级数
一、幂级数及收敛半径：
an (z b)n
n0
1、一个收敛半径为 R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数 f (z) 是解析函数，在这个收敛圆内，这
个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：
f 'z nan z bn n1
zb R
z f
0
z dz
n0
z
l an
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
第一章 复变函数 一、复变数和复变函数
w f z ux, y ivx, y
二、复变函数的极限与连续
极限 lim f (z) A zz0
连续
lim f (z)
zz0
f (z0)
第二章 解析函数
一、复变函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 可导与解析的概念。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 解析函数
一、复变函数的导数及微分
1、导数的定义
2、可导与连续
3、求导法则
实变函数的求导法则可以不加更改地推广到复变函数中来
4、微分的概念
与一元实变函数的微分概念完全一致
二、解析函数的概念
1、解析函数的定义
如果函数f （z ）在z 0及z 0的邻域内处处可导，那么称f （z ）在z 0解析。
如果函数f （z ）在区域D 内每一点解析，则称f （z ）在区域D 内解析。
或称f （z ）是区域D 内的一个解析函数（全纯函数或正则函数）
2、奇点的定义
如果函数f （z ）在z 0不解析，那么称z 0为f （z ）的奇点。
根据定义可知，函数在区域内解析和区域内可导是等价的。
但是，函数在一点处解析和一点处可导是不等价的，即在一点处可导，不一定在该点处解析。
函数在一点处解析比在该点处可导的要求高得多。
定理
（1）在区域D 内解析的两个函数f （z ）和g （z ）的和、差、积、商（除去分母为零的点）在D 内解析。
（2）设函数h=g （z ）在z 平面上的区域D 内解析，函数w=f （h ）在h 平面上的区域G 内解析。
如果对于D 内的每个点z ，函数g （z ）的对应值h 都属于G ，那么复合函数w=f|g （z ）|在D 内解析。
根据定理可知：
（1）所有多项式在复平面内是处处解析的。
（2）任何一个有理分式函数P （z ）/Q （z ）在不含分母为零的点的区域内是解析的，使分母为零的点是它的奇点。
注意：复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上是完全一样的，它们的求导公式与求导法则也一样，然而复变函数极限存在要求与z 趋于零的方式无关，这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多。
第二节、函数解析的充要条件
一、主要定理
定理一：设函数f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ）定义在区域D 内，则f （z ）在D 内一点z=x+yi 可导的充要条件是：u （x ，y ）与v （x ，y ）在点（x ，y ）可微，并在该点满足柯西-黎曼方程：∂u ∂x =∂v ∂y ，∂u ∂y =−∂v ∂x 。
根据定理一，可得函数f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ）在点z=x+yi 处的导数公式：f ＇（z ）=∂u ∂x +i ∂v ∂x =1i ∂u ∂y +∂v ∂y 。
定理二：函数f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ）在其定义域D 内解析的充要条件是：u （x ，y ）
与v （x ，y ）在D 内可微，并满足柯西-黎曼方程。
解析函数的判定方法：
（1）如果能用求导公式与求导法则证实复变函数f （z ）的导数在区域D 内处处存在，则可根据解析函数的定义断定f （z ）在D 内是解析的。
（2）如果复变函数f （z ）=u+iv 中u ，v 在D 内各一阶偏导都存在、连续（因而u ，v （x ，y ）可微）并满足C-R 方程，那么根据解析函数的充要条件可以断定f （z ）在D 内解析。
参照视频内例题可进一步证明：
如果f （z ）在区域D 内解析，则以下条件彼此等价：
（1）f （z ）=恒取实值（2）f ′（z ）=0
（3）| f （z ）|=常数（4）f （z ）̅̅̅̅̅̅̅̅解析
（5）Re 【f （z ）】=常数（6）Im 【f （z ）】=常数
（7）v=u 2（8）arg f （z ）=常数
第三节、初等函数
一、指数函数
1、指数函数的定义
当函数f （z ）在复平面内满足以下三个条件：
（1）f （z ）在复平面内处处解析；
（2）f ′（z ）= f （z ）
（3）当Im （z ）=0时，f （z ）=e x ，其中x=Re （z ）
此函数称为复函数z 的指数函数，记为expz=e x （cos y +i sin y ）（expz 可用e z 来表示，e z 并没有幂的意义）
指数函数的定义等价于关系式：{|expz|=e x
Arg (expz )=y +2kπ
（其中k 为任何整数） 2、加法定理 exp z 1·exp z 2=exp （z 1+z 2）
根据加法定理，可以推出expz 的周期性，expz 的周期是2k πi ，即e z+2kπi =e z ·e 2kπi =e z 。
二、对数函数
1、定义
满足方程e w =z (z ≠0)的函数w=f （z ）称为对数函数，记w=Lnz=ln|z|+iArgz
由于Argz 为多值函数，所以对数函数w=f （z ）也是多值函数，而且每两值相差2πi 的整数倍。
如果将Lnz=ln|z|+iArgz 中Argz 取主值argz ，那么Lnz 为一单值函数，记为lnz ，称为Lnz 的主值
lnz=ln|z|+iargz
其余各值为Lnz=lnz+2k πi （k 为整数），对于每一个固定的k ，上式确定一个单值函数，称为Lnz 的一个分支，特殊地，当z=x>0时，Lnz 的主值lnz=lnx ，是实变数对数函数。
2、性质
（1）Ln （z 1·z 2）=Ln z 1+Ln z 2
（2）Ln z
1z 2= Ln z 1-Ln z 2 （3）在除去负实轴（包括原点）的复平面内，主值支和其他各分支处处连续可导，且（lnz ）′=1z ，（Lnz ）′=1z
三、乘幂a b与幂函数
1、乘幂的定义
设a是一个不为零的复数，b为任意一个复数，乘幂a b定义为e bLna，即a b=e bLna 注意：由于Lna=ln|a|+i（arga+2kπ）是多值的，因而a b也是多值的。
（1）当b为整数时，a b=e bLna=e b[ln|a|+i（arga+2kπ）]=e blna，具有单一的值。
（2）
特殊情况：
2、幂函数的解析性
四、三角函数和双曲函数（第七讲）。